Ratt+Corrigé Maths1 SM 17 18 .pdf


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20
18

A.U 2017-2018
21/06/2018
1h 30mn

(U
AB
T)
20
17
~

Universit´
e Abou Bekr Belkaid
Facult´
e des Sciences
Tronc Commun SM

Rattrapage (Maths1)

(L’usage de la calculatrice est interdit)

Exercice 1:(6pts) Montrer que

∀n ∈ N : 5 + 8 + 11 + · · · + (5 + 3n) = 5(n + 1) +

3n(n + 1)
.
2

2+x
3−x

cie
n

f (x) =

ce
s

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Exercice 2:(7pts) Soit f une fonction d´efinie de R\{3} dans R par:

2. Montrer que f est injective.

de
sS

1. Soit y un r´eel fix´e. R´esoudre l’´equation y = f (x). f est-elle surjective?

ac
u

Exercice 3:(7pts) Soit

lté

3. Montrer que la restriction g : R\{3} → R\{−1} est une bijection et d´eterminer
son application r´eciproque not´ee g −1 .

x2 − 4
x2 − x − 2

~F

h(x) =

.

(S

1)

1. D´eterminer le domaine de d´efinition de h.
2. Calculer lim h(x). Peut-t-on prolonger h par continuit´e en 2?

T

x→2

Pr

em

ièr
eL
MD

SM

/S

3. Calculer l’int´egrale ind´efinie suivante
Z

x2 + 4x + 7
dx
x2 + 4x + 5

Bon courage

20
18

A.U 2017-2018
21/06/2018
1h 30mn

(U
AB
T)
20
17
~

Universit´
e Abou Bekr Belkaid
Facult´
e des Sciences
Tronc Commun SM

Rattrapage (Maths1)

(L’usage de la calculatrice est interdit)

Exercice 1: Montrons par r´ecurrence que

∀n ∈ N : 5 + 8 + 11 + · · · + (5 + 3n) = 5(n + 1) +

3n(n + 1)
.
2

• Pour n = 0 : 5 = 5; l’´egalit´e est vraie pour n = 0.(01)

n+1
X

n
X

k=0

k=0

(5 + 3k) + (5 + 3n + 3)(0.5 + 0.5)

de
sS

(5 + 3k) =

cie
n

ce
s

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• Supposons que l’´egalit´e est vraie pour n fix´e et montrons qu’elle est vraie pour
n+1
X
3(n + 1)(n + 2)
n + 1(0.5). c-`a-d montrons que
(5 + 3k) = 5(n + 2) +
(0.5)
2
k=0
On a :

3n(n + 1)
+ (8 + 3n)(01)
2
3n(n + 1)
= 5(n + 2) + 3(n + 1) +
2
6(n + 1) + 3n(n + 1)
= 5(n + 2) +
2
(n + 1)(6 + 3n)
= 5(n + 2) +
2
3(n + 1)(n + 2)
= 5(n + 2) +
(01)
2

(S

1)
~

Fa
cu

lté

= 5(n + 1) +

Conclusion: ∀n ∈ N : 5 + 8 + 11 + · · · + (5 + 3n) = 5(n + 1) +

3n(n+1)
.(01)
2

SM

/S
T

Exercice 2:(5pts) Soit f une fonction d´efinie de R\{3} dans R par:
f (x) =

2+x
3−x

MD

1. Soit y un r´eel fix´e. y = f (x) ⇐⇒ y =

2+x
3−x

(0.5)

⇐⇒ 3y − 2 = x(y + 1)

2. f est injective ⇐⇒ ∀x1 , x2 ∈ R\{3}; f (x1 ) = f (x2 ) =⇒ x1 = x2 .(0.25)
∀x1 , x2 ∈ R\{3} : f (x1 ) = f (x2 ) ⇐⇒

2 + x1
2 + x2
=
3 − x1
3 − x2

(0.5)

⇐⇒ (2 + x1 )(3 − x2 ) = (3 − x1 )(2 + x2 )

Pr

em

ièr

eL

– Si y = −1 l’´equation n’admet pas de solutions.(0.75)
.(01) f n’est pas surjective(0.5) car y = −1 n’admet
– Si y 6= −1; x = 3y−2
1+y
pas d’ant´ec´edants.(0.5)

(0.5)

⇐⇒ 5(x1 − x2 ) = 0 =⇒ x1 = x2 .
1

3y − 2
(01)
1+y

(U
AB
T)
20
17
~

∀y ∈ R\{−1}, ∃!x ∈ R\{3} o`
ux=

et g −1 est d´efinie de R\{−1} dans R\{3}(0.5) par: g −1 (x) =
Exercice 3:(7pts) Soit
h(x) =

x2 − 4
x2 − x − 2

.

20
18

3. g : R\{3} → R\{−1} est une bijection(0.5) car

3x−2
(0.5)
1+x

ce
s

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1. Dh = {x ∈ R; x2 − x − 2 6= 0}.(0.25) On r´esoud l’´equation x2 − x − 2 = 0
on obtient x1 = −1, x2 = 2. Donc Dh = R\{−1, 2}.(01)
(0.5)
(x − 2)(x + 2) (01)
= 4/3 =
6
∞. Par cons´equent on peut
x→2
x→2 (x − 2)(x + 1)
prolonger h par continuit´e en 2.(01)

cie
n

2. lim h(x) = lim

de
sS

3.

x2 + 4x + 7 (01) Z x2 + 4x + 5
2
(0.5)
dx =
+ 2
dx =
2
2
x + 4x + 5
x + 4x + 5 x + 4x + 5
Z
2
(0.5)+(01)+(0.25)
1+
dx
=
x + 2 arctan(x + 2) + C.
(x + 2)2 + 1

Fa
cu

lté

Z

Pr

em

ièr

eL

MD

SM

/S
T

(S

1)
~

Bon courage

2


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