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Nom original: Applications affines.pdfAuteur: Issa Moussa Coul

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Applications affines
Exercice1

 
P est le plan affine euclidien muni du repère orthonormé (O ; u ; v ) et C l’ensemble
des nombres complexes. On considère l’application affine

 x'  x  y 3  2 3
 y '  x 3  y  3

f : P  P : M(x ; y) →M’(x’ ; y’) tel que : Justifier que 

a) Vérifier que f est bijective (0,5pt)
b) Déterminer l’ensemble des points invariants par f (0,5pt) :
c) On désigne par z et z’ les affixes respectives des points M et M’. Exprimer z’
Exercice 2
Le plan affine euclidien P est muni d’un repère orthonormé et

est le corps des

nombres complexes. A tout point M (x , y) d’affixe z l’application f associe le point

 x'  x  y  1
 y'  x  y  1

M’(x’ , y’) d’affixe z’ tel que 

Exprimer z’ en fonction de z puis donner la nature et les éléments caractéristiques
de z
Exercice 3

 
P est le plan affine euclidien rapporté au repère orthonormé (O; i ; j ) direct. f et g
sont les applications affines P qui associent à tout point M(x; y) le point M’(x’; y’) telles
que :

 x '  2 x 1
 x'  x  2
et g : 
 y '  2 y 1
 y'  y 1

f: 

1°/ Pour chacune des applications f et g :
a.) Déterminer l’ensemble des points invariants, préciser celles qui sont bijectives
b.) Préciser la nature et les éléments caractéristiques de chacune d’elles
2°/ Définir analytiquement la réflexion d’axe ∆ d’équation y = x.
Exercice 4

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1°/ Soit f l’application affine du plan P dans lui-même définie par son expression
1

x'  x  1


2
analytique : 
 y'  1 y  2


2
a.) Montrez que f admet un seul point invariant J.



b.) Montrez que JM ' =

1 
JM où M’ = f(M). En déduire la nature et les éléments
2

caractéristiques de f.
c.) Déterminer le centre et le rayon du cercle C ’ image du cercle C d’équation :
x2 + y2 – 2y = 0 par f.
Exercice 5




Le plan est rapporté au repère orthonormé (O ; i , j ).On désigne par S la réflexion


d’axe la droite (D) d’équation y = x et par σ la réflexion d’axe (O ; i ).
1°/ Soit M un point du plan et M1 son image par S; on pose M’= σ(M1)
a) Calculer les coordonnées x’ et y’ de M’ en fonction des coordonnées x et y de M.
b) Caractériser la transformation qui fait passer de M à M’.
c) Au point M(x ; y) on associe maintenant le pont N(X ; Y) telles que:
 X 1  y

 Y 1  x

Montrer que cette transformation est une rotation dont on précisera le

centre Ω et l’angle θ.
2°/ Le point M décrivant la droite d’équation y = x, déterminer l’ensemble décrit
par N
Quel est l’ensemble décrit par le milieu du bipoint (M, N) ?
Exercice 6

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 

1°/ Le plan P est rapporté au repère orthonormé (O ; i , j ). On considère l’application
affine f de P dans P qui à tout point M(x ; y) associe le point M’(x’ ; y’) telles que :

6
8
8

x
'


x

y


5
5
5

 y'  8 x  6 y  1

5 5
5
1°/

et  l’ensemble des nombres complexes

a°/ f est-elle bijective ? Justifiez votre réponse

b°/ Déterminer l’ensemble des points invariants par f.
c°/ Quelle est l’image par f de la droite D d’équation y = 2x + 1 ?
2°/ On désigne par M(x ; y) le point d’affixe z et par M’ le point d’affixe z’ où z et z’
sont deux nombres complexes
a°/ Sachant que f(M) = M’, exprimer z’ en fonction de z.
b°/ En déduire la nature et les éléments caractéristiques de f
Exercice 7
 

Le plan P est rapporté à un repère orthonormé (O ; u ; v ). Soit Tα l’application de P

