EF+Corrigé Maths1 ST 2018 2019 .pdf
Nom original: EF+Corrigé Maths1 ST 2018-2019.pdf
Auteur: Samsung
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Mardi 08 Janvier 2019
Faculté des Sciences
Module : Math 1- Tronc commun Sciences et Technologies
Département des Mathématiques
Durée : 1 h-30mns
20
19
)
Université de Tlemcen
Examen final
(U
AB
T)
20
18
~
« L’usage de la calculatrice est strictement interdit »
Exercice 01 : (04 points) Montrer que
Déterminer la valeur de c.
ce
s
1) Compléter :
(
2) Montrer que :
)
3) En déduire la valeur :
(
)
(
)
( )
cie
n
(
)
de
sS
Page Facebook "Sciences Tlemcen"
Exercice 02 : ( 03 points)
,
,
, définie par :
lté
Exercice 03 : ( 06 points) On considère l’application
( )
Fa
cu
√
,, dérivable sur -
4. Résoudre dans ,
-
, et déterminer sa dérivée.
-,
,. Montrer que ̃ est bijective.
,
, l’équation ( )
√
/S
T
la bijection réciproque de ̃. Justifier l’existence et déterminer ( ̃
SM
5. On désigne par ̃
,
(S
1)
~
1. Montrer que est continue sur,
2. Dresser le tableau de variation de .
3. On désigne par ̃ l’application ̃ ,
définie par ̃( )
( ) pour tout
la relation définie sur
√
par :
MD
Exercice 04 : ( 04 points) Soit
) . /.
est une relation d’équivalence, puis déterminer la classe d’équivalence d’un réel a.
eL
Montrer que
( )
par
( )
{
Pr
em
ièr
Exercice 05 : ( 03 points) Soit a et b deux réels. On définit la fonction
Déterminer a et b pour que g soit dérivable sur
.
Bon courage
Corrigé
20
19
)
Exercice 01 : (04 pts)
, on pose ( )
Soit
( )
(
Ce qui signifie que cette fonction est constante sur
Pour x=1, on a ( )
(
. (01 pt)
)
(
ce
s
Page Facebook "Sciences Tlemcen"
1)
(
(
3) Pour
)
(
D’où:
)
)
-
(
)
(
on a
,
(
)
(
)
(
lté
)
)
(
)
(
)
(0.5 pt)
)
Fa
cu
(
-(
-(
(
de
sS
,
,
cie
n
Exercice 02 : (03 pts)
Comme
)
)
D’où :
2)
(U
AB
T)
20
18
~
est continue et dérivable (0.5 pt), en plus :
,
(
)
)
(
(
(
) -
)
)
))
(0.5 pt)
(0.5 pt)
,
1)
~
Exercice 03 : (06 pts) Soit l’application
, définie par :
√
/S
T
(S
( )
,
SM
1. La fonction est bien définie puisque
La fonction f est la composée de :
la fonction polynômiale :
,
particulier sur ,
Et de la fonction
MD
√
eL
Donc f est continue sur ,
Pr
em
2.
ièr
( )
( )
(
; qui est continue et dérivable sur
qui est continue et dérivable sur
, et dérivable sur -
)
, (0.5 pt)
(01 pt)
ce qui signifie que la fonction est strictement décroissante.
( )
( )
; en
x
-1
+
20
19
)
( )
(U
AB
T)
20
18
~
(01.5 pt)
̃(,
,
,) - 3. On a ̃ ,
En plus c’est une fonction continue et strictement décroissante (d’après les questions précédentes),
donc elle est bijective. (01 pt)
( )
4. Soit
√
√
√
̃( )
√
̃
. /
ce
s
On a
√
(̃
)
cie
n
Et
( )
√
(
̃ (̃
)
de
sS
( ))
√
̃( )
√
(
lté
Exercice 04 : (04 pts) Soit
la relation définie sur
Fa
cu
Page Facebook "Sciences Tlemcen"
,
,, l’équation admet la solution unique
Comme
(0.5 pt)
5. ̃ est bijective, comme ̃ ( )
la bijection réciproque est dérivable en
√
La relation
Soient
est symétrique. (01 pt)
Soient
,
)
par :
(01 pt)
{
ièr
eL
MD
SM
/S
T
(S
1)
~
est réflexive car
,
est transitive. (01 pt)
est réflexive, symétrique et transitive, donc c’est une relation d’équivalence.
Soit
,
( ) *
+(
)
Pr
em
La relation
√
(0.5 pt)
Or :
(
)(
)
20
19
)
)(
)
D’où :
( )
*
+(
)
Exercice 05 : (03 points) Soit a et b deux réels. On définit la fonction
ce
s
La fonction
( )
{
*
est continue et dérivable sur
par
+ , il suffit d’étudier la dérivabilité en 0 et 1 (0.5 pt)
cie
n
Page Facebook "Sciences Tlemcen"
( )
(U
AB
T)
20
18
~
(
(pour qu’une fonction soit dérivable il faut qu’elle soit continue)
Continuité et dérivabilité au point 0 :
de
sS
( )
(
( )
)
Fa
cu
lté
( )
Pour avoir la continuité en 0, il faut avoir a=1 (0.5 pt)
( )
( )
)
)
(
)
)
SM
(
Donc g est dérivable en 0, si a=1
Continuité et dérivabilité au point 1 :
( )
MD
(
( )
/S
T
(S
Et
(
. /
( )
1)
~
( )
( )
Pr
em
ièr
eL
Donc g est continue en 1 (si a=1) (0.5 pt)
( )
( )
( )
(
( )
Pour avoir la dérivabilité en 1, il faut avoir b=2
Donc : g est dérivable sur si a=1 et b=2
)
(
(
)
)
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points
strictement
relation
derivable
derivabilite
continue
exercice
definie
fonction