Denombrement et Probabilité .pdf



Nom original: Denombrement et Probabilité.pdfAuteur: Issa Moussa Coul

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DENOMBREMENT-PROBABILITE

DENOMBREMENT:
Comment appelle t- on cardinal d’un
Le cardinal d’un ensemble est le nombre d’éléments de cet ensemble , il est noté Card.
Exemple : Soit 𝐸 = {0,1; 2; 5; 6} => 𝐶𝑎𝑟𝑑 𝐸 = 5

Le cardinal de l’intersection, de la réunion et du complément
-L’intersection deux ensembles finis E et F est noté : 𝐸𝛬𝑭 constitué des éléments
communs à E et à F
- La réunion de deux ensembles finis E et F est noté : 𝐸𝘜𝑭 constitué des éléments
appartenant à E ou à F.
On retient que : 𝑪𝒂𝒓𝒅 𝑨𝙣𝑩 = 𝑪𝒂𝒓𝒅 𝑨 + 𝑪𝒂𝒓𝒅𝑩 − 𝑪𝒂𝒓𝒅 𝑨𝙐𝑩
- Le complément d’un ensemble A dans un ensemble E tel que A est une partie de E,
est l’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à A, il est noté 𝐴̅ 𝑜𝑢 𝐶𝐸𝐴 .
Donc on retient que : 𝐶𝑎𝑟𝑑 𝐴̅ = 𝐶𝑎𝑟𝑑 𝐸 − 𝐶𝑎𝑟𝑑 𝐴
Exemple :
Dans une classe de 30 élèves.
15 étudient le Bambara et 18 étudient le Songhoi. Sachant que chaque élève étudie au
moins l’une des deux langues, déterminer le nombre d’élèves qui étudient :
1 . Le Bambara et le Songhoi à la fois ;
2.Le Bambara seulement ;
3.Le Songhoi seulement.
Réponses :

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Soit B l’ ensemble des élèves qui étudient le Bambara et S celui des élèves qui
étudient le Songhoi => Card.B=15 et Card.S=18.
Chaque élève étudie au moins l’une des deux langues => 𝐶𝑎𝑟𝑑 𝐵𝘜𝑆 = 30
1. Le nombre d’élève qui étudie le Bambara et le Songhoi à la fois :
𝐶𝑎𝑟𝑑 𝐵𝘯𝑆 = 𝐶𝑎𝑟𝑑 𝐵 + 𝐶𝑎𝑟𝑑 𝑆 − 𝐶𝑎𝑟𝑑 𝐵𝘜𝑆 = 15 + 18 − 30 = 3.
2. Le nombre d’élève qui étudie le Bambara seulement
Card 𝐵𝑆𝑒𝑢𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 =Card B- 𝐶𝑎𝑟𝑑 𝐵𝘯𝑆=15-3=12.
3. Card 𝑆𝑆𝑒𝑢𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 =Card S- 𝐶𝑎𝑟𝑑 𝐵𝘯𝑆 = 18 − 3 = 15

Comment compter le nombre de tirages
successifs, avec remise ?
Activité
Une urne contenant n jetons numérotés dont on extrait p jetons, en
remettant après chaque tirage le jeton tiré dans l'urne. Combien de résultats
différents peut-on obtenir lors de cette expérience ?
Synthèse :
• On peut fabriquer un arbre ou simplement tenir le raisonnement suivant :
pour le 1er jeton, on a n possibilités ;
pour le 2e jeton, on a n possibilités ; ... ;
pour le pe jeton, on a n possibilités.
• On en déduit que le nombre de résultats possibles est :

On l’appelle le nombre de P uplet
Evaluation :
On considère l’ensemble 𝐸 = {0; 1; 2; 3; 4; 5.6} ; déterminer le nombre de code de 5
chiffres distincts ou non que l’on peut obtenir à l’aide des éléments de E.
Réponse :
𝐸 = {0; 1; 2; 3; 4; 5.6} => 𝐶𝑎𝑟𝑑 𝐸 = 7 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑛 = 7
Le code est de 5 chiffres => 𝑝 = 5 ; donc le nombre de code de 5 chiffres distincts ou
non que l’on peut obtenir à l’aide des éléments de E est : 𝑛𝑝 = 75 = 16807

