Étude locale d'une fonction .pdf

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Étude locale d’une Fonctions
numériques
Résumé
1.Limite nulle en zéro :
Activité :
Soit 𝑓 la fonction de IR vers IR définie par 𝑓(𝑥) = 𝑥 2
Compléter le tableau suivant :
𝑥

−0,0001

−0,00001

−0,000001

0

0,000001

0,00001

0,0001

𝑓(𝑥)

Synthèse :
𝑥

−0,0001

−0,00001

−0,000001

0

0,000001

0,00001

0,0001

𝑓(𝑥)

−10−8

−10−10

−10−12

0

10−12

10−10

10−8

On constate que ces valeurs sont tous proche de zéro
on dit que 𝑓 a pour limite zéro en zéro
Définition
Soit 𝑓 une fonction définie au moins sur un intervalle de la forme [a ;+∞[ (a ∈ R).
Si lorsque 𝑥 prend des valeurs de plus en plus proche de zéro :
𝑓(𝑥) prend des valeurs de plus en plus proche de zéro ;on dit que 𝑓 a pour limite nulle
en zéro.
Exemples :
Les fonctions 𝑥; 𝑥 2 ; 𝑥 3 ; √𝑥 ont chacune des limites nulles en zéro.
2.Limite d’une fonction en un point :
Soit 𝑓 une fonction définie au moins sur un domaine D contenant 𝑎 ou dont une borne
est 𝑎 (𝑎 est un réel).
Si lorsque 𝑥 prend des valeurs de plus en plus proches de 𝑎 (𝑥 tend vers a)
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∎𝑓(𝑥) prend des valeurs de plus en plus grandes, on dit que 𝑓a pour limite +∞ en 𝑎 et
on note lim 𝑓(𝑥) = +∞.
𝑥→𝑎

∎𝑓(𝑥) prend des valeurs de plus en plus grandes en valeur absolue mais négatives, on
dit que 𝑓 a pour limite −∞ en 𝑎 et on note lim 𝑓(𝑥) = −∞.
𝑥→𝑎

∎𝑓(𝑥) prend des valeurs de plus en plus proches d’un réel 𝑙, on dit que 𝑓a pour limite 𝑙
en 𝑎 et on note lim 𝑓(𝑥) = 𝑙
𝑥→𝑎

Pour calculer la limite d’une fonction 𝑓 en un réel 𝑎 il suffit seulement de remplacer 𝑥 le
nombre réel𝑎 dans l’expression de 𝑓(𝑥)

Comment calculer la Limite d’une fonction en un point ?
Pour calculer la limite d’une fonction 𝑓 en un point 𝑎 ; on remplace seulement 𝑥 𝑝𝑎𝑟 𝑎
dans l’expression de 𝑓(𝑥)
Évaluation :
Calculer les limites suivantes :

lim

𝑥+3

𝑥→3 𝑥 2 +4𝑥+3

; lim

2

1

𝑥→0 𝑥 2

; lim − |𝑥−1|
𝑥→1

Réponses :
∎ lim

𝑥→3 𝑥 2

∎ lim

𝑥→0

2
2
= 2 = +∞
2
𝑥
0

∎ lim −
𝑥→1

(3) + 3
𝑥+3
6
1
=
=
=
2
+ 4𝑥 + 3 (3) + 4(3) + 3 24 4

1
1
=−
= −∞
|𝑥 − 1|
|0|

3.Limite à droite,limite à gauche.
Lorsqu’ une fonction 𝑓 n’admet pas de limite en un nombre réel 𝑎 et ce pendant quant on
donne :
∎des valeurs proche de 𝑎 à gauche ( par valeurs inférieures) ;𝑓 admet une limite 𝑙 ; on dit
que la limite à gauche de 𝑓(𝑥) est égale à 𝑙 ;on note :
lim 𝑓(𝑥) = 𝑙 𝑜𝑢

𝑥→𝑎−

lim

𝑥→𝑎;𝑎<0

𝑓(𝑥) = 𝑙

∎des valeurs proche de 𝑎 à droite ( par valeurs supérieures) ;𝑓 admet une limite 𝑙′ ; on
dit que la limite à droite de 𝑓(𝑥) est égale à 𝑙 ;on note :
lim 𝑓(𝑥) = 𝑙′ 𝑜𝑢

