Chapitre 2 Les ensembles des nombres .pdf



Nom original: Chapitre 2- Les ensembles des nombres.pdf
Auteur: MOHAMED

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Les ensembles des nombres
I.

Les ensembles ; ; D;



et

est l’ensemble des nombres entiers naturels

 0;1;2;3;...

*



 1;2;3;...

est l’ensemble des nombres entiers relatifs

 ...; 3; 2; 1;0; 1; 2; 3;...

se compose de nombres entiers négatifs et positifs.

 Un nombre entier relatif positif est aussi appelé : nombre entier naturel
Ainsi +1=1 ; +12=12 ; ….

 ...; 3; 2; 1;0;1;2;3;...

On peut donc écrire :

On en déduit que tout nombre entier naturel peut être considéré comme un nombre entier relatif
positif.
L’ensemble des nombres entiers relatifs positifs est noté




L’ensemble des nombres entiers relatifs positifs est noté




ou


 ...; 3; 2; 1;0


(5) 

Exemples :

; 3



et 3 

; 0



et 0 



 0
Le symbole  représente l’intersection et se lit inter.
Le 0 se lit : singleton zéro ; c’est un ensemble composé seulement de l’élément 0.


On a :










;





;


*



;



 0 ;




*

 1;2;3;... 

 est le symbole d’inclusion, il se lit : inclus

*

;


*

 ...; 3; 2; 1

est le symbole de réunion, il se lit : union

a  signifie que : a est un nombre entier relatif
Si a  alors a 


Le nombre a est l’opposé de a : si a 
alors  a 


Si a 
alors  a 
 ⅅ est l’ensemble des nombres décimaux, un nombre décimal est soit positif soit négatif

74892
2017
;
2017

104
100
a
alors 0  a donc a  ⅅ
10
ⅅ

7,4892 
Si

a
D’où

Les ensembles

; ; D;

et

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 p
  n ; p
10





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et n  


est l’ensemble des nombres rationnels

a
  ; a
b

et b 

On considère souvent que b 
 a est le numérateur
 b est le dénominateur

*





*

a
est appelé parfois quotient ou rapport ou fraction.
b
a
a
n
*
Le nombre rationnel
appartient à ⅅ. Mais 10 
et a  donc n 
n
10
10
Le nombre rationnel

.

Par suite tout nombre décimal est un nombre rationnel,
d’où :
ⅅ



est l’ensemble des nombres réels.
Un nombre réel et dit irrationnel s’il n’est pas rationnel, c’est-à-dire, s’il n’appartient pas à

.

se compose des nombres irrationnels et de nombres rationnels.
On a :


2
  mais  
7
7
 et

3
3
2 et 2 et 2ⅅ et 2

2



mais

ⅅ

et 2



II.
Puissances dans
Soit a un nombre réel et n un entier naturel tel que n  2

a n  a  a  ...  a
n facteurs

a a
1

si a  0 a 0  1
Propriétés :
a et b sont deux réels non nuls
n et m sont deux entiers naturels

Les ensembles

; ; D;

et

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a .a  a
n

m

a 

n m

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an
 a n m
m
a

nm

a

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 a.b 

n.m

1
 an
n
a
n

n

 a .b
n

n

n
a a

 
n
b b

n

1
n
  b
b
Ecriture scientifique d’un décimal
Tout nombre décimal positif b peut s’écrire sous la forme

b  a.10n où 1  a  10 et n 

Remarque
Si b est négatif alors b  a.10 où 1  a  10 et n 
n

Identités remarquables
a et b sont deux réels non nuls

1)  a  b   a 2  2ab  b 2
2

2)  a  b   a 2  2ab  b 2
2

3)  a  b  a  b   a 2  b 2
4)  a  b   a 3  3a 2b  3ab 2  b3
3

5)  a  b   a 3  3a 2b  3ab 2  b3
3

6)  a  b   a 2  ab  b 2   a 3  b3

7)  a  b   a 2  ab  b 2   a 3  b3
III.

