trigonométrie .pdf



Nom original: trigonométrie.pdf
Auteur: Issa Moussa Coul

Ce document au format PDF 1.5 a été généré par Microsoft® Word 2013, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 18/08/2018 à 18:01, depuis l'adresse IP 196.206.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 233 fois.
Taille du document: 1.2 Mo (11 pages).
Confidentialité: fichier public




Télécharger le fichier (PDF)










Aperçu du document


Mahamaths.com site de Mahamane O Maïga

trigonométrie
Résumé :
1.Rappels des cosinus,sinus et tangentes des angles remarquables :
0

𝜋
6

𝜋
4

𝜋
3

𝜋
2

𝜋

2𝜋

Cosinus

1

√3
2

√2
2

1
2

0

−1

1

sinus

0

1
2

√2
2

√3
2

1

0

0

tangente

0

√3
3

1

√3

𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒

0

0

Angle en
radian

2.Mesure principale d’un angle orienté :
Activité :
A l’aide de votre calculatrice calculer le cosinus, le sinus et la tangente de chacun
des angles suivants :


11𝜋 𝜋 13𝜋 25𝜋
; ;
;
6 6 6
6

Synthèse :
Cos(−
sin (−
tan(−

11𝜋
6
11𝜋
6
11𝜋
6

𝜋

13𝜋

) = 𝑐𝑜𝑠 6 = 𝑐𝑜𝑠
𝜋

) = 𝑠𝑖𝑛 6 = 𝑠𝑖𝑛
𝜋

13𝜋

principale

𝜋

11𝜋
6

;

13𝜋
6

13𝜋 25𝜋
6

;

= 𝑠𝑖𝑛

6

) = 𝑡𝑎𝑛 6 = 𝑡𝑎𝑛

On dit que :−

= 𝑐𝑜𝑠

6

6

25𝜋
6

=

√3
2

25𝜋 1

= 𝑡𝑎𝑛

6

=2

25𝜋
6

=

√3
3

sont des mesures d’angles qui ont pour mesure

6

Définition

Mahamaths.com site de Mahamane O Maïga

Mahamaths.com site de Mahamane O Maïga

Soit 𝑥 une mesure en radian ; sa détermination ou mesure principale notée 𝜃 est
telle que : 𝑥 = 𝜃 + 2𝑘𝜋 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑘 ∈ 𝑍 <=> 𝜃 = 𝑥 − 2𝑘𝜋 ∈ ]−𝜋; 𝜋]

Comment déterminer plusieurs mesures d’un angle
dont on connaît sa mesure principale ?

On pose : 𝑥 = 𝜃 + 2𝑘𝜋 ;𝜃 étant la mesure principale ; à chaque valeur de 𝑘
correspond en une mesure de 𝜃 ;donc il suffit de faire varier k dans Z et on
obtient des mesures d’angles qui ont pour mesure principale 𝜃.

Comment déterminer la mesure principale
d’un angle orienté ?

Soit 𝑥 une mesure d’angle orienté ,On cherche a obtenir la valeur 𝑘 à travers
l’encadrement :– 𝜋 < 𝑥 − 2𝑘𝜋 ≤ 𝜋 ; puis on remplace 𝑘 par sa valeur dans cet
expression : 𝜃 = 𝑥 − 2𝑘𝜋 alors 𝜃 est la mesure principale de 𝑥.
Évaluation :
a. Donner 4 mesures d’angles qui ont pour mesure principale

𝜋
10

b. Déterminer en radian la mesure principale d’un angle orienté dont une mesure
13𝜋
est 3
Réponses :
𝜋

a .Posons : 𝑥 = 𝜃 + 2𝑘𝜋 = 10 + 2𝑘𝜋 ;
19

21𝜋

41𝜋

Si 𝑘 = −1 => 𝑥 = − 10 𝜋 ; Si 𝑘 = 1 => 𝑥 = 10 ; Si 𝑘 = 2 => 𝑥 = 10 ; Si 𝑘 =
3 =>
61𝜋
𝑥=
10
19
31
41
61
− 10 𝜋; 10 𝜋; 10 𝜋; 10 𝜋 sont des mesures d’angles qui ont pour mesure
principale

𝜋

10

b .Déterminons en radian la mesure d’un angle orienté dont une mesure est
Posons :−𝜋 < 𝑥 − 2𝑘𝜋 ≤ 𝜋 =>:−𝜋 <

