TP Automatique LOUKAINI Yassin VANBESIEN Alexis .pdf



Nom original: TP Automatique LOUKAINI Yassin VANBESIEN Alexis.pdf
Auteur: Yassin

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Introduction à l’automatique
Exercice 1 :
𝐻(𝑝) =

𝑝2

10
+ 2𝑝 + 10

On cherche à définir un système ayant la fonction de transfert ci-dessus. On utilisera 2 fonctions :
La fonction tf permet de créer une fonction de transfert
en définissant son numérateur et son dénominateur.
Pour créer le polynôme du dénominateur on utilise les
crochets : [Npi…Dp3 Cp2 Bp1 Ap0]

H= tf(NUM,DEN)

La fonction zpk permet de créer une fonction de transfert
à partir des zéros, des pôles et du gain de la fonction.

H= zpk(Z,P,K)

Ici les pôles sont définis grâce aux racines du
dénominateur déterminés grâce à la fonction roots

H= zpk([], roots([1 2 10]), [10])

H= tf(10, [1 2 10])

Ainsi, on peut définir un système de 2 façons différentes selon les données que nous avons.
Nous utilisons ensuite différentes fonctions sur le système :
Impulse (H,t) : Donne la réponse
impulsionnelle du système en fonction du
temps

Step (H,t) : Donne la réponse indicielle du
système en fonction d’un temps t défini

Pzmap : Donne les pôles et les zéros du
système dans un plan complexe

Bode : Donne diagramme de Bode du système
(gain et phase)

Nyquist : Donne le diagramme de Nyquist du
système

Nichols : Donne le diagramme de Nichols du
système

On utilise la fonction step pour afficher la réponse indicielle du système. On définit tout d’abord le
temps sur lequel on veut cette réponse avec t= valeur initiale :pas :valeur finale, ici :
t= 0 :0,1 :6
step (H,t)

On obtient ainsi la figure suivante :

Temps de crête

Gain statique

Temps de réponse à 5%

Temps de montée

Le logiciel nous permet d’afficher les propriétés de la réponse indicielle légendées ci-dessus.

Pour la suite, on veut générer la réponse du système avec
une rampe unitaire u(t)=t entre 0 et 4s avec un pas de
0,1s. Pour se faire, on utilise la fonction lsim et nous
obtenons la figure suivante :

t= 0:0,1 :4
u=t
lsim (H,u,t)

On effectue ensuite la même manipulation en modifiant les
paramètres ; cette fois u(t)=cos(ωt) avec ω ϵ {0.5, 1, 2, 3, 5,
10} et t est défini entre 0 et 20s avec un pas de 0,01s
Pour afficher tous les graphiques sur une seul page, on utilise
la commande subplot. Cette commande est définie tel que :
Subplot(nombre de ligne, nombre de colonne, emplacement du
graphique)

T = 0:0.01:20;
a=1;
for w = [0.5 1 2 3 5 10]
subplot(3,2,a)
a=a+1;
U = cos(w*T);
lsim(H,U,T)
end

Afin de pouvoir placer chaque graphe avec une valeur différente de ω, on utilise une boucle à l’aide
la fonction for. Ainsi, à chaque valeur de ω le graphe sera placé à l’emplacement a+1 et on termine la
boucle avec end
On obtient donc ceci :

Exercice 2 :
𝐻(𝑝) =

1
1 + 𝜏𝑝

Pour cet exercice, on cherche à obtenir les réponses
indicielle du système définit par la fonction de transfert
ci-dessus avec τ= {1,2,3,4,5,6}

for T = [1 2 3 4 5 6]
H = tf(1,[T 1]);
step (H)

On utilise donc une boucle for avec la fonction step , et
on ajoute la fonction hold on pour conserver chaque
réponse indicielle sur un seul et même graphe.

