CORRIGE EXAMEN S1 ANALYSE JANVIER 2019 .pdf



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ESTI ANNABA. CORRIGE EXAMEN ANALYSE 1ERE
ANNEE S1
16 Janvier 2019 2heures

Exercice1(2points)
R x2 +3x+1
Calculez:
dx
x2 +x+1
Solution Exercice1(2points): La division euclidienne donne

x2 + 3x + 1 = 1 x2 + x + 1 + 2x
soit en divisant par x2 + x + 1
x2 + 3x + 1
2x
=
1
+
x2 + x + 1
x + x2 + 1
donc
Z

x2 + 3x + 1
dx =
x2 + x + 1
=
=
=
=
=
C =

Z

Z
2x
dx + dx
x + x2 + 1
Z
(2x + 1) 1
dx + x + C
x + x2 + 1
Z
Z
(2x + 1)
dx
dx
+x+C
2
x+x +1
x + x2 + 1
Z
dx
ln x + x2 + 1 + x
+C
1 2
(x + 2 ) + (1 14 )
Z
1
dt
2
ln x + x + 1 + x
t=x+
3 + C;
2
2
(t) + ( 4 )
2
2x + 1
p
ln x + x2 + 1 + x p arctan
+C
3
3
constante

Exercice2 (7points)
a)(1point) Résoudre le système linéaire d’inconnues A; B; C; D suivant:
1

8
>
>
<

A + Cp
=0
A 2 +pB C 2 +pD = 0
>
A+B 2+C D 2=0
>
:
B+D =1
b)(1.5points) Montrez que l’équation x4 + 1 = 0 admet quatre solutions
complexes qu’on calculera.
c)(1points) Ecrire x4 + 1 sous la forme
p

x 4 + 1 = x 2 + p 1 x + q1

x 2 + p 2 x + q2 ;

avec p21 4q1 < 0 et p22 4q2 < 0
d)(1.5points) Décomposez la fraction rationnelle R(x) =
éléments simples.
e)(2points) Calculez
Z
x 1
dx
5
x
x4 + x 1

x 1
x5 x4 +x 1

en

Solution Exercice 2
a)(1point)
8
8
A= C p
A
+
C
=
0
>
>
>
>
p
p
< p
<
C 2 + (1 p
D) C 2 +pD = 0
A 2 +pB C 2 +pD = 0
()
>
>
A+B 2+C D 2=0
C + (1 D) 2 + C D 2 = 0
>
>
:
:
B+D =1
B=1 D
8
p
8
2
>
A= 4 p
Ap
= C
>
>
>
>
<
<
2Cp 2 =p1
C = 2p1 2 = 42
()
()
>
>
2D 2 = 2
D = 12
>
>
:
>
:
B=1 D
B = 12
p
p
La Solution est: A = 14 2; B = 12 ; C = 14 2; D = 12
b)(1.5points)
x4 + 1

= 0 () x4 i2 = 0 () x2
() x2 = i ou x2 = i

i

On a
x = a + ib () x2 = a2
x2 = i ()

b2 + i2ab

a2 b2 = 0
2ab = 1

2

x2 + i = 0

x2 =

a2 b 2 = 0
2ab = 1

i ()

La résolution de ces 2 systèmes nous donne:
p
p
2
2
z1 =
+i
p2
p2
2
2
z1 =
i
2p
2p
2
2
z2 =
+i
p2
p2
2
2
z2 =
i
2
2
c)(1points)
x4 + 1 = (x

z1 )(x

z1 )(x

z2 )(x

z2 )

On a
(x

z1 )(x

z1 ) =
=

(x

z2 )(x

z2 ) =
=

p
p
p
2
2
2
2
(x (
+i
))(x (
i
))
2
2
2
2
p
2+1 p
x2 x p
p
p
2
2
2
2
(x (
+i
))(x (
i
))
2
2
2
2
p
x2 + x 2 + 1

