Le fondement de l'équation de Schrödinger 21.09.2018 .pdf



Nom original: Le fondement de l'équation de Schrödinger 21.09.2018.pdf
Titre: Le fondement de l'équation de Schrödinger 21.09.2018
Auteur: Rachid Sadek Bouziane

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L’équation d’Alembert ou l’équation de la
corde vibrante.

Rappelons brièvement comment a été établie mathématiquement cette
équation physique.

Soit une portion de corde de longueur l, fixée par ses deux extrémités
horizontales.

*si on écarte la corde de sa position initiale (au repos) puis on la lâche exécuter
librement son mouvement, ou si on anime ses points d’une certaine vitesse à
l’instant initial, la portion de la corde commence à osciller ou vibrer.
* nous ne considérons que les petits écarts des points de la corde par rapport à
leur position initiale.
*on admet que le mouvement des points de la corde, s’effectue
perpendiculairement à l’axe ou et dans le même plan.

*Dans cette hypothèse, le mouvement vibratoire de la corde est décrit par une
seule fonction u x, t qui donne le déplacement d’un point de la corde
d’abscisse x à l’instant t.

A l’instant t, la corde est déformée comme le montre le graphe ci-dessous.
Considérons l’élément MM’ de la corde à l’instant, nous remarquons qu’il est
soumis aux deux forces T et T’ dues à la tension de la corde.

Appliquons le principe fondamental de la dynamique à cet élément ∆l (MM’)
de masse m et écrivons l’équation vectorielle qui l’exprime.

2 r
r
r v
∂ om ∂2 x r ∂2 y r ∂2 z r
ΣFext = Τ + Τ′ = m 2 = 2 i + 2 j + 2 k
∂t
∂t
∂t
∂t

En projetons l’équation vectorielle précédente sur l’axe

ou’, puisque le vecteur accélération est nul sur l’axe ox,
on obtient :

∂u
T sin(ϕ + ∆ϕ ) − T sinϕ = m 2
∂t
2

or puisque ϕ et ∆ϕ sont deux entités infiniment petit, nous pourrons donc
écrire :

sinϕ=sin(ϕ+∆ϕ)=tgϕ=tg(ϕ+∆ϕ)

 ∂U ( x + ∆x, t ) ∂U (x, t ) 



∂2U (x, t)
 ∂U (x + ∆x, t) ∂U (x, t) 
x
x
Ttg(ϕ + ∆ϕ) − Ttgϕ = T 

⇒T 
 =T

x
x

X
∂x2







2
(
)

+



U
(
x
x
,
t
U
x
,
t
U (x, t)


T

=T
∆x
2

∂x
x
x 


En projetant le deuxième membre de l’équation vectorielle précédente on
obtient :

∂ 2U ( x, t )
∂2 x
∂2 x
T
∆x = m 2 = µ∆x 2
2
∂x
∂t
∂t
Avec m = µ.∆x ⇒ µ étant la masse linéaire

∂ U ( x, t )
∂ x
T
=µ 2
2
∂x
∂t
2

2

la vitesse de propagation v de l’onde à travers la corde
est donné par l’équation suivante.

v=

T

µ

⇒v =
2

T

µ

∂ U( x,t ) µ ∂ x 1 ∂ x
=
=
2
2
2
2
∂x
Τ ∂t ν ∂t
2

2

2

généralisation :
Le vecteur opérateur nabla ∇ est exprimé par
l’équation suivante :