Racines carrées
1. Définition : Soit a et b deux réels positifs.
On dit que le réel a est une racine carrée du réel b si et seulement si le réel b est le carré du réel a .

a  b  b  a2
2. Propriétés : Soit a et b deux réels positifs et

a 2  a et
Si b  0 :

 a

2

a ;

 a

1
1
b


;
b
b
b

n

n un entier naturel non nul.

 a n ; ab  a . b
a
a

b
b

Soit c un réel négatif: c 2  c

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; ; D;

et

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Série d’exercice N° :2
Les ensembles des nombres
Exercice 1 :

Factoriser:

F  81x ²  18 x  1
G  (3 x  5)²  ( x  1)²
H  (2 x  5)²  2(2 x  5)  1
K  x ²  9  ( x  3)(2 x  1)
L  x(5 x  2)  25 x ²  20 x  4
Exercice 2 :

Soient x et y deux nombres réels tels que ( x  1)( y  1)  1  0
x2
( x  1) y
On pose: a 
et b 
xy  x  y
xy  x  y
Montrer que:  x  1 a  b  1  a  b  1
Exercice 3 :

a et b sont des nombres réels non nuls tels que a ²  b ²
2b²
a ²  ab
a b

a ²  b ² ab  b ²
ab
Simplifier: A 
;B

;C

;D
ab
1
b²  ab
a  b (a  b)²
ab
ab  a ²

2ab a  b
a b

Exercice 4 :

Factoriser:

A  (ab  9a)(ab  9b)  (5a  45)(3b  27)
B  ab  11a  bc  11c
C  abc  3bc  3ac  9c
D  a ²  b²  a ²b  ab²
Exercice 5 :

Soient a et b deux nombres réels tels que a  b  5 et ab 
1) Calculer a 3  b3
2) Calculer a 4  b 4

4
5

Exercice 6 :

On pose: x  4  10  2 5 et y  4  10  2 5
1) Calculer x ², y ² et xy
2) Calculer x  y

Les ensembles

; ; D;

et

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Exercice 7 :

Factoriser:

x 3  27  4( x  3)  x 2  9
1 3
x  125  ( x ²  10 x)
8
8 x 4  27 x  4 x ²(2 x  3)
3x3 

8
3

Exercice 8 :

Un triangle a pour longueurs de côtés:
1  a²
1  a²


  b  et   b  (0  b  a)
2 b
2 b


Montrer que ce triangle est rectangle
a,

Exercice 9 :

a est un réel supérieur ou égal à 1. Simplifier a  2 a  1  a  2 a  1
Exercice 10 :

En faisant tourner un carré d'un huitième de tour, on obtient une étoile régulière à 8 sommets (voir figure)

Montrer que l'aire S de cette étoile s'écrit sous la forme S=a+b 2
où a est un entier naturel et b un entier relatif à déterminer.
Exercice 11 :

1) Démontrer que: (a  b)3  (a  b)3  2a(a ²  3b²)



2) En déduire une simplification de l'expression x  1  x ²

Les ensembles

; ; D;

et

 x 
3

1  x²



3

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Exercice 12 :

a, b et c sont des nombres réels strictement positifs tels que 2b  a  c
Montrer que

1
1
2


a b
b c
a c

Exercice 13 :

Soient a et b deux nombres réels tels que 0  b  a.
On pose A  a  a ²  b²  a  a ²  b²
1) Calculer A2 .
2) En déduire une simplification de l'expression A.
3) Calculer le nombre 7  13  7  13
Exercice 14 :

Factoriser:

a 3  b3   a  b 

2

a 3  b3  a ²  b ²
a 3  b3  (a ²  ab  b ²)
( a  b)3  ( a  b) 3
Exercice 15 :

Sachant que x3  3, calculer:
a  x 9 ; b  x 4 

3
x 2
1
5
 x ²  ; c  27 x 6 ; d  x14 
 x4 
8 
4 
3
 3x 

Exercice 16 :

