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EF+Corrigé Maths1 SM 2018 2019 .pdf



Nom original: EF+Corrigé Maths1 SM 2018-2019.pdf

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20
19
)

A.U 2018-2019
06/01/2019

(U
AB
T)
20
18
~

Universit´
e Abou Bekr Belkaid
Facult´
e des Sciences- T.C SM

Epreuve Finale (Maths1)-1h 30mn
(L’usage de la calculatrice est strictement interdit)
Exercice 1(cours):(10pts)
1. Soit P (x) = x2 + 4x + 8; x ∈ R.

(a) (1 point) R´esoudre dans R l’´equation P (x) = 0.

ce
s

Page Facebook "Sciences Tlemcen"

(b) (1 point) Ecrire P (x) sous la forme d’une somme de deux carr´es.
1
.
P (x)

cie
n

(c) (2 points) En d´eduire la primitive de g; g(x) =

2. On consid`ere l’application f : [0, π] → [−1, 1] d´efinie par

de
sS

f (x) = cos(x).

Rappelons que x 7→ arccos(x) est l’application r´eciproque de f not´ee f −1 .

lté

(a) (2 points) f −1 est-elle paire? Justifier votre r´eponse.

~F

ac
u

(b) (2 points) En utilisant l’int´egration par partie, calculer l’int´egrale ind´efinie
suivante.
Z
arccos(x) dx.
3. (2 points) Montrer que arccos(x) + arccos(−x) = π; ∀x ∈ [−1, 1].

(S

1)

Exercice 2:(05pts) On d´efinit une relation ∇ sur R par:
x∇y ⇐⇒ ∃n ∈ N, y = xn .

/S

T

1. (4 points) Montrer que ∇ est une relation d’ordre.

SM

2. (1 point) Cet ordre est-il total?

ièr
eL
MD

Exercice 3:(05pts) Soit la fonction d´efinie par:




cos sin(x)

si x ≤ 0;
f (x) = 
1 + x2 ln(1 + x) si x > 0.

Pr

em

1. (1 point) D´eterminer le domaine de d´efinition de f .
2. (2 points) f est-elle continue sur R?
3. (2 points) Calculer la d´eriv´ee de f sur R∗ . f est-elle d´erivable en 0?
Bon courage

20
19
)

A.U 2018-2019
06/01/2019

(U
AB
T)
20
18
~

Universit´
e Abou Bekr Belkaid
Facult´
e des Sciences- T.C SM

Corrig´
e de l0 Epreuve Finale (Maths1)-1h 30mn
Exercice 1(cours):(10pts)
1. Soit P (x) = x2 + 4x + 8; x ∈ R.

(a) (1 point) R´esoudre dans R l’´equation P (x) = 0.

ce
s

Page Facebook "Sciences Tlemcen"

Solution: Pour r´esoudre l’´equation, on calcule le discriminant:
∆ = −16 < 0, ainsi l’´equation n’admet pas de solutions dans R.

de
sS

Solution: P (x) = (x + 2)2 + 22

cie
n

(b) (1 point) Ecrire P (x) sous la forme d’une somme de deux carr´es.

1
.
P (x)

(c) (2 points) En d´eduire la primitive de g; g(x) =

1+



(0.5)
dx
=
(x+2)2 +22

lté

1/2dx

Z

x+2
2

R

(01)+(0.25)

2

=

(1/4)

(1/2) arctan

~F

(1/2)

g(x)dx =

ac
u

R

Solution:

dx

Z

1+
x + 2

2



x+2
2

(0.25)

2

=

+ C; C ∈ R.

f (x) = cos(x).

T

(S

1)

2. On consid`ere l’application f : [0, π] → [−1, 1] d´efinie par

/S

Rappelons que x 7→ arccos(x) est l’application r´eciproque de f not´ee f −1

SM

(a) (2 points) f −1 est-elle paire? Justifier votre r´eponse.

