Les Applications.pdf


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; 𝑜𝑛 𝑑é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 𝑙 ′ 𝑒𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 si cet ensemble
𝑒𝑠𝑡 é𝑔𝑎𝑙 à 𝑙 ′ 𝑒𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑑é𝑝𝑎𝑟𝑡 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑎𝑝𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 ; dans le cas contraire 𝑓
n’est pas une application.
Évaluation :
Soit 𝑓 la fonction de 𝐼𝑅 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝐼𝑅 définie par : 𝑓(𝑥) =

2𝑥−1
𝑥−2

et 𝑔 la fonction de[1; +∞[ vers

𝐼𝑅 définie par : 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 1 .
𝑓 et 𝑔 sont –elles des applications ?
Réponses :
𝑓(𝑥) =

2𝑥 − 1
=> 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ 𝐼𝑅 ; 𝑥 − 2 ≠ 0} => 𝑥 ≠ 2 => 𝐷𝑓 = 𝐼𝑅 − {2}
𝑥−2

=>L’ensemble de départ est différent de l’ensemble de définition donc 𝑓 𝑓 n’est pas une
application.
𝑔𝐷𝑔 = {𝑥/𝑥 ∈ [1; +∞[ ; 𝑥𝑥 − 1 ≥ 0} => 𝑥 > 1 => 𝐷𝑔 = [1; +∞[.
=>L’ensemble de départ est le même que l’ensemble de définition donc 𝑔 est une application.
2. Applications particulières
a. Application injective :
Une application 𝑓 de l’ensemble A vers l’ensemble B est injective, si tout élément de B possède
0 ou 1 antécédent dans A par

Comment
démontrer
qu’une
application est injective ?

Pour démontrer qu’une application 𝑓 𝑑𝑒 𝐴 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝐵 est injective on peut appliquer les
méthodes suivantes :
1ère Méthode :
∀𝑥 𝑒𝑡 𝑥 ′ ∈ 𝐴; 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 ′ ) et on démontre que : 𝑥 = 𝑥′
2ère Méthode :
Soit 𝑦 ∈ 𝐵 et on montre que l’équation 𝑓(𝑥) = 𝑦 admet 0 ou 1 solution pour tout 𝑥 ∈ 𝐴
Évaluation :
Soit 𝑓 l’application de𝐼𝑅 𝐼𝑅 − {2} 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝐼𝑅 définie par :
2𝑥𝑥−1

𝑓(𝑥) = 𝑥𝑥−2 et 𝑔 l’application de IR vers 𝐼𝑅 définie par : 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 1 .
𝑓 et 𝑔 sont –elles injectives ?
Réponses :

1ère Méthode
Soit 𝑥 𝑒𝑡 𝑥 ′ ∈ 𝐼𝑅 − {2} tels que 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 ′ ) =>

2𝑥−1 2𝑥 ′ −1
𝑥−2

=

𝑥 ′ −2

=>

(2𝑥 − 1)(𝑥 ′ − 2) = (2𝑥 ′ − 1)(𝑥 − 2) => 2𝑥𝑥 ′ − 4𝑥 − 𝑥 ′ + 2 = 2𝑥 ′ 𝑥 − 4𝑥 ′ − 𝑥 + 2 =>
−4𝑥 − 𝑥 ′ = −4𝑥 ′ − 𝑥 => −4𝑥 + 𝑥 = −4𝑥 ′ + 𝑥 ′ => −3𝑥 = −3𝑥 ′ => 𝑥 = 𝑥′ donc 𝑓 est
injective.