𝑥→𝑎+

lim

𝑥→𝑎;𝑎>0

𝑓(𝑥) = 𝑙′

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O Maïgaà droite,limite à gauche ?
Comment déterminer
la Limite

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Pour déterminer la limite à droite ou la limite à gauche d’une fonction 𝑓 𝑒𝑛 𝑎 ,on remplace
𝑥 𝑝𝑎𝑟 𝑎 dans l’expression de 𝑓(𝑥) ; si 𝑎 annule le dénominateur de cette fonction , alors
on étudie les signes du dénominateur pour déterminer le signe du zéro au dénominateur.
Évaluation :
Calculer les limites suivantes : lim+

1

𝑥→0 𝑥

; lim−

𝑥

𝑥→1 𝑥 2 −4𝑥+3

; lim+

𝑥

𝑥→3 𝑥 2 −4𝑥+3

Réponses :
1

1

𝑥→0 𝑥

0+

∎ lim+ =
∎ lim−
𝑥→1

= +∞

𝑥
𝑥 2 −4𝑥+3

=

1
0

; Déterminons le signe du zéro ;

Posons :𝑥 2 − 4𝑥 + 3 = 0 => 𝑥 = 1 𝑒𝑡 𝑥 ′ = 3
𝑥

−∞

𝑥 2 − 4𝑥 + 3

1

+

1

3

+∞

-

+

On constate que le signe à gauche de 1 est négative ; donc :

lim−

𝑥→1

∎ lim+
𝑥→3

𝑥
𝑥 2 −4𝑥+3

=

3

𝑥
1
=
= +∞
𝑥 2 − 4𝑥 + 3 0+

; en utilisant le même tableau, on constate que le signe à droite de

0

3 est négative, donc : lim−

𝑥

𝑥→3 𝑥 2 −4𝑥+3

=

3
0−

= −∞

4.Opérations sur les limites :
Les théorèmes suivants, présentés sous forme de tableaux, sont admis. Les résultats sont,
pour la plupart, intuitifs, mais il convient de faire attention aux quelques cas particuliers.
Les fonctions 𝑓 et g ont des limites finies ou infinies en .
Lorsqu’on ne peut pas conclure de manière générale, on obtient une forme indéterminée,
symbolisée par un point d’interrogation ( ?).
∎Limite de la somme de deux fonctions :
lim 𝑓(𝑥)

𝑥→𝑎

𝑙

+∞

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−∞

+∞

−∞

+∞

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lim 𝑔(𝑥)

𝑙′

𝑙′

𝑙′

+∞

−∞

−∞

lim ( 𝑓 + 𝑔)(𝑥)

𝑙 + 𝑙′

+∞

−∞

+∞

−∞

?

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

∎Limite du produit de deux fonctions :

lim 𝑓(𝑥)

𝑙

+∞

−∞

+∞

−∞

+∞

0

lim 𝑔(𝑥)

𝑙′

𝑙′

𝑙′

+∞

−∞

−∞

+∞ 𝑜𝑢

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

−∞

lim ( 𝑓. 𝑔)(𝑥)

𝑙. 𝑙′

𝑥→𝑎

{

+∞ 𝑠𝑖 𝑙 ′ > 0 +∞ 𝑠𝑖 𝑙 ′ < 0
{
−∞ 𝑠𝑖 𝑙 ′ < 0 −∞ 𝑠𝑖 𝑙 ′ > 0

+∞

+∞

−∞

?

∎Limite du quotient de deux fonctions :

lim 𝑓(𝑥)

𝑙

+∞

−∞

+∞

−∞

+∞

0

0

lim 𝑔(𝑥)

𝑙′

𝑙′

𝑙′

+∞

−∞

−∞

+∞ 𝑜𝑢

0

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

−∞

𝑓
lim (𝑥)
𝑥→𝑎 𝑔

𝑙
𝑙′

{

+∞ 𝑠𝑖 𝑙 ′ > 0 +∞ 𝑠𝑖 𝑙 ′ < 0
{
−∞ 𝑠𝑖 𝑙 ′ < 0 −∞ 𝑠𝑖 𝑙 ′ > 0

Comment lever l’indétermination ?