Comment compter le nombre de tirages
successifs, sans remise ?
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Activité :
Une urne contenant n jetons numérotés dont on extrait p jetons
, en
conservant le jeton après chaque tirage. Combien de résultats différents peut-on
obtenir lors de cette expérience ?
Synthèse :
Là encore, on peut fabriquer un arbre ou recommencer notre raisonnement :
pour
le
1er jeton,
on
a n possibilités ;
pour
le
2e jeton,
on
an−1
possibilités ;
... ;
pour le pe jeton, on a n − p + 1 possibilités.


On

en

déduit

que

le

nombre

de

résultats

possibles

est :

On l’appelle nombre arrangements de p élèments dans un ensemble a n élèments.
𝑛!
On le note 𝐴𝑝𝑛 tels 𝐴𝑝𝑛 = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) … (𝑛 − 𝑝 + 1) = (𝑛−𝑝)! avec
𝑛! = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) × … × 2
Evaluation:
Dix élèves participent à un concours de mathématiques, qui a attibue un prémier prix ,
un second prix et un troisième prix.
Quel est le nombre de résultats possible sachant qu’il n’y a pas d’ex aequo ?
Réponse :
Le nombre de participant est 10 => 𝑛 = 10 ; le nombre de prix est 3 => 𝑝 = 3.
Il n’y a pas d’ex aequo donc pas de répétution ; il y a un classement donc le nombre de
3
résultats possible de ce concours est : 𝐴10
= 10 × 9 × 8 = 720
Cas particulier

Si l'on fait n tirages sans remise dans l'urne et que l'on vide l'urne, alors le nombre de
résultats possibles est n!. C'est aussi le nombre de façons de ranger n objets les uns par
rapport aux autres. On l’appelle le nombre de permutations .
Evaluation
Déterminer le nombre d’anagramme du mot ‘’ MALI’’
Réponse :
Le nombre d’anagramme d’un mot est le nombre de mots de même longueur que l’on
peut écrire à l’aide des élément qui composent ce mot ,donc il y’ a permutation des
éléments de ce mot.
Le mot MALI est composé de 4 lettres tous distincts , donc il y’a permutations de ces
quatre lettres , alors le nombre d’anagramme du mot ‘’ MALI’’ est 4 != 24

Comment compter le nombre de tirages
simultanés
? O Maïga
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Si l'on extrait p jetons simultanément (c'est-à-dire sans ordre ni répétition) de
l'urne contenant n jetons numérotés, le nombre de tirages possibles ou nombre de
combinaisons, on le note 𝐶𝑛𝑝 tels que :
𝑛!
𝐶𝑛𝑝 =
(𝑛 − 𝑝)! 𝑝!
Évaluation :
Une classe 20 élèves veut former un comité de 4 élèves , déterminer le nombre de
comités possible.
Réponse :
Le nombre d’élèves de la classe est 20 => 𝑛 = 20, le nombre d’élèves du comité est 4
=> 𝑝 = 4. Un seul élève ne peut pas prendre la place de deux élèves dans le comité
donc il n’y a pas de répétition , les quatre élèves ne sont pas classés donc pas d’ordre .
En conclusion les quatre sont choisis simultanément donc le nombre de comités
20!
4
possible est : 𝐶20
= (20−4)!4! = 4845
A retenir
On retient les propriétés suivantes :
𝐴0𝑛 = 1; 𝐴𝑛𝑛 = 𝑛! ; 𝐶𝑛0 = 1; 𝐶𝑛1 = 𝑛

