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Nom original: Les nombres complexes.pdfAuteur: Issa Moussa Coul

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Les nombres complexes
Exercice 1
Déterminez le module et un argument de chacun des nombres complexes suivant,

puis les écrire sous la forme trigonométrique ρ(cosθ + isinθ) avec ρ  IR* et θ IR :
2

i
 cos 2 x  i sin 2 x
z1 = – 2(sinx + cosx) ; z2 = –3 e 3 ; z3 =
2 cos 3x  2i sin 3x
Exercice 2:
On considère le nombre complexe u =

2 2 i 2 2

(i2 = –1)

1°/ a) Calculer u2 et u4
b) Calculer le module et un argument de u4, en déduire le module et un argument de
u.
2°/ Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé. A tout M de coordonnées (x,
y) du plan, on associe son affixe Z = x + iy.
Déterminer l’ensemble des points M du plan pour lesquels le module du produit u  Z
égal à 8

Exercice 3
1°/ z étant un nombre complexe, on considère l’équation (E) : z4 = –7 + 4i
a.) Vérifier que u =

2

2.

+ i est une solution de (E).

b.) Déterminer sous forme algébrique les racines quatrièmes de l’unité. En déduire
dans l’ensemble C des nombres complexes toutes les solutions de (E) sous forme
algébrique.
2°/ Soit ABCD un carré du plan.
Exercice 4
1°/ a) Déterminer sous forme algébrique les racines sixièmes de l’unité,
C’est-à-dire trouver les nombres complexes u tels que u6=1.
b) Calculer (1- i)6.
c) En utilisant les questions a) et b) donner la forme algébrique des solutions de
l’équation d’inconnue complexe z : 8z6 + i = 0
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Exercice 5 :
Déterminer les racines cubiques du nombre complexe – 𝑖 sous forme trigonométrique et
algébrique.
3

En déduire la solution de l’équation :[(1 + 𝑖√3)𝑧] + 𝑖 = 0
On écrira les solutions sous forme trigonométrique et algébrique

Exercice 6
1°/ Dans l’ensemble C des nombres complexes on donne l’équation
(F) : z4 – 2z3(1 + 3 ) + 2z2(3 + 2 3 ) – 4z(2 +

3)+8=0

a.) Démontrer que si le complexe z0 est une solution de l’équation ( F) alors il en est
de même pour son conjugué z 0 .
b.) vérifiez que le complexe z0 = 1+ i est une solution de l’équation (F). En déduire une
seconde solution z1 de l’équation
c.) Déterminer les deux autres solutions z2 et z3 de l’équation (F)
d.) Représentez dans le plan complexe les points images des quatre solutions de
l’équation (F). (Le plan est rapporté au repère à un repère orthonormé d’unité
graphique 1cm)
e.) Déterminez la nature du quadrilatère ainsi obtenu puis calculer en cm 2 l’aire de sa
surface
Exercice 7
On considère l’équation d’inconnue complexe z,
(E) : z4 + 5z3 + (11 – 3i)z2 + (10 – 10i)z – 8i = 0.
1°/ Montrer que l’équation (E) admet une solution imaginaire pure z0 que l’on
déterminera.
2°/ Montrer que l’équation (E) admet une solution réelle que l’on déterminera.
3°/ Achever la résolution dans l’ensemble C des nombres complexes de l’équation (E).
4°/ En désignant par z1 la solution non imaginaire pure qui a une partie imaginaire
positive, par z2 la solution réelle et par z3 la 4ème solution de (E), montrer que z0, z1, z2
et z3 sont dans cet ordre les termes consécutifs d’une suite géométrique dont on
précisera la raison.
5°/ Donner le module et un argument de chacune des solutions de (E)

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Exercice 8
On considère l’équation z C: z3 – (3 + 2i)z2 + (1+ 5i)z + 2 – 2i = 0 (1)
1°/ Vérifiez que i est une solution de l’équation (1) puis résoudre cette équation.
2°/ Montrez que les solutions de l’équation (1) sont les trois premiers termes d’une
suite géométrique (zn) de premier terme i.
3°/ Déterminez la raison de cette suite puis calculez son 15ème terme
4°/ Déterminez n pour que zn soit élément de IN.

