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Exercices Suites .pdf



Nom original: Exercices-Suites.pdf
Auteur: Issa Moussa Coul

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Exercices

Exercice 1 :
1°)Soit (𝑉𝑛 )𝑛𝜖𝐼𝑁 une suite arithmétique telle que 𝑉10 = 22 𝑒𝑡 𝑉5 = 2.
Déterminer la raison et le 1er terme.
2°)Soit (𝑈𝑛 )𝑛𝜖𝐼𝑁 une suite géométrique 𝑈10 = 10 𝑒𝑡 𝑈9 = 5
Déterminer la raison et le 1er terme
Exercice 2 :
Dans chacun des cas suivants , donner le sens de variation de la suite (Un).
a) Un = 2n – 3

b) Un = 3−𝑛

c) Un =

2𝑛+3
𝑛+1

Exercice 3 :
Soit (𝑈𝑛 ) 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 définie par :

𝑈0 = 1
2𝑈𝑛
{
∀ 𝑛 ∈ 𝐼𝑁, 𝑈𝑛+1 =
𝑈𝑛 + 2

1-Calculer 𝑈1 𝑒𝑡 𝑈2
2-On considère la suite 𝑉𝑛 =

1
𝑈𝑛

pour tout 𝑛 ∈ 𝐼𝑁

Démontrer que (𝑉𝑛 ) est une suite arithmétique .
3- Exprimer 𝑉𝑛 en fonction de 𝑛
4- En déduire l’ expression de 𝑈𝑛 en fonction de 𝑛 .
Exercice 4 :
Soit (𝑈𝑛 ) 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 définie par :

𝑈0 = 1
2𝑈𝑛 − 1
{
∀ 𝑛 ∈ 𝐼𝑁, 𝑈𝑛+1 =
2𝑈𝑛 + 5

1-Calculer 𝑈1 𝑒𝑡 𝑈2
2𝑈 +1
2-On considère la suite 𝑉𝑛 = 𝑛 pour tout 𝑛 ∈ 𝐼𝑁
𝑈𝑛 +1

Démontrer que (𝑉𝑛 ) est une suite géométrique .
3- Exprimer 𝑉𝑛 en fonction de 𝑛
4- En déduire l’ expression de 𝑈𝑛 en fonction de 𝑛 .
5.Etudier la convergence de 𝑈𝑛 𝑒𝑡 𝑉𝑛
Exercice 5 :
Soit (𝑡𝑛)𝑛∊𝐼𝑁 la suite definie par : 𝑡𝑛=
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1
√𝑛+1+√𝑛

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1. Montrer que 𝑡𝑛= √𝑛+1 − √𝑛
2. Calculer les 4 premiers termes de (𝑡𝑛)
3.En déduire la somme : 𝑡0 + 𝑡1 + ⋯ … … … … … … … 𝑡24 .
Exercice 6 :
Soit (𝑉𝑛)𝑛≥1 la suite définie par 𝑉𝑛= 22𝑛+1−4𝑛 .
1. Calculer les trois premiers termes de (𝑉𝑛)
2.𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑛 ≥ 1 𝑜𝑛 𝑎 :
𝑉𝑛= 22𝑛
3.. 𝐸𝑛 𝑑𝑒𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 (𝑉𝑛 ) est géométrique dont on précisera la raison.
4.𝐸𝑡𝑢𝑑𝑖𝑒𝑟 𝑙𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 (𝑉𝑛)
5.On pose pour tout n≥ 1 𝑈𝑛=2𝑛
a. Montrer que 𝑈𝑛 est arithmétique et calculer la somme 𝑈1 + 𝑈2 + ⋯ + 𝑈𝑛 en
fonction de n.
b. En déduire le produit V1× 𝑉 2× … × Vn- 1× 𝑉 n en fonction de n.
Exercice 7 :
Démontrer par récurrence que :
𝑛2 (𝑛+1)2

3
1. ∀ 𝑛 ∈ 𝐼𝑁: ∑𝑘=𝑛
𝑘=1 𝑘 =
4
2. ∀ 𝑛 ∈ 𝐼𝑁: 𝑛3 − 𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑎𝑟 3

.