1

x
'


x  y

2
vers P qui à tout point M(x ; y) associe le point M’(x’ ; y’) telles que 

1
 y '  x  y

2
α est un paramètre réel.
1°/ Montrez que, pour tout α, Tα est bijective et admet un unique point invariant que
l’on précisera.
2°/ Montrez qu’il existe une valeur unique de α pour laquelle Tα est une homothétie
H dont on précisera le centre et le rapport.
3°/ Montrez qu’il existe 2 valeurs de α pour lesquelles Tα est une isométrie.
Vérifiez que ces deux isométries sont réciproques l’une de l’autre. On les note R et RExercice 8

 

Le plan affine est muni d’un repère orthonormé (O ; u ; v ) et C désigne l’ensemble des
nombres complexes. Soient A, B et C trois points d’affixes respectives
a = –1 + 3i, b = – 4 +2i et c = 1 + 4i.
Soit f la transformation du plan dans lui-même qui à tout point M d’affixe z associe le
point M’ d’affixe z’ définie par : z’ = (2 – 2i)z + 1.
1°/ Déterminez la nature et les éléments caractéristiques de f.
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2°/ Déterminez l’affixe du point B’ image de B par la transformation f. vérifiez que les




vecteurs CA et CB' et orthogonaux.
3°/ Soit M(x ;y) où x et y sont des entiers relatifs et M’ son image par f. Montrez que




les vecteurs CM' et CA sont orthogonaux si et seulement si x + 3y = 2.
Exercice 9
 

Le plan est muni d’un repère orthonormé (O ; i ; j ) .
1°/ On désigne par M(x ; y) un point du plan, M1(x1 ; y1) son image par la symétrie
orthogonale d’axe la droite d’équation y = x et M’(x’ ; y’) l’image de M1 par la symétrie


orthogonale d’axe (O ; i ).
a) Exprimez x’ et y’en fonction de x et y.
b) Caractérisez l’application qui transforme M en M’
c) On désigne par r l’application qui au point M(x ; y) associe le point

 x" 1 y
. Montrez que r est une rotation dont on précisera
 y" 1 x

M’’(x’’ ; y’’) définies par : 

le centre Ω et l’angle θ. (1pt)

2°/ Lorsque le point M décrit la droite d’équation y = x, déterminez l’ensemble décrit
par le point M’’ainsi que l’ensemble décrit par le milieu du segment [M M’’]. (1,5pt)

 x2 1 3 y
 y2 1 2 x

3°/ Au point M(x; y) on associe le point M2(x2 ; y2) définies par 

a) Quelle est la nature de l’ensemble (E) des points M2 lorsque M décrit le cercle unité
de centre O ? (1pt)
b) Caractériser l’image de (E) par la rotation r définie en 1°/- c)
Exercice 10.
(P) désigne un plan affine rapporté à un repère (O,i, j ) .
Soit a  IR. On considère l'application affine fa définie par :
fa : (P)  (P)
M ( x, y )  M' ( x' , y' )

avec

 x'  ax  a  1

 y'  (3a  1) x  (1  2a) y  2

1. Montrer qu'il existe une valeur de a pour laquelle fa est une homothétie, dont on
précisera le centre et la rapport.
2. Existe-t-il a tel que fa soit involutive ? Montrer qu'alors fa est une symétrie que l'on
précisera.
3. Déterminer avec précision fa (P) suivant les valeurs de a.
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On suppose a = 0. Soit t la translation de vecteur 3 j .
Montrer qu'il existe une projection p que l'on déterminera telle que : f0 = t o p = p o t.
Exercice 11



Le plan P est muni d'un repère orthonormal direct ( O ; e 1 , e 2 ) . On considère
l'application f du plan P dans lui-même qui, à tout point M de coordonnées (x, y)
associe le point M' de coordonnées (x', y') telles que :
 x' y  4

 y'  x  4

\a) Exprimer z' = x' +iy' en fonction de z =x + iy.
b) L'application f est-elle un déplacement ou un antidéplacement ? Justifier la réponse.
c) Déterminer la nature de f. Indiquer ses éléments caractéristiques.