legend('to=1','to=2','to=2','to=4
','to=5','to=6');
hold on

On utilise la fonction legend pour légender chaque
courbe. On obtient ainsi le graphique suivant :

end

Exercice 3 :
𝐻(𝑝) =

𝜔𝑛 ²
𝑝2 + 2𝜉𝜔𝑛 𝑝 + 𝜔𝑛 ²

Le premier graphe vas être constitué des
réponses indicielles de H(p) pour une pulsation
propre non amortie variant entre 1 et 6, avec
un coefficient d’amortissement restant
constant.
Tout d’abord nous allons définir la valeur de
coefficient d’amortissement qui doit être dans
l’intervalle ]0,1[.
Pour afficher les deux graphiques dans une
même image nous allons utiliser la fonction
« subplot ».
Ensuite on ouvre une boucle « for », dans cette
boucle on désigne la valeur de la pulsation qui
varie entre 1 et 6, on crée la fonction de
transfert de H avec la fonction « tf », Pour
afficher les courbes dans le même graphique
on utilise la fonction « hold on », et finalement
on utilise le « step » pour afficher la réponse
indicielle de H. Finalement on ferme la boucle
avec la fonction « end ».

Pour légender le graphique on utilise la
fonction « legend ».
Le second graphe va être constituée des
réponses indicielles de H(p) mais cette fois-ci,
pour un coefficient d’amortissement variant
entre 0,1 et 1,7, la pulsation propre non
amortie reste constante.
xi=0.3
subplot(2,1,1);
for w=1:6;
H= tf([w^2],[1 2*xi*w w^2])
hold on;
step(H);
end
legend('w=1','w=2','w=3','w=4','
w=5','w=6');
w=1
subplot(2,1,2);
for xi=0.1:0.4:1.7;
H= tf([w^2],[1 2*xi*w w^2]);
hold on;
step(H);
end
legend('xi=0.1','xi=0.5','xi=0.9
','xi=1.3','xi=1.7');

Avec un coefficient d’amortissement constant,
l’amplitude
maximale
augmente
plus
rapidement que la pulsation propre non
amortie, par contre pour une pulsation propre
qui est constante, on constate que plus le
coefficient d’amortissement est élevée
l’amplitude maximale diminue.

Exercice 4 :
Dans cet exercice, on étudie l’influence de la localisation des pôles d’un système dynamique de second
ordre sur sa réponse indicielle.
Pour se faire, nous allons créer 12 systèmes du second ordre en faisant varier la partie complexe des
pôles uniquement, puis la partie réelle uniquement, puis les 2.
Comme nous devons définir les systèmes avec ses pôles et son
gain statique, on utilise la fonction zpk
On commence par définir T la variable du système variant de
1 à 4 avec un pas de 1 puis on définit le système. On sait que
lorsque p=0, le gain doit être égale à 1, on adapte ainsi le gain
de la fonction zpk afin d’obtenir un gain statique égale à 1.
Dans le premier cas, on trouve 1+T^2.
On utilise une boucle for et la fonction hold on pour afficher
toutes les courbes sur le même graphique, puis la fonction
subplot pour maintenir les 2 graphiques sur une même page
que l’on légende grâce à legend
On obtient ainsi les graphiques suivant :

subplot(2,1,1)
for T = 1:1:4
H = zpk([],[-1-T*1j 1+T*1j],1+T^2);
step (H)
hold on
end
legend('T=1','T=2','T=3','T=4')
subplot(2,1,2)
for T = 1:1:4
H = zpk([],[-1-T*1i 1+T*1j],1+T^2);
pzmap (H)
hold on
end
legend('T=1','T=2','T=3','T=4')
figure

Grâce aux fonctions du logiciel, on peut voir que plus T augmente, plus le temps de crête et le temps
de montée est court

Pour les 4 systèmes suivants, on effectue la même manipulation
en modifiant les pôles en déplaçant la variable T sur la partie
réelle.