r
∂ r
∂ r
∂ r
∇ =
i +
j +
k
∂x
∂y
∂z

L’opérateur Laplacien a pour expression l’équation
suivante :
2
2
2



∆ = ∇2 = 2 + 2 + 2
∂x
∂y
∂z

Opérateur Laplacien

D’où l’équation d’Alembert
Ou
Équation générale de la corde
vibrante

∂2U( x, y, z,t) ∂2U ∂2U 1 ∂2U
1 ∂2U
+ 2 + 2 = 2 2 ⇒∆U = 2 2
2
∂x
∂y ∂z v ∂t
v ∂t


1 ∂ 
∆ − v2 ∂t 2 U ( x, y, z, t ) = 0


2

C’est à la philosophie que revient les grands mérites du fondement du concept
de la communication par l’abstrait (symbolisme des objets) avec le cosmos et
son contenant qui s’impose toujours par le chiffre abstrait quatre.
La communication de la pensée en perpétuelle évolution avec l’exploration
ininterrompue de l’univers ,est souvent perturbé par le nouveau
comportement avec lequel agissent l’ordre et l’équilibre matériel à l’état
infiniment petit ,qui semble vouloir imposer son inaccessibilité à la
communication par l’observation et la mesure ,c’est à ce niveau que la
philosophie s’introduit par ses différents appareils producteurs des langages de
communication qui maintiennent cet évolutionnisme matériel sur orbite autour
de la pensée cérébrale dont la force centripète entre les deux est exprimée par
l’information extraite aux différents comportements de la matière par
l’observation ,la mesure et l’équation en respectant la loi de la dimension
quatre.

Le quantum de la pensée
cérébrale

L’orbite de l’équilibre en perpétuelle
évolution

La force centripète exprimée par
le quantum de l’information extraite
par l’observation , La mesure ,et L’équation aux différents
comportements avec lesquels la matière se manifeste.

la philosophie n’a jamais assurer le résultat du voyage de la pensée dans
l’exploration de la géométrie de l’infiniment petit qui renonce à communiquer
par sa forme et par l’équation avec la pensée ,ainsi le philosophe utilise toute
sa liberté de philosopher tant que l’équation qui exprime la vérité scientifique
est absente et dirige sa pensée vers le décryptage de la communication qui
assure ce relationnisme quantique qui maintient notre univers vivant à
l’intérieur de la fameuse et inévitable dimension Quatre.
Ainsi la philosophie contemporaine s’engage à fabriquer de nouveaux concepts
qui rentrent dans le fondement des langages quantiques expliquant et
décrivant cette communication établie entre les êtres de l’espace infiniment
petit.
Si la physique quantique a pu détecter le comportement quantique et ses
effets , elle demeure par contre impuissante devant cette barrière quantique
exprimée par les incertitudes d’Heisenberg.

∆P.∆x ≥



∆Ε.∆t ≥ ℏ

∆V.∆x ≥ ℏ

l’indéterminisme physique qui a été rejeté par la physique classique ,
réapparaît dans le comportement quantique de la matière en exprimant cette
liberté des grandeurs quantiques qui rejettent la mesure , l’équation , et le
relationnisme , tout en conservant leur souveraineté quantique , ainsi vient la
mathématique quantique , exprimer la communication échangée entre les
êtres quantiques sans affecter la liberté quantique propre du champ de la
microparticule.
Cette liberté quantique exprimée par l’indéterminisme physique émane de
l’interférence de la fonction d’onde de la particule photon (instrument de
mesure) et la fonction d’onde de l’observable , de cet même ordre de
dimension de la particule instrument et la particule observable qu’est née
l’interaction quantique ou l’interquantification (interaction d’un champ
quantique avec un champ quantique) .

utilisant deux autres équations physiques pour établir finalement l’équation de
Schrödinder

.

Équation de la quantification de l’énergie

v=

λ
Τ

= λ..υ ⇒ dv = λ.dυ
V

υ

h
dv =
dυ ⇒ mvdv = hdυ ⇒ m∫ vdv = h∫ dυ
mv
0
0


1
mv 2 = E = hυ
2

E = hϑ

L’équation du double comportement
ondulatoire et corpusculaire de la matière.

c=

λ
Τ

= λ ..υ ⇒ mc .c = mc .λυ ⇒ E = P.λυ

h
hυ = P.λ.υ ⇒ h = P.λ ⇒ λ =
P

λ.Ρ= h

l’équation de Schrödinger

états stationnaires : états dans lesquels les
diverses grandeurs physiques ne dépendent pas du
temps.

