Ratt+Corrigé Maths1 ST 17 18 .pdf
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Jeudi 21 Juin 2018
Faculté des Sciences
Module : Math 1- Tronc commun ST
Département des Mathématiques
Durée : 1 h-30mns
20
18
Université de Tlemcen
Examen de rattrapage
√
Exercice 01 : (05 pts)Soit le nombre complexe
1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes
algébriques et trigonométriques.
2. Montrer que
3. Montrer que
l’équation :
.
définie sur l’ensemble des réels par :
(
( )
{
pour tout
Fa
cu
lté
Montrer que la fonction est continue sur .
Etudier la dérivabilité de sur , puis calculer sa dérivée
Etudier la dérivabilité de en 0.
Calculer
( )
En déduire que est de classe ( ).
, on définit la suite (
SM
1. Montrer que
MD
2. Vérifier que
√
3. En déduire que la suite (
)
)
{
/S
T
(S
Exercice 03 : (05 pts)Soit
2)
~
1)
2)
3)
4)
5)
)
cie
n
Exercice 02 : (05 pts) On considère la fonction
/
ce
s
5. Calculer la valeur du nombre complexe .
, donner les solutions sous formes
de
sS
Page Facebook "Sciences Tlemcen"
4. En déduire la valeur de
(U
AB
T)
20
17
~
« L’usage de la calculatrice est strictement interdit »
(
(
)
)
,et que ( )
est décroissante.
converge, puis calculer sa limite.
définie par
( )
em
ièr
eL
Exercice 04 : (05 pts) Soit l’application
Pr
1)
est-elle injective ? surjective ? justifier.
-.
2) Montrer que ( ) ,
3) On considère l’application :
Montrer que
,
est bijective.
- ,
( )
( )
.
Corrigé
Exercice 01 : (05 pts)
1.
.(0.25 pt)
+(les racines de l’unité)(0.5 pt)
(
)
(U
AB
T)
20
17
~
√
√
{
(
2.
)
(0.25 pt)
(
)
, -
(
)
Exercice 02 : (05 pts)
:
(
)
(
)
(
)
, ce qui signifie que f est continue sur
.
/
(
ièr
(
em
Pr
( )
( )
/
( ) et f est continue en 0 (0.75 pt).
)
(
3) Dérivabilité en 0 :
(0.75 pt)
.
)
) et de la fonction logarithme qui est
dérivable aussi (0.5 pt), donc f est dérivable et sa dérivée :
( )
(
)
.
)
ce
s
)
, f est la composée de la fonction dérivable (
eL
2) Sur
( )
MD
D’où
SM
( )
/S
T
Si
).
)
/ Qui est la composée de la fonction continue : {
(S
.
fonction continue {
(
2)
~
:
, on a ( )
Si
) (
(
lté
, -
(
)
de
sS
(
)
(0.5 pt)
cie
n
)
1) Etude de la continuité de
(
Fa
cu
Page Facebook "Sciences Tlemcen"
√
(
)
( )
Comme
/
(
(
On a z est solution de l’équation
3. D’après ce qui précède, on a
4. On a
5. .
20
18
*
Ce qui signifie :
D’où :
/
Donc la fonction est dérivable en 0 et
)
.
( )
(01 pt)
/
et de la
(
( )
4)
(
)
(
)(
)
)
(
(
)
(
)
)
Sur
continues) (0.25 pt).
( )
En 0, on a
(
( )
, la fonction
)
(
est continue ( car c’est la composée de fonctions
)
(U
AB
T)
20
17
~
20
18
5) D’après la 2ème et la 3ème question, la fonction est dérivable sur l’ensemble des réels (0.25 pt), en
plus :
( ) donc la fonction dérivée est continue en 0 (0.25 pt)
La fonction est dérivable sur
et sa dérivée est continue sur , donc elle est de classe
Exercice 03 : (05 pts) Soit
, on définit la suite (
)
(
)
/
.
de
sS
(01 pt)
b) Pour tout entier n :
((
)
Comme (
√ )
√ ,
D’où
)
(
(
√ )(
)
(
)
)
(
(S
(
(
{
(
SM
)
√ )
ce qui signifie que la suite est minorée par la valeur √
3. Pour tout entier n :
(
√ )
√
2)
~
(
Fa
cu
2. D’après la question précédente, on a
)
lté
(
donc forcément
cie
n
.
ce
s
1. a) Montrons par récurrence que
:
On a
et la propriété est vérifiée pour n=0. Supposons que
/S
T
Page Facebook "Sciences Tlemcen"
{
( ).(0.25 pt)
(
)(
(0.75 pt).
)
)
√ )(
)
)
em
ièr
eL
MD
est décroissante (0.25 pt).
4. La suite est décroissante et minorée donc convergente (0.75 pt), noterons
.
/
(
)
(
)
√ (0.5 pt)
Par unicité de la limite et comme les termes de la suite sont strictement positifs, alors
Pr
.
√ (0.25 pt)
Exercice 04 : (05 pts)
. /.(01 pt)
( )
(
)
( )
em
ièr
eL
MD
SM
/S
T
(S
2)
~
Fa
cu
lté
de
sS
cie
n
ce
s
- (01 pt)
D’où ( ) ,
3) L’application g ainsi définie est continue et strictement croissante (01 pt), en plus
(,
-) ,
-(
) donc g est bijective (0.5 pt).
Pr
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-
, n’ont pas
(U
AB
T)
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~
,
L’application n’est pas surjective car les valeurs appartenant à d’antécédents.(01 pt)
2) La fonction f est définie, continue et dérivable sur l’ensemble des réels :
20
18
1) L’application n’est pas injective car ( )
Sur le même sujet..
definie
exercice
deduire
fonction
montrer
facebook
calculer
derivee
tlemcen
application
sciences
suite
continue
ensemble
derivable