Exercice 8 :
L’élection présidentielle au Gondwana oppose 𝑛 candidats au premier tour.
Chacun d’eux réunit exactement deux fois plus de voix que son suivant immédiat.
Pour tout entier naturel 𝑘 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑘 ∈ [1; 𝑛] ; on désigne par 𝑣𝑘 , le nombre de voix
obtenues par le candidat placé au 𝑘 𝑖é𝑚𝑒 rang.
1-a)Démontrer que (𝑣𝑘 ) est une suite géométrique et exprimer
𝑣𝑘 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑘 𝑒𝑡 𝑑𝑒 𝑣1 .
5- Calculer , en fonction de 𝑛 𝑒𝑡 𝑑𝑒 𝑣1 , le nombre total de voix réunies par les
𝑛 candidats.
2-Au Gondwana ,pour être élu au premier tour, un candidat doit obtenir plus de la
moitié des suffrages exprimés. Un second tour est–il nécessaire ?
3-Déterminer le nombre de candidats à cette élection sachant qu’il y a
945 votants et le candidat élu obtient 480 voix.
Exercice 9 :
On ajoute une certaine dose d’un antibiotique à un bouillon de culture contenant
des microbes sensibles à cet antibiotique. On constate que le nombre de
microbes vivants dans le bouillon diminue de 30% par heure.
1-Sachant qu’ à 5 heures le bouillon contenait N microbes ; calculer le nombre de
microbes vivants aux heures suivantes : 6h ; 7h ;8h.
2. Montrer que ces nombres sont en progression géométrique de raison q que l’
on précisera.
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3. Calculer pour un entier positif 𝑛la somme 𝑆𝑛 des 𝑛 premiers termes de cette
progression.
4 . En déduire le nombre total de microbes vivants dans le bouillon de 5h à 23h.

Exercice 10 :
On se propose de choisir entre les deux contrats d’embauche suivant
commençant le 1er janvier 2014
Contrat 1 : le salaire mensuel est 100.000 Fcfa pendant la première année et
augmente de 15.000 Fcfa au 1er janvier de chaque année.
Contrat 2 : le salaire mensuel est 100.000Fcfa pendant la première année et
augmente de 12% au 1er janvier de chaque année.
1 .On désigne par 𝑀𝑛 le salaire mensuel au cours de la nieme années pour le
contrat1 et 𝐾𝑛 celui du contrat2. Exprimer 𝑀𝑛 en fonction de 𝑛, puis 𝐾𝑛 en
fonction de 𝑛
2 .Que sera le salaire mensuel en 2030 pour chacun des contrats ?
Exercice 11 :
Au grand marché de Bamako ; le prix d’une nouvelle moto Djakarta diminue
chaque année de 5% , On suppose que ce taux reste constant . Une nouvelle moto
a été acheté en 2010 ; elle coûtait 370.000 Fcfa.
1 .Quel est son prix en 2011 , en 2012 au grand marché de Bamako.
2 .On désigne par 𝑃𝑛 le prix d’une nouvelle moto Djakarta en l’an (2010+ 𝑛 )
a .Montre que 𝑃𝑛 est une suite géométrique dont préciser la raison.
B .Exprimer 𝑃𝑛 en fonction de 𝑛
2 . En déduire le prix de la moto en 2020
Exercice 12 :
Un homme veut vendre sa maison qui comporte 30 marches. L’acheteur doit payer 10 F pour
la première marche , 20 F pour la deuxième marche, 40 F pour la troisième marche, ainsi de
suite , en doublant chaque fois la dernière marche.
Soit 𝑈𝑛 la suite modélisant le prix de la 𝑛 𝑖è𝑚𝑒 marche
1.Déterminer la nature et les caractéristiques de la suite 𝑈𝑛 .
2.Déterminer le prix de vente de cette maison.
Exercice 13 :
Trouver une progression géométrique de 5 termes tels que la somme des termes de rangs pair
soit 30 et celle des rang impair 91.
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Exercice 14 :
Soit (𝑈𝑛 ) 𝑛 ∈ 𝐼𝑁 ∗ la suite de terme général :

𝑈𝑛 = √1 + √1 + ⋯ √1 + √1
( L’expression comporte n radicaux ).
1 . Calculer 𝑈1 , 𝑈2 𝑒𝑡 𝑈3
2.Conjecturer une expression de 𝑈𝑛 𝑒𝑡 𝑈𝑛−1 .
3.Endéduire le sens de variation de cette suite.
Exercice 15 :
Soit 𝑈𝑛 la suite définie par :
𝑈0 = 2 𝑒𝑡 ∀ 𝑛 ∈ 𝐼𝑁; 𝑈𝑛+1 = 3𝑈𝑛 − 𝑛2 + 𝑛.
1.Déterminer un polynôme de degré 2 tel que la suite de terme général 𝐴𝑛 = 𝑃(𝑛)
vérifie la relation de récurrence précédente.
2. Démontrer que la suite de terme général 𝑉𝑛 = 𝑈𝑛 − 𝐴𝑛 est une suite géométrique.
3.Exprimer 𝑉𝑛 , 𝑝𝑢𝑖𝑠 𝑈𝑛 en fonction de 𝑛.