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?

?

?

0

?

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0 ∞

Nous
avons
4
formes
d’indéterminations (+∞ − ∞; 0 × (∞); 0 ; ∞)
Pour lever l’indétermination ; on peut utiliser plusieurs techniques :
La factorisation ; l’utilisation de la forme conjuguée ; la dérivée etc.
Évaluation :
: Calculer les limites suivantes :
𝑥−2

lim

𝑥→2 √𝑥+2−2

; lim

𝑥→3

𝑥−3
𝑥 2 −4𝑥+3

Réponses :
𝑥−2

∎ lim

𝑥→2 √𝑥+2−2

=

2−2
√4−2

0

= F.I
0

Pour lever l’ indétermination on peut utiliser l’ expression de la forme conjuguée du
dénominateur pour éliminer la racine carrée.
On a:

𝑥−2

=

(𝑥 − 2)(√𝑥 + 2 + 2)

=

(𝑥 − 2)(√𝑥 + 2 + 2)
(𝑥 + 2) − 4

(√𝑥 + 2 − 2)(√𝑥 + 2 + 2)
√𝑥 + 2 − 2
(𝑥 − 2)(√𝑥 + 2 + 2)
=
= √𝑥 + 2 + 2
𝑥−2
𝑥−2

lim

𝑥→2 √𝑥

+2−2
𝑥−3

= lim √𝑥 + 2 + 2 = 4
𝑥→2

3−3

0

∎ lim 𝑥 2 −4𝑥+3 = 9−12+3 = 0 F.I
𝑥→3

Pour lever cette indétermination on peut utiliser factoriser le dénominateur.
Posons :𝑥 2 − 4𝑥 + 3 = 0 => 𝑥 = 1; 𝑥 ′ = 3 => 𝑥 2 − 4𝑥 + 3 = (𝑥 − 1)(𝑥 − 3)
𝑥−3
𝑥−3
1
1
=
lim
=
=
𝑥→3 𝑥 2 − 4𝑥 + 3
𝑥→3 (𝑥 − 1)(𝑥 − 3)
𝑥−1 2
lim

5.Continuité d’une fonction en un point
Activité :
Soit 𝑓 une fonction de IR vers IR définie par :
𝑓(𝑥) =

𝑥 2 −1
𝑥−1

Dans chacun des cas suivants, calculer lim 𝑓(𝑥) 𝑒𝑡 𝑓(𝑎)
𝑥→𝑎

a) 𝒂 = 𝟐
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b) 𝒂 = 𝟏
Synthèse :
a) lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(2) = 3
𝑥→2

b) lim 𝑓(𝑥) = 2 𝑒𝑡 𝑜𝑛 𝑛𝑒 𝑝𝑒𝑢𝑡 𝑝𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑓(1)
𝑥→1

On dit que 𝑓 est continue en 2 ; mais elle n’est pas continue en 1.
ON RETIENT QUE :
∎Soit 𝑓 une fonction et 𝑎 un nombre réel. 𝑓 est continue en 𝑎 si 𝑓 est définie en
𝑎 𝑒𝑡 lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎).
𝑥→𝑎

∎Lorsque lim− 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) ; on dit que 𝑓 est continue en 𝑎 à gauche
𝑥→𝑎

∎Lorsque lim+ 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) ; on dit que 𝑓 est continue en 𝑎 à droite
𝑥→𝑎

Comment étudier la continuité d’une fonction en un point ?
Pour Étudier la continuité d’une fonction 𝑓 en 𝑎 ; on calculer 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥)
𝑥→𝑎

→ si

cette

limite

est

un

réel ;

on

calcule

𝑓(𝑎)

𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑙𝑒 𝑐𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑓 𝑛′ 𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒.

et

si

𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

𝑥→𝑎

→ si cette limite n’est pas un réel 𝑓 𝑛′ 𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒
Évaluation :
Étudier la continuité de𝑓 en 𝑎 ; dans chacun des cas suivants :
a .𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 + 5 𝑒𝑡 𝑎 = 1
b .𝑓(𝑥) =

