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Nom original: Les Applications.pdfAuteur: Issa Moussa Coul

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Les Applications
Résumé :
1.Définition d’une application
Activité :
On considère la fonction f de A vers B et la fonction g de C vers D définies par :
𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 et 𝒈(𝒙) = 𝟐𝒙
On donne : A
B

C

2

16

3

4

4

36

6

D

9

1

32
2

2

4

4

8

5

12

7

15

Compléter à l’aide des flèches .
Synthèse :
On constate que pour la fonction f tous les éléments de l’ensemble de départ ont leurs
correspondants dans l’ensemble d’arrivée ; on dit que f est une application
Définition :
Soit A et B deux ensembles non vides ; On appelle application de A dans B ; toute relation de
A vers B ,qui chaque élément de A associe un et un seul élément de B
Remarque : Toute application est une fonction mais la réciproque n’est pas forcement vraie.

Comment vérifier si une fonction est
une application ?

𝑷𝒐𝒖𝒓 𝒗é𝒓𝒊𝒇𝒊𝒆𝒓 𝑞𝑢′ 𝑢𝑛𝑒𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑎𝑝𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛

; 𝑜𝑛 𝑑é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 𝑙 ′ 𝑒𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 si cet ensemble
𝑒𝑠𝑡 é𝑔𝑎𝑙 à 𝑙 ′ 𝑒𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑑é𝑝𝑎𝑟𝑡 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑎𝑝𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 ; dans le cas contraire 𝑓
n’est pas une application.
Évaluation :
Soit 𝑓 la fonction de 𝐼𝑅 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝐼𝑅 définie par : 𝑓(𝑥) =

2𝑥−1
𝑥−2

et 𝑔 la fonction de[1; +∞[ vers

𝐼𝑅 définie par : 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 1 .
𝑓 et 𝑔 sont –elles des applications ?
Réponses :
𝑓(𝑥) =

2𝑥 − 1
=> 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ 𝐼𝑅 ; 𝑥 − 2 ≠ 0} => 𝑥 ≠ 2 => 𝐷𝑓 = 𝐼𝑅 − {2}
𝑥−2

=>L’ensemble de départ est différent de l’ensemble de définition donc 𝑓 𝑓 n’est pas une
application.
𝑔𝐷𝑔 = {𝑥/𝑥 ∈ [1; +∞[ ; 𝑥𝑥 − 1 ≥ 0} => 𝑥 > 1 => 𝐷𝑔 = [1; +∞[.
=>L’ensemble de départ est le même que l’ensemble de définition donc 𝑔 est une application.
2. Applications particulières
a. Application injective :
Une application 𝑓 de l’ensemble A vers l’ensemble B est injective, si tout élément de B possède
0 ou 1 antécédent dans A par

Comment
démontrer
qu’une
application est injective ?

Pour démontrer qu’une application 𝑓 𝑑𝑒 𝐴 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝐵 est injective on peut appliquer les
méthodes suivantes :
1ère Méthode :
∀𝑥 𝑒𝑡 𝑥 ′ ∈ 𝐴; 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 ′ ) et on démontre que : 𝑥 = 𝑥′
2ère Méthode :
Soit 𝑦 ∈ 𝐵 et on montre que l’équation 𝑓(𝑥) = 𝑦 admet 0 ou 1 solution pour tout 𝑥 ∈ 𝐴
Évaluation :
Soit 𝑓 l’application de𝐼𝑅 𝐼𝑅 − {2} 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝐼𝑅 définie par :
2𝑥𝑥−1

𝑓(𝑥) = 𝑥𝑥−2 et 𝑔 l’application de IR vers 𝐼𝑅 définie par : 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 1 .
𝑓 et 𝑔 sont –elles injectives ?
Réponses :

1ère Méthode
Soit 𝑥 𝑒𝑡 𝑥 ′ ∈ 𝐼𝑅 − {2} tels que 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 ′ ) =>