Corrections des Exercices

Solution Exercice 1 :

1°)Soit (𝑉𝑛 )𝑛𝜖𝐼𝑁 une suite arithmétique telle que 𝑉10 = 22 𝑒𝑡 𝑉5 = 2.
Déterminons la raison et le 1er terme.
𝑉10 − 𝑉5
𝑉𝑛 = 𝑉𝑎 + (𝑛 − 𝑎)𝑟 => 𝑉10 = 𝑉5 + (10 − 5)𝑟 => 𝑉10 = 𝑉5 + 5𝑟 => 𝑟 =
5
22 − 2
=> 𝑟 =
=𝟒
5
2°)Soit (𝑈𝑛 )𝑛𝜖𝐼𝑁 une suite géométrique 𝑈10 = 10 𝑒𝑡 𝑈9 = 5
Déterminons la raison et le 1er terme :
𝑈10
𝑈𝑛 = 𝑈𝑎 × 𝑞𝑛−𝑎 => 𝑈10 = 𝑈9 × 𝑞10−9 => 𝑈10 = 𝑈9 × 𝑞 => 𝑞 =
=𝟐
𝑈9
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Solution Exercice 2 :
Dans chacun des cas suivants , donnons le sens de variation de la suite (Un).
a) Un = 2n – 3 => 𝑈𝑛+1 = 2(𝑛 + 1) − 3 = 2𝑛 − 1 => 𝑈𝑛+1 − 𝑈𝑛 = 2𝑛 − 1 − (2𝑛 + 3) = 2 > 0
alors 𝑈𝑛 est strictement croissante.
b) Un = 3−𝑛 => 𝑈𝑛+1 = 3−𝑛−1 =>

𝑈𝑛+1
𝑈𝑛

=

3−𝑛−1
3−𝑛

1

= 3−1 = 3 < 1 alors la suite 𝑈𝑛 est strictement

décroissante.
c) Un =

2𝑛+3
𝑛+1

Posons𝑓(𝑛) = 𝑈𝑛 <=> 𝑓(𝑛) =

2𝑛+3
𝑛+1

=> 𝑓 ′ (𝑛) =

2(𝑛+1)−(2𝑛+1)
(𝑛+1)2

𝑈𝑛 est strictement croissante.

Solution Exercice 3 :
Soit (𝑈𝑛 ) 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 définie par :

𝑈0 = 1
2𝑈𝑛
{
∀ 𝑛 ∈ 𝐼𝑁, 𝑈𝑛+1 =
𝑈𝑛 + 2

1-Calculons 𝑈1 𝑒𝑡 𝑈2
2𝑈0
2
2
𝑈1 =
=
=
𝑈0 + 2 1 + 2 3
2
4
2( )
2𝑈1
4 1
3
𝑈2 =
=
=3= =
𝑈1 + 2 2 + 2 8 8 2
3
3
1
2-On considère la suite 𝑉𝑛 =
pour tout 𝑛 ∈ 𝐼𝑁
𝑈𝑛

Démontrons que (𝑉𝑛 ) est une suite arithmétique .
1
1
𝑈𝑛 + 2
𝑉𝑛+1 =
=
=
2𝑈𝑛
𝑈𝑛+1
2𝑈𝑛
𝑈𝑛 + 2
𝑈𝑛 + 2
1
𝑈𝑛 + 2 − 2
𝑈𝑛
1
𝑉𝑛+1 − 𝑉𝑛 =

=
=
=
2𝑈𝑛
𝑈𝑛
2𝑈𝑛
2𝑈𝑛 2
Alors (𝑉𝑛 ) est une suite arithmétique de raison ½
3- Exprimons 𝑉𝑛 en fonction de 𝑛
1
𝟏
𝒏+𝟐
𝑉𝑛 = 𝑉0 + 𝑛𝑟 𝑒𝑡 𝑉0 =
= 1 => 𝑽𝒏 = 𝟏 + 𝒏 =
𝑈0
𝟐
𝟐
4- En déduisons l’ expression de 𝑈𝑛 en fonction de 𝑛 .