Soient a; b et c des nombres réels non nuls
tels que ab  bc  ca  0
Calculer

bc ca ab


a
b
c

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; ; D;

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Série d’exercice N° :2
Les ensembles des nombres
Exercice 1 :

Factoriser:
F  81x ²  18 x  1
G  (3 x  5)²  ( x  1)²
H  (2 x  5)²  2(2 x  5)  1
K  x ²  9  ( x  3)(2 x  1)
L  x(5 x  2)  25 x ²  20 x  4

Solution :

On a: F  81x ²  18 x  1
donc: F  (9 x  1)²
************
On a: G  (3 x  5)²  ( x  1)²
  (3 x  5)  ( x  1)  (3 x  5)  ( x  1) 
 (4 x  4)(2 x  6)
 4( x  1)  2( x  3)
donc G  8( x  3)( x  1)
************
On a: H  (2 x  5)²  2(2 x  5)  1
  (2 x  5)  1 ²
 (2 x  6)²
donc H  4( x  3)²
************
On a: K  x ²  9  ( x  3)(2 x  1)
  x  3 x  3  ( x  3)(2 x  1)
  x  3 ( x  3  2 x  1)
donc K  ( x  3)(3 x  4)
************
On a: L  x(5 x  2)  25 x ²  20 x  4
 x(5 x  2)  (5 x  2)²
 (5 x  2)( x  5 x  2)
 (5 x  2)(6 x  2)
donc L  2(5 x  2)(3 x  1)

Exercice 2 :

Soient x et y deux nombres réels tels que ( x  1)( y  1)  1  0
x2
( x  1) y
On pose: a 
et b 
xy  x  y
xy  x  y
Montrer que:  x  1 a  b  1  a  b  1

Solution :

a

x2
( x  1) y
et b 
et ( x  1)( y  1)  1
xy  x  y
xy  x  y

x2
y ( x  1)

1
xy  x  y xy  x  y
x  2  xy  y  xy  x  y

xy  x  y
2
donc: a  b  1 
xy  x  y
2( x  1)
D'où: ( x  1)(a  b  1) 
xy  x  y

 On a: a  b  1 

Les ensembles

; ; D;

et

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x2
y ( x  1)

1
xy  x  y xy  x  y
x  2  xy  y  xy  x  y

xy  x  y
2x  2

xy  x  y
2( x  1)
donc: a  b  1 
xy  x  y

 On a: a  b  1 

D’où l’égalité demandée : ( x  1)(a  b  1)  a  b  1

Exercice 3 :

a et b sont des nombres réels non nuls tels que a ²  b ²
2b²
a ²  ab
a b

a ²  b ² ab  b ²
ab
Simplifier: A 
;B

;C

;D
ab
1
b²  ab
a  b (a  b)²
ab
ab  a ²

2ab a  b
a ²  ab
On a: A 
b ²  ab
a (a  b)

b( a  b)
a
donc: A 
b
a b

Solution :

************
On a: B 


a b


a  b (a  b)²

 (a  b)(a  b)  a ²

(a  b)²
a ²  b²  a ²

(a  b)²
b ²
donc: B 
(a  b)²
************
a ²  b² ab  b ²
On a: C 

ab
ab  a ²
a ²  b ² ab  b ²


ab
a (b  a )
(a ²  b ²)(b  a ) (ab  b ²)b


ab(b  a )
ab(b  a )


Les ensembles

; ; D;

a ²b  a 3  b3  ab ²  ab ²  b3
ab(b  a )

et

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a ²(b  a)
ab(b  a)
a
donc: C 
b
************
2b²
a b
ab
On a: D 
ab
1

2ab a  b
a ²  b ²  2b ²
ab

(a  b)²  2ab
2ab(a  b)
a ²  b²
ab

(a ²  2ab  b ²)  2ab
2ab(a  b)
a ²  b² 2ab(a  b)


ab
a ²  b²
donc: D  2ab
C

Exercice 4 :