2𝑥−1 2𝑥 ′ −1
𝑥−2

=

𝑥 ′ −2

=>

(2𝑥 − 1)(𝑥 ′ − 2) = (2𝑥 ′ − 1)(𝑥 − 2) => 2𝑥𝑥 ′ − 4𝑥 − 𝑥 ′ + 2 = 2𝑥 ′ 𝑥 − 4𝑥 ′ − 𝑥 + 2 =>
−4𝑥 − 𝑥 ′ = −4𝑥 ′ − 𝑥 => −4𝑥 + 𝑥 = −4𝑥 ′ + 𝑥 ′ => −3𝑥 = −3𝑥 ′ => 𝑥 = 𝑥′ donc 𝑓 est
injective.

Soit 𝑥 𝑒𝑡 𝑥 ′ ∈ 𝐼𝑅 tels que 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑥 ′ ) => 𝑥 2 − 1 = 𝑥 ′2 − 1 => 𝑥 2 = 𝑥 ′2 =>
𝑥 = 𝑥 ′ 𝑜𝑢 𝑥 = −𝑥 ′ , on a deux expressions de 𝑥 donc 𝑔 n’est pas injective
2ère Méthode : Soit 𝑦 ∈ 𝐼𝑅 𝑒𝑡 𝑥 ∈ 𝐼𝑅 − {2}; résolvons l’équation :𝑓(𝑥) = 𝑦

2𝑥 − 1
= 𝑦 <=> 2𝑥 − 1 = 𝑥𝑦 − 2𝑦 => 2𝑥 − 𝑥𝑦 = 1 − 2𝑦
𝑥−2
1−2𝑦
=> 𝑥(2 − 𝑦) = 1 − 2𝑦 => 𝑥 =
; 𝑠𝑖 𝑦 = 2 => 𝑆 = { } 𝑒𝑡 𝑠𝑖 𝑦 ≠ 2 =>
2−𝑦

𝑆={

1−2𝑦
2−𝑦

}alors l’équation :𝑓(𝑥) = 𝑦 admet 0 ou une solution. Donc 𝑓 est injective.

Posons 𝑔(𝑥) = 𝑦 pour tout 𝑦 ∈ 𝐼𝑅 => 𝑥 2 − 1 = 𝑦 => 𝑥 = −√𝑦 + 1 𝑜𝑢 𝑥 = √𝑦 + 1 alors
l’équation :𝑓(𝑥) = 𝑦 admet deux solutions donc 𝑔 n’ est pas injective.
b. Application surjective :
Une application 𝑓 de l’ensemble A vers l’ensemble B est surjective, si tout élément de B
possède 1 ou plusieurs antécédents dans A par𝑓. Autrement dit :∀ 𝑥 𝜖 𝐴 et 𝑦 ∈ 𝐵 ; 𝑓 est
surjective si l’équation 𝑓(𝑥) = 𝑦 admet 1 ou plusieurs solutions.

Comment
démontrer
qu’une
application est surjective ?

Pour démontrer qu’une application 𝑓 𝑑𝑒 𝐴 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝐵 est surjective on peut procéder de
la manière suivante :
Soit 𝑦 ∈ 𝐵 tels que 𝑓 (𝑥) = 𝑦 et on démontre que l’équation 𝑓(𝑥) = 𝑦 admet 1 ou plusieurs
solutions qui sont dans A.