𝑉𝑛 =

1
𝑈𝑛

=> 𝑈𝑛 =

1
1
𝟐
=
=
𝒏+𝟐 𝒏+𝟐
𝑉𝑛
𝟐

Solution Exercice 4 :
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1

= (𝑛+1)2 > 0 alors

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Soit (𝑈𝑛 ) 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 définie par :

𝑈0 = 1
2𝑈𝑛 − 1
{
∀ 𝑛 ∈ 𝐼𝑁, 𝑈𝑛+1 =
2𝑈𝑛 + 5

1-Calculons 𝑈1 𝑒𝑡 𝑈2
2𝑈0 − 1 2 − 1 2
𝑈1 =
=
=
2𝑈0 + 5 2 + 5 7
4
2𝑈1 − 1 7 − 1
3
1
𝑈2 =
=
=−
=−
2𝑈1 + 5 4 + 5
39
13
7
2𝑈 +1
2-On considère la suite 𝑉𝑛 = 𝑛 pour tout 𝑛 ∈ 𝐼𝑁
𝑈𝑛 +1

Démontrons que (𝑉𝑛 ) est une suite géométrique .
4𝑈𝑛 − 2
2𝑈𝑛 + 1
2𝑈𝑛+1 + 1 2𝑈𝑛 + 5 + 1 6𝑈𝑛 + 3
𝑉𝑛 =
=> 𝑉𝑛+1 =
=
=
𝑈𝑛 + 1
𝑈𝑛+1 + 1 2𝑈𝑛 − 1 + 1 4𝑈𝑛 + 4
2𝑈𝑛 + 5
6𝑈𝑛 + 3
3 2𝑈𝑛 + 1
×
𝑉𝑛+1 4𝑈𝑛 + 4
3
4 𝑈𝑛 + 1
=
=
=
2𝑈𝑛 + 1
2𝑈𝑛 + 1
𝑉𝑛
4
𝑈𝑛 + 1
𝑈𝑛 + 1
Alors (𝑉𝑛 ) est une suite géométrique .
3- Exprimons 𝑉𝑛 en fonction de 𝑛
3
2𝑈 +1
3
(𝑉𝑛 ) est une suite géométrique de raison et de premier terme 𝑉0 = 0 =
4

𝟑

𝑛

𝟑
( )𝒏
𝟒

𝑈0 +1

En appliquant la formule 𝑉𝑛 = 𝑉0 × 𝑞 alors on obtient 𝑽𝒏 = ×
𝟐
4- En déduire l’ expression de 𝑈𝑛 en fonction de 𝑛 .
2𝑈𝑛 + 1
𝑉𝑛 =
=> 𝑉𝑛 × (𝑈𝑛 + 1) = 2𝑈𝑛 + 1 => 𝑉𝑛 × 𝑈𝑛 − 2𝑈𝑛 = 1 − 𝑉𝑛 =>
𝑈𝑛 + 1
𝟑
𝟑 𝒏
1 − 𝑉𝑛 𝟏 − 𝟐 × (𝟒)
𝑈𝑛 =
=
𝑉𝑛 − 2 𝟑 × (𝟑)𝒏 − 𝟐
𝟐
𝟒
5.Etudions la convergence de 𝑈𝑛 𝑒𝑡 𝑉𝑛
lim 𝑉𝑛 =
+∞

𝟑
𝟑 𝒏
lim 𝟐 × (𝟒)
+∞

𝟑

𝟑 𝒏

𝟏−𝟐×(𝟒)

= 𝟎 et lim 𝑈𝑛 = lim 𝟑

𝒏
+∞ ×(𝟑) −𝟐
𝟐 𝟒

+∞

𝟏

= −𝟐
𝟏

Alors 𝑽𝒏 𝒆𝒕 𝑼𝒏 sont convergentes et convergent respectivement vers 𝟎 𝒆𝒕 𝟐
Solution Exercice 5 :

