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EXERCICES
( limites+continuité 4è.M)
Exercice 1 :
Soit f une fonction définie et croissante sur  0,  .
On suppose que la fonction g : x 

f ( x)
est décroissante sur 0,  .
x

Soit a un réel strictement positif.
1.Montrer que pour tout x >a on a f  a   f  x   xg (a ) .En déduire que f est continue à droite en a.
2.Montrer que f est continue en a.
Exercice 2 :

 1  cos  x 

2
  x  1
On considère la fonction f définie sur A par f ( x )  
  x3  x   2

2

( C ) est la courbe de f dans un repère orthonormé O, i, j .



si x < 1
si x  1



f ( x)
.Interpréter graphiquement ces résultats.
x 
x 
x
1  cos  x 
2.On considère les fonctions u et v définies sur IR * par u ( x) 
, v( x )    x  1 .
x2
a.Vérifier que pour tout x <1 on a : f ( x )   2  u  v( x ) .
1.Calculer lim f ( x) et lim

b.Calculer lim  u  v( x)  et en déduire lim f ( x) .
x 1

x 1

c.Montrer que f est continue en 1.
3.Calculer lim f ( x ) .Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
x 

4.a.Montrer que l’équation f ( x )  0 admet dans l’intervalle 2,3 une solution unique  .
b.Donner un encadrement de  à 0.5 près.
c.Vérifier que  2 

2
1 .


x 1
5.Etudier chacune des limites suivantes : lim f 

x 
 x 1 
Exercice 3 :

 sin x 

et lim f 
.
x 
 x 


 1 
1  x sin 

On considère la fonction f définie sur A par f ( x )  
 x
1  x 2  x 3


si x > 0
si x  0

f ( x)
.Interpréter graphiquement ces résultats.
x 
x 
x

( C ) désigne la courbe de f dans un repère orthonormé O, i, j .

1.Calculer lim f ( x) et lim



sin x
.
x
 1 
a.Vérifier que pour tout x>0 on a : f ( x)  1  x .u 
.
 x
 1 
f ( x) .
b.Calculer lim u 
 et en déduire xlim
x 

 x
2.On considère la fonction définie sur IR * par u ( x) 




c.Montrer que ( C ) admet au voisinage de  une branche parabolique de direction O, i .

 

3.a.Vérifier que pour tout x < 0 on a : 1  x 2  f ( x )  1  x 2 .
b.Calculer alors lim f ( x ).
x 0 

c.Etudier la continuité de f en 0 puis sur IR.
4.a.Montrer que l’équation f(x) = 2 admet dans 1,0 une solution unique  .
b. Vérifier que 1   

1

2

.

Exercice 4:
Dans la figure ci-dessous ,on a tracé les courbes de deux fonctions f et g dans un repère orthonormé

O, i , j





.Les droites y  1 et y   x  2 sont des asymptotes à ( C f ).
.La droite x  1 est une asymptote à ( Cg ).
Dans cet exercice, exploiter le graphique et répondre aux questions.
f ( x)
1.Donner lim f ( x) , lim f ( x) , lim
et lim  f ( x)  x  .
x 
x 
x 
x 
x
2.Dresser le tableau de variation de f.
3.Donner g  0,1  , f  1,1 et f  ,1  .
4.Déterminer lim g  f ( x) et lim f  g ( x) .
x 

x 1

5. On connait de plus que la droite y   x  1 est une asymptote à ( Cg) au voisinage de  .
g( x)
g( x)
g ( x)
 1 .Déterminer alors lim
Déterminer lim
puis déduire que lim
.
x  x
x 
x

f ( x)
x
6.a.Montrer que f  g est continue sur  0,1 .Déterminer f  g  0,1 

b.En déduire que l’équation f  g ( x)  2 admet dans  0,1 une solution  .


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