TD 3 2 bac fr 18 19 9 .pdf

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Lycée : yaakoub AL MANSOUR

Série d’exercice N° : 3

Classe : 2BAC-PC-BIOF

Direction : M’diq- Fnideq

Les suites numériques

Prof : ELMAIMOUNI Omar

Exercice 1: Déterminer les limites des suites suivantes
𝑛2 − 1
a) 𝑈𝑛 = 3
b) 𝑈𝑛 = √𝑛2 + 7 − √𝑛2 + 4
𝑛 +1
3𝑛
𝑛2
c) 𝑈𝑛 =
d) 𝑈𝑛 = 𝑛
2 + 3𝑛
𝑛 2 + √𝑛
e) 𝑈𝑛 =

2𝑛 − 3𝑛
2𝑛 + 3𝑛
3

g) 𝑈𝑛 =

i)

2 √𝑛2

𝑈𝑛 =

3

f) 𝑈𝑛 = ඥ𝑛2 − √𝑛

Exercice 6 : Soient (𝑢𝑛 ) et (𝑣𝑛 ) les deux suites définies
par : 𝑢0 = 2 et 𝑣0 = 3 et pour tout 𝑛 de ℕ :
𝑢𝑛+1 =

3𝑢𝑛 + 2𝑣𝑛
2𝑢𝑛 + 3𝑣𝑛
et 𝑣𝑛+1 =
5
5

1) Monter par récurrence que : ∀𝑛 ∈ ℕ ; 𝑣𝑛 − 𝑢𝑛 > 0
2) Monter que (𝑢𝑛 ) croissante et (𝑣𝑛 ) décroissante.
3) On pose ∀𝑛 ∈ ℕ ; 𝑤𝑛 = 𝑣𝑛 − 𝑢𝑛

3

− √𝑛
√𝑛

(−1)𝑛
𝑛+2

3

1

h) 𝑈𝑛 = 𝑛4 − 2𝑛2 + 𝑛

a) Monter que la suite (𝑤𝑛 ) géométrique en déterminant
sa raison.

𝑛2 + sin(𝑛)
j) 𝑈𝑛 =
𝑛+5

b) Conclure que : lim 𝑣𝑛 − 𝑢𝑛 = 0

Exercice 2 : Soient (𝑢𝑛 ) et (𝑣𝑛 ) les deux suites
définies par : (∀ 𝑛 ∈ ℕ) , 𝑢𝑛 =

√4𝑛2

+ 1 et 𝑣𝑛 = 2𝑛

1) Monter que : (∀ 𝑛 ∈ ℕ) ; 𝑢𝑛 ≥ 𝑣𝑛

𝑛→+∞

4) On pose ∀𝑛 ∈ ℕ ; 𝑡𝑛 = 𝑣𝑛 + 𝑢𝑛
a) Monter que ∀𝑛 ∈ ℕ ; 𝑡𝑛+1 = 𝑡𝑛 , et déduire la nature
de la suite (𝑡𝑛 ).
b) Conclure 𝑢𝑛 et 𝑣𝑛 en fonction de n puis calculer
lim 𝑢𝑛 et lim 𝑣𝑛

2) En déduire la limite de la suite (𝑢𝑛 )

𝑛→+∞

Exercice 3 : Soit (𝑢𝑛 ) la suite définie par :
∀ 𝑛 ∈ ℕ , 𝑢𝑛 = −2𝑛 + cos(𝑛) − 1
1) Monter que : ∀ 𝑛 ∈ ℕ , 𝑢𝑛 ≤ −2𝑛
2) En déduire la limite de la suite (𝑢𝑛 )
Exercice 4 : à partir d’un carrée de côté a, on construit
les rectangles colorés ainsi :

𝑛→+∞

Exercice 7 : Soient (𝑢𝑛 ) et (𝑣𝑛 ) les deux suites définies
par :
𝑛2
𝑢𝑛+1
∀ 𝑛 ∈ ℕ∗ ; 𝑢𝑛 = 𝑛 et 𝑣𝑛 =
2
𝑢𝑛
1
1) Monter que : lim 𝑣𝑛 =
𝑛→+∞
2
1
∗
2) Monter que : ∀ 𝑛 ∈ ℕ ; 𝑣𝑛 >
2
3) Déterminer le plus petit nombre naturel 𝑁 tel que :
Si 𝑛 ≥ 𝑁 alors 𝑣𝑛 <

1er étape

3eme étape …..

2eme étape

3
4

4) Déduire que : ∀ 𝑛 ≥ 𝑁 ; 𝑢𝑛+1 <

3
𝑢
4 𝑛

Les segments construits dans chaque étape, relie les
milieux des coté opposés (regarder la figure ci-dessus).