Soit (𝑡𝑛)𝑛∊𝐼𝑁 la suite definie par : 𝑡𝑛=
a. Montrons que 𝑡𝑛= √𝑛+1
𝑡

𝑛=

1
√𝑛+1+√𝑛

− √𝑛

1
√𝑛+1 − √𝑛
√𝑛+1 − √𝑛
=
=
= √𝑛+1 − √𝑛
𝑛+1−𝑛
√𝑛+1+√𝑛 (√𝑛+1+√𝑛 )( √𝑛+1 − √𝑛)

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2

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2.Calculons les 4 premiers termes de (𝑡𝑛)
𝑡0= √1 − √0=1 ;𝑡
,t2 =√3−√2 et t3 =√4−√3
1= √2 − √1

b. En déduisons la somme : 𝑡0 + 𝑡1 + ⋯ … … … … … … … 𝑡24 .
Posons 𝑆𝑛 = : 𝑡0 + 𝑡1 + ⋯ … … … … … … … 𝑡24 .=>
𝑆𝑛 = 1 + √2 − √1 + √3 − √2 + √4 − √3+……………………+√24 − √23 + √25 − √24
=√𝟐𝟓
Solution Exercice 6 :

Soit (𝑉𝑛)𝑛≥1 la suite définie par 𝑉𝑛= 22𝑛+1−4𝑛 .
1.Calculons les trois premiers termes de (𝑉𝑛)
𝑉0 = 1; 𝑉1 = 4 𝑒𝑡 𝑉3 = 16
2.𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑛𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑛 ≥ 1 𝑜𝑛 𝑎 :
𝑉𝑛= 22𝑛+1−4𝑛 .=22𝑛+1−22𝑛 = 22𝑛 (2 − 1) = 22𝑛
3.𝐸𝑛 𝑑𝑒𝑑𝑢𝑠𝑜𝑛𝑠 𝑞𝑢𝑒 (𝑉𝑛 ) est géométrique dont on précisera la raison.
𝑉𝑛+1 22(𝑛+1) 22𝑛+2
=
= 2𝑛 = 22 = 4
𝑉𝑛
22𝑛
2
Alors (𝑉𝑛 ) est géométrique de raison 4
4.. 𝐸𝑡𝑢𝑑𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑙𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 (𝑉𝑛)
𝑉𝑛+1
𝑉𝑛

= 4 > 1 alors 𝑉𝑛 est strictement croissante.

5.On pose pour tout n≥ 1 𝑈𝑛=2𝑛
a. Montrons que 𝑈𝑛 est arithmétique et calculons la somme 𝑈1 + 𝑈2 + ⋯ + 𝑈𝑛 en
fonction de n.
𝑈𝑛+1 − 𝑈𝑛 = 2𝑛 + 2 − 2𝑛 = 2 alors𝑈𝑛 est arithmétique
𝑈1+𝑈𝑛
𝑛(2+2𝑛)
)=
Posons :𝑆𝑛 = 𝑈1 + 𝑈2 + ⋯ + 𝑈𝑛 = 𝑛 (
= 𝑛(𝑛 + 1)
2

2

c. En déduisons le produit V1× 𝑉 2× … × Vn- 1× 𝑉 n en fonction de n.
Posons 𝑉𝑛 = 2𝑈𝑛
V1× 𝑉 2× … × Vn- 1× 𝑉 n =2𝑈1 × 2𝑈2 × … … … … … … .× 2𝑈𝑛 = 2𝑈1 +𝑈2+⋯+𝑈𝑛 = 𝟐𝒏(𝒏+𝟏)
Solution Exercice 7 :

Démontrons par récurrence que :
𝑛2 (𝑛+1)2

3
1.∀ 𝑛 ∈ 𝐼𝑁: ∑𝑘=𝑛
𝑘=1 𝑘 =
4
3
3
3
∑𝑘=𝑛
𝑘
=
1
+2
+
33 + ⋯ … … … … … … … . . +𝑛3
𝑘=1
12 (1 + 1)2
3
𝑠𝑖 𝑛 = 1 => 1 =
= 1 𝑣𝑟𝑎𝑖𝑒
4
22 (2 + 1)2
𝑆𝑖 𝑛 = 2 => 13 + 23 =
=> 9 = 9 𝑣𝑟𝑎𝑖𝑒
4
Supposons que la propriété est vraie jusqu’à l’ordre , c’est-à-dire :

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13 +23 + 33 + ⋯ … … … … … … … . . +𝑛3 =
est vraie pour 𝑛 + 1 c’est-à-dire :