Donc
x4 + 1 = x2

p

p
x 2+1

p
x2 + x 2 + 1

d)(1.5points)
Cosidérons le polynome P (x) = x5 x4 + x 1: On a P (1) = 0: Si on
fait la division euclidienne de x5 x4 + x 1 par (x 1); on trouve
x5

x4 + x

1 = x4 + 1 (x

3

1)

Par conséquent
x5

x 1
x4 + x

x 1
1
+ 1) (x 1)
1
1
p
p
= 4
=
x +1
x2 x 2 + 1 x2 + x 2 + 1
Ax + B
Cx + D
p
p
=
+
2
2
x
x 2+1
x +x 2+1
p
(Ax + B) x2 + x 2 + 1 + (Cx + D) x2
p
p
=
x2 x 2 + 1 x2 + x 2 + 1
p
p
x3 (A + C) + x2 B + D + A 2 C 2
p
p
x2 x 2 + 1 x2 + x 2 + 1
p
p
x A+C +B 2 D 2 +B+D
p
p
+
x2 x 2 + 1 x2 + x 2 + 1
=

(x4

p
x 2+1

En égalisant les coé¢ cients des polynômes, on a:
8
A + Cp
=0
>
>
< p
A 2 +pB C 2 +pD = 0
>
A+B 2+C D 2=0
>
:
B+D =1

C’est p
exactement le système
résolu dans la question a) et la solution est:
p
A = 14 2; B = 12 ; C = 14 2; D = 12 : Par conséquent
x5

x 1
x4 + x

1

=

x4

1
+p
1

p

2
x + 12
+1
4
p
p 2
+
x2 + x 2 + 1
x 2+1

2
x
4

=

x2

e)(2points)
Z

x5

x 1
x4 + x

1

dx =

Z

p

2
x
4

+1
p 2
+
x 2+1

x2

4

Z

p

2
x
4

+1
p 2
x2 + x 2 + 1

p

Z

2
x
4

x2

+1
p 2
x 2+1

=

2
8

p

2 + ( 12 14 )
p
x2 x 2 + 1
p
p Z
2x
2
2
p
=
dx
8
x2 x 2 + 1
Z
1
dx
p
+
4
x2 x 2 + 1
p
p
2
=
ln x2 x 2 + 1
8Z
dx
1
p
+
4
x2 x 2 + 1

=

Calculons la dernière intégrale
Z
Z
dx
p
=
x2 x 2 + 1
(x
Z
dt
=
2
t +
=

p

Z

2x

dx
p

2 2
)
2

1
)
2

+ (1

p

2
(ou t = x
)
2
!
p
p
1
t
= 2 arctan
2(x
1 arctan
1

p

1
2

p

2

p

2

p
2 arctan ( 2x

1)

Par conséquent
Z
=

p

2
x
4

+1
p 2
x2 x 2 + 1
p
p
p
2
1 p
ln x2 x 2 + 1 +
2 arctan ( 2x
8
4

Calcul du deuxième élément simple

5

1)

p !
2
)
2

Z

p

2
x
4

+1
p 2
x2 + x 2 + 1

Calculons la dernière intégrale
Z
dx
p
x2 + x 2 + 1

=

Z

=

Z

p

2
8

p

2 + ( 12 14 )
p
x2 + x 2 + 1
p
p Z
2x + 2
2
p
=
dx
8
x2 + x 2 + 1
Z
1
dx
p
+
4
x2 + x 2 + 1
p
p
2
=
ln x2 + x 2 + 1
8 Z
1
dx
p
+
2
4
x +x 2+1

=
=

Z
1
p1
2

2x +

dx
(x +
dt
2
t +

p

1
2

arctan

2 2
)
2

+ (1

1
)
2

p

2
(ou t = x +
)
2
!
t
p1
2

p !
2
=
2 arctan
2(x +
)
2
p
p
=
2 arctan ( 2x + 1)
p

p

Par conséquent
Z

p

2
x
4

+ 12
p
x2 + x 2 + 1
p
Z
p
2
1
dx
2
p
=
ln x + x 2 + 1 +
2
8
4
x +x 2+1
p
p
p
2
1p
ln x2 + x 2 + 1 +
2 arctan( 2x + 1)
8
4
6