Exercice 9

 
Le plan muni d’un repère orthonormal (o, u , v ) direct. On désigne par f
l’application du plan dans lui-même qui à tout point M distinct de O et d’affixe z
associe le point M’ d’affixe z’ définie par z’=

5
ou z est le conjugué de z.
z

1°/ Déterminez l’affixe du point A’ image par f du point A d’affixe 1+i . Vérifiez que
les points O , A et A’ sont alignés.
2°/ Montrez que pour tout point M distinct de O, les points O, M et M’ sont alignés.
3°/ Trouvez l’ensemble (Г) des points invariants par f.
4°/ a) Soit z ≠0, montre que si |z – (1 +i)| =

2

alors

5
5
 = 5.
1 i z
z

b) En déduire que si M est un point, autre que O du cercle (C) de centre A passant par
O, alors son image M’ par f appartient à une droite (D) que l’on déterminera.
c) Montrez que tout point de D est l’image par f d’un point de (C) – {0}.
d) Tracer (Г), (D) et (C) dans le même repère.
e) En déduire l’image de (C) – {0} par f.
Exercice 10
I/ On considère le complexe Z défini par Z =

z2
où z = x + yi, avec (x, y) R2
z i

1°/ On note Z = X + Yi, (X, Y) R 2 Ecrire X et Y en fonction de x et y.

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2°/ Au complexe z on associe le point M(x, y) d’un plan rapporté à un repère
 

orthonormé (O ; u ; v ). Déterminer l’ensemble (Г) des points M du plan tels que Z soit
imaginaire pur non nul.
3°/ Résoudre dans C l’équation z2 + 2iz – 2 = 0. Montrer que les images des solutions
de cette équation appartiennent à l’ensemble (Г).
Exercice 11
On se place dans le corps ℂ des nombres complexes, pour n IN, on pose
zℂ, hn(z) = zn(1 – z).
1-/ Pour n  IN*, résoudre l’équation hn(z) = h0(z).
hn ( z ) 1

2-/ On se propose de résoudre le système suivant : (1) 

 z  1 z

a-/ Montrez que l’équation |z| = |1 – z| a une infinité de solutions.
b-/ Soit z0 l’une de ces solutions, calculez, en fonction du module ρ et l’argument θ de
z0, l’argument de 1 – z0 ; le module et l’argument de z 0n (1 – z0).
c-/ En déduire que le système (1) n’admet de solution que si n  1[6].
Quel est l’ensemble des solutions du système ?
Exercice 12
Les points A, B, M et M’ du plan complexe ont pour affixes respectives: 2 – 4i, –i,
z et z’ avec z’ =

 iz  2  4i
z i

1°/ Exprimez les coordonnées (x’, y’) de M’ en fonction de celles (x ; y) de M.
2°/ Déterminez et représentez l’ensemble des points M tels que :
a) z’ soit réel.
b) z’ soit imaginaire pur.
3°/ On pose Z = z + i et Z’ = z’ + i. Vérifiez que ZZ’ = –3 + 4i.
Puis calculez |ZZ’|.
4°/ a) Déterminez l’ensemble des ponts M’ lorsque M décrit un cercle de centre B et
de rayon r > 0.
b) Déterminez r pour que M et M’ soient sur le même cercle
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Exercice 13
-/ On considère le nombre complexe z =

2 2 – i 2

2

1°/ Calculez z2 et z4.
2°/ Calculez le module et un argument de z4. En déduire le module et un argument de z
 

