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Nom original: 4.Logarithme Népérien.pdfAuteur: oumaima

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Fonction logarithme
népérien

Lycée Alaoui
Prof : ABDA Ezeddine

Année scolaire 2018-2019
Niveau : 4ème Maths

On a vu dans le chapitre sur les primitives que toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur .
La fonction définie sur
par ( )
admet donc des primitives. Parmi ces primitives , une seule vérifie la
condition ( )
. C’est précisément cette fonction qui s’appelle logarithme Népérien.

Définition : La fonction logarithme Népérien, notée
fonction inverse :
qui s’annule en .

ou ( Log ) est la primitive définie sur

de la

Conséquences immédiates :




La fonction est dérivable sur
et ( )
, pour tout
.
La fonction est continue sur
puisque dérivable sur cet intervalle.
Ainsi, nous en déduisons également le signe de la fonction :
( )
( )
( )
.
La fonction étant strictement croissante et continue, elle réalise une bijection de
sur
l’intervalle image (que nous préciserons ultérieurement). On en déduit que pour tous réels et de
( )
( )
( )
, on a : ( )
;
.



Théorème fondamentale : Pour tous réels
Remarque : Si

et

et

de

deux réels strictement négatifs :

Conséquences : Pour tous réels
( );

et

( );

et

(

)

(

(

);

)

( )

)

(

( ).

)

strictement positifs :

( )

Limites de références : Soit

(

, on a :



.

deux entiers naturels non nuls

(

Tableau de variation et courbe de

)

:

0

Dérivés et primitives :


Soit

une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle .

La fonction définie par


Soit

( ) est dérivable sur et on a : (

)

une fonction dérivable sur un intervalle . Une primitive de

.
sur est

.
Page 1 sur 7

Série n°7 : Fonction logarithme népérien
Exercice 1 :
Préciser l’ensemble de définition puis résoudre les équations suivantes :

1.

(

)

(

)

(

)

(

(

)

)

(

(

)

)

)
(

(

(

)
(

)

(

)

(

)


)

(

)

(

)

(

)

Préciser l’ensemble de définition puis résoudre les inéquations suivantes :

2.

(
(

)

(

(

)

)

)

(

)

(

(

)
(

)


)

(

)

(

)

(

)

Exercice 2 :
Déterminer les limites suivantes :







(



)





(

)





(

)









Exercice 3 :
Déterminer les ensembles de définition et de dérivabilité puis calculer les dérivées des fonctions ci-dessous.


( )



( )



( )

(



( )



( )



( )

(



( )

(



( )



( )

(



( )

(



( )



( )



( )

)



( )

(

)



( )



( )

)



( )

(

)



( )

)
)
(

(

(

)

(

)
)
)

)

Exercice 4 :
Déterminer une primitive de la fonction


( )

sur

proposée sur l’intervalle donné.


( )

sur
Page 2 sur 7



( )



( )



( )



( )

sur



sur
sur
sur



( )



( )



( )



( )

sur
sur
sur
sur

Exercice 5 :
On considère la fonction

définie par : ( )

1.

Montrer que, pour tout entier naturel

2.

On considère la suite
a.

(

:

( )



Montrer que la suite

( ).



définie par son terme général :

.

est croissante.


b. En utilisant (1), montrer que :
c.

)

et en déduire un encadrement de

( ) , démontrer que la suite

En utilisant la valeur de ∫

d. On admettra que la suite

( )

est majorée.

est convergente, montrer que sa limite

vérifie :

Exercice 6 :
Partie A : Soit
1.
2.
3.

2.

la fonction définie sur l’ensemble

4.

(

)

par : ( )

(

Étude de aux bornes de son ensemble de définition :
a. Calculer les limites de ( ) quant tend vers zéro par valeurs inferieures et quant
par valeurs supérieures.
b. Calculer
( ) et
( ).

)

.

tend vers zéro

Sens de variation de :
a. Calculer ( ) et déduire à l’aide de la partie A, son signe.
b. Montrer que ( )

3.

par : ( )

Calculer ( ), étudier son signe et en déduire le tableau de variation de la fonction .
Calculer ( ). Montrer que l’équation ( )
admet deux solutions dont l’une, que l’on désigne par
, appartient à
.
Donner le signe de ( ) pour de
.

Partie B : Soit
1.

la fonction définie sur l’intervalle

. En déduire une valeur approché de ( ) en prenant

(

Tableau et représentation graphique.
a. Dresser le tableau de variation de .
b. Représenter graphiquement la fonction
Soit
a.

c.

par : ( )

la fonction définie sur

dans le plan rapporté à un repère orthonormé.
(

)
(

.

)

Déterminer des fonctions et telles que l’on puisse écrire : ( )
et en déduire une primitive de .

b. Après avoir vérifié que

.

)

(

)

, déterminer un primitive de

( ) ( )

(

)

( )

( )

.

Déduire des questions précédentes, une primitives de .

Page 3 sur 7

Exercice 7 :
La courbe ci-dessous est la représentation graphique de la fonction
( )
1.

2.

3.

définie sur

par :

.