𝑥 2 −4
𝑥−2

et 𝑎 = 2

Réponses :
∎ lim 𝑥 3 − 3𝑥 + 5 = 1 − 3 + 5 = 3 𝑒𝑡 𝑓(1) = 1 − 3 + 5 = 3 ; on constate que :
𝑥→1

lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(1) = 3 alors 𝑓 est continue en 𝑎

𝑥→𝑎

∎ lim

𝑥 2 −4

𝑥→2 𝑥−2

0

= F.I
0

Levons l’indétermination :
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lim

𝑥 2 −4

= lim

𝑥→2 𝑥−2

(x−2)(x+2)

𝑥→2

𝑥−2

=lim 𝑥 + 2 = 4
𝑥→2

0

𝑓(2) = 0 𝑓 n’ est pas définie en 2 alors 𝑓 n’est pas continue en 2
6.Dérivée d’une fonction
a .Fonction dérivable en un point :
Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle ouvert K et 𝑎 un nombre réel .
∎On dit que 𝑓 est dérivable en𝑎 si : lim

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎

𝑥→𝑎

est un nombre réel ; ce nombre réel est

appelé nombre dérivé de 𝑓 𝑒𝑛 𝑎 et noté :𝑓 ′ (𝑎)

∎ On dit que 𝑓 est dérivable à gauche en𝑎 si ∶ lim
−

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎

𝑥→𝑎

est un nombre réel ; ce

nombre réel est appelé nombre dérivé à gauche en 𝑎 de 𝑓
∎ On dit que 𝑓 est dérivable à droite en𝑎 si ∶ lim
+

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎

𝑥→𝑎

est un nombre réel ; ce

nombre réel est appelé nombre dérivé à droite en 𝑎 de 𝑓.
Exemple :
Calculer le nombre dérivé de la fonction 𝑓 définie par :𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 3 en 1
Réponse :
𝑓 ′ (1) = lim

𝑥→1

𝑓(𝑥)−𝑓(1)
𝑥−1

= lim

𝑥→1

𝑥 2 −3+2
𝑥−1

= lim

𝑥 2 −1

𝑥→1 𝑥−1

= lim

𝑥→1

(𝑥−1)(𝑥+1)
𝑥−1

= lim𝑥 + 1 = 2
𝑥→1

Comment calculer la dérivée d’ une fonction ?
Pour calculer la dérivée d’une fonction ; on se serve le plus souvent des tableaux suivants :
Soit 𝒌 un nombre réel et 𝑛 un entier naturel supérieur à 1 :
𝐹𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠

𝐷é𝑟𝑖𝑣é𝑒𝑠

𝐷𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛𝑒 𝑑𝑒 𝑑é𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡é𝑠

𝑘

0

𝐼𝑅

1

𝐼𝑅

𝑥

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𝑘𝑥

𝑥𝑛

𝑘
𝑥

𝑘

𝐼𝑅

𝑛𝑥 𝑛−1

𝐼𝑅

𝑘
𝑥2

𝐼𝑅 ∗

1

𝐼𝑅+∗

−

√𝑥

2√𝑥

𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥

𝐼𝑅

𝑐𝑜𝑠𝑥

−𝑠𝑖𝑛𝑥

𝐼𝑅

𝑡𝑎𝑛𝑥

1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 =

1
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥

𝜋
𝐼𝑅 − { + 2𝑘𝜋; 𝑘𝜖𝑍}
2

Exemples :

𝐹𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠

𝑑é𝑟𝑖𝑣é𝑒𝑠

𝑥3

3𝑥 2

4
𝑥

−

4
𝑥2

Soit 𝑢 𝑒𝑡 𝑣 deux fonctions,𝑘 un nombre réel et 𝑛 un entier naturel supérieur à 1 ; on
considère le tableau suivant :

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𝐹𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠

𝐷é𝑟𝑖𝑣é𝑒𝑠

𝑢+𝑣

𝑢′ + 𝑣′

𝑘𝑢

𝑘𝑢′

𝑢. 𝑣

𝑢′ . 𝑣 + 𝑣 ′ . 𝑢

1
𝑣

−

𝑣′
𝑣2

𝑢
𝑣

𝑢′ . 𝑣 − 𝑣 ′ . 𝑢
𝑣2

√𝑢

𝑢′
2√𝑢

𝑢𝑛

𝑛. 𝑢′. 𝑢𝑛−1

𝑢𝑜𝑣

𝑣 ′ . 𝑢′𝑜𝑣

Exemples :
Déterminer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
𝑓(𝑥) = 3𝑥 4 + 10𝑥 2 − 5𝑥 + 6 ; 𝑔(𝑥) = (𝑥 3 − 2)5 ; ℎ(𝑥) =

𝑥 2 − 4𝑥 + 1
; 𝑘(𝑥) = √3𝑥 − 2
2𝑥 − 1

Réponses :
𝑓(𝑥) = 3𝑥 4 + 10𝑥 2 − 5𝑥 + 6 => 𝑓 ′ (𝑥) = 12𝑥 3 + 20𝑥 − 5
𝑔(𝑥) = (𝑥 3 − 2)5 ; nous ici la forme : 𝑢 𝑛 qui a pour dérivée 𝑛. 𝑢′. 𝑢𝑛−1
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Posons :𝑢 = 𝑥 3 − 2 => 𝑢′ = 3𝑥 2 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑔′ (𝑥) = 5(3𝑥 2 )(𝑥 3 − 2)4 = 15𝑥 2 (𝑥 3 − 2)4
ℎ(𝑥) =

𝑥 2 −4𝑥+1
2𝑥−1

ici nous avons la forme

𝑢′ .𝑣−𝑣 ′ .𝑢

𝑢

=> ℎ′ (𝑥) =
𝑣

𝑣2

Posons :𝑢 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 1 => 𝑢′ = 2𝑥 − 4 ; 𝑣 = 2𝑥 − 1 => 𝑣 ′ = 2 donc
ℎ

′ (𝑥)

(2𝑥 − 4)(2𝑥 − 1) − 2(𝑥 2 − 4𝑥 + 1) 2𝑥 2 − 2𝑥 + 2
=
=
(2𝑥 − 1)2
(2𝑥 − 1)2
𝑢′

𝑘(𝑥) = √3𝑥 − 2 ici nous avons la forme√𝑢 => 𝑘 ′ = 2

√𝑢

3

Posons :𝑢 = 3𝑥 − 2 => 𝑢′ = 3 => 𝑘 ′ (𝑥) = 2√3𝑥−2

Interpréter graphiquement du nombre dérivé .
Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel 𝑎 et ( C) sa courbe
représentative .
On suppose que ( C) admet une tangente ( T) non parallèle à l’axe des ordonnées en son
point A d’abscisse 𝑎.
Le coefficient directeur de la tangente ( T) à la courbe ( C) en son point d’abscisse 𝑎 est
appelé nombre dérivé de la fonction 𝑓 en 𝑎 ; on le note 𝑓 ′ (𝑎).

Comment déterminer une équation de la tangente ?
L’équation de la tangente à la courbe de la fonction 𝑓 𝑎𝑢 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝑑′ 𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑠𝑒 𝑎 est T) :𝑦 =
𝑓 ′ (𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎).
Exemple :
Déterminer une équation de la tangente à la courbe de la fonction 𝑓 définie par :𝑓(𝑥) =
𝑥 2 − 1 au point d’abscisse 𝑥0 = 2
Réponse :
Posons : 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥0 )(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑓(𝑥0 ) = 𝑓 ′ (2)(𝑥 − 2) + 𝑓(2)
On a : 𝑓(2) = 3 ; 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 1 => 𝑓 ′ (𝑥) = 2𝑥 => 𝑓 ′ (2) = 4
L’équation de cette tangente est :𝑦 = 4(𝑥 − 2) + 3 = 4𝑥 − 5