13𝜋
3

Mahamaths.com site de Mahamane O Maïga

− 2𝑘𝜋 ≤ 𝜋 <=>

13𝜋
3

;

Mahamaths.com site de Mahamane O Maïga

−𝜋 −

13𝜋
13
16
10
< 2𝑘𝜋 ≤ 𝜋 − 𝜋 => − 𝜋 < −2𝑘𝜋 ≤ − 𝜋 => −2,66 < −𝑘 ≤ −1,66
3
3
3
3
=> 1,66 < 𝑘 ≤ 2,66 =>
13𝜋

𝑘 = 2 => 𝜃 =

3

− 2(2)𝜋 =

dont une mesure est

13𝜋

13𝜋
3

− 4𝜋 =

𝜋
3

alors

𝜋
3

est la mesure d’un angle orienté

3

3.Formules usuelles de transformations :
a .Formules d’addition :
Pour tous nombres réels 𝑎 𝑒𝑡 𝑏 on a :
cos(𝑎 + 𝑏) = 𝑐𝑜𝑠𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝑏 − 𝑠𝑖𝑛𝑎. 𝑠𝑖𝑛𝑏
cos(𝑎 − 𝑏) = 𝑐𝑜𝑠𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝑏 + 𝑠𝑖𝑛𝑎. 𝑠𝑖𝑛𝑏
sin(𝑎 + 𝑏) = 𝑠𝑖𝑛𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝑏 + 𝑠𝑖𝑛𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝑎
sin(𝑎 − 𝑏) = 𝑠𝑖𝑛𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝑏 − 𝑠𝑖𝑛𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝑎
tan(𝑎 + 𝑏) =

𝑡𝑎𝑛𝑎 + 𝑡𝑎𝑛𝑏
1 − 𝑡𝑎𝑛𝑎. 𝑡𝑎𝑛𝑏
𝑡𝑎𝑛𝑎−𝑡𝑎𝑛𝑏

tan(𝑎 − 𝑏) = 1+𝑡𝑎𝑛𝑎.𝑡𝑎𝑛𝑏
A quoi sert les formules d’addition ?

Les formules d’addition permettent de calculer les lignes trigonométriques de la
somme ( ou la différence) de deux nombre réels,connaissant les lignes
trigonométriques de ces deux nombre.
Exemple :
𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

Calculer 𝑐𝑜𝑠 12 et 𝑠𝑖𝑛 12 sachant que :12 = 3 − 4
Réponses :
𝑐𝑜𝑠

𝜋
𝜋 𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋 1 √2
√3 √2
√2 + √6
= cos ( − ) = 𝑐𝑜𝑠 . 𝑐𝑜𝑠 + 𝑠𝑖𝑛 . 𝑠𝑖𝑛 = ×
+
×
=
12
3 4
3
4
3
4 2
2
2
2
4

𝑠𝑖𝑛

𝜋
𝜋 𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋 √3 √2 1 √2 √6 − √2
= sin ( − ) = 𝑠𝑖𝑛 . 𝑐𝑜𝑠 − 𝑐𝑜𝑠 . 𝑠𝑖𝑛 =
×
− ×
=
12
3 4
3
4
3
4
2
2
2 2
4

b .Formule de duplication et Formules de linéarisation :

Mahamaths.com site de Mahamane O Maïga

Mahamaths.com site de Mahamane O Maïga

𝑐𝑜𝑠2𝑎 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑎 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑎
𝑠𝑖𝑛2𝑎 = 2𝑠𝑖𝑛𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝑎
𝑐𝑜𝑠 2 𝑎 =
𝑠𝑖𝑛2 𝑎 =

1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑎
2
1−𝑐𝑜𝑠2𝑎
2

A quoi sert les Formules de duplication
et Formules de linéarisation ?

Les Formule de duplication et Formules de linéarisation servent a linéarité ou à
déterminer les lignes trigonométriques d’un angle dont on connaît les lignes
trigonométrique de son double.
Évaluation :
𝜋

𝜋

𝜋

Calculer 𝑠𝑖𝑛 12 sachant que : 6 = 2 × 12
Réponse :
𝜋

Posons : 𝑠𝑖𝑛2 12 =

1−𝑐𝑜𝑠2𝑎
2

𝜋

=> 𝑠𝑖𝑛2 12 =

𝑠𝑖𝑛

1−𝑐𝑜𝑠2×
2

=

Pour tous nombres réels 𝑎 𝑒𝑡 𝑏 on a :
1
[cos(𝑎 + 𝑏) + cos(𝑎 − 𝑏)]
2

1
𝑠𝑖𝑛𝑎. 𝑠𝑖𝑛𝑏 = [cos(𝑎 − 𝑏) − cos(𝑎 + 𝑏)]
2
1
𝑠𝑖𝑛𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝑏 = [sin(𝑎 + 𝑏) + sin(𝑎 − 𝑏)]
2
1

