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Nom original: Les Suites numériques.pdfAuteur: Issa Moussa Coul

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Les Suites numériques
Résumé :
1 .Comment démontrer par récurrence :

Pour démontrer qu’une propriété P est vraie :
-On vérifie P pour quelques valeurs de n.
-On suppose que la propriété P est vraie jusqu’ à l’ordre 𝑘 et démontre que la propriété P
est vaie aussi pour l’ordre 𝑘 + 1
Exemple :
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel 𝑛 ≥ 1 :
1 + 2 + 3 + ⋯ … … … . +𝑛 =

𝑛(𝑛 + 1)
2

Réponse :
𝑆𝑖 𝑛 = 1 ; 1 =

1(1 + 1)
= 1 𝑣𝑟𝑎𝑖𝑒
2

𝑆𝑖 𝑛 = 2 ; 1 + 2 =

2(2 + 1)
< = > 3 = 3 𝑣𝑟𝑎𝑖𝑒
2

Supposons que la propriété est vraie pour l’ordre 𝑛 = 𝑘 ; c’est-à-dire :
1 + 2 + 3 + ⋯ … … … . +𝑘 =

𝑘(𝑘 + 1)
2

Montrons que la propriété est vraie pour 𝑛 = 𝑘 + 1 ; c’est-à-dire :
1 + 2 + 3 + ⋯ … … … . +(𝑘 + 1) =

(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)
2

Démonstration :
1 + 2 + 3 + ⋯ … … … . +(𝑘 + 1) =

𝑘(𝑘 + 1)
𝑘(𝑘 + 1) + 2(𝑘 + 1)
+ (𝑘 + 1) =
2
2

=
alors pour tout entier naturel 𝑛 ≥ 1 :
1 + 2 + 3 + ⋯ … … … . +𝑛 =

𝑛(𝑛 + 1)
2

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(𝑘+1)(𝑘+2)
2

vraie ;

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2 .Suites arithmétiques :
Comment reconnaître une suite arithmétique par calcul ?

Pour connaître qu’ une suite est arithmétique ; on calcul la différence de deux termes
consécutifs (u2 – u1 ; u3 – u2 ; …. Etc) puis vérifier que toutes ces différences sont égales.
Cette différence est la raison de cette suite.
Exemple : Le suite des nombres 1; 3; 5; 7; 9 … … … … sont en progression arithmétique de
raison 2
Comment démontre qu’une suite est arithmétique ?

Soit 𝑈𝑛 une suite numérique ;pour démontrer que 𝑈𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 𝑎𝑟𝑖𝑡ℎ𝑚é𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 il suffit
seulement de démontrer que :
𝑈𝑛+1 − 𝑈𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑒𝑡 𝑐𝑒 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑎𝑝𝑝𝑒𝑙é 𝑟𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑡𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒
Exemple :
Démontrer que la suite 𝑣𝑛 définie par :𝑣𝑛 = 2𝑛 − 1 est une suite arithmétique et préciser sa
raison .
Réponse : 𝑣𝑛+1 − 𝑣𝑛 = [2(𝑛 + 1) − 1] − [2𝑛 − 1] = 2𝑛 + 2 − 1 − 2𝑛 + 1 = 2 alors 𝑣𝑛 est
une suite arithmétique de raison 2.
Remarque : Toute suite arithmétique peut s’écrire sous la forme :𝑎𝑛 + 𝑏 ;
𝑎 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛 𝑒𝑡 𝑏 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖é𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒.
Exemple :
𝑣𝑛 = 2𝑛 − 1 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑣𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 𝑎𝑟𝑖𝑡ℎ𝑚é𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛 2 𝑒𝑡 𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒 − 1
Comment calculer un terme d’une suite arithmétique ?

Toute suite arithmétique 𝑢𝑛 (𝑛 ≥ 𝑎)de premier terme 𝑢𝑎 𝑒𝑡 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛 𝑟 s’écrit de la
forme :
𝑢𝑛 = 𝑢𝑎 + (𝑛 − 𝑎)𝑟 donc on s’appui sur cette formule pour calculer n’importe quel
terme de la suite.
Exemples :
∎Calculer le terme de rang 3 d’une suite arithmétique de premier terme u1 = 6 et de raison r =
5
∎Calculer la raison de la suite 𝑈𝑛 sachant que : 𝑈4 = 8 𝑒𝑡 𝑈7 = 26
Réponses :
∎Calculons 𝑈3 connaissant 𝑈1 𝑒𝑡 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛 𝑟 :
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On a : 𝑢𝑛 = 𝑢𝑎 + (𝑛 − 𝑎)𝑟 => 𝑎 = 1 𝑒𝑡 𝑛 = 3 => 𝑢3 = 𝑢1 + (3 − 1)𝑟 =>
𝑈3 = 6 + (3 − 1)5 = 15
∎Calculons la raison connaissant 𝑈4 𝑒𝑡 𝑈7 :
On a : 𝑢𝑛 = 𝑢𝑎 + (𝑛 − 𝑎)𝑟 => 𝑈7 = 𝑈4 + (7 − 4)𝑟 => 𝑈7 = 𝑈4 + 3𝑟 =>
𝑟=