r
r 2 π iυ t
Ψ (r , t ) = Ψ (r )e
par ailleurs on a :

r
r
1 ∂ ψ (r , t )
(
= ∆Ψ r , t )
2
2
v
∂t
2

(1)

r
r 2 π iυ t
∂ Ψ (r , t )
= 2 π i υ Ψ (r )e
∂t

r
r 2 π iυ t
∂ Ψ (r , t )
2
2
= − 4 π υ Ψ (r )e
2
∂t
2

(1) ⇒

4 π 2υ

v2

or v = λ υ ;
2

d’où





λ2

2

T =

2

p 2
2m

2

λ

2

2

r
r
Ψ (r )e 2 π i υ t = ∆Ψ (r )e 2 π i υ t

h2
=
p2

1

; E = T + V ; T = 2 mv

2

2
⇒ p = 2 m (E − V )

r
r
4π 2 p 2
r
r
(
)
(
)
Ψ
r
=
∆Ψ
r
Ψ (r ) = ∆Ψ (r ) ; −
2
h

r 8mπ 2 (E − V ) r
∆Ψ (r ) −
Ψ (r ) = 0
2
h

2

 r
r
h
∆ + V  Ψ (r ) = EΨ (r )
−
2
 8mπ


H (l’opérateur hamiltonien)

Η Ψ(r) = Ε Ψ(r)
L’opérateur hamiltonien

L’énergie associée à
l’opérateur
hamiltonien

Fonction d’onde
indépendante du temps
associée à l’état
stationnaire

en mécanique classique, la description dynamique d’un
système physique est donnée parr,v,alors qu’en
mécanique quantique , la microparticule presque
dépourvue de masse , sa masse n’agit plus , et la
description dynamique d’un système quantique est
exprimée par la fonction d’onde Ψ r , t
et la
densité de probabilité de présence de la particule
exprimée par :

dP = ψ*ψdv
dv =dxdydz
dP = ψ*ψdv

c’est en imposant à Ψ de s’annuler rapidement
lorsqu’on s’éloigne de O, en dehors d’un domaine que
l’énergie est quantifiée

la quantification est une conséquence directe des conditions imposées à la
fonction d’onde Ψ

L’équation aux valeurs propres
Af = af A étant l’opérateur lié à la grandeur physique
observable.
Première exemple.

d ax
e = a .e ax eax étant la fonction propre de
dx

l’opérateur

d
dx

dont la valeur propre est a.

deuxième exemple.

df
= af
dx



df
f

=

df
= adx
f



∫ adx



⇒ loge f = ax + k ⇒ logef –

logefo=ax ⇒



f
log e
= ax
f0



f (x) = f 0 eax

troisième exemple : la fonction Delta de Dirac

A = x×
équation aux valeurs propres

Af = af

x × f = af

(a − x) f (x) = 0

x-a = o ⇔ x = a ⇔ f (x) ≠ o
x-a ≠ o ⇔ x ≠ a ⇔ f(x) = o
la fonction Delta δ(x-a) modèle

mathématique abstrait de la
fonction impulsion

x=a



x

δ(x) , aR

L’équation de Schrödinger aux valeurs
propres de l’opérateur Hamultonien
L’équation de Schrödinger aux valeurs
propres de l’opérateur Hamultonien



E Ψ
Ψ1

,

E1

Ψ2 , E2
Ψ3 , E3

Ψk , EK

C’est l’équation de Schrödinger aux valeurs
propres de l’opérateur Hamiltonien H.

L’équation de Schrödinger non
stationnaire
r
r
Ψ (r , t ) = Ψ (r )e 2 π i υ t

r
r
∂ Ψ (r , t )
= 2 π i υ Ψ (r , t )
∂t

r
E
r
∂ Ψ (r , t )
E
υ
=
(
=
2
π
i
Ψ
r
,t)
or

h
∂t
h
r
r
r
r
h ∂ Ψ (r , t )
h ∂Ψ (r , t )
= E Ψ (r , t ) H Ψ (r , t ) =
2π i
∂t
2π i
∂t


H =
2π i ∂ t
h

Application du concept de quantification à une boite de
potentiel rectiligne.





m

x’
x <o v(x) = ∞

x
o

L

0 ≤ x ≤ L v(x) = v
x > L v(x) = ∞



h2
(
)


+
V
x

 Ψ (x ) = E Ψ (x )
2
 8π m



h2  ∂ 2
∂2
∂2
− 2  2 + 2 + 2 + V ( x ) Ψ(x ) = EΨ(x )
8π m  ∂x ∂y ∂z


h 2  ∂ 2 Ψ (x ) ∂ 2Ψ(x ) ∂ 2 Ψ(x )
− 2 
+
+
+ V (x )Ψ (x ) = EΨ (x )

