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Soit 𝑥 𝑒𝑡 𝑥 ′ ∈ 𝐼𝑅 tels que 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑥 ′ ) => 𝑥 2 − 1 = 𝑥 ′2 − 1 => 𝑥 2 = 𝑥 ′2 =>
𝑥 = 𝑥 ′ 𝑜𝑢 𝑥 = −𝑥 ′ , on a deux expressions de 𝑥 donc 𝑔 n’est pas injective
2ère Méthode : Soit 𝑦 ∈ 𝐼𝑅 𝑒𝑡 𝑥 ∈ 𝐼𝑅 − {2}; résolvons l’équation :𝑓(𝑥) = 𝑦

2𝑥 − 1
= 𝑦 <=> 2𝑥 − 1 = 𝑥𝑦 − 2𝑦 => 2𝑥 − 𝑥𝑦 = 1 − 2𝑦
𝑥−2
1−2𝑦
=> 𝑥(2 − 𝑦) = 1 − 2𝑦 => 𝑥 =
; 𝑠𝑖 𝑦 = 2 => 𝑆 = { } 𝑒𝑡 𝑠𝑖 𝑦 ≠ 2 =>
2−𝑦

𝑆={

1−2𝑦
2−𝑦

}alors l’équation :𝑓(𝑥) = 𝑦 admet 0 ou une solution. Donc 𝑓 est injective.

Posons 𝑔(𝑥) = 𝑦 pour tout 𝑦 ∈ 𝐼𝑅 => 𝑥 2 − 1 = 𝑦 => 𝑥 = −√𝑦 + 1 𝑜𝑢 𝑥 = √𝑦 + 1 alors
l’équation :𝑓(𝑥) = 𝑦 admet deux solutions donc 𝑔 n’ est pas injective.
b. Application surjective :
Une application 𝑓 de l’ensemble A vers l’ensemble B est surjective, si tout élément de B
possède 1 ou plusieurs antécédents dans A par𝑓. Autrement dit :∀ 𝑥 𝜖 𝐴 et 𝑦 ∈ 𝐵 ; 𝑓 est
surjective si l’équation 𝑓(𝑥) = 𝑦 admet 1 ou plusieurs solutions.

Comment
démontrer
qu’une
application est surjective ?

Pour démontrer qu’une application 𝑓 𝑑𝑒 𝐴 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝐵 est surjective on peut procéder de
la manière suivante :
Soit 𝑦 ∈ 𝐵 tels que 𝑓 (𝑥) = 𝑦 et on démontre que l’équation 𝑓(𝑥) = 𝑦 admet 1 ou plusieurs
solutions qui sont dans A.

.
Exemple :
On considère les fonctions 𝑔 𝑒𝑡 ℎ définies par :
𝑔: 𝐼𝑅 →IR
𝑥 → 2𝑥 − 1
Et
ℎ: 𝐼𝑅 − {1} → 𝐼𝑅
𝑥
𝑥→
𝑥−1
Vérifier si les applications 𝑔 𝑒𝑡 ℎ sont surjectives.
Réponses :
Soit 𝑦 ∈ 𝐼𝑅 tel que 𝑔(𝑥) = 𝑦 <=> 2𝑥 − 1 = 𝑦 => 𝑥 =

𝑦+1
2

=> que cette équation admet

une solution pour tout 𝑦 ∈ 𝐼𝑅 donc 𝑔 est surjective.
Soit 𝑦 ∈ 𝐼𝑅 et 𝑥 ∈ 𝐼𝑅 − {1} tel que ℎ(𝑥) = 𝑦 <=>
𝑥
=y => 𝑥 = (𝑥 − 1)𝑦 => 𝑥 = 𝑥𝑦 − 𝑦 => 𝑥 − 𝑥𝑦 = −𝑦 => 𝑥(1 − 𝑦) = −𝑦 =>
𝑥−1

𝑥=

−𝑦

1−𝑦

=> si y = 1 ; 𝑆 = { } donc ℎ n’est pas surjective.

3. Application bijective :
Une application 𝑓 de l’ensemble A vers l’ensemble B est bijective, si tout élément de B possède
1 unique antécédent dans A par 𝑓. Autrement dit :∀ 𝑥 𝜖 𝐴 et ∀𝑦 ∈ 𝐵 ; 𝑓 est bijective si
l’équation 𝑓(𝑥) = 𝑦 admet une et une seule solution.