Comment développer (a + b)n ?
• Les propriétés des combinaisons sont les suivantes :
𝑝−1
𝑝
𝐶𝑛𝑛−𝑝 = 𝐶𝑝𝑛 ; 𝐶𝑛−1
+ 𝐶𝑛−1
= 𝐶𝑛𝑝
La dernière propriété permet d'établir le triangle de Pascal qui, de proche en proche,
donne les valeurs des nombres 𝐶𝑛𝑝
• Connaissant ces nombres, on peut développer (a + b)n à l'aide du binôme de
Newton : (a + b)n = ∑𝑛𝑝=0 𝐶𝑛𝑝 𝑎𝑝 𝑏 𝑛−𝑝
Exemple :
(𝑎 + 𝑏)4 = 𝐶40 𝑎4 + 𝐶41 𝑎3 𝑏 + 𝐶42 𝑎2 𝑏 2 + 𝐶43 𝑎𝑏 3 + 𝐶44 𝑏 4
= 𝑎4 + 4𝑎3 𝑏 + 6𝑎2 𝑏 2 + 4𝑎𝑏 3 + 𝑏 4

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PROBABILITE :
Comment définir et calculer une probabilité ?
• À partir d'une expérience aléatoire E, on définit l'univers Ω = {ω1, ω2, …, ωn}, c'està-dire l'ensemble des résultats possibles de l'expérience. Les ωi sont également
appelés événements élémentaires. Un événement est une partie quelconque de Ω.
Définir une probabilité sur E, c'est associer à chacun des résultats possibles ωi un

nombre P(ωi), tel que :


On

peut

déterminer

– soit statistiquement :
répétitions
de E ;
on
:

a

les
alors

nombres

de

deux

façons :

, lors d'un grand nombre de
pour
un
événement A quelconque

;

– soit par hypothèse d'équiprobabilité :
pour un événement A quelconque :
𝑵𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔
𝑪𝒂𝒓𝒅 𝑨
𝑷(𝑨) = 𝑵𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔 = 𝑪𝒂𝒓𝒅 𝝎.

; on a alors

Exemple :
Une urne contient 3 boules noires, 2 boules rouges et 4 boules blanches indiscernables
au toucher. On tire successivement sans remise trois boules de l’urne.
Calculer la probabilité d’ obtenir exactement 2 boules blanches.
Réponse :

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Soit 𝜔 l’univers associé à cette expérience ,l’urne contient 10 boules et on doit tirer
successivement sans remise 3 boules=> 𝐶𝑎𝑟𝑑 𝜔 = 𝐴39 = 504.
Soit A l’évènement << tirer exactement deux boules blanches >> , il y’ a 5 boules
blanches, donc on doit tirer 2 parmi les 4 boules blanches et une seule boule parmi les
autres boules qui ne sont pas blanches. Alors 𝐶𝑎𝑟𝑑 𝐴 = 𝐴24 × 𝐴15 = 60
La probabilité d’ obtenir exactement 2 boules blanches est :
𝑪𝒂𝒓𝒅 𝑨
𝟔𝟎
𝑷(𝑨) = 𝑪𝒂𝒓𝒅 𝝎 = 𝟓𝟎𝟒=0,119

Quelques formules en probabilité
On retient les propriétés suivantes :
l'aide des propriétés suivantes :

(événement impossible) ;
(événement certain) ;
– soit A et B deux événements incompatibles, c'est-à-dire tels
que
:
– soit A un événement quelconque et

;
l'événement

contraire :
;
– soit A et B deux événements
quelconques :

;

– soit A et B deux événements quelconques avec

alors :

Exemple :
Une urne contient 50 jetons de formes et de couleurs différentes.
20 jetons sont ronds , 30 sont verts, 12 sont à la fois ronds et verts. On tire au hasard
un jeton de l’urne. Quel est la probabilité pour que ce jeton soit rond ou vert.
Réponses:
Soit R le jeton est rond , V le jeton est vert
𝑃(𝑅) =

20
30
12
; 𝑃(𝑉) =
𝑒𝑡 𝑃(𝑅 ∩ 𝑉) =
50
50
50

La probabilité pour que ce jeton soit rond ou vert est :
20 30 12 𝟑𝟖
𝑃(𝑅 ∪ 𝑉) = 𝑃(𝑅) + 𝑃(𝑉) − 𝑃(𝑅 ∩ 𝑉) =
+

=
50 50 50 𝟓𝟎

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