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Nom original: Les suites numériques.pdf
Auteur: Issa Moussa Coul

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Les suites numériques
Exercice 1 :
Soit (𝑈𝑛 ) 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 définie par :
𝑈0 = 1
2𝑈𝑛
{
∀ 𝑛 ∈ 𝐼𝑁, 𝑈𝑛+1 =
𝑈𝑛 + 2
1-Calculer 𝑈1 𝑒𝑡 𝑈2
2-On considère la suite 𝑉𝑛 =

1
𝑈𝑛

pour tout 𝑛 ∈ 𝐼𝑁

Démontrer que (𝑉𝑛 ) est une suite arithmétique .
3- Exprimer 𝑉𝑛 en fonction de 𝑛
4- En déduire l’ expression de 𝑈𝑛 en fonction de 𝑛 .
Exercice 2:
1. Soit (𝑡𝑛)𝑛∊𝐼𝑁 la suite definie par : 𝑡𝑛=

1
√𝑛+1+√𝑛

a.Montrer que 𝑡𝑛= √𝑛+1 − √𝑛 (0.5pt)
b.Calculer les 4 premiers termes de (𝑡𝑛) (4pts)
c.En déduire la somme : 𝑡0 + 𝑡1 + ⋯ … … … … … … … 𝑡24 .
2.Soit (𝑉𝑛)𝑛≥1 la suite définie par 𝑉𝑛= 22𝑛+1−4𝑛 .
a.Calculer les trois premiers termes de (𝑉𝑛)
𝑏. 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑛 ≥ 1 𝑜𝑛 𝑎 :
𝑉𝑛= 22𝑛
𝑐. 𝐸𝑛 𝑑𝑒𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 (𝑉𝑛 ) est géométrique dont on précisera la raison.
𝑑. 𝐸𝑡𝑢𝑑𝑖𝑒𝑟 𝑙𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 (𝑉𝑛) (0.5𝑝𝑡)
3.On pose pour tout n≥ 1 𝑈𝑛=2𝑛
a.Montrer que 𝑈𝑛 est arithmétique et calculer la somme 𝑈1 + 𝑈2 + ⋯ + 𝑈𝑛 en
fonction de n.
b.En déduire le produit V1× 𝑉 2× … × Vn- 1× 𝑉 n en fonction de n.
Exercice 3:
Démontrer par récurrence que :
𝑛2 (𝑛+1)2

3
1. ∀ 𝑛 ∈ 𝐼𝑁: ∑𝑘=𝑛
𝑘=1 𝑘 =
4
2. ∀ 𝑛 ∈ 𝐼𝑁: 𝑛3 − 𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑎𝑟 3

Exercice 4 :
Soit 𝑈𝑛 la suite définie par :
𝑈0 = 2 𝑒𝑡 ∀ 𝑛 ∈ 𝐼𝑁; 𝑈𝑛+1 = 3𝑈𝑛 − 𝑛2 + 𝑛.
1.Déterminer un polynôme de degré 2 tel que la suite de terme général 𝐴𝑛 = 𝑃(𝑛)
vérifie la relation de récurrence précédente.
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2. Démontrer que la suite de terme général 𝑉𝑛 = 𝑈𝑛 − 𝐴𝑛 est une suite géométrique.
3.Exprimer 𝑉𝑛 , 𝑝𝑢𝑖𝑠 𝑈𝑛 en fonction de 𝑛.

Exercice 5
Soit (Un) une suite arithmétique décroissante d’entiers naturels.

a) Sachant que U1 +U2+U3=105, calculez U2.
b) On désigne par m et d respectivement le PPCM et le PGCD de U1 et U3 sachant que

m
=12, déterminer U1 etU3.
d
c) En déduire l’expression de Un en fonction de n. Calculez
Sn= U1+U2+U3+…. +Un en fonction de n. Déterminez n pour que Sn soit égale à 525
Exercice 6

U 0  1
U n 1 U n  2n  3

1°/ On considère la suite (Un) définie par, n : 
a.) Préciser le sens de variation de la suite (Un).

b.) Démontrer que pour tout entier naturel n, Un > n2 ; en déduire la limite de la suite
(Un).
c.) Conjecturer une expression de Un en fonction de n puis démontrer la propriété ainsi
conjecturée.
Exercice 7
Soit (Un) la suite numérique définie par U0 = 0 et pour n  1
Un = 1 +

1 1
1
+
+ ……+
n
2 3

a) Montrer que pour tout entier naturel non nul n :

1  ln(n+ 1) – ln(n)  1
n
n 1

(On pourra appliquer l’inégalité des accroissements finis à la fonction f qui à x associe
lnx sur l’intervalle [n ; n+1]) (1pt)
b) En déduire que pour tout entier non nul n on a : Un  ln(n+1) puis calculer la
limite de (Un) quand n tend vers +  (1pt

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Exercice 8:
Un paysan possède un champ où il plante des arbres fruitiers. Pour mieux les entretenir
il décide de vendre chaque année les 5% des pieds existants et planter 3 000 nouveaux.
Il démarre avec 50 000 pieds en 2015. En désignant par Xn le nombre de pieds d’arbres
se trouvant dans le champ au cours de l’année (2015 + n)
1°/ a) Déterminez le nombre d’arbres qu’il aura en 2016 et en 2017. (0,5pt)
b) Exprimez Xn + 1 en fonction de Xn. (1pt)
2°/ On considère la suite (Un) définie par Un = 60 000 – Xn
a) Montrez que la suite (Un) est une suite géométrique dont on donnera la raison et le
1er terme. (1pt)
b) Exprimer Un en fonction de n, en déduire Xn en fonction de n (1pt)
c) Ce paysan aura combien d’arbres fruitiers dans 20 ans ? (1pt)
d) Calculer la limite de la suite (Xn). Conclure
Exercice 9
On considère la suite complexe (Wn) définie par  nIN*, Wn = (1+

1 n
) où
nz

z = x + yi est un complexe non nul.
a) Démontrer que : ln|Wn| =

b) On pose αn =
– Calculer

n
1 2nx
ln(1
)
2
n2 (x2  y 2 )

1 2nx
(1pt)
2
2
2
n (x  y )

lim  n puis lim n n
n  
n 

– Vérifier que ln|Wn| =

(1pt)

ln(1  n )
n
(0,5pt)
n
2
n

En déduire pour z complexe de module 1,

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lim ln Wn puis lim Wn
n  
n  


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