Finalement
Z

x 1
x4 + x

dx
1
p
p
p
2
1p
=
ln x2 x 2 + 1 +
2 arctan( 2x 1)
4
p8
p
p
p
2
1
ln x2 + x 2 + 1 +
2 arctan( 2x + 1) + C
+
8
4
x5

Exercice 3 (5points)
On considère la fonction
f (x) =

p

jxj

a)(0.5points) Trouvez le domaine de dé…nition D(f ) de f
b)(1,5points) Soit x0 2 R : Etudiez en utilisant la dé…nition la dérivabilité de f au point x0 et calculez f 0 (x0 ):
c)(1point) Soit x0 = 0: Etudiez en utilisant la dé…nition la dérivabilité à
gauche et la dérivabilité à droite de f au point x0 = 0: Que peut on conclure?
d)(1point) Donnez le tableau de variations de f
e)(1point) Tracez le graphe de f

Solution Exercice 3 (5points)
a)(0.5points)
(0.5points)
p
f (x) = jxj; jxj 0 : 8x 2 R: Donc D(f ) = R
b)(1,5points)
8 p
< p x si x > 0
x si x < 0
f (x) =
:
= 0 si x = 0
Soit x0 2 R

7

si x0 > 0; alors
f (x0 + h)
lim
h!0
h

f (x0 )

p

p
x0 + h
x0
= lim
h!0
h
p
p
p
p
x0 + h
x0 ( x0 + h + x0 )
p
= lim
p
h!0
h( x0 + h + x0 )
1
x0 + h x0
= lim p
= lim p
p
p
h!0 h( x0 + h +
x0 ) h!0 ( x0 + h + x0 )
1
p
2 x0

Donc f est dérivable en tout point x0 > 0 et
1
f 0 (x0 ) = p
2 x0
si x0 < 0; alors pour h su¢ samment petit
p
p
(x0 + h)
x0
f (x0 + h) f (x0 )
lim
= lim
h!0
h!0
h
h
p
p
p
p
(
(x0 + h)
x0 )(
(x0 + h) +
x0 )
p
= lim
p
h!0
h(
(x0 + h) +
x0 )
(x0 + h) ( x0 )
= lim p
p
h!0 h(
(x0 + h) +
x0 )
x0 h + x0
= lim p
p
h!0 h(
(x0 + h) +
x0 )
h
= lim p
p
h!0 h(
(x0 + h) +
x0 )
1
= lim p
p
h!0 (
(x0 + h) +
x0 )
1
p
=
2
x0
Donc f est dérivable en tout point x0 < 0 et
1
p
2
x0

f 0 (x0 ) =
8

Soit x0 = 0:On a
f (0 + h)
lim
h!0+
h

f (0 + h)
lim
h!0
h

f (0)

f (0)

p

h
h!0; h>0 h
p
h
=
lim p p
h!0; h>0 h h
1
=
lim p = +1
h!0; h>0 h
=

=
=
=

lim

p

lim

h

h!0; h<0

lim

h!0; h<0

lim

h!0; h<0

h

p

p

p

h
p
h
h

1
h

= +1

Par conséquent f n’est pas dérivable au point 0: Graphiquement elle admet
en 0 deux demi tangentes verticales.
d)(1point)
Si x < 0; alors f 0 (x) = 2p1 x < 0 =) f est décroissante
Si x > 0; alors f 0 (x) = 2p1 x > 0 =) f est croissante
x
f (x)
f (x)
0

e)(1point)
On a
f ( x) =

1

0
+
%

&
p

j xj =

+1

p

jxj = f (x)

Donc f est une fonction paire. Son graphe est symetrique par rapport à l’axe
des x