Exercice 12 - Le plan P est muni d'un repère orthonormal direct ( O ; e 1 , e 2 ) . On
considère l'application f du plan P dans lui-même qui, à tout point M de coordonnées
(x, y) associe le point M' de coordonnées (x', y') telles que :
3
4
13

 x '   5 x  5 y  5

 y'  4 x  3 y  6

5
5
5

1° a) Exprimer z' = x' +iy' en fonction de z =x + iy ou de z  x  iy .
b) L'application f est-elle un déplacement ou un antidéplacement ? Pourquoi ?
c) Quel est l'ensemble des points invariants par f ?
2° En utilisant l'écriture de f, démontrer que f o f est une translation. On désignera


par 2 v le vecteur de la translation.
Exercice 13




Soit P un plan muni d'un repère orthonormal direct ( O ; e 1 , e 2 ) . On considère
l'application f du plan P dans lui-même qui, à tout point M d'affixe z, associe le point
1
2

M' = f(M) dont l'affixe z' est telle que : z '  (1  i 3 ) ( z  1) .
1° L'application f est-elle un déplacement ou un antidéplacement ? Justifier la
réponse.

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2. Démontrer que l'application f o f est une translation ; on notera v le vecteur de la
translation.
3° Soit t la translation de vecteur

1
v . Démontrer que l'application g égale à t -1o f
2

est une symétrie axiale dont on indiquera l'axe.
4° Indiquer la nature et les éléments caractéristiques de f.
Exercice 14 –
On donne deux droites D et D' et un point A n'appartenant ni à D, ni à D'.
Construire un triangle équilatéral ABC tel que B appartienne à D et C à D'.
Exercice 15 On donne deux droites parallèles D1 et D2 et un point A. Construire un triangle
équilatéral ABC tel que B soit un point de D1 et C un point de D2
Exercice 16 - Soit ABC un triangle isocèle rectangle en A tel que (AB, AC) 

.
2

Déterminer le centre, le rapport et l’angle de la similitude directe transformant A en
B et B en C.
Exercice 17
On considère les carrés OABC et OCDE tels que :
(OA, OC)  (OC, OE)   .
2

On considère le repère orthonormal direct (O; OA, OC) . On désigne par I le milieu
du segment [CD], par J le milieu du segment [OC] et par H le point d’intersection
des segments [AD] et [IE].
1. Justifier l’existence d’une similitude directe s transformant A en I et D en E.
2. Déterminer l’écriture complexe de la similitude s.
3. Déterminer les éléments caractéristiques de cette similitude s.
Exercice 18
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O ; u, v ) . Soit A le point
d’affixe i et B le point d’affixe 2.
1. a. Déterminer l’affixe du point B1 image de B par l’homothétie de centre A et de
rapport 2 .
b. Déterminer l’affixe du point B’ image de B1 par la rotation de centre A et d’angle
.
2. On appelle f la transformation du plan tel que B’ = f(B) .
a. Donner l'écriture complexe de f.
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4

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b. Quelle est la nature de f ? Donner ses éléments caractéristiques.
Exercice 19
Le plan muni d’un repère orthonormal direct

(O ; u, v ) .Soit 

le point d’affixe 2.

On appelle r la rotation de centre Ω et d’angle  , et h l’homothétie de centre Ω et de
4

rapport

2
2

.

1. Quelle est la nature de la transformation   h  r ? Préciser ses éléments
caractéristiques.
2. Montrer que l’écriture complexe de σ est :  : z 

1i z  1  i .
2

Exercice 20
Dans le plan orienté, on considère un triangle ABC, rectangle et isocèle en A ; on
suppose que (AB , AC ) 


(2) . On note A' le symétrique de A par rapport au point
2

C.
1. Déterminez le rapport et l'angle de la similitude directe s qui transforme A' en C et
C en B.
2. Quelle est la transformée de la droite (AC) par la similitude directe s ?
3. Soit  le centre de la similitude.
Démontrez que le triangle  CB est rectangle isocèle. Déduisez-en une construction
de  .

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