EF+Corrigé Maths1 ST 2018 2019 .pdf


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Mardi 08 Janvier 2019

Faculté des Sciences

Module : Math 1- Tronc commun Sciences et Technologies

Département des Mathématiques

Durée : 1 h-30mns

20
19
)

Université de Tlemcen

Examen final

(U
AB
T)
20
18
~

« L’usage de la calculatrice est strictement interdit »
Exercice 01 : (04 points) Montrer que

Déterminer la valeur de c.

ce
s

1) Compléter :

(

2) Montrer que :

)

3) En déduire la valeur :

(

)

(

)
( )

cie
n

(

)

de
sS

Page Facebook "Sciences Tlemcen"

Exercice 02 : ( 03 points)

,

,

, définie par :

lté

Exercice 03 : ( 06 points) On considère l’application
( )

Fa
cu



,, dérivable sur -

4. Résoudre dans ,

-

, et déterminer sa dérivée.

-,
,. Montrer que ̃ est bijective.

,

, l’équation ( )



/S
T

la bijection réciproque de ̃. Justifier l’existence et déterminer ( ̃

SM

5. On désigne par ̃

,

(S

1)
~

1. Montrer que est continue sur,
2. Dresser le tableau de variation de .
3. On désigne par ̃ l’application ̃ ,
définie par ̃( )
( ) pour tout

la relation définie sur



par :

MD

Exercice 04 : ( 04 points) Soit

) . /.

est une relation d’équivalence, puis déterminer la classe d’équivalence d’un réel a.

eL

Montrer que

( )

par

( )

{

Pr

em

ièr

Exercice 05 : ( 03 points) Soit a et b deux réels. On définit la fonction

Déterminer a et b pour que g soit dérivable sur

.
Bon courage

Corrigé

20
19
)

Exercice 01 : (04 pts)
, on pose ( )

Soit

( )

(

Ce qui signifie que cette fonction est constante sur
Pour x=1, on a ( )

(

. (01 pt)

)

(

ce
s

Page Facebook "Sciences Tlemcen"

1)

(
(

3) Pour

)

(

D’où:

)
)

-

(

)

(

on a
,

(

)

(
)

(

lté

)

)
(
)
(
)
(0.5 pt)
)

Fa
cu

(

-(
-(

(

de
sS

,
,

cie
n

Exercice 02 : (03 pts)

Comme

)

)

D’où :

2)

(U
AB
T)
20
18
~

est continue et dérivable (0.5 pt), en plus :

,

(

)
)
(

(
(
) -

)
)

))

(0.5 pt)

(0.5 pt)
,

1)
~

Exercice 03 : (06 pts) Soit l’application

, définie par :



/S
T

(S

( )

,

SM

1. La fonction est bien définie puisque
La fonction f est la composée de :
la fonction polynômiale :
,
particulier sur ,



Et de la fonction

MD





eL

Donc f est continue sur ,

Pr

em

2.

ièr

( )
( )

(

; qui est continue et dérivable sur

qui est continue et dérivable sur
, et dérivable sur -

)

, (0.5 pt)

(01 pt)

ce qui signifie que la fonction est strictement décroissante.
( )
( )

; en

x

-1

+

20
19
)

( )

(U
AB
T)
20
18
~

(01.5 pt)

̃(,
,
,) - 3. On a ̃ ,
En plus c’est une fonction continue et strictement décroissante (d’après les questions précédentes),
donc elle est bijective. (01 pt)
( )

4. Soit







̃( )



̃

. /

ce
s

On a





)

cie
n

Et
( )


(

̃ (̃

)

de
sS

( ))


̃( )



(

lté

Exercice 04 : (04 pts) Soit

la relation définie sur

Fa
cu

Page Facebook "Sciences Tlemcen"

,
,, l’équation admet la solution unique
Comme
(0.5 pt)
5. ̃ est bijective, comme ̃ ( )
la bijection réciproque est dérivable en





La relation
Soient



est symétrique. (01 pt)
Soient
,

)

par :

(01 pt)

{

ièr

eL

MD

SM

/S
T

(S

1)
~

est réflexive car
,

est transitive. (01 pt)

est réflexive, symétrique et transitive, donc c’est une relation d’équivalence.
Soit
,
( ) *
+(
)

Pr



em

La relation



(0.5 pt)

Or :

(

)(

)

20
19
)

)(

)

D’où :
( )

*

+(

)

Exercice 05 : (03 points) Soit a et b deux réels. On définit la fonction

ce
s

La fonction

( )

{

*

est continue et dérivable sur

par

+ , il suffit d’étudier la dérivabilité en 0 et 1 (0.5 pt)

cie
n

Page Facebook "Sciences Tlemcen"

( )

(U
AB
T)
20
18
~

(

(pour qu’une fonction soit dérivable il faut qu’elle soit continue)
Continuité et dérivabilité au point 0 :

de
sS



( )

(

( )

)

Fa
cu

lté

( )
Pour avoir la continuité en 0, il faut avoir a=1 (0.5 pt)

( )

( )

)

)
(

)

)

SM

(

Donc g est dérivable en 0, si a=1
Continuité et dérivabilité au point 1 :
( )

MD



(

( )

/S
T

(S

Et

(

. /

( )

1)
~

( )

( )

Pr

em

ièr

eL

Donc g est continue en 1 (si a=1) (0.5 pt)
( )
( )
( )

(
( )

Pour avoir la dérivabilité en 1, il faut avoir b=2
Donc : g est dérivable sur si a=1 et b=2

)
(

(

)
)


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