2
2
2
8π m  ∂x
∂y
∂z 

∂ 2 Ψ (x ) ∂ 2 Ψ (x )
=
= 0
2
2
∂y
∂z

∂ 2 Ψ (x ) d 2 Ψ (x )
=
2
∂x
dx 2

h2 d 2Ψ(x)
− 2
+ V (x)Ψ(x) = EΨ(x)
8π m dx2

d 2 Ψ(x ) 8π 2 m
+ 2 (E − V ( x))Ψ( x) = 0
2
dx
h

Ψ ′′( x ) + α Ψ ( x ) = 0
2

8π 2 m
α = 2 [E − V (x)]
h
2

;

Ψ(x) = eλx ⇒α 2 Ψ( x) = α 2eλx

(

)

Ψ ′′(x ) = λ2 e λx ; λ2 + α 2 e λx = 0 ; λ2 + α 2 = 0

λ2 = −α 2 = i 2α 2
Ψ ( x ) = Ae

λ = ± iα

;

iα x

+ Be

− iα x

h 2α 2
E = V (x ) +
8π 2 m

Ψ(0) = 0 ⇒ A+ B = 0 ⇒ B = −A

(

Ψ(L) = 0 = AeiαL − AeiαL = A eiαL − e −iαL

)

or on a
eix − e−ix
sin x =
2i

;

 e iα L + e − iα L
Ψ (L ) = 2 iA 
2i


e ix + e − ix
cos x =
2


 = 0


2 iA sin α L = 0

avec A ≠ 0 ⇒ sinαL = 0 ⇒ αL = nπ ⇒ α

2

=


L

2

n h
E n = V (x ) +
8mL 2
Ψ ( x ) = 2 iA sin α x = 2 iA sin n

π
L

x = c sin n

π
L

x avec n > o

1
n2h2
2
E = T+V(x) ⇒ T = E-V(x) ⇒ T = 2 mv = 8mL2

n2 h2
v = 2 2
4m L
2

On remarque dans cette équation que la particule quantique ne s’arrête pas de
se mouvoir puisque n’est jamais nulle, alors qu’on mécanique classique la
particule peut-être au repos.

Les conditions aux limites traduisent le caractère
microscopique du système

Normalisation de la fonction d’onde Ψ(x)

dP = Ψ

*

L

(x )Ψ (x )dx

;

*
Ψ
∫ (x )Ψ (x ) = 1
0

Le 1 exprime dans le langage des probabilités la certitude de trouver la
particule dans l’intervalle [0 , L] .

Ψ ( x ) = c sin n

L

c

2

2
∫ sin n
0

π
L

xdx = 1

π
L

;

1 2 
π 
c ∫ 1 − cos 2n x dx = 1
2 0
L 

x = Ψ * (x )

puisque

L

;

sin 2 u =

1
[1 − cos 2u ]
2

L
L
1 2
π 
c  ∫ dx − ∫ cos 2 n dx  = 1
2 0
L 
0

L
1 2
L 
π  
L
c  [x ]0 −
 sin 2 n L x   = 1
π
2
2
n


0 

;

π

sin 2n L

L


x = 0
0

1
2
⇒ c2L = 1 ⇒ c2 = ⇒
2
L

c =

2
L

d’où

Ψn (x ) =

2
π
sin x ; E
L
L

n

n 2h
=
8 mL

2
2

la quantification en mécanique quantique apparaît toujours pour satisfaire les
conditions limites ce qui veut dire qu’elle est une des conditions physiques du
problème.
L’allure graphique de la fonction d’onde à l’intérieur de l’intervalle
[o , L ] .

Les points pour lesquels la fonction d’onde s’annulent sont nommés nœuds.

Ψ (x ) = 0 ⇔ sin n

π
L

x=0⇒n

k
x= L
n

π
L

x = kπ



Ψ(x)

Ψ3(x)
Symétrique
n=3

Ψ2(x)
Antisymétrique
n=2

Ψ1(x)
Symétrique

n=1

x
L/2

O

L

L

L/2
x=

k
L
n ⇒ k=0

k=1

k=n

x

x=0

x=

L
n

x=L

x∈]0,∞[ V=∞ ⇒ Ψ(x) = 0 car la particule ne peut pas s’évader de
la boite puisque elle est soumise à un potentiel infini
X∈]L,∞[

V(x) =∞ ⇒ Ψ(x) = 0 pour la même raison.