𝑐𝑜𝑠𝑎. 𝑠𝑖𝑛𝑏 = 2 [sin(𝑎 + 𝑏) − sin(𝑎 − 𝑏)]

A quoi sert les Formules de
multiplication ?

Mahamaths.com site de Mahamane O Maïga

𝜋
6

1−𝑐𝑜𝑠

𝜋
2 − √3
=√
12
4

c .Formules de multiplication :

𝑐𝑜𝑠𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝑏 =

𝜋
12

2

=

1−

√3
2

2

=

2−√3
4

=>

Mahamaths.com site de Mahamane O Maïga

En trigonométrie Les Formules de multiplication permettent de transformer une
somme en produit ou un produit en somme.
Évaluation :
a .Transformer en produit :
𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛5𝑥 et 𝑐𝑜𝑠5𝑥 − 𝑐𝑜𝑠4𝑥
b . Transformer en somme ou en différence :
2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥
Réponses :
a . Transformons en produit :
𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛5𝑥 =?
1

On a : 𝑠𝑖𝑛𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝑏 = 2 [sin(𝑎 + 𝑏) + sin(𝑎 − 𝑏)] =>
2𝑠𝑖𝑛𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝑏 = [sin(𝑎 + 𝑏) + sin(𝑎 − 𝑏)]
7

𝑎 = 2𝑥
𝑎 + 𝑏 = 5𝑥
Posons : {
=> {
3 donc :
𝑎 − 𝑏 = 2𝑥
𝑏 = 2𝑥
7
3
𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛5𝑥 = 2𝑠𝑖𝑛 𝑥. 𝑐𝑜𝑠 𝑥
2
2
𝑐𝑜𝑠5𝑥 − 𝑐𝑜𝑠4𝑥 =?
On a:
1
𝑠𝑖𝑛𝑎. 𝑠𝑖𝑛𝑏 = [cos(𝑎 − 𝑏) − cos(𝑎 + 𝑏)] => −2𝑠𝑖𝑛𝑎. 𝑠𝑖𝑛𝑏 = [cos(𝑎 + 𝑏) − cos(𝑎 − 𝑏)]
2
9

𝑎 = 2𝑥
𝑎 + 𝑏 = 5𝑥
Posons : {
=> {
1 donc :
𝑎 − 𝑏 = 4𝑥
𝑏 = 2𝑥
9
1
𝑐𝑜𝑠5𝑥 − 𝑐𝑜𝑠4𝑥 = −2𝑠𝑖𝑛 . 𝑠𝑖𝑛 𝑥
2
2
b .Transformons en somme :
2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥 =?
On a :

Mahamaths.com site de Mahamane O Maïga

Mahamaths.com site de Mahamane O Maïga

1
𝑐𝑜𝑠𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝑏 = [cos(𝑎 + 𝑏) + cos(𝑎 − 𝑏)] => 2𝑐𝑜𝑠𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝑏 = [cos(𝑎 + 𝑏) + cos(𝑎 − 𝑏)]
2
Donc : 2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥 = cos(𝑥 + 3𝑥) + cos(𝑥 − 3𝑥) = 𝑐𝑜𝑠4 + cos(−2𝑥) = 𝑐𝑜𝑠4𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥
car
𝑐𝑜𝑠𝑥 = cos(−𝑥)
4 .Propriétés des fonctions trigonométriques :
𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 + 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 = 1 𝑒𝑡 1 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 =

1
𝑡𝑎𝑛2 𝛼

𝜋
𝜋
cos ( − 𝛼) = sin 𝛼 𝑒𝑡 sin ( − 𝛼) = cos 𝛼
2
2
cos(−𝛼) = cos 𝛼 𝑒𝑡 sin(−𝛼) = −𝑠𝑖𝑛 𝛼
cos(𝜋 − 𝛼) = − cos 𝛼 𝑒𝑡 sin( 𝜋 − 𝛼) = sin 𝛼
cos(𝜋 + 𝛼) = − cos 𝛼 𝑒𝑡 sin(𝜋 + 𝛼) = − sin 𝛼
cos(𝛼 + 2𝑘𝜋) = cos 𝛼 𝑒𝑡 sin(𝛼 + 2𝑘𝜋) = sin 𝛼 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑘𝜖 𝑍
tan(𝛼 + 𝑘𝜋) = 𝑡𝑎𝑛𝛼 avec 𝑘𝜖 𝑍
Exemple :
Démontrer que :𝑐𝑜𝑠