𝑛2 (𝑛+1)2
4

13 +23 + 33 + ⋯ … … … … … … … . . +(𝑛 + 1)3 =

et montrons que la propriété

(𝑛+1)2 (𝑛+2)2
4

On a : 13 +23 + 33 + ⋯ … … … … … … … . +𝑛3 + (𝑛 + 1)3 =

Alors 13 +23 + 33 + ⋯ … … … … … … … . . +𝑛3 =

𝑛2 (𝑛+1)2

+ (𝑛 + 1)3
𝑛2 (𝑛 + 1)2 + 4(𝑛 + 1)3
=
4
(𝑛 + 1)2 (𝑛2 + 4𝑛 + 4)
=
4
(𝑛 + 1)2 (𝑛 + 2)2
=
𝑐𝑞𝑓𝑑
4
2
2
4

𝑛 (𝑛+1)
4

2.∀ 𝑛 ∈ 𝐼𝑁: 𝑛3 − 𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑎𝑟 3
𝑠𝑖 𝑛 = 0; 0 est divisible par 3
𝑠𝑖 𝑛 = 2; 𝑜𝑛 𝑎𝑢𝑟𝑎 6 et 6 est divisible par 3.
Supposons que 𝑛3 − 𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑎𝑟 3 et montrons que

(𝑛 + 1)3 − (𝑛 + 1) 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑎𝑟 3
(𝑛 + 1)3 − (𝑛 + 1) = 𝑛3 + 3𝑛2 + 3𝑛 + 1 − 𝑛 − 1 = 𝑛3 − 𝑛 + 3(𝑛2 + 𝑛)
𝑛3 − 𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑎𝑟 3 𝑒𝑡 3(𝑛2 + 𝑛) 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑎𝑟 3 alors
(𝑛 + 1)3 − (𝑛 + 1) 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑎𝑟 3
Solution Exercice 8 :

1-a)Démontrons que (𝑣𝑘 ) est une suite géométrique
Chacun d’eux réunit exactement deux fois plus de voix que son suivant immédiat.
=> 𝑣1 = 2𝑣2 ; 𝑣2 = 2𝑣3 => 𝑣𝑘 = 2𝑣𝑘+1 alors (𝑣𝑘 ) est une suite géométrique.
Exprimer 𝑣𝑘 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑘 𝑒𝑡 𝑑𝑒 𝑣1 .
1
𝑣𝑘 = 𝑣1 × (𝑞)𝑘−1 => 𝑣𝑘 = 𝑣1 × ( )𝑘−1
2
2.a)Calculons , en fonction de 𝑛 𝑒𝑡 𝑑𝑒 𝑣1 , le nombre total de voix réunies par les 𝑛
candidats.
Soit 𝑆𝑛 le nombre total de voix réunies par les 𝑛 candidats.
1
𝑣1 (( )𝑘 − 1)
𝑣1 (𝑞𝑘 − 1)
1 𝑘
2
𝑆𝑛 =
=> 𝑆𝑛 =
= 2𝑣1 (1 − ( ) )
1
𝑞−1
2
−1
2
b)Verifions que si un second tour est–il nécessaire
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pour être élu au premier tour, un candidat doit obtenir plus de la moitié des
suffrages exprimés=> 𝑣1 >
1 𝑘

𝑆𝑛

1 𝑘

2

1 𝑘

1 𝑘

2

2

=> 𝑣1 > 𝑣1 (1 − ( ) ) => 1 > (1 − ( ) =>

1 > 1 − ( ) => 0 > − ( ) toujours vraie alors un second tour n’est pas
2
2
nécessaire.
3-Déterminons le nombre de candidats
945 votants et le candidat élu obtient 480 voix.=> 𝑆𝑛 = 945 𝑒𝑡 𝑣1 = 480
1 𝑘
1 𝑘
1 𝑘
𝑆𝑛 = 2𝑣1 (1 − ( ) ) => 945 = 2 × 480 (1 − ( ) ) => 945 = 960 (1 − ( ) )
2
2
2
=>

945
960

1 𝑘

1 𝑘

15

2

2

960

= 1 − ( ) => ( ) =

<=>

1
2𝑘

15

=

960

=> 2𝑘 =

960
15

=> 2𝑘 = 64 =>

𝑘 = 6 alors il y’a 6 candidats.
Solution Exercice 9 :