Boite de potentiel circulaire
La boite circulaire

L
ϕ
L=2πR

R

La particule quantique
d2
1 d2
= 2
2
dx
R dϕ 2
h = 2π h

;

d 2 Ψ (x ) 2 m
+ 2 (E − V ( x ) )Ψ ( x )
2
dx
h

;

1 d 2 Ψ (ϕ ) 2 m
+ 2 [E − V (r )]Ψ (ϕ ) = 0
2
2
R

h
2

2mR
2mR2
2
Ψ′′(ϕ ) + 2 [E − V (r )]Ψ(ϕ ) = 0 ; α = 2 [E −V(r)]
h
h
iαϕ
−iαϕ
(
)
Ψ
ϕ
=
Ae
+
Be
Ψ′′(ϕ ) + α Ψ(ϕ ) = 0
2

;

;

dP = Ψ * (ϕ )Ψ (ϕ )d ϕ

;

D (ϕ ) = Ψ * (ϕ )Ψ (ϕ )

Densité de probabilité

Condition d’unicité

D(ϕ ) = D(ϕ + 2π ) ⇒ Ψ(ϕ ) = Ψ(ϕ + 2π )
Ae iαϕ + Be − iαϕ = Ae iα (ϕ + 2π ) + Be − iα (ϕ + 2π ) ;
Aeiαϕ − Aeiα (ϕ + 2π ) + Be−iαϕ − Be−iα (ϕ + 2π ) = 0

(

)

(

)

et

e − 2π iα = 1

Ae iακ 1 − e 2 π iα + Be − i α 1 − e − 2 πα i = 0

e 2 π iα = 1

cos 2πα + i sin 2πα = 1 ; cos 2πα = 1

cos2πα − i sin2πα = 1 ; cos 2πε
Donc

et sin 2πα = 0

= 1 et

2 πα = 2 π n

α =n

sin 2πα = 0

2

2mR
2
2
(
(
)
)
E

V
r
=
α
=
n
h2

n 2h 2
+ V (r )
En =
2
2 mR



n2 h2
En =
+ V (r )
2
2mL

Ψ (ϕ ) = Ae iαϕ + Be −αϕ = Ae inϕ + Be − inϕ


∫ Ψ n (ϕ )Ψ n (ϕ )d ϕ = 1
*

0



∫ (A e

* −inϕ

* inϕ

+B e

)(Ae

inϕ

−inϕ

+ Be



)dϕ = ∫ (A A+ B ABe
*

0

*

2inϕ

)

+ A*BEe−2inϕ + B*B dϕ = 1

0

avec A et B réels



∫ (A

2

)

+ B 2 + 2 AB cos 2nϕ dϕ = 1

(A

2

0

(A + B )2π = 1
2

pour lever l’indéterminisme

2

)

+ B 2 2π +

2 AB
[sin 2nϕ ]02π = 1
2n

A2 + B 2 =

1


B=0⇒ A=

A=0⇒ B=

1


1


Ψ n (ϕ ) =
Ψ n (ϕ ) =

n2 h2
En =
+ V (r )
2
2mL

1

1


e in ϕ

e − inϕ

1

Ψn =



e ± inϕ

on remarque que dans la boite circulaire , la particule quantique peut être au repos puisque pour n =
0 on T= 0 donc v = 0.

n=0

E0 = V(r)

Ψ 0 (ϕ

Ψ+n (ϕ ) =

)=

1


e +inϕ

1


n=0
n≥0

En =

Ψ0 (ϕ ) =

E0 = V (r)
2

1


Ψ+n (ϕ ) =

2

n h
+ V (r )
2mL2

1


e+inϕ

Deux états quantiques dégénérés

Ψ−n (ϕ ) =

( En , Ψ+n ) ≠ (En ,Ψ-n)
Ψ+n(ϕ)

Ψ-n(ϕ)

1


e −inϕ

n2h2
En =
+ V (r )
2
2mL

(E1 , Ψ+1 ) ≠ (E1 , Ψ-1 )
Ψ+1(ϕ)

Ψ-1(ϕ)
1
2

A l’état fondamental T = mv 2

Ek

Ψk 1 ,

A l’état existé

h2
E1 = est au repos.
+ V (r )
= 0 , (E , Ψ ) , la particule quantique
2
2mL
0

Ψk 2…………………………………….
Ψk p
n h
 nh 

1
n2h2
T = mv 2 =
2
2mL2



v =
Le kième niveau est p fois dégénéré

0

v =

2

2

2

m 2 L2

2

=

 mL 

nh
mL

(Ek ,Ψk,l ) avec l∈[1, p ]
dégénérescence d’ordre p , c’est à dire p états de même énergie , c'est à dire p états de même énergie.

dans les états excités , la particule quantique tourne sans arrêt.