Pr

em

ièr
eL
MD

Solution: La fonction x 7→ cos(x) est paire sur R mais ne l’est pas sur
[0, π] car si x ∈ [0, π] alors −x ∈
/ [0, π] (01) donc la fonction
x 7→ arccos(x) ne l’est pas non plus.(01) (Une justification par un
graphe est acceptable.)

(b) (2 points) En utilisant l’int´egration par partie, calculer l’int´egrale ind´efinie
suivante.
Z
arccos(x) dx.

arccos(x);



du (0.25)
=

=⇒

(0.25)


v (0.25)
= x.
Z

dv = dx.

Par cons´equent

(U
AB
T)
20
18
~


Z

dx
− √1−x
2;

20
19
)

Solution: Soit


u (0.25)
=

(0.25)

arccos(x) dx = x. arccos(x) +
1

x. arccos(x) − (1 − x2 ) 2 + C; C ∈ R.

x.dx

1 − x2

(0.75)

=

3. (2 points) Montrer que arccos(x) + arccos(−x) = π; ∀x ∈ [−1, 1].

ce
s

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Solution: Soit t = arccos(−x); ∀x ∈ [−1, 1] (0.25) donc
cos(t) = cos(arccos(−x)) = −x(0.5).
(0.5)

de
sS

cie
n

Par ailleurs x = − cos(t) = cos(π − t). En appliquant x 7→ arccos(x) aux
deux membres de l’´egalit´e,(0.25) on obtient
arccos(x) = π − t(0.5) ce qui est ´equivalent a` arccos(x) + arccos(−x) = π.
Exercice 2:(05pts) On d´efinit une relation ∇ sur R par:
x∇y ⇐⇒ ∃n ∈ N, y = xn .

ac
u

lté

1. (4 points) Montrer que ∇ est une relation d’ordre.

~F

Solution: Montrons alors que la relation est r´eflexive, antisym´etrique et
transitive.

T

(S

1)

• ∇ est r´eflexive ⇐⇒ ∀x ∈ R; x∇x(0.25)
On a ∀x ∈ R; x = x1 ici n = 1 ∈ N donc ∇ est r´eflexive.(0.25)

SM

/S

• ∇ est antisym´etrique ⇐⇒ ∀x, y ∈ R; x∇y et y∇x =⇒ x = y(0.25)

y∇x

ièr
eL
MD

Soit x, y ∈ R tels que


x∇y


∃n

∈ N; y = xn1 (0.25)
⇐⇒
∃n2 ∈ N; x = y n2 (0.25)
1

(0.25)

=⇒ ∃n1 , n2 ∈ N; y = (y n2 )n1 = y n1 .n2 , ce qui implique que
n1 .n2 = 1(0.25) et comme n1 , n2 ∈ N(0.25), alors n1 = n2 = 1(0.25)
et par suite x = y.(0.25) Ainsi ∇ est antisym´etrique.

Pr

em

• ∇ est transitive ⇐⇒ ∀x, y, z ∈ R; x∇y et y∇z =⇒ x∇z.(0.25)
Soit x, y, z ∈ R tels que


x∇y
y∇z

(0.25)

⇐⇒


∃n

∈ N; y = xn1 (0.25)
∃n2 ∈ N; z = y n2 (0.25)
1

=⇒ ∃n1 , n2 ∈ N; z = (xn1 )n2 = xn1 .n2 et puisque n1 .n2 ∈ N (0.25)

Page 2

2. (1 point) Cet ordre est-il total?

20
19
)

(U
AB
T)
20
18
~

alors x est en relation avec y,(0.25) ainsi ∇ est transitive.
Par cons´equent ∇ est une relation d’ordre.

