TC sc (biof)

Divisibilité dans l’ensemble
1. l’ensemble


:

:

désigne l’ensemble des entiers naturels tel que :
 Remarque : On désigne par
Tel que

*

*

 0;1;2;3....................

l’ensemble de tous les entiers naturels sauf zéro

 1;2;3;.................... .

2. Nombre pair et nombre impair :
Définition :
 Un nombre entier naturel n est dit pair si et seulement si , il existe un entier naturel k telque :
n  2k .

Exemple : 32 est un nombre pair car : 32  2 16 .

Définition :
 Un nombre entier naturel n est dit impair si et seulement si , il existe un entier naturel k tel
que :
Exemple : 17 est un nombre pair car : 17  2  8  1 .
 Deux nombres sont dites de même parité s’ils sont :
 Soit tous les deux pairs.
 Soit tous les deux impairs.
 La somme de deux nombre de même parité est un nombre pair
Exemple : 2  8  10 , 3  13  16 .
Propriété :
 La somme de deux nombre de différentes parités est un nombre impair
Exemple : 3  6  9
 Seule la multiplication de 2 nombres impairs donne un produit impair. Dans tous
les autres cas, le produit est pair
Exemple : 6  5  30 , 3  7  21
 Un nombre élevé à une puissance ou au carré conserve sa parité.
Exemple :

2²  4,3²  9
23  8,33  27

 La somme de deux nombres consécutifs est impaire.
 Le produit de deux nombres consécutifs est pair.
Exemple : 2  3  5 , 2  3  6

Chapitre 1 : Notions d’arithmétique

Page 1

TC sc (biof)

Démontrer les propriétés précédentes dans le cas général.

3 .Diviseurs d’un nombre - le plus grand commun diviseur de deux
nombres –le plus petit multiple commun :

Définition :

 soit a  , b  *
on dit que b est un diviseur de a s’il existe un entier naturel k tel que a  kb
Exemple : 12  4  3  112  6  2
4, 3, 1, 12, 6 et 2 sont des diviseurs de 12
par contre 5 n’est pas un diviseur de 12 car 12  5 
 On dit que b divise a ou a est un multiple de b .
 0 est un multiple de tous les nombres. 1 est un diviseur de tous les nombres.

Définition :
 On appelle PGCD(a, b) le plus grand commun diviseurs des entiers a et b ,on le
note généralement a  b .
 On appelle PPCM (a, b) le plus petit commun multiple des entiers a et b , on le
note généralement a  b .
 Exemple : les diviseurs de 18 sont 1;2;3;6;9;18 .
 les diviseurs de 21 sont 1;3;7; 21 donc : PGCD(18;21)  3 .
 multiples de 4 sont 4,8,12,16, 20..... .
 Les multiples de 6 sont 6,12,18, 24,30..... donc :. PPCM (6, 4)  12

 Remarque : Si PGCD(a, b)  1 on dit que a et b sont premiers entre eux.
Exemple : PCGD(5;7)  1 donc 5 et 7 sont premiers entre eux.

PGCD(8;15)  1 Donc 8 et 15 sont premiers entre eux.
PGCD(8;12)  4 Donc 8 et 12 ne sont premiers entre eux.

Chapitre 1 : Notions d’arithmétique

Page 2

TC sc (biof)

Chapitre 1 : Notions d’arithmétique

Page 3