En , Ψ+n(ϕ)

En ,Ψ-n(ϕ)

La boite de potentiel parallélépipédique

Le potentiel à l’intérieur de la boite est nul, à l’extérieur de la boite est infini
(∞) .

La particule quantique

La boite de
potentiel

parallélépipédique
z

c

b
y

x

∆Ψ(x, y, z ) +

2m
(E − V )Ψ(x, y, z ) = 0
2
h

Ψ ( x , y , z ) = X ( x )Y ( y )Z ( z )
Solutions à variables séparées

Solution particulière

∂ 2 Ψ (x , y , z ) ∂ 2 Ψ (x , y , z ) ∂ 2 Ψ (x , y , z ) 2 m
+
+
+ 2 (E − V )Ψ ( x , y , z ) = 0
h
∂x 2
∂y 2
∂z 2

∂ 2 Ψ (x , y , z )

=
∂x 2
∂ 2Ψ

(x ,
∂y

2

y, z

)

=



∂ 2 Ψ (x , y , z ) ∂
=
2
∂z

2

( X ( x )Y ( y )Z ( z )) =
∂x 2

2

( X ( x )Y ( y )Z ( z ))
∂y

2

2

= XZ

( X ( x )Y ( y )Z ( z )) =
∂z 2

d 2X
YZ
dx 2
d 2Y
dy 2

d 2Z
XY
dz 2

L’équation de Schrödinger s’écrit comme suit :

Y ( y)Z(z)X ′′ + X (x)Z(z)Y ′′ + X (x)Y ( y)Z ′′ +

2m
(E −V )X (x)Y( y)Z(z) = 0
2
h

2m
(E − V )XYZ
2
YZ X ′′
XZ Y ′′
XY Z ′′
h
+
+
+
XYZ
XYZ
XYZ
XYZ

= 0

X ′′ Y ′′ Z ′′ 2m
+
+
+ 2 (E − V ) = 0
X
Y
Z h
f(x)

g(y)

h(z)

C

on peut donc écrire l’équation précédente comme suit :

F(x ,y ,z) = 0 (relation implicite c’est à dire x ,y ,z ne sont pas indépendants )

Or physiquement c’est absurde puisque F(x ,y ,z ) représente une surface or
notre particule se trouve dans un parallélépipède , donc il ne faut pas y avoir de
relation entre x ,y , et z .
Posons :

C = − (cx + cy + cz )
f(x) = cx

Avec

g(y) = cy
h(z) = cz

(

2m
2
2
2
(
)
(
)
E

V
=
C
=

c
+
c
+
c
=

α
+
α
+
α
x
y
z
x
y
z
h2
X ′′ ( x ) Y ′′ ( y ) Z ′′ ( z )
+
+

X (x )
Y (y )
Z (z )

2
x



2
y



2
z

)

= 0

une relation est une restriction de degré de liberté.

L’indépendance entre les variables x , y, z , nous permet d’écrire :

X ′′ ( x )

X (x )

2
x

= 0

;

X ′′( x ) + α x2 X ( x ) = 0

Cette équation différentielle est celle de la boite de potentiel rectiligne de
longueur a.

Y ′′ ( y )

Y (y )

2
y

= 0

;

Y ′′( y) + α Y ( y) = 0
2
y

C’est l’équation différentielle de la boite de potentiel rectiligne de longueur b

Z ′′ ( z )
+ α
Z (z )

2
z

= 0

;

2


Z ( z ) + αz Z ( z ) = 0

équation différentielle exprimant la quantification de la boite de potentiel
rectiligne de longueur c.

Les solutions de ces trois équations différentielles sont les fonctions d’onde des
trois boites de potentiel rectilignes de longueurs respectives a, b, c.