Solution :

Factoriser:
A  (ab  9a)(ab  9b)  (5a  45)(3b  27)
B  ab  11a  bc  11c
C  abc  3bc  3ac  9c
D  a ²  b²  a ²b  ab²

On a: A  (ab  9a)( ab  9b)  (5a  45)(3b  27)
 a (b  9)b(a  9)  5(a  9)  3(b  9)
donc: A  (a  9)(b  9)(ab  15)
************
On a: B  ab  11a  bc  11c
 a (b  11)  c(b  11)
donc: B  (a  c)(b  11)
************
On a: C  abc  3bc  3ac  9c
 bc(a  3)  3c( a  3)
 ( a  3)(bc  3c)
donc: C  c(a  3)(b  3)
************
On a: D  a ²  b ²  a ²b  ab ²
 ( a  b)( a  b)  ab(a  b)
donc: D  (a  b)(a  b  ab)

Les ensembles

; ; D;

et

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Exercice 5 :

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Soient a et b deux nombres réels tels que a  b  5 et ab 
1) Calculer a 3  b3
2) Calculer a 4  b 4

Solution :

a  b  5 et ab 

On a:

AAB Cours

4
5

4
5

1) On a:
a 3  b3  (a  b)(a ²  ab  b ²)
 ( a  b)[( a ²  2ab  b²)  2ab  ab]
 ( a  b)[( a  b)²  3ab]
 5(5 
donc: a 3  b3 

12
)
5

13 5
5

2)  Première méthode :

On a:
(a 3  b3 )(a  b)  a 4  a 3b  ab3  b 4
 a 4  b 4  ab (a ²  b ²)
donc: a 4  b 4  ( a 3  b3 )(a  b)  ab( a ²  b²)
 (a 3  b3 )(a  b )  ab[(a  b )²  2ab ]
2
13 5
4
4
 5  ( 5  2 )
5
5
5
4
8
 13  (5  )
5
5
68
 13 
25
257
d'où: a 4  b 4 
25



 Deuxième méthode :

On a: (a  b)²  a ²  b ²  2ab
donc: a ²  b ²  (a  b)²  2ab  5 

8
5

17
5
On a: (a ²  b ²)²  a 4  b 4  2(ab)²

d'où: a ²  b ² 

donc: a 4  b 4  (a ²  b ²)²  2(ab)²
289  32
 17 
4
    2  
25
 5
5
257
d'où: a 4  b 4 
25
2

Les ensembles

; ; D;

et

2

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Exercice 6 :

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On pose: x  4  10  2 5 et y  4  10  2 5
1) Calculer x ², y ² et xy
2) Calculer x  y

Solution :

x

4  10  2 5 et y 

4  10  2 5

On pose: x  4  10  2 5 et y  4  10  2 5
1) Calculer x ², y ² et xy
2) Calculer x  y
1) On a:
 x ²  4  10  2 5
 y ²  4  10  2 5
 xy  4  10  2 5  4  10  2 5
 16  (10  2 5)
 62 5
 (1  5)²
donc: xy  1  5
2) On a:
( x  y )²  x ²  y ²  2 xy
 4  10  2 5  4  10  2 5  2( 1  5)
822 5
62 5



2

 5  2 5  12  1  5



2

"or x  0 et y  0"

d'où: x  y  1  5

Exercice 7 :

Factoriser:

x 3  27  4( x  3)  x 2  9
1 3
x  125  ( x ²  10 x)
8
8 x 4  27 x  4 x ²(2 x  3)
3x3 
Solution :

8
3

x3  27  4( x  3)  x 2  9  ( x  3)( x ²  3x  9)  4( x  3)  ( x  3)( x  3)
 ( x  3)( x ²  3x  9  4  x  3)
 ( x  3)( x ²  4 x  8)
************