Solution: L’ordre n’est pas total, il est partiel car par exemple:
Pour x = 5, y = 2 il n’´existe pas d’entiers naturels n tel que 5 = 2n et
n’´existe pas d’entiers naturels n0 tel que 2 = 5n0 . Donc ni 5∇2 ni 2∇5.

ce
s

f (x) =





cos sin(x)

si x ≤ 0;

cie
n

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Exercice 3:(05pts) Soit la fonction d´efinie par:


1 + x2 ln(1 + x)

si x > 0.

de
sS

1. (1 point) D´eterminer le domaine de d´efinition de f .





lté

Solution: Df = R(0.5) car x 7→ cos sin(x) est d´efinie sur R∩] − ∞, 0] =

~F

ac
u

]−∞, 0] et la fonction x 7→ 1+x2 ln(1+x) est d´efinie sur ]−1, +∞[∩]0, +∞[=
]0, +∞[ et par cons´equent f est d´efinie sur ] − ∞, 0]∪]0, +∞[= R.(0.5)(Pour
la justification)

(S

1)

2. (2 points) f est-elle continue sur R?




T

Solution: La fonction x 7→ cos sin(x) est continue sur ] − ∞, 0].(0.25),

SM

/S

x 7→ 1 + x2 ln(1 + x) est continue sur ]0, +∞[.(0.25)
Ainsi f est continue sur R∗ , ´etudions la continuit´e de f en 0, pour cel`a on
calcule la limite de f a` droite et `a gauche de 0.
lim+ f (x) = lim+ 1 + x2 ln(1 + x) = 1 + 0 = 1 = f (1).(0.5)

ièr
eL
MD

x→0

x→0





lim− f (x) = lim− cos sin(x) = 1 = f (1).(0.5) On a bien la limite `a droite

x→0

x→0

3. (2 points) Calculer la d´eriv´ee de f sur R∗ . f est-elle d´erivable en 0?

Pr

em

´egale `a la limte a` gauche donc f est continue en 0,(0.25) alors elle est
continue sur R.(0.25)

Page 3

20
19
)
(U
AB
T)
20
18
~

Solution:
erivable
R∗ et
 f est d´
sur

− cos(x). sin sin(x) si x ≤ 0; (0.25)
0
f (x) =

2x. ln(1 + x) + x2 si x > 0.(0.25)
1+x
• D´erivabilit´e de f en 0:

f (x) − f (0)
f (x) − f (0)
= lim+
=l
x→0
x→0
x−0
x−0
´existe et est finie, dans ce cas l = f 0 (0).(0.25)
f (x) − f (0)
x2 ln(1 + x)
Pour tout x ∈]0, +∞[; lim+
= lim+
=
x→0
x→0
x−0
x
lim+ x ln(1 + x) = 0 donc f est d´erivable a` droite en 0 et fd0 (0) =
f est d´erivable en 0 ⇐⇒

lim−

x→0

ce
s

Page Facebook "Sciences Tlemcen"

0.(0.25)
D’autre part pour tout x ∈] − ∞, 0[; lim−
lim

x→0−

−2 sin2
lim−

x→0

sin(x)
2

x


2

.

sin(x)
2



sin(x)
2



−2 sin2

−1

= lim−
x→0

2
sin(x)

2

.x

de
sS

1 − 2 sin



cie
n

x→0

2

f (x) − f (0)
=
0
x −

1
= lim− − .
x→0
2

sin(x)
2

x

=



sin sin(x) 2
2
sin(x)
2

sin(x) 2

.x.

x

=

Pr

em

ièr
eL
MD

SM

/S

T

(S

1)

~F

ac
u

lté

1
− .1.0.1 = 0(0.5) car lorsque x → 0− ; sin(x)
→ 0− et on sait que
2
2
sin(t)
= 1. Donc f est d´erivable a` gauche en 0 et fg0 (0) = 0(0.25)
lim
t→0
t
et puisque fd0 (0) = fg0 (0) = 0 on conclut que f est d´erivable en 0
et f 0 (0) = 0.(0.25) Ainsi f est d´erivable sur R.

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