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Nombres complexes .pdf


Nom original: Nombres complexes.pdf
Auteur: Youssouf

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Evaluation
Série : T.S.E

Durée : 3 heures

Chapitre : Nombres complexes
Exercices 1 : (5 pts)
1

1

1. Soit U un nombre complexe de module 1, montrer que Re (1−U) = 2
2. Résoudre les équations :
Z 3 = Z̅ et (Z − 1)n = (Z + 1)n où n ∈ ℕ∗
3. Résoudre dans ℝ × ℝ le système :
𝑥2 + 𝑦 = 𝜃
{
Avec 𝜃 ∈ ℝ.
𝑥 + 𝑦2 = 𝜃
En déduire la résolution dans ℂ × ℂ du système :
{

𝑥2 = 𝑦
𝑦2 = 𝑥

Exercice 2 : (5 pts)


Posons ω = e 7 et considérons X= ω + ω2 +ω4 Et Y=ω3 +ω5 +ω6 .
1. Montrer que Y = ̅
X et que Im(X)>0.
2. Calculer X+Y et XY. En déduire que X et Y sont solutions d’une équation du
second degré puis calculer X et Y.
2𝜋
3. Exprimer Re(X) en fonction de cos 7 .
4. En déduire que cos

2𝜋
7

est une racine du polynôme 8x 3 + 4x 2 − 4x − 1 = 0.

Problème : (10 pts)
I.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (o, u,
⃗⃗ v
⃗ ). L’unité graphique
est 1 cm.
On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives ZA = 2 − 3i, ZB = i et ZC = 6 − i.
On réalisera une figure que l’on complétera au fur et à mesure des questions.
Partie A :
𝑍 −𝑍

1. Calculer 𝑍𝐵−𝑍 𝐴
𝐶

𝐴

2. En déduire la nature du triangle ABC.
Partie B :
On considère l’application f qui, à tout point M d’affixe Z distinct de i, on associe le point
M’ d’affixe Z’ telle que :
Youssouf Ouédraogo

Z′ =

i(z − 2 + 3i)
z−i

1. Soit D le point d’affixe ZD = 1 − i. Déterminer l’affixe du point D’ image du point
D par f.
2. a. Montrer qu’il existe un unique point E, dont l’image par l’application f est le
point d’affixe 2i.
b. Démontrer que E est point de la droite (AB).
AM

3.

Démontrer que, pour tout point M distinct du point B, OM ′ = BM.

4.

Démontrer que, pour tout point M distinct du point A et du point B, on a l’égalité
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(u,
⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OM ′ ) = (BM,
AM) +

π
à 2π près
2

5. Démontrer que si le point M appartient à la médiatrice du segment [AB] alors le
point M’ appartient à un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
6. Démontrer que si M’ appartient à l’axe des imaginaires purs, privé du point B,
alors le point M appartient à la droite (AB).
II.
Soit l’équation (E) : z 5 = 1.
1. Résoudre dans ℂ l’équation (E) et représenter les images des solutions.
2. Démontrer que la somme des solutions de (E) est nulle et en déduire que :
cos


5

+ cos


5

1

= − 2.

3. Démontrer que cos


5

est solution de l’équation : 4X 2 + 2X − 1 = 0.

En déduire la valeur de cos


5
5

.

4. Soit l’équation (E’) : (z − 1) = (z + 1)5 (z ∈ ℂ).
a) Démontrer que si z0 est une solution de (E’), alors :
z0 − 1
|
| = 1.
z0 + 1
En déduire que les solutions de (E’) sont imaginaires pures.
b) Résoudre (E’).
NB : les parties I et II du problème sont indépendantes.

Youssouf Ouédraogo


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