Les ensembles

; ; D;

et

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3

1 3
1 
x  125  ( x ²  10 x)   x   53  ( x ²  10 x)
8
2 
x
x² 5x
x
 (  5)(   25)  2 x(  5)
2
4 2
2
x
x² 5x
 (  5)(   25  2 x)
2
4 2
x
x² 9 x
 (  5)(   25)
2
4 2
************
8 x 4  27 x  4 x ²(2 x  3)  x (2 x)3  33   4 x ²(2 x  3)

 x (2 x  3)(4 x ²  6 x  9  4 x ²(2 x  3)
 (2 x  3)  x(4 x ²  6 x  9)  4 x ² 
 x(2 x  3)(4 x ²  6 x  9  4 x)
 x(2 x  3)(4 x ²  2 x  9)

************
3x3 


8
8 
 3  x 3 

3
3 3 

3

 2 
3
 3 ( x  
 
3


 



2 
2
2
 3  x 
x  
  x ² 
3
3 
3


Exercice 8 :

Un triangle a pour longueurs de côtés:
1  a²
1  a²


  b  et   b  (0  b  a)
2 b
2 b


Montrer que ce triangle est rectangle

a,

Solution :

2


 1  a²
1  a4

On a:    b     4  b 2  2a 2 
4b

2  b

2


 1  a²
1  a4

On a:    b     4  b 2  2a 2 
4b

2  b



 1  a²
1  a 4

or    b    a ²   4  b ²  2a ²   4a ² 
4  b

2  b


2




1  a4
 b ²  2a ² 

4
4 b


 1 a2

  (  b) 
2 b

Les ensembles

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et

2

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D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle.

Exercice 9 :

a est un réel supérieur ou égal à 1. Simplifier a  2 a  1  a  2 a  1

Solution :

Posons pour a  1: A  a  2 a  1  a  2 a  1
 Première méthode :

On a: A  a  2 a  1  a  2 a  1
A  ( a  1)  2 a  1  1  ( a  1)  2 a  1  1
A  ( a  1)²  2 a  1  1  ( a  1)²  2 a  1  1
A  ( a  1  1)²  ( a  1  1)²
a  2:

A  a 1  1  a 1 1  2 a 1

1  a  2 : A  a 1  1  1  a 1  2
 Deuxième méthode :

On a: A  a  2 a  1  a  2 a  1
2

donc: A²  a  2 a  1  2

a  2





a 1 a  2 a 1  a  2 a 1

2

A²  a  2 a  1  2 a ²  4a  4  a  2 a  1
A²  2a  2 (a  2)²
a  2:

A²  2a  2(a  2)  4(a  1)
d'où: A  2 a  1

1  a  2 : A  2a  2(2  a)  4
d'où: A  2

Exercice 10 :

En faisant tourner un carré d'un huitième de tour, on obtient une étoile régulière
à 8 sommets (voir figure)

Les ensembles

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et

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Montrer que l'aire S de cette étoile s'écrit sous la forme S=a+b 2
où a est un entier naturel et b un entier relatif à déterminer.
Solution :

On a: y²  2x²  y  x 2
On a: x  y  x  10
donc: 2 x  x 2  10  x(2  2)  10
x

10
10(2  2)

2
2 2

d'où x  5(2  2)
L'aire du carré est: 10²  100

L'aire de chacun des quatre triangles est:
2

2
x ² 5(2  2) 

 5( 2  1)   25(3  2 2)  75  50 2
2
2
d'où l'aire demandée est: S  100  75  50 2

S  175  50 2
Exercice 11 :

1) Démontrer que: (a  b)3  (a  b)3  2a(a ²  3b²)



2) En déduire une simplification de l'expression x  1  x ²
Solution :

 x 
3

1  x²



3

1) On a: (a  b)3  (a  b)3  a 3  3a ²b  3ab ²  b3  a 3  3a ²b  3ab ²  b 3
 2a 3  6ab²
 2a(a ²  3b²)
2) On a: (a  b)3  (a  b)3  2a(a ²  3b ²)
Pour a  x et b  1  x ²

x 

1  x²

 x 
3

1  x²



3

 2 x  x ²  3 1  x ²  
 2 x(4 x ²  3)