3°/ Le plan est muni d’un repère orthonormé (O ; u , v ) Soit M(x ; y) un point du plan
d’affixe le complexe a = x +iy. Déterminez l’ensemble des points M du plan tels que le
module de az soit égal à 8 où z est le complexe défini précédemment. (1,5pt)
Exercice 14
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (A ; u
⃗,v
⃗ ), unité graphique 1
cm. On considère les points B, D et C définis par : AB 2u , AD 2v tel que ABCD soit
un rectangle.
1-/ Fais une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l’exercice.
2-/ Soit E l’image de b par la translation de vecteur DB . Détermine l’affixe ZE de E.
Construis E.
3-/ Détermine les nombres réels a et b tels que le point F d’affixe ZF = 6 - 4i soit le
barycentre des points A, B et C affectés respectivement des coefficients a, b et 1.
4-/ On considère la similitude directe S qui se transforme A en E et B en F.
a-/ Exprime Z’ en fonction de Z où Z’ est l’affixe du point M’ image de M par S.
b-/ Détermine le centre  , l’angle  et le rapport k de la similitude S.
c-/ Détermine les images de C et D par S.
d-/ Calcule l’aire de l’image par S du rectangle ABCD.
Exercice 15
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O ; u, v ) . Soit A le point
d’affixe i et B le point d’affixe 2.
1. a. Déterminer l’affixe du point B1 image de B par l’homothétie de centre A et
de rapport 2 .
b. Déterminer l’affixe du point B’ image de B1 par la rotation de centre A et
d’angle


.
4

2. On appelle f la transformation du plan tel que B’ = f(B) .
a. Donner l'écriture complexe de f.
b. Quelle est la nature de f ? Donner ses éléments caractéristiques.
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Exercice 16
Démontrer que si u  1 alors

z  uz
1u

est réel.

Etudier la réciproque.

Exercice 17
On considère l’application f du plan qui à tout point M, d’affixe z distincte de 2i,
associe le point d’affixe :
𝑧′ =

𝑧+𝑖
𝑧 − 2𝑖

1) Pour z 2i , on pose z 2i r𝑒 𝑖𝜃 , avec r>0 et ℝ . Écrire z1 à l’aide de r et 
2) A est le point d’affixe 2i
a) Déterminer l’ensemble E1 des points M pour lesquels |𝑧 , − 1|3
𝜋

b) Déterminer l’ensemble E2 des points M pour lesquels arg (𝑧 ′ − 4) ≡ [2𝑘𝜋]
4

c) Représenter les ensembles E1 et E2
Exercice 18
1) Résoudre dans 𝐼𝐶 × 𝐼𝐶 le système suivant :
(𝑧1 ; 𝑧2 ) 𝜖𝐼𝐶 × 𝐼𝐶, {

𝑧1 √3 − 𝑧2 = −2
.
𝑧1 − 𝑧2 √3 = −2𝑖

2)Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct de centre O, d’unité
graphique 4𝑐𝑚, on considère les points 𝐴 𝑒𝑡 𝐵 d’affixes respectives :
𝑧𝐴 = −√3 + 𝑖 𝑒𝑡 𝑧2 = −1 + 𝑖 √3.
Donner les écritures de 𝑧𝐴 et 𝑧𝐵 sous forme exponentielle. Placer les points 𝐴 𝑒𝑡 𝐵.
Calculer le module et un argument de

𝑧𝐴
𝑧𝐵

. En déduire la nature du triangle 𝐴𝑂𝐵 et une

⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗
mesure de l’angle (𝑂𝐴
𝑂𝐵).
3)Déterminer l’affixe du point 𝐶 tel que 𝐴𝐶𝐵𝑂 soit un losange. Placer 𝐶 puis calculer
l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶 𝑒𝑛 𝑐𝑚2 .
Exercice 19
Démontrer que si A , B et C désignent les mesures des angles d’un triangle, on a :
a)𝑆𝑖𝑛 𝐴 + 𝑆𝑖𝑛 𝐵 + 𝑆𝑖𝑛 𝐶 = 4 𝐶𝑜𝑠
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𝐴
2