On obtient ainsi les graphiques suivant :

subplot(2,1,1)
for T = 1:1:4
H = zpk([],[-1-T*1j 1+T*1j],1+T^2);
step (H)
hold on
end
legend('T=1','T=2','T=3','T=4')
subplot(2,1,2)
for T = 1:1:4
H = zpk([],[-1-T*1i 1+T*1j],1+T^2);
pzmap (H)
hold on
end
legend('T=1','T=2','T=3','T=4')
figure

Dans ce cas-ci, le temps de crête est à peu près égal pour toutes les courbes, mais comme dans le cas
précédent, plus T augmente, plus le temps de réponse diminue

Pour le dernier cas, on ajoute la variable T à la partie réelle ainsi
qu’à la partie imaginaire. Nous devons aussi modifier le gain pour
obtenir le gain statique égale à 1, dans ce cas on trouve 2*T^2

On obtient ensuite les graphiques suivants :

subplot(2,1,1)
for T = 1:1:4
H = zpk([],[-1-T*1j 1+T*1j],1+T^2);
step (H)
hold on
end
legend('T=1','T=2','T=3','T=4')
subplot(2,1,2)
for T = 1:1:4
H = zpk([],[-1-T*1i 1+T*1j],1+T^2);
pzmap (H)
hold on
end
legend('T=1','T=2','T=3','T=4')
figure

Dans ce cas-ci, plus T augmente, plus le temps de crête et le temps de montée est court

Exercice 5 :
Tout d’abord nous allons définir les trois systèmes ayant les fonctions de transfert suivantes :
𝐻1 (𝑝) =

1
1+100𝑝

𝐻2 (𝑝) =

1
1+10𝑝

H1= tf([1],[100 1])
H2= tf([1],[10 1])
H= H1*H2

Pour tracer le lieu de Bode des trois systèmes on
utilise la fonction « bode », et on obtient :
bode(H1,H2,H)
hold on

Pour tracer le lieu de Nyquist des trois systèmes on
utilise la fonction « nyquist », et on obtient :

nyquist(H,H1,H2)
hold on

Nous pouvons constater que H1 est plus rapide que H2 et que H est d’ordre 2.
Pour tracer le lieu de Blach-Nichols des trois
systèmes on utilise la fonction « nichols », et on
obtient :
nichols(H,H1,H2)
hold on

𝐻(𝑝) = 𝐻1 (𝑝)𝐻2 (𝑝)

Exercice 6 :
Dans cet exercice, nous allons étudier une modélisation d’un moteur à courant continue. La fonction
de transfert qui relie la vitesse de rotation de rotor Ω à la tension U appliquée à l’induit s’écrit :
𝐻(𝑝) =

Ω(𝑝)
𝐾
=
𝑈(𝑝)
(1 + 𝜏𝑒𝑙 𝑝)(1 + 𝜏𝑒𝑚 𝑝)

Avec :
Le gain statique du système

𝐾=

𝐾𝑒𝑚
𝑅𝑓+𝐾𝑒𝑚 ²

La constante de temps électromécanique 𝜏𝑒𝑚 =
La constante de temps électrique

RJ
𝑅𝑓+𝐾𝑒𝑚 ²

𝐿

𝜏𝑒𝑙 = 𝑅

L’objectif de cet exercice est d’étudier le
comportement de ce système dynamique à
l’aide de Matlab.
Tout d’abord nous allons définir les diverses
constantes qui nous sont donnes. Pour ensuite
calculer le gain statique et les constantes de
temps.

R=1.44;
L=5.6*10^(-4);
J=1.29*10^(-4);
f=7.2*10^(-5);
Kem=0.1;
K=Kem/(R*f+Kem^2)
Tem=R*J/(R*f+Kem^2)
Tel=L/R

On obtient donc :
𝐾 = 9.8974
𝜏𝑒𝑚 = 0.0184
𝜏𝑒𝑙 =3.8889e-04
Nous définirons ensuite la fonction de
transfert, pour cela nous allons noter « num »
son numérateur et « den » son dénominateur.
Une fois tout définie, nous allons utiliser la
fonction « tf » pour faire la fonction de
transfert et de la fonctionne « pole » pour
afficher les pôles de cette fonction de transfert.
Les pôles sont donc :
-2.5714e+3 et -0.0544e+3
Et la réponse indicielle est :

num=K;
den=([Tel*Tem Tel+Tem 1]);
H=tf(num,den)
pole(H)
step(H)