𝜋
10

+ 𝑐𝑜𝑠

9𝜋
10

+ cos

5𝜋
14

− 𝑠𝑖𝑛

15𝜋
7

=0

Réponse :
𝜋
9𝜋
5𝜋
15𝜋
+ 𝑐𝑜𝑠
+ cos
− 𝑠𝑖𝑛
10
10
14
7
𝜋
𝜋
π 𝜋
𝜋
= 𝑐𝑜𝑠
+ cos (𝜋 − ) + cos ( − ) − sin ( + 2𝜋)
10
10
2 7
7
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
= 𝑐𝑜𝑠
− 𝑐𝑜𝑠
+ sin − 𝑠𝑖𝑛 = 0
10
10
7
7

𝑐𝑜𝑠

5 .Équations trigonométrique :

Comment résoudre une Équations du type :
𝒄𝒐𝒔𝒙 = 𝒂 ?

Soit à résoudre dans IR l’équation : 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑎 d’inconnue 𝑥

Mahamaths.com site de Mahamane O Maïga

Mahamaths.com site de Mahamane O Maïga

-Si 𝑎 < −1 𝑜𝑢 𝑎 > 1 alors cette équation n’ a pas de solution
-Si 𝑎 ∈ [−1; 1] alors on cherche un nombre réel 𝛼 tel que : 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑎 donc 𝑐𝑜𝑠𝑥 =
𝑐𝑜𝑠𝛼
<=> 𝑥 = 𝛼 + 2𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝑥 = −𝛼 + 2𝑘𝜋 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑘𝜖 𝑍
Évaluation :
1

Résoudre dans IR les équations : 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2 𝑒𝑡 𝑐𝑜𝑠 = −

√2
2

Réponses :
1
𝜋
𝜋
𝜋
<=> 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 <=> 𝑥 = + 2𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝑥 = − + 2𝑘𝜋 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑘𝜖 𝑍 =>
2
3
3
3
𝜋
𝜋
𝑆 = { + 2𝑘𝜋; − + 2𝑘𝜋/𝑘𝜖 𝑍}
3
3
∎𝑐𝑜𝑠𝑥 =

∎𝑐𝑜𝑠 = −
𝑥=

3𝜋
4

√2
2

𝜋

𝜋

<=> 𝑐𝑜𝑠𝑥 = −𝑐𝑜𝑠 4 <=> 𝑐𝑜𝑠𝑥 = cos (𝜋 − 4 ) = 𝑐𝑜𝑠

+ 2𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝑥 = −

3𝜋
4

3𝜋

+ 2𝑘𝜋 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑘𝜖 𝑍 => 𝑆 = { 4 + 2𝑘𝜋 ; −

3𝜋
4

3𝜋
4

<=>

+ 2𝑘𝜋/ 𝑘𝜖 𝑍}

Comment résoudre une Équations du
type : 𝒔𝒊𝒏𝒙 = 𝒂 ?

Soit à résoudre dans IR l’équation : 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑎 d’inconnue 𝑥
-Si 𝑎 < −1 𝑜𝑢 𝑎 > 1 alors cette équation n’ a pas de solution
-Si 𝑎 ∈ [−1; 1] alors on cherche un nombre réel 𝛼 tel que : 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝑎 donc 𝑠𝑖𝑛𝑥 =
𝑠𝑖𝑛𝛼 <=> 𝑥 = 𝛼 + 2𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝑥 = 𝜋 − 𝛼 + 2𝑘𝜋 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑘𝜖 𝑍
Évaluation :
1

Résoudre dans IR les équations : 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 2 𝑒𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑥 = −

√2
2

Réponses :
∎𝑠𝑖𝑛𝑥 =

1
𝜋
𝜋
𝜋
<=> 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 <=> 𝑥 = + 2𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝑥 = 𝜋 − + 2𝑘𝜋
2
6
6
6
5𝜋
=
+ 2𝑘𝜋 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑘𝜖 𝑍 =>
6