1.Calculons le nombre de microbes vivants aux heures suivantes : 6h ; 7h ;8h.
le nombre de microbes vivants dans le bouillon diminue de 30% par heure.
Si à 5 heures le bouillon contenait N microbes alors :
30
-le nombre de microbes à 6h est :𝑁 (1 − ) = 0,7𝑁.
100

-le nombre de microbes à 7h est : 0,7𝑁 (1 −

30

) = 0,72 𝑁

100
30

-le nombre de microbes à 8h est : 0,72 𝑁 (1 −

100

) = 0,73 𝑁

2. Montrons que ces nombres sont en progression géométrique de raison q que l’
on précisera.
Notons 𝑈1 le nombre de microbes à 6H ; 𝑈2 le nombre de microbes à 7H ; 𝑈3 le
nombre de microbes à 8H et 𝑈𝑛 le nombre de microbes à (5 + 𝑛)H
𝑈0
𝑁
1
=
=
𝑈1 0,7𝑁 0,7
𝑈1
0,7𝑁
1
=
=
2
𝑈2 0,7 𝑁 0,7
𝑈2 0,72 𝑁
1
=
=
𝑈3 0,73 𝑁 0,7
Alors ces nombres sont en progression géométrique de raison 𝑞 =

1
0,7

3.Calculons pour un entier positif 𝑛la somme 𝑆𝑛 des 𝑛 premiers termes de cette
progression.
1
1
𝑁(1 − ( )𝑛+1 ) −0,7𝑁(1 − ( )𝑛+1 )
𝑉0 (1 − 𝑞𝑛+1 )
0,7
0,7
𝑆𝑛 =
=> 𝑆𝑛 =
=
1
1−𝑞
0,3
1−
0,7
4 . En déduisons le nombre total de microbes vivants dans le bouillon de 5h à 23h.

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Le nombre de termes de 5h à 23h est 19 ; alors le nombre total de microbes vivants dans

le bouillon de 5h à 23h est :
1 19
−0,7𝑁(1 − (0,7) )
𝑆=
0,3
Solution Exercice 11 :

1 .Le prix d’une moto Djakarta en 2011 , en 2012 au grand marché de Bamako.
Une nouvelle moto acheté en 2010 coûtait 370.000 Fcfa et le prix diminue
chaque année de 5% alors :
Le prix d’une moto Djakarta en 2011 est :
370.000 (1 −

5
100

) = 370.000 × 0,95 = 𝟑𝟓𝟏𝟓𝟎𝟎.

Le prix d’une moto Djakarta en 2011 est
351500 (1 −

5
) = 351500 × 0,95 = 𝟑𝟑𝟑𝟗𝟐𝟓
100

2 .On désigne par 𝑃𝑛 le prix d’une nouvelle moto Djakarta en l’an (2010+ 𝑛 )
a .Montrons que 𝑃𝑛 est une suite géométrique dont on précisera la raison.
𝑃1 = 𝑃0 × 0,95 ; 𝑃2 = 𝑃1 × 0,95 => 𝑃𝑛+1 = 𝑃𝑛 × 0,95 alors𝑃𝑛 est une suite
géométrique de raison 𝑞 = 0,95
b.Exprimons 𝑃𝑛 en fonction de 𝑛
𝑃𝑛 = 𝑃0 × 𝑞𝑛 = 𝟑𝟕𝟎𝟎𝟎𝟎 × 𝟎, 𝟗𝟓𝒏
2 En déduisons le prix de la moto en 2020
𝑃20 = 𝟑𝟕𝟎𝟎𝟎𝟎 × 𝟎, 𝟗𝟓𝟐𝟎 ≅ 𝟏𝟑𝟐𝟔𝟒𝟎

Solution Exercice 12 :
Soit 𝑈𝑛 la suite modélisant le prix de la 𝑛 𝑖è𝑚𝑒 marche
1.Déterminons la nature et les caractéristiques de la suite 𝑈𝑛 .
𝑈1 = 10; 𝑈2 = 20; 𝑈3 = 40; 𝑈4 = 2𝑈3 => 𝑈𝑛+1 = 2𝑈𝑛 alors 𝑈𝑛 est une suite géométrie de
raison 2
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2.Déterminons le prix de vente de cette maison.
Notons P le prix de la maison, alors :
𝑃 = 𝑈1 + 𝑈2 + ⋯ … … … … … … … … … … … … … . +𝑈30 =
𝑃=

𝑈1 (𝑞 𝑛 −1)
𝑞−1

..

