Les Applications.pdf


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Aperçu texte


Comment démontrer qu’une
application est bijective ?

Pour démontrer qu’une application 𝑓 𝑑𝑒 𝐴 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝐵 est bijective on peut procéder de la
manière suivante :
Soit 𝑦 ∈ 𝐵 tels que 𝑓 (𝑥) = 𝑦 et on démontre que l’équation 𝑓(𝑥) = 𝑦 admet 1 et une seule
solution 𝑥 ∈ 𝐴
Remarque : toute application qui est à la fois injective et surjective est bijective.
Évaluation :
1
1
Soit 𝑓 la fonction de 𝐼𝑅 − {2} 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝐼𝑅 définie par : 𝑓(𝑥) = 𝑥−2 et 𝑔 l’application de [2 ; +∞[
vers 𝐼𝑅 définie par : 𝑔(𝑥) = √2𝑥 − 1 .
𝑓 et 𝑔 sont –elles des bijectives ?
Réponses :
Soit 𝑦 ∈ 𝐼𝑅 𝑒𝑡 𝑥 ∈ 𝐼𝑅 − {2} 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑥) = 𝑦 <=>
1
= 𝑦 => 1 = 𝑦(𝑥 − 2) => 1 = 𝑦𝑥 − 2𝑦 =>
𝑥−2
1+2𝑦
𝑥=
; On constate que si𝑦 = 0, 𝑥 n’existe pas donc 𝑓 n’est pas bijective.
𝑦

Soit 𝑦 ∈ 𝐼𝑅 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑔(𝑥) = 𝑦 <=> √2𝑥 − 1 = 𝑦 => 2𝑥 − 1 = 𝑦 2 =>
𝑦 2 +1

1

𝑥 = 2 ∈ [2 ; +∞[ ; => Pour n’importe quelle valeur de 𝑦 , cette équation admet une
solution donc 𝑔 est bijective
4. Application réciproque d’une bijection :
On appelle application réciproque d’une bijection 𝑓 𝑑𝑒 𝐴 𝑠𝑢𝑟 𝐵 , la bijection notée 𝑓 −1 de B
sur A.
𝑓: 𝐴 → 𝐵; 𝑓 −1 : 𝐵 → 𝐴
∀ 𝒚 ∈ 𝑩; ∀ 𝒙 ∈ 𝑨, 𝒚 = 𝒇(𝒙) <=> 𝑥 = 𝒇−𝟏 (𝒚)

Comment
l’application
bijection ?

déterminer
réciproque d’une

Pour déterminer l’application réciproque d’une bijection𝑓 −1 ,on détermine l’expression
de 𝑥 en fonction de 𝑦 puis on remplace 𝑦 par 𝑥 dans cette expression.