𝑈7 −𝑈4
3

=

26−8
3

=6

Comment
Calculer
la somme
Pour calculer
la somme
des termes
consécutifs d’une suite arithmétique 𝑈𝑛 de premier
d’une suite
arithmétique
?
terme 𝑈𝑎 etdes
determes
raison 𝑟consécutifs
; on peut utiliser
la formule
:
𝑆𝑜𝑚𝑚𝑒 =

𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑠(𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒 + 𝑑𝑒𝑟𝑛𝑖𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒)
<=>
2
𝑆𝑛 =

(𝑛 − 𝑎 + 1)(𝑈𝑎 + 𝑈𝑛 )
2

Exemple :
∎Caculer la somme des dix premier terme de la suite arithmétique de premier terme 3
et de raison 5.
∎Soit 𝑈𝑛 = 3 − 5𝑛 ; Calculer 𝑆 = 𝑈0 + 𝑈1 + 𝑈3 + ⋯ … … … … … … + 𝑈15
Réponses :
∎ Soit 𝑈𝑛 la suite arithmétique de premier terme 3 et de raison 5 => 𝑈𝑛 = 3 + 5𝑛 =>
𝑈10 = 53
la somme des dix premier terme de la suite 𝑈𝑛 𝑒𝑠𝑡:
𝑆=

10(𝑈1 + 𝑈10 ) 10(3 + 53)
=
= 280
2
2

∎ 𝑈𝑛 = 3 − 5𝑛 => 𝑈15 = 3 − 75 = −72
On a : 𝑆𝑛 =
𝑆=

(𝑛−𝑎+1)(𝑈𝑎 +𝑈𝑛 )
2

; 𝑆 = 𝑈0 + 𝑈1 + 𝑈3 + ⋯ … … … … … … + 𝑈15 =>

(15 − 0 + 1)(𝑈0 + 𝑈15 ) 16(3 − 72)
=
= −552
2
2

2 .Suites géométrique

Comment reconnaître une suite géométrique par calcul ?

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Pour connaître qu’ une suite est géométrique ; on calcul le quotient de deux termes
u u
consécutifs (  ;  ; …. Etc ) puis vérifier que toutes ces quotient sont égaux. Ce quotient est
u u
la raison de cette suite.
Exemple : ces nombres 1; 2; 4; 8; 16 … … … … sont en progression géométrique de raison 2
Comment démontre qu’une suite est géométrie ?

Soit 𝑈𝑛 une suite numérique ;pour démontrer que 𝑈𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 𝐠é𝐨𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐪𝐮𝐞 il suffit
seulement de démontrer que :
𝑈𝑛+1
𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑒𝑡 𝑐𝑒 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑎𝑝𝑝𝑒𝑙é 𝑟𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑡𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒
𝑈𝑛
Exemple :
Démontrer que la suite 𝑣𝑛 définie par :𝑣𝑛 = 2. (3)𝑛 est une suite arithmétique et préciser sa
raison .
Réponse :

𝑈𝑛+1
𝑈𝑛

=

2.(3)𝑛+1
2.(3)𝑛

= 3 => 𝑣𝑛 est une suite géométrie de raison 3.

Remarque : Toute suite géométrie peut s’écrire sous la forme :𝑎𝑏 𝑛 ;
𝑏 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛 𝑒𝑡 𝑎 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖é𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒.
Exemple : : 𝑣𝑛 =
2. (3)𝑛 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑣𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 𝐠é𝐨𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐞 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛 3 𝑒𝑡 𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒 2
Comment calculer un terme d’une suite géométrie ?

Toute suite géométrie 𝑢𝑛 (𝑛 ≥ 𝑎)de premier terme 𝑢𝑎 𝑒𝑡 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛 𝑞 s’écrit de la forme :
𝑢𝑛 = 𝑢𝑎 𝑞 (𝑛−𝑎) donc on s’appui sur cette formule pour calculer n’importe quel terme de
la suite.
Exemples :
∎Calculer le terme de rang 3 d’une suite géométrie de premier terme u1 = 6 et de raison q= 5
∎Calculer la raison de la suite géométrie 𝑉𝑛 sachant que : 𝑉5 = 8 𝑒𝑡 𝑉7 = 20
Réponses :
∎Calculons 𝑈3 connaissant 𝑈1 𝑒𝑡 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛 𝑟 :
On a : 𝑢𝑛 = 𝑢𝑎 𝑞 (𝑛−𝑎) => 𝑎 = 1 𝑒𝑡 𝑛 = 3 => 𝑢3 = 𝑢1 𝑞 (3−1) = 6(52 ) = 150
∎Calculons la raison de la suite géométrie 𝑉𝑛 sachant que : 𝑉2 = 8 𝑒𝑡 𝑉7 = 20
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On a : 𝑉𝑛 = 𝑉𝑎 𝑞 (𝑛−𝑎) =>