𝐶𝑜𝑠

𝐵
2

𝐶𝑜𝑠

𝐶
2

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b)𝐶𝑜𝑠 𝐴 + 𝐶𝑜𝑠 𝐵 + 𝐶𝑜𝑠 𝐶 = 1 + 4 𝑆𝑖𝑛

𝐴
2

𝑆𝑖𝑛

𝐵
2

𝑆𝑖𝑛

𝐶
2

Exercice 20 :

h est la fonction de C vers C définie par :
z
h(z) = 2
z +z+1
1) Déterminer l’ ensemble de définition de h
2.) On pose : Z = h(−1 + i)
1
Calculer Z, et Z8 ; on donnera les solutions sous formes algébrique et sous forme
Z
trigonométrique.
3. )On pose : z = eiθ
̅̅̅̅̅̅
(z) = h(z̅) = h(z) (z̅ étant le conjugué de z).
Démontrer que dans ce cas :h
Exercice 21
On veut déterminer 3 nombres complexes 𝑧1 ; 𝑧2 𝑒𝑡 𝑧3 ; les modules de ces nombres forment
une suite géométrique de raison 𝑞 = 2 et leurs arguments forment une suite arithmétique
de raison 𝑟 =

2𝜋
3

.

Déterminer ces 3 nombres sachant que leur produit est 𝑧1 × 𝑧2 × 𝑧3 = 4 + 𝑖√3 et
𝜋

l’argument de 𝑧1 appartient à]0 ; 2 [. On donnera les résultats sous forme trigonométrique.

Exercice 22
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O; u
⃗ ;v
⃗)
On appelle A, B , C les points d’affixes respectives zA = −1 + 3i; zB = −2 et zc =
3−3i

.
2
Soit f l’application du plan privé de A dans le plan qui,à tout point M d′ affixe z
distincte de zA , associe le point M′ d’affixe z ′ définie par :
z+2
z′ =
z + 1 − 3i
2
1 .Résoudre dans C l’équation ( E ) : z − 3iz − 2 = 0
2. Déterminer les coordonnées des points invariants par f.(Un point est invariant
lorsque z = z ′ )
3 .Déterminer l’ensemble des points M tels que M′ appartienne au cercle de centre de
rayon 1.
4 .En posant z = x + iy , déterminer Im(z ′ ) en fonction de x et y. En déduire
l’ensemble des points M tels que M′ appartienne à l’axe des abscisses.
5. Montrer que pour z ≠ −1 + 3i on a l’équivalence suivante :
z+2
z̅ + 2
5
=−
< = > (z − zc )(z̅̅̅̅̅̅̅̅̅
− zc ) =
z + 1 − 3i
z̅ + 1 + 3i
2
b- En déduire l’ ensemble des point M tels que M′ ait une affixe imaginaire pure.
Exercice 23
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (A ; u
⃗,v
⃗ ), unité graphique 1 cm. On
considère les points B, D et C définis par : AB  2u , AD  2v tel que ABCD soit un rectangle.
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1-/ Fais une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l’exercice.
2-/ Soit E l’image de b par la translation de vecteur DB . Détermine l’affixe ZE de E. Construis
E.
3-/ Détermine les nombres réels a et b tels que le point F d’affixe ZF = 6 - 4i soit le barycentre
des points A, B et C affectés respectivement des coefficients a, b et 1.
4-/ On considère la similitude directe S qui se transforme A en E et B en F.
a-/ Exprime Z’ en fonction de Z où Z’ est l’affixe du point M’ image de M par S.
b-/ Détermine le centre  , l’angle  et le rapport k de la similitude S.
c-/ Détermine les images de C et D par S.
d-/ Calcule l’aire de l’image par S du rectangle ABCD.

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