Exercice 12 :

a, b et c sont des nombres réels strictement positifs tels que 2b  a  c
Montrer que

Les ensembles

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et

1
1
2


a b
b c
a c
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Solution :

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1
1
a b
b c



a b
bc
a b
b c

On a:


=

a c
a b
ac

a  b 

a c



ac
= a b
a c
On a:

ac

a b



ac
ac
a 

 2 
2a  c

(car b 

ac
)
2

2a  a  c
2a  c
ac

ac
2
a b
1
1
2
Par suite:


a b
b c
a c

Exercice 13 :

Soient a et b deux nombres réels tels que 0  b  a.
On pose A  a  a ²  b²  a  a ²  b²
1) Calculer A2 .
2) En déduire une simplification de l'expression A.
3) Calculer le nombre 7  13  7  13

Solution :

1) On a: A  a  a ²  b ²  a  a ²  b ²
2

donc A²  a  a ²  b²  2



a  a ²  b²





a  a ²  b²  a  a ²  b²

2

A²  a  a ²  b ²  2 a ²  (a ²  b²)  a  a ²  b²
d'où: A²  2a  2 b²
b  0  A²  2a  2b
donc: A²  2(a  b)

2) On a: A²  2(a  b)  A  2(a  b)
3) On a: A  a  a ²  b²  a  a ²  b²  2(a  b)
On prend a  7 et a ²  b²  13  b  6

En remplaçant a et b dans l'égalité, on trouve A  2(7  6)  26

Les ensembles

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et

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Exercice 14 :

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Factoriser:

a 3  b3   a  b 

2

a 3  b3  a ²  b ²
a 3  b3  (a ²  ab  b ²)
( a  b)3  ( a  b) 3
Solution :

a 3  b3   a  b    a  b  a ²  ab  b ²   (a  b)²
2

 (a - b)(a ²  ab  b ²  a  b)
************
a 3  b3  a ²  b ²  (a  b)(a ²  ab  b ²)  (a  b)(a  b)
 (a  b)(a ²  ab  b ²  a  b)
************
a 3  b3  (a ²  ab  b ²)  (a  b)(a ²  ab  b ²)  (a ²  ab  b ²)
 (a ²  ab  b ²)(a  b  1)
************
2
2
(a  b)3  (a  b)3   a  b   (a  b)   a  b    a  b    a  b  a  b  



 2a (a ²  2ab  b ²  a ²  2ab  b ²  a ²  b ²)
 2a (a ²  3b²)

Exercice 15 :

Sachant que x3  3, calculer:
3
x 2
1
5
a  x ; b  x  4   x ²  ; c  27 x 6 ; d  x14 
 x4 
8 
3
 3x 
9

Solution :

On a:
a  x 9 

4

x3  3
1
1

3
9
x
 x3 

1
27
************


x 2
1
1
5
 x ²   4  x 4   x10
4 
3
3

4
1
1
1
 4  x12  4  x3   4  34
3
3
3
1

b  x4 

************

Les ensembles

; ; D;

et

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c  27 x 6  27 
 27 

1

x 

3 2

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1
x6

 33 

1
32

3
************
d  x14 

1

 3x 

  x 4   x14 
3

8

1
1
 x12  8  x18
8
3 x
3
8

1
36
3 6

x

  38
38
1

9



Exercice 16 :

Soient a; b et c des nombres réels non nuls
tels que ab  bc  ca  0
bc ca ab


a
b
c
b  c c  a a  b  b  c  bc    c  a  ac    a  b  ab 
On a:



a
b
c
abc
 b  c  ab  ac    c  a  ac    a  b  ab  car: bc  ab  ac

abc
ab ²  abc  abc  ac ²  ac ²  a ²c  a ²b  ab ²

abc
a ²c  a ²b  2abc

abc
a (ac  ab)  2abc

abc
abc  2abc

 3
abc
Calculer

Solution :

Les ensembles

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