.
Exemple :
On considère les fonctions 𝑔 𝑒𝑡 ℎ définies par :
𝑔: 𝐼𝑅 →IR
𝑥 → 2𝑥 − 1
Et
ℎ: 𝐼𝑅 − {1} → 𝐼𝑅
𝑥
𝑥→
𝑥−1
Vérifier si les applications 𝑔 𝑒𝑡 ℎ sont surjectives.
Réponses :
Soit 𝑦 ∈ 𝐼𝑅 tel que 𝑔(𝑥) = 𝑦 <=> 2𝑥 − 1 = 𝑦 => 𝑥 =

𝑦+1
2

=> que cette équation admet

une solution pour tout 𝑦 ∈ 𝐼𝑅 donc 𝑔 est surjective.
Soit 𝑦 ∈ 𝐼𝑅 et 𝑥 ∈ 𝐼𝑅 − {1} tel que ℎ(𝑥) = 𝑦 <=>
𝑥
=y => 𝑥 = (𝑥 − 1)𝑦 => 𝑥 = 𝑥𝑦 − 𝑦 => 𝑥 − 𝑥𝑦 = −𝑦 => 𝑥(1 − 𝑦) = −𝑦 =>
𝑥−1

𝑥=

−𝑦

1−𝑦

=> si y = 1 ; 𝑆 = { } donc ℎ n’est pas surjective.

3. Application bijective :
Une application 𝑓 de l’ensemble A vers l’ensemble B est bijective, si tout élément de B possède
1 unique antécédent dans A par 𝑓. Autrement dit :∀ 𝑥 𝜖 𝐴 et ∀𝑦 ∈ 𝐵 ; 𝑓 est bijective si
l’équation 𝑓(𝑥) = 𝑦 admet une et une seule solution.

Comment démontrer qu’une
application est bijective ?

Pour démontrer qu’une application 𝑓 𝑑𝑒 𝐴 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝐵 est bijective on peut procéder de la
manière suivante :
Soit 𝑦 ∈ 𝐵 tels que 𝑓 (𝑥) = 𝑦 et on démontre que l’équation 𝑓(𝑥) = 𝑦 admet 1 et une seule
solution 𝑥 ∈ 𝐴
Remarque : toute application qui est à la fois injective et surjective est bijective.
Évaluation :
1
1
Soit 𝑓 la fonction de 𝐼𝑅 − {2} 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝐼𝑅 définie par : 𝑓(𝑥) = 𝑥−2 et 𝑔 l’application de [2 ; +∞[
vers 𝐼𝑅 définie par : 𝑔(𝑥) = √2𝑥 − 1 .
𝑓 et 𝑔 sont –elles des bijectives ?
Réponses :
Soit 𝑦 ∈ 𝐼𝑅 𝑒𝑡 𝑥 ∈ 𝐼𝑅 − {2} 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑥) = 𝑦 <=>
1
= 𝑦 => 1 = 𝑦(𝑥 − 2) => 1 = 𝑦𝑥 − 2𝑦 =>
𝑥−2
1+2𝑦
𝑥=
; On constate que si𝑦 = 0, 𝑥 n’existe pas donc 𝑓 n’est pas bijective.
𝑦

Soit 𝑦 ∈ 𝐼𝑅 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑔(𝑥) = 𝑦 <=> √2𝑥 − 1 = 𝑦 => 2𝑥 − 1 = 𝑦 2 =>
𝑦 2 +1

1

𝑥 = 2 ∈ [2 ; +∞[ ; => Pour n’importe quelle valeur de 𝑦 , cette équation admet une
solution donc 𝑔 est bijective
4. Application réciproque d’une bijection :
On appelle application réciproque d’une bijection 𝑓 𝑑𝑒 𝐴 𝑠𝑢𝑟 𝐵 , la bijection notée 𝑓 −1 de B
sur A.
𝑓: 𝐴 → 𝐵; 𝑓 −1 : 𝐵 → 𝐴
∀ 𝒚 ∈ 𝑩; ∀ 𝒙 ∈ 𝑨, 𝒚 = 𝒇(𝒙) <=> 𝑥 = 𝒇−𝟏 (𝒚)

Comment
l’application
bijection ?

déterminer
réciproque d’une

Pour déterminer l’application réciproque d’une bijection𝑓 −1 ,on détermine l’expression
de 𝑥 en fonction de 𝑦 puis on remplace 𝑦 par 𝑥 dans cette expression.