9

Exercice 4(3points)
a)(1,5points) Soit f : I ! J une fonction bijective et dérivable sur
I et f 1 : J ! I sa fonction réciproque. Soit x0 2 I telle que f 0 (x0 ) 6=
0: Démontrez la formule suivante:
(f

1 0

) (f (x0 ) =

1
f 0 (x

0)

(1)

b)(1.5points) On admet que
exp0 (x) = exp(x)

(2)

Démontrez en utilisant la formules (1) et (2) précédentes que pour tout point
x0 2]0; +1[, on a
1
(ln)0 (x0 ) =
x0
Solution Exercice 4(3points)
a)(1,5points) f : I ! J une fonction bijective et dérivable sur I et
1
f : J ! I sa fonction réciproque. Soit x0 2 I telle que f 0 (x0 ) 6= 0: On a
Démontrez la formule suivante:
(f

1

f )(x) = x : 8x 2 I
10

(3)

Si on dérive
(f
ou encore si x0 2 I

1

f )0 (x) = 1 : 8x 2 I

f 0 (x0 )(f

1 0

) (f (x0 )) = 1

puisque f 0 (x0 ) 6= 0; alors
(f

1 0

) (f (x0 )) =

1
f 0 (x

0)

b)(1.5points)
Appliquons le résultat précédent à la fonction f (x) = exp(x): Alors
f (x) = exp(x) = y () x = f

1

(y) = ln(y) : x 2 R; y 2]0; +1[

D’après la formule (1) on a:
ln0 (exp(x)) =

1
: 8x 2 R
exp(x)

ou encore en posant y = exp(x)
ln0 (y) =

1
: 8y 2]0; +1[
y

Exercice 5(3points)
Considérons la fonction
f (x) =

r
3

1
a
+
3
x
x

r
2

1
+3
x2

a)(1.5points) Trouvez le D.L d’ordre 3 de f (x) au voisinage de 0
b)(0.5points) Montrez que si a = 29 alors f (x) Cx3 ; C = constante
0

c)(0.5points) Montrez que si a 6= 92 alors f (x)
constante, C1 = constante
d)(0.5points) Trouvez
lim f (x)
x!0+

Solution Exercice 5(3points)
a)(1.5points)
11

0

C1 x + Cx3 ; C =

On a
r
3

f (x) =

1
a
+
3
x
x

1
a
+
x3 x

r
2

1
3

1
+3=
x2
1
+3
x2
1
3

1
(1 + ax2 )
3
x

=

1
1
(1 + ax2 ) 3
x

=

1
2

1
2

1
1 + 3x2
2
x

1
1 + 3x2
x

1
2

ou encore en développant en utilisant la formule
(1 + x) = 1 + x +

(

1)

x2
+ x2 "(x)
2

1
ax2 1 2 4
f (x) =
1+
a x + x4 "1 (x)
x
3
9
1
3
9 4
1 + x2
x + x4 "2 (x)
x
2
8
1 ax 1 2 3
=
+
a x + x3 "1 (x)
x
3
9
1 3
9 3
+ x
x + x3 "2 (x)
x 2
8
1
3
9 1 2
= x
a
+ x3
a + x3 "(x)
3
2
8 9
b)(0.5points) a =

9
2

3
2

= 0 et

9 3
x + x3 "(x) =) f
8

f (x) =
c)(0.5points) a 6=

alors 13 a

9
2

f (x) = x

alors 13 a
1
a
3

3
2

3
2

9
8

1 2
a
9

=

Cx3 ; C =

9
8

6= 0
9
8

6= 0 et

+ x3
12

9
8

1 2
a
9

+ x3 "(x)

Donc
f (x)

0

C1 x + Cx3 ; avec C =

9
8

1
1 2
a ; C1 = a
9
3

d)(0.5points) Dans les deux cas on a
lim f (x) = lim C1 x + Cx3 = 0

x!0+

x!0+

13

3
2


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