𝜋
5𝜋
𝑆 = { + 2𝑘𝜋;
+ 2𝑘𝜋/𝑘𝜖 𝑍}
6
6
Mahamaths.com site de Mahamane O Maïga

Mahamaths.com site de Mahamane O Maïga

∎𝑠𝑖𝑛𝑥 = −
𝑥=−

√2
2

𝜋

𝜋

<=> 𝑠𝑖𝑛𝑥 = −𝑠𝑖𝑛 4 <=> 𝑠𝑖𝑛𝑥 = sin(− 4 ) <=>

𝜋
𝜋
5𝜋
+ 2𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝑥 = 𝜋 + + 2𝑘𝜋 =
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑘𝜖 𝑍 =>
4
4
4

𝑆 = {−

𝜋
5𝜋
+ 2𝑘𝜋 ;
+ 2𝑘𝜋/ 𝑘𝜖 𝑍}
4
4

c . Équations du type : 𝒕𝒂𝒏𝒙 = 𝒂
Soit à résoudre dans IR l’équation :𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑎 d’inconnue 𝑥
alors on cherche un nombre réel 𝛼 tel que : 𝑡𝑎𝑛𝛼 = 𝑎 donc 𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝛼 <=>
𝑥 = 𝛼 + 𝑘𝜋 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑘𝜖 𝑍
Évaluation :
Résoudre dans IR les équations : 𝑡𝑎𝑛𝑥 = √3 𝑒𝑡 𝑡𝑎𝑛𝑥 = −1
Réponses :
∎ 𝑡𝑎𝑛𝑥 = √3 <=> 𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑡𝑎𝑛

𝜋
𝜋
=> 𝑥 = + 𝑘𝜋 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑘𝜖 𝑍 =>
3
3

𝜋
𝑆 = { + 𝑘𝜋 / 𝑘𝜖 𝑍}
3
𝜋
𝜋
∎ 𝑡𝑎𝑛𝑥 = −1 <=> 𝑡𝑎𝑛𝑥 = tan (− ) => 𝑥 = − + 𝑘𝜋 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑘𝜖 𝑍 =>
4
4
𝜋
𝑆 = {− + 𝑘𝜋 / 𝑘𝜖 𝑍}
4
d . Équations du type : 𝒄𝒐𝒔𝒙 = 𝒔𝒊𝒏𝜶
Pour résoudre dans IR l’ é𝒒𝒖𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒖 𝒕𝒚𝒑𝒆 𝒄𝒐𝒔𝒙 = 𝒔𝒊𝒏𝜶 ; on peut remplacer
𝜋

𝜋

𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑝𝑎𝑟 sin ( 2 − 𝑥) ou remplacer 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑝𝑎𝑟 cos( 2 − 𝛼)
Évaluation :
Résoudre dans IR l’équation : 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑠𝑖𝑛

𝜋
3

Réponse :
𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 3 < = > 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 (2 − 3 ) <= > 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 6 => 𝑥 = − 6 + 2𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝑥 =
𝜋
6

𝜋

𝜋

+ 2𝑘𝜋 avec 𝑘𝜖 𝑍 => 𝑆 = {6 + 2𝑘𝜋 ; − 6 + 2𝑘𝜋 / 𝑘𝜖 𝑍}

Comment résoudre une

Équations

du type :𝒂𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒃𝒔𝒊𝒏𝜶 = 𝒄 ?
Mahamaths.com site de Mahamane O Maïga

Mahamaths.com site de Mahamane O Maïga

Nous avons deux méthodes pour résoudre dans IR l’équation du type :
𝑎𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑏𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝑐
1ère Méthode :
On cherche un angle 𝛼 𝑡𝑒𝑙𝑠𝑞𝑢𝑒: 𝑎 = 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑒𝑡 𝑏 = 𝑠𝑖𝑛𝛼 alors l’équation
devient :𝑐𝑜𝑠𝛼. 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝛼. 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑐 < = > 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑠𝑖𝑛𝑥. 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝑐 en appliquant
une des formule d’addition l’équation dévient :𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 𝛼) = 𝑐 puis on achève cette
résolution.
2ème Méthode :
𝑎

On pose : 𝑐𝑜𝑠𝜃 = √𝑎2

+𝑏2

𝑏

et 𝑠𝑖𝑛𝜃 = √𝑎2

+𝑏2

puis on détermine 𝜃 ; alors cet équation
𝑐

dévient :√𝑎2 + 𝑏 2 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 𝜃) = 𝑐 < => 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 𝜃) = √𝑎2
résolution.