Exemple :
1
Déterminer la bijection réciproque de l’application bijective 𝑔 de[2 ; +∞[ vers 𝐼𝑅 définie
par : 𝑔(𝑥) = √2𝑥 − 1 .
Réponse :
𝑔 Étant bijective ; posons : 𝑔(𝑥) = 𝑦 <=> √2𝑥 − 1 = 𝑦 => 2𝑥 − 1 = 𝑦 2 =>
𝑦 2 +1

1

Donc l’application bijective de 𝑔 est : 𝑔−1 : 𝐼𝑅 → [2 ; +∞[ définie par :
𝑥2 + 1
𝑔−1 (𝑥) =
2
5. Image directe – Image réciproque :
𝑥=

2

Comment
déterminer
directe d’un intervalle ?

l’image

Pour déterminer par calculs l’image directe d’un intervalle I par la fonction 𝑓: On
commence par l’encadrement de 𝑥 par l’intervalle I ; et on cherche l’encadrement𝑓(𝑥).
L’intervalle ainsi trouvé par cet encadrement est l’image directe de l’intervalle I, elle
est notée 𝑓(𝐼)
Pour déterminer graphiquement l’image directe d’un intervalle[𝑎; 𝑏], on trace les
droites 𝑥 = 𝑎 𝑒𝑡 𝑥 = 𝑏 puis on cherche le minimum 𝑚 et le maximum 𝑀 de 𝑓 sur cette
partie comprise entre les droites ∶ 𝑥 = 𝑎 𝑒𝑡 𝑥 = 𝑏 .On conclut que l’image directe d’un
intervalle [𝑎; 𝑏]est [𝑚; 𝑀]
Évaluation :
Soit 𝑓 l’application de IR vers IR définie par :𝑓 (𝑥) = 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 de représentation
graphique ci-dessous :

y

f(x)=x^2-3x+2

9
8
7
6
5
4
3
2
1

x
-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
Graph Limited School Edition

Déterminer graphiquement et par calculs l’image directe de l’intervalle [3; 4]

Réponses :

9

y

f(x)=x^2-3x+2

9
8
7
6
5
4
3
2
1

x
-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
Graph Limited School Edition

L’image directe de l’intervalle [3; 4] semble être l’intervalle [2; 6]
Par calculs :
3 2

On a 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = (𝑥 − ) −
2

3

3

5

9

1
4
3

Soit 𝑥 ∈ [3; 4] => ≤ 𝑥 − ≤ => ≤ (𝑥 − )2 ≤
2
2
2
4
2
Alors 𝒇([𝟑; 𝟒]) = [𝟐; 𝟔]

25
4

3 2

1

2

4

=> 2 ≤ (𝑥 − ) − ≤ 6

Comment
déterminer
l’image
réciproque d’un intervalle ?

Pour déterminer par calculs l’image réciproque d’un intervalle J par la fonction f d’inconnue x,
on peut procéder ainsi
- si J = [a; b] alors f −1 (j)est la solution de l′ inequation ∶ a ≤ f(x) ≤ b
- si J = ]a; b[ alors f −1 (j)est la solution de l′ inequation ∶ a < f(x) < b
- si J = ]−∞; a] alors f −1 (j)est la solution de l′ inequation ∶ f(x) ≤ a
- si J = ]a; +∞[ alors f −1 (j)est la solution de l′ inequation ∶ f(x) > a

Pour déterminer graphiquement l’image réciproque d’un intervalle [𝑎; 𝑏] ; on trace les
droites 𝑦 = 𝑎 𝑒𝑡 𝑦 = 𝑏 et on recherche sur l’axe des abscisses l’ intervalle ou la réunion

d’intervalles correspondants à la partie comprise entre les droites 𝑦 = 𝑎 𝑒𝑡 𝑦 = 𝑏 ;
l’intervalle ainsi trouvé est l’image réciproque d’un intervalle [𝑎; 𝑏]
Évaluation :
Soit ℎ l’application définie par :
ℎ: 𝐼𝑅 − {1} → 𝐼𝑅
𝑥+2
𝑥→
𝑥−1
De représentation graphique ci-dessous :
Déterminer graphiquement et par calculs l’image réciproque de l’intervalle]−∞; +2]
y

f(x)=(x+2)/(x-1)