5) On pose : ∀ 𝑛 ≥ 5 ; 𝑆𝑛 = 𝑢5 + 𝑢6 + ⋯ + 𝑢𝑛

1) Calculer 𝑆𝑛 la surface colorée dans l’étape 𝑛

a) Démonter par récurrence que :

2) Déterminer la limite de la suite (𝑆𝑛 )
Exercice 5: Déterminer la limite de la suite (𝑢𝑛 )dans
les cas suivants :
(−2)𝑛+1 + 3𝑛
𝑛𝜋
−𝑛
𝑈
=
a) 𝑈𝑛 = 2 𝑠𝑖𝑛 ቀ ቁ b)
𝑛
2𝑛 + 1
6
c) 𝑈𝑛 =

(−1)𝑛 + 2
𝑛 + √𝑛

d)

𝑈𝑛 = 𝑛(3 + sin 𝑛 )

3 𝑛−5
∀ 𝑛 ≥ 5 ; 𝑢𝑛 ≤ 𝑢5 ൬ ൰
4
b) Monter que :
3
3 2
3 𝑛−5
∀ 𝑛 ≥ 5 ; 𝑆𝑛 ≤ ቆ1 + + ൬ ൰ + ⋯ . + ൬ ൰ ቇ 𝑢5
4
4
4
c) En déduire que∀: 𝑛 ≥ 5 ; 𝑆𝑛 ≤ 4𝑢5
6) Monter que la suite (𝑠𝑛 )𝑛≥5 croissante puis conclure
qu’elle est convergente.

Exercice (Devoir libre N° : 2)
Exercice 8 : On considère la suite définie pour tout
2𝑛2
entier 𝑛 par : 𝑢𝑛 = 2
(𝑛 + 1)2𝑛
2𝑛2
𝑣𝑛 = 2
On pose pour tout 𝑛 de ℕ :
(𝑛 + 1)

On considère la suite définie par :
1
et pour tout entier 𝑛 : 𝑢𝑛+1 = 4𝑢𝑛 ඥ𝑢𝑛 − 3𝑢𝑛2
𝑢0 =
2
et on considère la fonction définie sur ℝ+ par :
𝑓(𝑥) = 4𝑥 √𝑥 − 3𝑥 2 .

1) montrer que la suite (𝑢𝑛 ) est bornée.

1) Calculer la dérivée de la fonction 𝑓 .

2) En déduire que la suite (𝑢𝑛 ) est convergente de

2) En déduire que la fonction 𝑓 est strictement

limite 0.

croissante sur 𝐼 = [0 ; 1] et dresser son tableau de

1
Exercice 8 : On considère la suite définie par : 𝑢0 =
2
1 + 𝑢𝑛2
et pour tout entier 𝑛 : 𝑢𝑛+1 =
1 + 𝑢𝑛

variations.

1) Démontrer par récurrence, ∀ 𝑛 ∈ ℕ ; 0 ⩽ 𝑢𝑛 ⩽ 1

5) Démontrer que la suite (𝑢𝑛 ) est croissante.

2) Démontrer que la suite (𝑢𝑛 ) est monotone,

6) En déduire que la suite (𝑢𝑛 ) est convergente.

En déduire qu’elle est convergente.

7) Déterminer la limite de la suite (𝑢𝑛 ).

2
3) a) Monter que : ∀ 𝑛 ∈ ℕ ; 1 − 𝑢𝑛+1 ⩽ (1 −𝑛 )
3
1 2 𝑛
b) En déduire que : ∀ 𝑛 ∈ ℕ ; 1 − 𝑢𝑛+1 ⩽ ൬ ൰
2 3
c) qu’elle est la limite de la suite (𝑢𝑛 )
Exercice 10 : On considère la suite définie par :
𝑢0 = 0 et pour tout entier 𝑛 : 𝑢𝑛+1 = ඥ2𝑢𝑛 + 3
1) a) A l'aide de votre calculatrice, calculer les quatre

4
3) Conclure que : 𝑓 (𝐼) ⊂ 𝐼 . ∀ 𝑛 ∈ ℕ ; ⩽ 𝑢𝑛 ⩽ 1
9
4) Démontrer par récurrence,

Exercice : défis (en option)
Un coureur très rapide poursuit une tortue.
Pour simplifier supposons que le coureur et la tortue
suivent un mouvement rectiligne uniforme, le coureur
coure 100 fois plus vite que la tortue, au départ, la
tortue ait 1000 mètres d’avance sur le coureur.

premiers termes de cette suite.

Pendant que le coureur parcourt les 1000 mètres le

b) Faire une conjecture sur le sens de variation de la

séparant de la tortue, la tortue parcourt 10 mètres,

suite (𝑢𝑛 ).

pendant que le coureur parcourt les 10 mètres restants,

2) On considère la fonction définie

la tortue parcourt 0,1 mètres pendant que le coureur

pour 𝑥 ∈ [0 ; 3] par : 𝑓(𝑥) = √2𝑥 + 3.

parcourt les 0,1 mètres restants, la tortue parcourt 0,001

a) Calculer la dérivée de la fonction 𝑓 .

mètres, etc . . .

b) En déduire que la fonction f est strictement

Est-ce que le coureur peut rattraper la tortue ?

croissante sur [0 ;3] et dresser son tableau de
variations. Préciser les valeurs de de la fonction aux
bornes de cet intervalle.
c) Démontrer que : si 𝑥 ∈ [0 ; 3] alors 𝑓 (𝑥 ) ∈ [0 ; 3] .
d) Démontrer par récurrence, ∀ 𝑛 ∈ ℕ ; 0 ⩽ 𝑢𝑛 ⩽ 3
e) Démontrer par récurrence, que la suite (𝑢𝑛 ) est
strictement croissante.
f) En déduire que la suite (𝑢𝑛 ) est convergente.
g) Déterminer la limite de la suite (𝑢𝑛 ).



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