Feuille d'exercices N°1 .pdf


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Université Abdelhamid Ben Badis de Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et d’Informatique
Département de Mathématiques et Informatique
1ere Année Licence MIAS
Matière : AnalyseI
Responsable : Prof. Sidi Mohamed Bahri
Feuille d’exercices N 1
(24 Septembre 2018)

Naturels, Rationnels et Réels
Dans chacun des cas suivants, utilisez uniquement (et indiquez) les théorèmes
ou les axiomes introduits dans le cours.
Exercise 1 (a) Montrer que
3 + 11 +

+ (8n

5) = 4n2

n pour tout n 2 N:

(b) Montrer que
1+

1 1
+ +
2 4

+

1
=2
2n

1
pour tout n 2 N:
2n

Exercise 2 Nous décrivons maintenant une extension utile du principe de l’induction
mathématique. Soit Pm ; Pm+1 ; : : : ; une suite de propositions, montrez que
(i) Pm est vraie;
(ii) pour tout n

m; si Pm est vraie alors Pm+1 est vraie;

alors Pn ; Pn+1 ; : : : sont vraies.
Utilisez cette extension du principe de l’induction mathématique pour montrer les a¢ rmations suivantes :
(a) n2 > n + 1 pour tout entier n

2:

(b) n! > n2 tout entier n
4: (Rappelons que n! = n (n
exemple, 5! = 5 4 3 2 1:)

1)

2 1: Par

Exercise 3 Soit p; q 2 Q: Supposons que pour tout s > p; nous avons q
s:
Montrer que q p:
(Astuce : Montrer le résultat par contradiction en utilisant le fait que, entre
deux nombres rationnels, il existe un nombre rationnel).
p
p
p
p
3
3:
Exercise 4 Montrer que 2 + 3 est irrationel. De même pour 5
p
Exercise 5 (a) Montrer que 12 est irrationnel.

1

(b) Considérons maintenant l’ensemble E := f 2 Qj 2 < 12g. Étant donné
2 Q tel que 2 < 12, trouver un nombre rationnel explicite > 0
(dépendant bien sûr de ), tel que ( + )2 < 12.
Indice. Il est facile de voir que < 4. Aussi, si est choisi inférieur à 1, alors
2
< (quel axiome d’ordre utilisons-nous?).
(c) De même, si
tel que (

2

> 12 et < 4, trouver un nombre rationnel explicite positif
)2 > 12 et pourtant
est une borne supérieure de E.

(d) Par conséquent, montrez que E n’a pas de borne supérieure dans Q.
Exercise 6 Soit A; B

R.

(a) Si sup A < sup B, alors montrer qu’il existe b 2 B qui soit une borne
supérieure pour A.
(b) Montrer, en donnant un exemple, que ce n’est pas nécessairement le cas si
sup A sup B.
Exercise 7 Soit a < b des nombres réels, et considérons l’ensemble T = Q \
[a; b]. Montrer que inf T = a et sup T = b.
Exercise 8 Soit a; b 2 R.
(a) Montrer que jbj

a si et seulement si

(b) Montrer que jjbj

jajj

jb

a

b

a:

aj.

Exercise 9 (a) Soit a; b 2 R tel que a
a b:

b+

1
n

pour tout n 2 N . Montrer que

(b) Montrer que si a > 0, alors il existe un nombre naturel n 2 N tel que
1
a n:
n
Exercise 10 Soit a; b 2 R tel que a < b. Utilisez la densité de Q pour montrer
qu’il existe une in…nité de rationels entre a et b.
Exercise 11 Soit A et B des sous-ensembles non vides de R, et posons
A + B := fa + bja 2 A; b 2 Bg:
C’est-à-dire que A + B est l’ensemble de toutes les sommes a + b, où a 2 A et
b 2 B.
(a) Montrer que sup(A + B) = sup A + sup B. Note. Considérer séparément le
cas où au moins l’une des deux bornes sup à droite est 1.
(b) A voir que inf(A + B) = inf A + inf B: Astuce : Utilisez (a).

2


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