Equations différentielles .pdf


Nom original: Equations différentielles.pdf
Auteur: Issa Moussa Coul

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Equations différentielles
Exercice 1
Résoudre dans

l’équation différentielle (E) : y’’+

1
y=0
9

2°/a) Trouver la fonction f solution particulière de (E) vérifiant f(0) = –
f(

3 et

3
)=1
2

b) Trouver les réels r et w strictement positifs et   ] –  ;  ] tel que
f(x) = rcos(wx+)
3°/ Trouver la solution g de (E) vérifiant g(0) = 2 et g(

3
) = 0.
2

Exercice 2
1°/ On considère l’équation différentielle (E) : y" – y = 4xex
Déterminer les réels a et b pour que la fonction g définie par g(x) = (ax2 + bx)ex soit
solution de (E).
2°/ Vérifier qu’une fonction numérique f définie sur IR. est solution de (E) équivaut à f
– g est solution de l’équation (E’) : y" – y = 0 (1pt)
3°/ Résoudre (E’) puis en déduire la solution générale de (E)
Exercice 3
1°/ a) Résoudre l’équation différentielle (E) : 4y’’ – 16y’ + 17y = 0





2

2


b) déterminer la solution particulière f telle que f ( )  e et f ' ' ( ) 

15 
e
4

Exercice 4
Déterminez la solution générale de l’équation différentielle y’’ + 4y’ + 4y = 0.
Trouvez la solution particulière f dont la courbe représentative(C) admet au point
A(0 ; 1) une tangente parallèle à la droite d’équation 3x + y – 2 = 0. Quelles sont les
coordonnées de l’extrémum de (C) ?
Exercice 5
On considère le système suivant d’équations différentielles du 1er ordre : l’équation :

 y '  4 z  2e 2 x

où y et z désignent deux fonctions inconnues de variable réelle x.

 z '  y  e 2 x
a) Former l’équation différentielle du second ordre (E) à laquelle satisfait y(x) (0,5pt)
b) Intégrer l’équation (E) et en déduire la solution générale du système. (0,5pt)
Préciser la solution particulière pour laquelle on a : y = 1 et z = – i pour x = 0 (0,5pt).
Exercice 6
a)Résoudre dans IR l’équation différentielle d’inconnue f :
x2f’(x) +2xf(x) – 1 = 0
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1
. Montrer
f ( x)
que l’équation (E) est équivalente à x2g’(x) +2xg(x) = 1.Déduisez – en la résolution de
l’équation (E).
Exercice 7
/ On considère l’équation différentielle (E) : y’’ + 2y’ + y = 0, où y est une fonction deux
fois dérivable sur IR.
1°/ Résoudre (E) .
b) Soit l’équation (E) : x2f ’(x) – 2xf(x) + f 2 ( x) = 0. On pose g(x) =

2°/ On considère les solutions de (E) dont la courbe représentative passe par le point
A (0 ;

1
)
2

a.) Montrer que ces solutions s’écrivent sous la forme (ax +
(ax +

1 x
)e
. On note ha(x) =
2

1 x
)e
où a est un réel.
2

Exercice 8
On considère l’équation différentielle : y’’ – 3y’ + 2y = 8x2 – 24x (E)
a.) Déterminer les réels a, b et c pour que la fonction numérique g définie par
g(x) =ax2 + bx + c soit solution de l’équation (E) dans IR
b.) Résoudre l’équation y’’– 3y’ + 2y = 0 ; puis en déduire les solutions de l’équation
(E
Exercice 9
On se propose de déterminer toutes les fonctions définies et deux fois dérivables sur]0 ;
+  [ solutions de l’équation différentielle
(E) : y’’ + 3y’ + 2y =

x 1  x
e .
2
x

1°/ a.) Vérifier que la fonction f définie par f(x) = e–x lnx est une solution de (E)
b.) Résoudre l’équation différentielle (E’) : y’’ + 3y’ + 2y = 0
2°/a.) Soit g une fonction deux fois dérivable sur]0 ; +  [. Montrer que g est une
solution de (E) si et seulement si g–f est une solution de (E’).
b.) En déduire toutes les solutions de (E)
2°/a.) Soit g une fonction deux fois dérivable sur]0 ; +  [. Montrer que g est une
solution de (E) si et seulement si g – f est une solution de (E’).
b.) En déduire toutes les solutions de (E)
Exercice 10
1°/ Résoudre l’équation différentielle
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