Comment déterminer le sens de variation d’une fonction ?
Pour déterminer les variations d’une fonction ; on peut étudier d’abord les signes de sa
dérivée .
Soit 𝑓 une fonction dérivable sur un intervalle I .
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∎ 𝑆𝑖 𝑓′ ≥ 0 , 𝑓 est croissante sur I
∎ 𝑆𝑖 𝑓′ ≤ 0 , 𝑓 est décroissante sur I
∎ 𝑆𝐼 𝑓 ′ = 0, 𝑓 est constante sur I
Exemple :
Déterminer le sens de variation de chacune des fonctions 𝑓 𝑒𝑡 𝑔 définies par :
𝑓(𝑥) =

2𝑥 + 1
; 𝑔(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑥 2 − 𝑥 + 5
3𝑥 − 2

Réponses :
𝑓(𝑥) =

2𝑥 + 1
3
2(3𝑥 − 2) − 3(2𝑥 + 1)
7
=> 𝐷𝑓 = 𝐼𝑅 − { } ; 𝑓 ′ (𝑥) =
=−
<0
2
3𝑥 − 2
2
(3𝑥 − 2)
(3𝑥 − 2)2
3

Alors 𝑓 est stictement décroissante sur 𝐼𝑅 − {2}
𝑔(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑥 2 − 𝑥 + 5 => 𝐷𝑔 = 𝐼𝑅 ; 𝑔′ (𝑥) = 3𝑥 2 − 2𝑥 − 1
1

Posons : 3𝑥 2 − 2𝑥 − 1 = 0 => 𝑥 = 1 𝑒𝑡 𝑥 ′ = − 3

𝑥

−∞

3𝑥 2 − 2𝑥 − 1

1

−3

+

+∞

1
−

+

1

→ 𝑠𝑖 𝑥 ∈ ]−∞; − 3] 𝑈[1; +∞[; 𝑓 ′ (𝑥) ≥ 0 alors 𝑓 est croissante ;
1

→ 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [− 3 ; 1] ; 𝑓 ′ (𝑥) ≤ 0 alors 𝑓 est décroissante.

Comment déterminer les Dérivées successives d’une fonction ?
Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle I.
∎ 𝑆𝑖 𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑑é𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝐼; 𝑜𝑛 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑠𝑎 𝑑é𝑟𝑖𝑣éé 𝑓 ′ 𝑞𝑢𝑖 𝑒𝑠𝑡 𝑎𝑝𝑝𝑒𝑙é𝑒 𝑑é𝑟𝑖𝑣é𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖è𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑓;
𝑜𝑛 𝑝𝑒𝑢𝑡 𝑙𝑎 𝑛𝑜𝑡é𝑒 𝑓 (1)
∎ 𝑆𝑖 𝑓 ′ 𝑒𝑠𝑡 𝑑é𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝐼; 𝑜𝑛 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑠𝑎 𝑑é𝑟𝑖𝑣éé 𝑓 ′′ 𝑞𝑢𝑖 𝑒𝑠𝑡 𝑎𝑝𝑝𝑒𝑙é𝑒 𝑑é𝑟𝑖𝑣é𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑓;
𝑜𝑛 𝑝𝑒𝑢𝑡 𝑙𝑎 𝑛𝑜𝑡é𝑒 𝑓 (2)
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∎ 𝐴𝑖𝑛𝑠𝑖 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒; 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑é𝑟𝑖𝑣éé
𝑛 − 𝑖è𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑓 𝑠𝑢𝑟 𝐼; 𝑠𝑖 𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 , 𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑎 𝑑é𝑟𝑖𝑣é𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑é𝑟𝑖𝑣é𝑒 (𝑛 − 1)
− 𝑖è𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑓 𝑠𝑢𝑟 𝐼 ; 𝑜𝑛 𝑝𝑒𝑢𝑡 𝑙𝑎 𝑛𝑜𝑡é𝑒 𝑓 (𝑛)
Exemple :
Déterminer la dérivée quatrième si elle existe de la fonction : 𝑓(𝑥) = sin(3𝑥 − 2)
Réponses :
𝑓(𝑥) = sin(3𝑥 − 2) => 𝑓 ′ (𝑥) = 3 cos(3𝑥 − 2) => 𝑓 (2) (𝑥) = −9sin(3𝑥 − 2) =>
𝑓 (3) (𝑥) = −27cos(3𝑥 − 2) => 𝑓 (4) (𝑥) = 81sin(3𝑥 − 2

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