Après l’application des conditions aux limites, et la condition de normalisation
on a :

αL = nπ

;

Ψ n (x ) =

2
π
sin n x
L
L

;

α x a = n xπ
α y b = n yπ
α z c = n zπ

2
π
X nx ( x ) =
sin n x x
a
a

2
π
Yny ( y ) =
sin n y y
b
b

;

nx ≥ 1

;

ny ≥ 1

2
π
Z nz ( z ) =
sin nz z
c
c

)=

n x2

π

2

a2

+ n y2

π

2

b2

+ n z2

π

2

c2

2
2
2

n
n
h π  nx
y
z 
=
+
+
+V (x, y, z)
2
2
2
2m  a b c 
2

Enx ,ny ,nz

nz ≥ 1

8
π
π
π
sin n x x sin n y y sin n z z
abc
a
b
c

Ψn x ,n y , nz (x, y , z ) =

2m
(E − V
2
h

;

2

État fondamental :

n x = 1; n y = 1; n z = 1
E 111

h 2π 2  1
1
1 
=
 2 + 2 + 2  + V (x , y , z )
2m  a
b
c 

L’équation de Schrödinger
La solution g t
∂ Ψ

∂t


∆ψ r$, t % V x, y, z ψ r$, t
2!

∆ % V x, y, z
2!

H
∂ Ψ

∂t

1) posons ψ


)
∆ % V x, y, z * ψ r$, t
2!

r$, t

φ r$ g t

En appliquant l’expression

∂,φ r$ g t ℏ
∂t
Posons

r$

g 0

φ r$ g t
)

x.$

à l’équation précédant on obtient :


∆ % V x, y, z * φ r$ g t
2!

D’où

ℏφ r$ g t

/

ℏ0

g t
1

23 4
24

% V x φ x g t

(1)

Divisons l’équation

(1) par φ r$ g t

ℏg t
g t


1 dφ x
% V x
2! φ x dx

/

Les deux membres de l’équation sont indépendants l’un de l’autre puisque le
premier dépendant du temps et le second dépendant de l’espace. Donc pour
résoudre cette équation, mettant les deux membres les deux membres égalent
à une même constante qU’on a choisi d’appeler E.

ℏ7

8

g t

/

7

27
7

E





=

7 27
;7 < 7

lng t

lng t



8

7

7

:



Eg t



:

27

E dt



7
7 <

E ;< dt

lng t







2



lng 0

E t % lng 0





e
C



: B @A7 <

par ailleurs

g t

E



Et


Et

(2)

Appliquons la fonction exponentielle à l’équation

e@A7

Eg t



:

g 0

@A7 <

g 0

CD

(2)





D

:

:

C





:

:

:
C

2 Hφ r$ g t

2πD



g t

g 0

Eφ r$ g t

Hφ r$

Eφ r$

La fonction d’onde

∆ % V x, y, z
2m

H
∂Ψ r,$ t

∂t


∆Ψ r,$ t % V x, y, z Ψ r,$ t
2m

• Posons Ψ r,$ t




θ r$ φ t

∂θ r$ φ t
∂t


∆θ r$ φ t % V x, y, z θ r$ φ t
2m

Pour faciliter l’étude, travaillons dans un espace unidimensionnel
En appliquant l’expressionΨ r,$ t
obtient :



H I$ J3
J

ℏθ x φ/ t

ℏ0

K

θ r$ φ t , à l’équation précédente, on

φ t ∆θ r$ % V x, y, z θ r$ φ t

ℏ0
K

φ t

2H 4
24

(1)

% V x, y, z θ x φ t

(2)

Divisons les deux membres de l’équation
θ r$ φ t


38
3

ℏ0 L 2H 4
KH 4

24

% V x, y, z

On remarque dans cette équation

(2) par l’expression

(3)

(3) que les deux membres sont

indépendants l’un de l’autre, puisque le premier est dépendant du temps et le
deuxième dépend de l’espace, donc pour résoudre cette équation posons que
les membres soient égaux à une même constante qu’on appelle E :



38
3

E ;

38

:

3



M

3N

3

;

23

2

:



dφ t
φ t

E
dt


dφ t
φ t

log φ t
log φ t

φ t ;

E N
M dt


log φ<

E
t


E
t % log φ<


e

E

@O7 3

e

:

φ t



B @O7 3N

φ< e

2πℏν ⟹ ℏ

φ t

φ t

φ< e

:


φ< e

:


e
:


:

R

e@O7 3N



φ< e

:


R

R

2πν




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