Cours Nombres premiers et PPCM.pdf


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Terminale S – Spécialité

Cours : NOMBRES PREMIERS - PPCM.

A la fin de ce chapitre vous devez être capable de :
• savoir déterminer si un entier est premier en utilisant le
nombre minimal de divisions par la suite des nombres
premiers.
• savoir décomposer un entier en produit de facteurs
premiers.
• savoir utiliser la décomposition en produits de facteurs
premiers dans les problèmes de divisibilité.
• connaître le PPCM de deux entiers naturels.

• savoir déterminer le PPCM et le PGCD de deux entiers
naturels à partir de leur décomposition en facteurs premiers.
• savoir utiliser le lien entre le PPCM et le PGCD de deux
entiers naturels.
• savoir utiliser une calculatrice pour déterminer la
décomposition en facteurs premiers d’un entier naturel.
• savoir résoudre des équations ou systèmes d’équations où
interviennent le PGCD et le PPCM de deux entiers.

I. Nombres premiers.
1. Définition et exemples.
Définition 1 : On dit qu’un entier naturel n est premier s’il possède exactement deux diviseurs dans
N.

Cela revient à dire que l’entier naturel n est premier si ses diviseurs sont 1 et n.

Exemples :
• 0 et 1 ne sont pas premiers
• 2, 3, 5, 7 sont des nombres premiers.

Remarques :
• Ne pas confondre nombre premier et nombres premiers entre eux.
• Si p est un nombre premier et n un entier, ou bien p divise n ou bien p est premier avec n.
• Un entier naturel supérieur ou égal à 2 qui n’est pas premier est dit composé.
Propriétés :
1. Tout entier plus grand que 1 admet au moins un diviseur premier.
2. Tout entier naturel non premier n différent de 1 admet un diviseur premier a tel que a ≤
3. Il y a une infinité de nombres premiers.

n.

Démonstration
Propriété 1
Soit n un entier strictement supérieur à 1.
• Si n est premier, il admet lui-même comme diviseur premier.
• Si n est composé, il admet d‘autres diviseurs que 1 et n ; soit p le plus petit d’entre eux.
Alors p est premier ; sinon, il serait composé et il admettrait un diviseur d tel que 1 < d < p ; mais
d serait alors un diviseur de n plus petit que p, ce qui est impossible. Donc, p est premier et n
admet p comme diviseur premier.
Propriété 2
Soit n un entier composé strictement supérieur à 1.
n admet un diviseur d autre que 1 et n.
Alors n = d×d’ avec d’ > 0.
d est supérieur ou égal à 2.
d' est aussi supérieur ou égal à 2, car si d’ = 1 alors on aurait n = d.

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