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Primitives et Intégrales .pdf



Nom original: Primitives et Intégrales.pdf
Auteur: Issa Moussa Coul

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Primitives et Intégrales
Exercice 1:
Soit la fonction f: x↦

2x+3

définie sur IR - {1}.

(x−1)3

a°/ Déterminer deux réels a et b tels que, pour tout x ≠ 1 :
a
b
f(x) =
+
.
2
3
(x−1)

(x−1)

3

b°/ En déduire une primitive de f sur ]−∞; 1[ . c°/ Calculer l’intégrale ∫2 f(x)dx .
Exercice 2
Soit f la fonction numérique à variable réelle x définie par :
x3  2 x  2
f(x) =
2

1 x

1°/ Déterminer l’ensemble de définition D f de f.
2°/ Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout x de D f on ait
b
c
f(x) = ax +
+
(1pt)
1 x
1 x
3°/ En déduire l’ensemble des primitives de f sur D f
Exercice3:
Calculer les intégrales suivantes à l’aide d’ intégration par parties :
π
2

2

E =∫0 xsinx dx ; F =∫1 t√t + 3 dt
Exercice 4
Calculer à l’aide d’ un changement de variable chacun des intégrales suivantes :
√3

∫1

3 dx

1
1+x2

; ∫2

t

; ∫1

x ln x

1
√x+1

dx

Exercice 5
On considère les intégrales A et B dans chacun des cas suivants ;
Calculer A + B et A – B puis En déduire A et B.




2
1) A =  x cos 2 xdx et B =
0
π
2

π
2

2) .A=∫0 sin xcos x dx et B = ∫0 cos2 x sin4 x dx.
x

3. A = ∫0

2

2
2
 x sin xdx .
0

sin t

sin t+cos t

4

x

dt et B=∫0

cos t

sin t+cos t

Exercice 6 :
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dt

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Calculer l’aire, en cm2, du domaine délimité par (Cg) et (Cf) (unité graphique étant 1 cm
sur chaque axe du repère) avec g(x) = 2x 2 − 1 et f(x) = −x 3 + x 2 + 1.
y
1

-1

(Cf )

0

x1

-1
(Cg)

Exercice 7 :
1°/ Calculer les intégrales suivantes :

0 x 2 1
x 2 1
c
dx
a.) 
(On pourra mettre
sous la forme ax + b +
où a, b et c
2
x

1
2
x

1
2
x

1
1
sont trois que déterminera).

1
b.)

x

3 1 xdx (On pourra utiliser le changement de variable u = x + 1)

0
Exercice 8


2
On pose : A =  x cos 2 xdx et B =
0


2
2
 x sin xdx .
0

Calculez A + B et A – B puis A et B.

Exercice 9
1°/ Calculer les intégrales suivantes :

0 x 2 1
2
dx (On pourra mettre x 1 sous la forme ax + b + c où a, b et c
a.) 
2 x 1
2 x 1
1 2 x 1
sont trois que déterminera). (0,5pt)

1

3
b.)  x 1 x dx (On pourra utiliser le changement de variable u = x + 1)
0
Exercice 10
Soit f la fonction numérique à variable réelle x définie par :
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f(x) =

x3  2 x  2
1 x 2

1°/ Déterminer l’ensemble de définition D f de f.
2°/ Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout x de D f on ait
f(x) = ax +

b
c
+
1 x 1 x

(1pt)

3°/ En déduire l’ensemble des primitives de f sur D f
Exercice 11

On considère la fonction f définie sur IR – {0 ; –2} par f(x) =

1
.
x( x  2)

a
b
+
. En déduire l’ensemble
x x2
des primitives de f et leur ensemble de définition.
tan x
b) On pose u = cosx et g(x) =
. Exprimez g(x) en fonction de u et u’
2  cos x
(u’ désigne la dérivée de u).
 / 4 tan x

c) Pour 0 ≤ x ≤ donnez un encadrement de u puis calculez I = 
dx
4
2  cos x
0
Exercice 12
On donne les intégrales I = e x sin xdx et I = e x cos xdx .

a)Déterminez les réels a et b tels que f(x) =

1



2



a) En utilisant la technique de l’intégration par parties exprimez I1 en fonction de
I2 puis I2 en fonction de I1.

 /2
b) En déduire I =

x
 e sin xdx

0

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