𝑉

𝑉7 = 𝑉5 𝑞 (7−5) => 𝑉7 = 𝑉5 𝑞 2 => 𝑞 = √𝑉7 = √2,5
5

Comment Calculer la somme
des termes consécutifs d’une suite géométrie ?
Pour calculer la somme des termes consécutifs d’une suite géométrie 𝑈𝑛 de premier
terme 𝑈𝑎 et de raison 𝑞 ; on peut utiliser la formule :
𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒(1 − 𝑟𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒 )
𝑈𝑎 (1 − 𝑞 𝑛−𝑎+1 )
𝑆𝑜𝑚𝑚𝑒 =
< = > 𝑆𝑛 =
1 − 𝑟𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛
1−𝑞
Exemple :
∎Soit 𝑉𝑛 = 2𝑛−1 ; Calculer 𝑆 = 𝑉3 + 𝑉4 + 𝑉5 + ⋯ … … … … … … + 𝑉10
Réponse :
𝑛−1

𝑉𝑛 = 2

𝑉𝑛
2𝑛
1
=> 𝑞 =
= 𝑛−1 = ; 𝑉3 = 23−1 = 22 = 4;
𝑉𝑛+1 2
2

𝑆 = 𝑉3 + 𝑉4 + 𝑉5 + ⋯ … … … … … … + 𝑉10 => 𝑆 =

1
4(1−( )10−3+1 )
2

1−

1
2

1

= 8(1 − (2)8 )

3 Comment étudier le Sens de variations d’une suite ?

Pour étudier le sens de variation d’une suite 𝑈𝑛 ; on peut utiliser l’une des méthodes
suivantes :
∎ On étudie le signe de 𝑈𝑛+1 − 𝑈𝑛
Si 𝑈𝑛+1 − 𝑈𝑛 > 0 alors 𝑈𝑛 est strictement croissante.
Si 𝑈𝑛+1 − 𝑈𝑛 < 0 alors 𝑈𝑛 est strictement décroissante.
Si 𝑈𝑛+1 − 𝑈𝑛 = 0 alors 𝑈𝑛 est monotone.
∎ On compare :

Si
Si

𝑈𝑛+1
𝑈𝑛
𝑈𝑛+1
𝑈𝑛

𝑈𝑛+1
𝑈𝑛

𝑒𝑡 1

> 1 alors 𝑈𝑛 est strictement croissante.
< 1 alors 𝑈𝑛 est strictement décroissante.

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∎ On pose :𝑈𝑛 = 𝑓(𝑛) puis on étudie le sens de variation de 𝑓 qui correspond à celui de
𝑈𝑛
Exemple :
Étudier le sens de variation de chacune des suites suivantes :
𝑈𝑛 = 2𝑛 ; 𝑉𝑛 = 2 − 3𝑛 ; 𝑤𝑛 =

𝑛+1
2𝑛

Réponses :
𝑈𝑛 = 2𝑛 ici on peut comparer :
𝑈𝑛+1
𝑈𝑛

=

2𝑛+1
2𝑛

𝑈𝑛+1
𝑈𝑛

𝑒𝑡 1

= 2 > 1 alors 𝑈𝑛 est strictement croissante

𝑉𝑛 = 2 − 3𝑛 ici on cherche le signe de 𝑈𝑛+1 − 𝑈𝑛
On a : 𝑈𝑛+1 − 𝑈𝑛 = 2 − 3𝑛 − 3 − 2 + 3𝑛 = −3 < 0 alors 𝑉est strictement décroissante

𝑤𝑛 =

𝑛+1

, Posons 𝑤𝑛 = 𝑓(𝑛) => 𝑓(𝑛) =
2𝑛

𝑛+1
2𝑛

=> 𝑓 ′ (𝑛) =

2𝑛−2𝑛−2
4𝑛2

−2

= 4𝑛2 <

0 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑓 𝑒𝑠 𝑑é𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒 ; alors 𝑤𝑛 est strictement décroissante

4 . Comment étudier la convergence d’une suite ?
Pour étudier la convergence d’une suite 𝑈𝑛 on calcule

lim 𝑈𝑛 :

𝑛→+∞

∎Si lim 𝑈𝑛 est égale à un nombre réel 𝑙 ; on dit que 𝑈𝑛 est convergente et converge
𝑛→+∞

vers 𝑙
∎Si lim 𝑈𝑛 est égale à l’infinie ; on dit que 𝑈𝑛 est divergente.
𝑛→+∞

Toute suite qui n’est pas convergente est divergente
Exemple :
Étudier la convergence de chacune des suites suivantes :

𝑉𝑛 = 2 − 3𝑛 ; 𝑤𝑛 =

𝑛+1
2𝑛

Réponses :

lim 2 − 3𝑛 = −∞ 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑉𝑛

𝑛→+∞

est divergente

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lim

𝑛+1

𝑛→+∞ 2𝑛

=

1
2

𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑤𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑠

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