10(230 − 1)
<=> 𝑃 = 10(230 − 1) = 𝟏𝟎𝟕𝟑𝟕𝟒𝟏𝟖𝟐𝟒𝟎𝑭
2−1

Solution Exercice 14 :

𝑈𝑛 = √1 + √1 + ⋯ √1 + √1
( L’expression comporte n radicaux ).
1 . Calculons 𝑈1 , 𝑈2 𝑒𝑡 𝑈3
𝑈1 = √1=1
𝑈2 = √1 + √1 = √2

𝑈3 = √1 + √1 + √1 = √1 + √2

2.Conjecturons une expression de 𝑈𝑛 𝑒𝑡 𝑈𝑛−1.
On a : 𝑈1 = √1 ;𝑈2 = √1 + √1 = √2 ;𝑈3 = √1 + √2 =>
𝑈1 = √1=1 ;𝑈2 = √1 + 𝑈1 ;𝑈3 = √1 + 𝑈2 => 𝑼𝒏 = √𝟏 + 𝑼𝒏−𝟏
3.Endéduisons le sens de variation de cette suite.
𝑈𝑛 = √1 + 𝑈𝑛−1 => 𝑼𝒏+𝟏 = √𝟏 + 𝑼𝒏 => 𝒂𝒍𝒐𝒓𝒔 𝑼𝒏 est strictement croissante.
Solution Exercice 15 :
Soit 𝑈𝑛 la suite définie par :
1.Déterminons un polynôme de degré 2 tel que la suite de terme général 𝐴𝑛 = 𝑃(𝑛)
Posons 𝐴𝑛 = 𝑎𝑛2 + 𝑏𝑛 + 𝑐
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𝐴𝑛 vérifie la relation de récurrence précédente.=> 𝐴𝑛+1 = 3𝐴𝑛 − 𝑛2 + 𝑛. <=>
𝑎(𝑛 + 1)2 + 𝑏(𝑛 + 1) + 𝑐 = 3(𝑎𝑛2 + 𝑏𝑛 + 𝑐) − 𝑛2 + 𝑛 =>
𝑎𝑛2 + (2𝑎 + 𝑏)𝑛 + 𝑎 + 𝑏 + 𝐶 = (3𝑎 − 1)𝑛2 + (3𝑏 + 1)𝑛 + 3𝐶
𝑎 = 3𝑎 − 1
1
1
Par identification :{2𝑎 + 𝑏 = 3𝑎 + 1 => 𝑎 = 2 ; 𝑏 = 0 𝑒𝑡 𝑐 = 4
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 3𝑐
=> 𝑨𝒏 =

𝟏 𝟐 𝟏
𝒏 +
𝟐
𝟒

2. Démontrons que la suite de terme général 𝑉𝑛 = 𝑈𝑛 − 𝐴𝑛 est une suite géométrique.
𝑉𝑛 = 𝑈𝑛 − 𝐴𝑛 => 𝑉𝑛+1 = 𝑈𝑛+1 − 𝐴𝑛+1 = 3𝑈𝑛 − 𝑛2 + 𝑛 − (3𝐴𝑛 − 𝑛2 + 𝑛) = 3(𝑈𝑛 − 𝐴𝑛 )
𝑉𝑛+1 3(𝑈𝑛 − 𝐴𝑛 )
=
=3
𝑉𝑛
𝑈𝑛 − 𝐴𝑛
Donc 𝑉𝑛 = 𝑈𝑛 − 𝐴𝑛 est une suite géométrique.
3.Exprimons 𝑉𝑛 , 𝑝𝑢𝑖𝑠 𝑈𝑛 en fonction de 𝑛.
𝑉𝑛 est une suite géométrique de raison 𝑞 = 3 et de premier terme
1

7

𝟕

𝑉0 = 𝑈0 − 𝐴0 = 2 − 4 = 4 => 𝑉𝑛 = 𝑉0 × 𝑞 𝑛 = 𝟒 × 𝟑𝒏
𝑉𝑛 = 𝑈𝑛 − 𝐴𝑛 => 𝑈𝑛 = 𝑉𝑛 + 𝐴𝑛 =

𝟕
𝟒

𝟏

𝟏

× 𝟑𝒏 +𝟐 𝒏𝟐 + 𝟒

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