9
8
7
6
5
4
3
2
1

x
-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9

Graph Limited School Edition

2

3

4

5

6

7

8

9

Réponses :
y

f(x)=(x+2)/(x-1)

9
8
7
6
5
4
3
2
1

x
-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
Graph Limited School Edition

L’image réciproque de l’intervalle ]−∞; 2] semble être ]−∞; 1[𝑈[4; +∞[

a. Soit
−𝑥+4
𝑥−1

ℎ(𝑥) ∈ ]−∞; 2] <=>

𝑥+2
𝑥−1

≤ 2 =>

𝑥+2
𝑥−1

− 2 ≤ 0 =>

𝑥+2−2𝑥+2
𝑥−1

≤ 0 =>

≤ 0 Posons :−𝑥 + 4 = 0 => 𝑥 = 4; 𝑥 − 1 = 0 => 𝑥 = 1
𝑥
−𝑥 + 4
𝑥−1
−𝑥 + 4
≤0
𝑥−1

1

-∞
+
-

4
+
+
+

+∞
+
-

Alors 𝑥 ∈ ]−∞; 1[𝑈[4; +∞[ donc ℎ−1 (]−∞; 2] = ]−∞; 1[𝑈[4; +∞[
6. Composition de deux applications :
Soit 𝐴, 𝐵, 𝐶 trois ensembles,𝑓 𝑢𝑛𝑒 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝐴 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝐵; 𝑔 𝑢𝑛𝑒 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝐵 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝐶.
On appelle fonction composée de 𝑓 𝑝𝑎𝑟 𝑔, 𝑛𝑜𝑡é𝑒 𝑔𝑜𝑓 et définie pour tout élément 𝑥 𝑑𝑒 𝐴 tel
que :𝑥 ∈ 𝐷𝑓 𝑒𝑡 𝑓(𝑥) ∈ 𝐷𝑔, 𝑝𝑎𝑟: 𝑔𝑜𝑓(𝑥) = 𝑔[𝑓(𝑥)]

Comment déterminer 𝒇𝒐𝒈 ?

Pour trouver le domaine définition de 𝑓𝑜𝑔,on pose :
D𝑓𝑜𝑔 = {𝑥 /𝑥 ∈ 𝐷𝑔 𝑒𝑡 𝑔(𝑥) ∈ 𝐷𝑓}
Pour
trouver
l’expression
de
𝑓𝑜𝑔(𝑥) ;
il

𝑥 𝑝𝑎𝑟 𝑔(𝑥)𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑙 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑓(𝑥)

suffit

de

remplacer

Évaluation :
Soit :
𝑓: [1; +∞[ → 𝐼𝑅 définie par : 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1 et 𝑔 : 𝐼𝑅 → 𝐼𝑅 définie par :
𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 3
Déterminer 𝑓𝑜𝑔.
Réponse :
𝐷𝑓𝑜𝑔 = {𝑥 𝑡𝑒𝑙𝑞𝑢𝑒 𝑥 ∈ 𝐼𝑅 𝑒𝑡 𝑔(𝑥) ∈ [1; +∞[; 𝑔(𝑥) − 1 ≥ 0} => 2𝑥 − 3 − 1 ≥ 0
=> 𝑥 ≥ 2 => 𝐷𝑓𝑜𝑔 = [2; +∞[ ;
𝑓𝑜𝑔(𝑥) = 𝑓[𝑔(𝑥)] = √𝑔(𝑥) − 1 = √2𝑥 − 3 − 1 = √2𝑥 − 4


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