Montrer que est dérivable sur
et que,
, ( ) est du signe de ( )
( √
)
.
b. Calculer ( ) et déterminer le signe de ( ).
c. Dresser le tableau de variation de .
On note ( ) l’aire, exprimé en unités d’aire, de la partie du plan hachurée sur la figure, où
un réel de
.
a. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que :
a.

désigne

( )


b. Calculer la limite de ( ) lorsque tend vers .
Donner une interprétation graphique de cette limite.
On considère la suite définie sur par :
et
pour tout entier naturel .


a.

Démontrer que, pour tout réel

de

:

.



b. Démontrer que pour tout de on a :
c. Déterminer le sens de variation de la suite .
d. Montrer que la suite est convergente. On note
limite. Déterminer la valeur exacte de .

.
sa

Exercice 8 :
1.

Le tableau de variation ci-dessous est celui de la fonction
( )

définie sur
( (

Montrer que l’équation ( )
admet dans
l’autre
.
b. Préciser le signe de ( ) pour tout
.

par :

))

exactement deux solutions dont l’une est

a.

et


( )
( )

2.

3.



( √

)

( )
))
( (
.
( )
On désigne par la courbe représentative de dans un repère orthonormé ( ⃗ ⃗ ).
a. Montrer que est continue à droite en zéro.
b. Étudier la dérivabilité de en
et interpréter graphiquement le résultat obtenu.
a. Vérifier que pour tout
, ( )
( ).
b. Dresser le tableau de variation de et tracer la courbe .
Soit

la fonction définie sur

par : {

Page 4 sur 7

4.

( ) l’aire de la partie du plan limitée par la courbe
et
.

Pour tout
, on désigne par
d’équations respectives :
,
a.

Trouver trois réels ,

et tels que pour tout

b. Déduire l’intégrale : ∫
c.

,

et les droites

.

.

À l’aide d’une intégration par partie, calculer

( ) puis

( ).

Exercice 9 :
Dans le graphique ci-dessous on a représenté dans le plan muni d’un repère orthonormé ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) en gras
la courbe d’une fonction continue sur . On sait que la partie de représenté sur
est le demicercle de diamètre
.
{

En pointillé on a représenté la courbe de la fonction :
1.

Préciser le signe de ( ) pour tout

2.

Pour tout

3.

.

( ) .
, on pose ( ) ∫
a. Calculer ( ).
b. Donner une interprétation graphique de ( ) puis prouver que ( )
a.

Montrer que

est dérivable sur

et que pour tout

b. Par une lecture graphique prouver que pour tout
En déduire que pour tout

4.

.

c.

Déterminer alors

a.

Montrer que pour tout

on a :

(
( )

( ) et

,


(

( )
( )

, on a :

)

.

( )

(

)

.
.
) .

.

on a : ( )

(

) et déduire

( ).

b. Dresser le tableau de variation de . Donner l’allure de la courbe de .

Exercice 10 :
I.
1. Montrer que l’équation :
2. Montrer que pour tout

on a :

(

admet dans
)
.

une solution unique

et que

.

Page 5 sur 7

3.

Soit

la fonction définie sur

par : {

la fonction définie sur

par :

(

( )

)

Montrer que

( )

est continue sur .

II.
Soit
1.

2.

( )

( )



a. Montrer que est paire.
b. Calculer ( ) et ( ). Déterminer le signe de ( ) sur chacun des intervalles
a.

Montrer que

(

( )

et que : {

est dérivable sur

a.

a.

Soit

, calculer ∫

(

)

6.

une solution unique et que
est croissante sur
.

( )

(

.

) .

et en déduire que : ( )
on a : (

b. Montrer que pour tout
c.

)

( ).

b. Calculer
5.

on a : ( )

Montrer que pour tout

(

.

( )

b. Montrer que est continue sur .
3. a. Montrer que l’équation ( )
admet dans
b. Montrer que est décroissante sur
et que
4.

)

et

)

(

( )

)

(

(



)

)

.

.

( )

Calculer

Soit la courbe représentative de dans un repère orthonormé ( ⃗ ⃗ ).
( )
Donner une allure de . ( on donne
et ( )

Exercice 11 :
Soit la fonction définie sur
orthonormé ( ⃗ ⃗ ).

par : ( )

(

). On désigne par

1.

a. Montrer que est une bijection de sur .
b. Préciser la tangente à au point d’abscisse . Tracer .
c. Tracer la courbe de la fonction
dans le même repère.

2.

a.

Vérifier que pour tout

:



. En déduire

b. Déterminer alors l’aire de la partie du plan limitée par la courbe
et
.
3.

Pour tout
a.

on pose

Montrer que

( )

Montrer que pour tout

d. Calculer

(
(

b. En déduire que
c.

(



)

et

)



dans un repère

.
et les droites d’équations

(

)

,

.

.

) ∫
on a :

( )

,

la courbe de

.


.

.

Exercice 12 :
Soit
et la fonction définie sur
On désigne par
la courbe représentative de
Dans le graphique ci-dessous on a représenté

)
par ( ) (
.
dans un repère orthonormé (
et .

1.

Calculer l’aire de la partie du plan limitée par

et

.

2.

On considère la suite



( )

définie sur

par

⃗ ⃗ ).

.
Page 6 sur 7

a.

on a : (

Montrer que pour tout

b. Déterminer

(

)

)



(

)

.

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