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Correction des exercices supplémentaires (3e2, École Alsacienne)

La somme de 2 nombres est 30. De combien augmente leur produit quand chaque nombre augmente de 7 ?

!2
!2
!
5
3
1
5 +
*
Mettre sous la forme d’une fraction irréductible l’expression −3
− −
−
(−6)
−1 .
9
3
6
0,
45
, !
2
3
+
x
Résoudre l’inéquation (5x − 2)(3 + x ) − (x + 1)2 ≥ 16 x −
.
2
De quel pourcentage faut-il augmenter le rayon d’un disque pour que son aire soit augmentée de 44% ?
L’aire de chaque petit disque est 2 cm2.
— Quelle est l’aire du grand disque ?
— À quelle fraction du grand disque correspondent les six petits disques ?
— Dans le grand disque, quel est le pourcentage de l’aire hachurée ?
Calculer la somme 1 + 2 + 3 + 4 + · · · + 97 + 98 + 99 + 100 .

(il y a une astuce !)

. Notons x et y ces nombres. D’après l’énoncé x + y = 30.
On calcule (x + 7)( y + 7) = x y + 7(x + y ) + 72 = x y + 259, donc le produit augmente de 259 .
45
=
100
20 11
+
=
Et finalement, on trouve
3
6

. En remarquant que 0, 45 =

. On calcule d’abord x −

9
1
20 9 11
, on en déduit que :
−1=
− =
.
20
0, 45
9
9
9
17
.
2

3+x
2x −(3 + x ) 2x − 3−x
x −3
=
+
=
=
.
2
2
2
2
2

(attention au signe ! ! !)

En développant, l’inéquation devient alors :

!
x 2 − 6x + 9
= 4x 2 − 24x + 36
4x + 11x − 7 ≥ 16 ×
4
2

et donc finalement on trouve : x ≥

43
.
35

. Notons R le rayon du disque non augmenté, et x le pourcentage recherché, de telle sorte que le disque
dont le rayon est R augmenté de x % ait une aire augmentée
de 44% par rapport au disque de rayon R .
!
 

x  2
44
x 2
44
C’est-à-dire : π R 1 +
= πR 2 1 +
En simplifiant par πR 2 , il reste : 1 +
= 1+
.
100
100
100
100
!2
!2
44
144
12
20
Mais 1 +
=
=
= 1+
, et donc on doit augmenté le rayon de 20%.
100 100
10
100

. Notons r le rayon d’un petit disque. On a 2 = πr 2 d’après l’énoncé. Le rayon du grand disque est égal à
6r donc l’aire du grand disque vaut π (6r )2 = 36(πr 2 ) = 36 × 2 = 72cm2 .
!
6×2 1
L’aire des six petits disques représente un sixième de l’aire du grand disque.
=
72
6
Notons A l’aire hachurée. On a :
A = 2 × (π (3r )2 ) − 6 × (πr 2 ),
(deux fois l’aire du moyen moins six fois l’aire du petit)
A
1
donc A = (18 − 6)(πr 2 ) = 12 × 2 = 24cm2, et le pourcentage de l’aire hachurée vaut
= ' 33% .
72 3
. C’est un problème classique que certains d’entre vous on déjà vu. Plusieurs méthodes existent, en voici
une. On va plutôt calculer deux fois la somme demandée, mais on va écrire la deuxième en sens inverse :

= 101 + 101 + 101 + . . .
1 + 2 + 3 + ...
+ 100 + 99 + 98 + . . .

+ 101 + 101 + 101
+ 98 + 99 + 100
+ 3 + 2 + 1

= 101 + 101 + 101 + . . .

+ 101 + 101 + 101

où le terme 101 est répété 100 fois, on en déduit :

1 + 2 + 3 + 4 + · · · + 98 + 99 + 100 =

100 × 101
= 5050 .
2



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