+𝑏2

puis on achève cette

Évaluation :
Résoudre dans IR l’équation : 𝑐𝑜𝑠𝑥 + √3𝑠𝑖𝑛𝑥 = √2
Réponse :
1ère Méthode :
𝑐𝑜𝑠𝑥 + √3𝑠𝑖𝑛𝑥 = √2 ; on constate qu’il n’existe aucun angle dont son cosinus donne
1 et son sinus donne √3 ; alors multiplions chaque membre de l’équation par
1

L’équation dévient : 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 +

√3
𝑠𝑖𝑛𝑥
2

=

√2
2

1

√3
2

𝜋

L’équation dévient : 𝑐𝑜𝑠 3 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛 3 𝑠𝑖𝑛𝑥 =
𝑥−

𝜋

est 3 ;
√2
2

𝜋

𝜋

< = > cos (𝑥 − 3 ) = cos 4 =>

𝜋 𝜋
𝜋
𝜋
7𝜋
𝜋
= + 2𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝑥 − = − + 2𝑘𝜋 => 𝑥 =
+ 2𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝑥 =
+ 2𝑘𝜋 =>
3 4
3
4
12
12

𝑆={

7𝜋
𝜋
+ 2𝑘𝜋; + 2𝑘𝜋/𝑘𝜖 𝑍}
12
12

2ème Méthode :
𝑐𝑜𝑠𝑥 + √3𝑠𝑖𝑛𝑥 = √2 ; posons : 𝑐𝑜𝑠𝜃 =

1
2

√12 +√3

Mahamaths.com site de Mahamane O Maïga

2

;

; on constate que l’angle dont son cosinus

correspond à 2 et son sinus correspond à
𝜋

1

et 𝑠𝑖𝑛𝜃 =

√3
√12 +√32

<=>

Mahamaths.com site de Mahamane O Maïga
1

𝑐𝑜𝑠𝜃 = 2 𝑒𝑡 𝑠𝑖𝑛𝜃 =
𝜋

√3
2

=> 𝜃 =

𝜋
3

𝜋

alors l’équation dévient :cos (𝑥 − 3 ) =
𝜋

√2

√2
√12 +√32

𝜋

cos (𝑥 − 3 ) = 2 < = > cos (𝑥 − 3 ) = cos 4 , on en déduit que :
7𝜋
𝜋
𝑆 = { + 2𝑘𝜋; + 2𝑘𝜋/𝑘𝜖 𝑍}
12
12
6 .Exemples de certaines types d’Inéquations trigonométrique :
Pour les résolutions de ces inéquations nous allons utiliser le cercle
trigonométrique
Suite…….
A .Exemple 1 :
Résoudre l’inéquation :𝑐𝑜𝑠𝑥 >

√3
2

dans l’intervalle ]– 𝜋; 𝜋] puis dans ]0; 2𝜋]

Réponses :
Résolvons l’inéquation : 𝑐𝑜𝑠𝑥 >

√3
2

𝜋/6
1
y

0

1
x

-1

𝜋

−6

𝜋 𝜋

Dans l’intervalle ]– 𝜋; 𝜋] => 𝑆 = [− ; ]
6 6

Dans l’intervalle ]0; 2𝜋]

𝜋

=> 𝑆 = ]0; 6 [ 𝑈 ]

11𝜋
6

; 2𝜋]

b . Évaluation :
Résoudre l’inéquation :𝑠𝑖𝑛𝑥 ≤ −

√3
2

dans l’intervalle ]– 𝜋; 𝜋] puis dans IR

Réponses :
J 1 Sin

Mahamaths.com site de Mahamane O Maïga

<=>

Mahamaths.com site de Mahamane O Maïga

2𝜋

𝜋
√3
2

3

−𝜋

3

OO I
𝜋

O




2𝜋

√3
2

𝜋

−3

3

-1
Dans l’intervalle ]– 𝜋; 𝜋] ;𝑆 = [−
Dans IR ; ]– 𝜋; 𝜋] ;𝑆 = [−

2𝜋
3

2𝜋
3

𝜋

; − 3]
𝜋

+ 2𝑘𝜋; − 3 + 2𝑘𝜋] avec 𝑘𝜖 𝑍

Mahamaths.com site de Mahamane O Maïga

Cos



Documents similaires


exercices equation ineq
equations differentielles
3eme sc tech 1
trigonometrie
1s exercices algebre
math 3