Pour déterminer les fonctions de transfert du
système en boucle ouverte et en boucle
fermée nous allons tout d’abord définir 𝐾𝑝 et
𝐾𝜔 .
D’après le cours la fonction de transfert du
système en boucle ouvert(Y), (donc le transfert
entre 𝑈𝑐 ′𝑝) et Y(p)) est la multiplication des
trois composantes. Et on obtient donc :

'boucle ouverte'
kp=10
kw= 3.18*10^(-2)
Y=kp*H*kw
'boucle fermée'
Omega=((kp*H)/(1+Y))

𝑌 = 𝐾𝑝 ∗ 𝐾𝜔 ∗ 𝐻(𝑝)
Pour une boucle fermée (Ω) (donc le transfert
entre 𝑈𝑐 ′𝑝) et Ω(P)), d’après le cours on peut
noter :
Ω=

𝐾𝑝 ∗ 𝐻(𝑝)
1+𝑌

Nous pouvons aussi trouver la boucle fermée en utilisant la fonction « feedback », pour cela nous
allons définir M1 et M2, pour mettre la boucle de la forme suivante :

M1=H*10
M2=kw
M=feedback (M1,M2)

Finalement, nous avons utilisé la fonction « step » pour tracer la
réponse indicielle de la boucle ouverte et de la boucle fermée.

Boucle fermée

step (M)
step(Y)

Boucle ouverte

Pour la boucle ouverte l’amplitude de la réponse indicielle est plus faible que celle de la boucle fermé.

Pour cette dernière partie de l’exercice nous allons utiliser une boucle for afin de tracer sûr un même
graphe les réponses indicielles du système en boucle fermée pour différentes valeurs de 𝐾𝑝 .
Premièrement on utilise « for » pour commencer la boucle, on définit ensuite les différentes valeurs
de 𝐾𝑝 que l’on souhaite on définit F1 et F2=M2 on utilise la fonction « step », ensuite « hold on » et
finalement on ferme la boucle avec « end ».

for kp=[10 100 1000 5000]
F1=H*kp;
F2=kw;
F=feedback (F1,F2);
step(F)
hold on
end
legend ('kp=10','kp=100','kp=1000','kp=5000')

Et nous obtenons finalement :

Nous pouvons donc constater que plus le Kp est élevé l’amplitude de la réponse indicielle de la boucle
est élevée et plus rapide elle devient constante.

Exercice 7 :
Cet exercice nous introduit au logiciel Simulink. Il permet de modéliser et d’analyser des systèmes sous
forme de schémas fonctionnels.
On utilise donc en premier lieu le bloc Step qui permet d’afficher la réponse indicielle
d’un système
On envoie ensuite cette commande dans le bloc Transfer Fcn qui permet de
définir un système à l’aide d’une fonction de transferT.

Pour finir, on utilise le bloc Scope pour visualiser le signal de sortie

On obtient à la fin le modèle demandé, et cette réponse indicielle :

Exercice 8 :

Dans cet exercice, on étudie l’effet d’une correction proportionnelle sur un système.
On commence tout d’abord par définir le signal d’entrée à l’aide de la fonction step
Avec au bloc sum, on ajoute le bloc step et on soustrait la sortie du système pour ainsi créer
un système en boucle fermée.
Pour ajouter une correction proportionnelle au système, on utilise le bloc gain que l’on relie
au système définit par la fonction de transfert
On crée ainsi toutes les boucles de systèmes fermées avec une correction proportionnelle différente,
puis on relie chaque sortie de système à un seul et même bloc scop pour afficher chaque réponse
indicielle sur un seul graphique. On obtient le système suivant :

Pour finir, on visualise donc les réponses indicielles :

Dans le cas k=-1, on peut voir que la réponse indicielle chute fortement et n’admet pas de gain statique
Dans le cas k=1, le système a un temps de montée court et admet un gain statique égale à 0,5
Dans les autres cas, on peut clairement voir les sinusoïdes causées par la boucle fermée. On peut voir
que plus la correction augmente, plus la période de la sinusoïde diminue et son amplitude augmente
et plus on se rapproche d’un gain statique égale à 1 mais nous mettons plus de temps à l’obtenir.




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