Formulaire Géométrie différentielle (10) .pdf



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Formulaire de G´eom´etrie diff´erentielle (10)
Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC
1er f´evrier 2019


esum´
e
Remarque pr´
eliminaire :

J’ai produit ce formulaire a` partir d’un cours de M1 de math´ematiques,
donn´e par St´ephane Maingot `a l’Universit´e du HAVRE, au cours de l’ann´ee
2003/2004.
A l’´epoque, je copiais mon code LaTeX sur les-mathematiques.net, et je
r´ecup´erais les images, pour les inclure dans un document word, que je convertissais ensuite en PDF :
Ici, j’ai repris et remani´e ce code, pour l’inclure cette fois-ci dans un fichier
LaTeX source, que j’ai compil´e pour cr´eer le PDF que voici.

Table des mati`
eres
1 ALGEBRE MULTILINEAIRE
1.1 Applications multilin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Applications k-lin´eaires altern´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Produit tensoriel, produit ext´erieur
V . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Dimension et base de Lk (E) et k (E) quand F est de dimension
finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 FORMES DIFFERENTIELLES
2.1 1`eres d´efinitions . . . . . . . . .
2.2 Exemples et notations . . . . .
2.3 D´erivation et produit ext´erieur
2.4 Transposition . . . . . . . . . .
2.5 Recherches de primitives . . . .

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3 INTEGRALE CURVILIGNE
3.1 Rappels sur les arcs . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Int´egrale le long d’un arc . . . . . . . . . . . .
3.3 Primitives et integrales curvilignes . . . . . . .
3.4 Primitive d’une 1-forme le long d’un arc . . . .
3.5 Primitive d’une 1-forme suivant une application
rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Simple connexit´e . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

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. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
continue sur un
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .

2
2
3
5
8
11
11
13
15
16
19
26
26
28
31
33
36
38
40

Chapitre 1

ALGEBRE
MULTILINEAIRE

Dans tout le cours
K = R ou C,
O(Rn ) = {U 0 ∈ P(Rn ) | U 0 ouvert de Rn }
k ∈ N∗ ,
E, (Ei )i∈J1,kK , F K-ev.

1.1

Applications multilin´
eaires


efinition 1.1.1
Y

1) u :





Ei −→ F : (xi )i∈J1,kK 7−→ u (xi )i∈J1,kK , ∈ L (Ei )i∈J1,kK ; F

i∈J1,kK

⇐⇒def


∀i ∈ J1, k K, ui : Ei −→ F : xi 7−→ u (xi )i∈J1,kK , ∈ L(Ei , F )

2) Si ∀i ∈ J1, k K, Ei = E




L (Ei )i∈J1,kK ; F = L (E)i∈J1,kK ; F = Lk (E; F )
not

Lk (E; K) = Lk (E)
not

L0 (E) = K
conv

2

1.2

Applications k-lin´
eaires altern´
ees

Rappels 1.2.1
1) σ ∈ Sk ⇐⇒ σ : J1, k K −→ J1, k K, bijection

ef

2) ∀i, j ∈ J1, k K, i 6= j
k
τi,j
transposition de J1, k K, e´changeant i et j

⇐⇒def
k
τi,j
(i) = j
k
τi,j
(j) = i
k
∀l ∈ J1, k K \ {i, j}, τi,j
(l) = l
k
Remarque : τi,j
∈ Sk

Proposition 1.2.2
1) card Sk = k!
2) ∀σ ∈ Sk , ∃p ∈ N∗ , ∃(τi )i∈J1,pK transpositions de J1, k K, σ = ◦i∈J1,pK τi
ε(σ) = (−1)

p


ef


efinition compl´
ementaire :
ε : (Sk , ◦) −→ ({−1, 1}, ×) : σ 7−→ ε(σ) =


ef

Y
i,j∈J1,kK, i<j

σ(i) − σ(j)
i−j

Proposition :
ε morphisme de groupes


efinition 1.2.3
u ∈ Lk (E; F ),
1) ∀σ ∈ Sk ,
h
i
h
i
σ(u) : E k −→ F : (xi )i∈J1,kK 7−→ σ(u) (xi )i∈J1,kK = u (xσ(i) )i∈J1,kK

3

2)
∗ u sym´
etrique ⇐⇒ ∀σ ∈ Sk , σ(u) = u

ef

∗ u antisym´
etrique ⇐⇒ ∀σ ∈ Sk , σ(u) = ε(σ) u

ef


3) u altern´
ee ⇐⇒

ef


h
i
∀(xi )i∈J1,kK ∈ E k , ∃i, j ∈ J1, k K, i 6= j et xi = xj =⇒ u (xi )i∈J1,kK = 0

Remarque sur 1)
i
h
i
h
∀σ1 , σ2 ∈ Sk , (σ1 ◦ σ2 )(u) (xi )i∈J1,kK = u (x(σ1 ◦σ2 )(i) )i∈J1,kK

Proposition 1.2.4
u ∈ Lk (E; F ),
u antisym´
etrique ⇐⇒ u altern´
ee


efinition 1.2.5
u ∈ Lk (E; F ),
X
S(u) =
σ(u) (sym´
etris´
ee de u)

ef

A(u) =


ef

σ∈Sk

X

ε(σ) σ(u) (antisym´
etris´
ee de u)

σ∈Sk

Propri´
et´
es :
S(u) sym´
etrique
A(u) antisym´
etrique
Remarque :
u sym´
etrique =⇒ S(u) = k! u
u antisym´
etrique =⇒ A(u) = k! u
(´evident d’apr`es d´ef 2.3 et d´ef 2.5)

4


efinition 1.2.6
1) Si k = 0,
V

=
0 (E) conv

L0 (E) = K
conv

2) Si k ∈ J1, nK,
V

k (E)

= {u ∈ Lk (E) | u altern´
ee}


ef

V
[ 1 (E) = L1 (E) = E ∗ ]

3) k ∈ N \ J0, nK,
V

k (E)

1.3

= {0}


ef

Produit tensoriel, produit ext´
erieur


efinition 1.3.1
p, q ∈ N∗ ,
u ∈ Lp (E), v ∈ Lq (E),
h
i h
i
O
u
v : E p+q −→ K : (xi )i∈J1,p+qK 7−→ u (xi )i∈J1,pK v (xp+i )i∈J1,qK , ∈ Lp+q (E)
produit tensoriel de u et de v

Remarque 1.3.2
1)
p = 0 =⇒ u

N

v = u × v ∈ Lq (E)

q = 0 =⇒ u

N

v = u × v ∈ Lp (E)

2)
O

: Lp (E) × Lq (E) −→ Lp+q (E) : (u, v) 7−→ u

5

O



v, ∈ L Lp (E), Lq (E); Lp+q (E)

3)
p, q, r ∈ N,
u ∈ Lp (E), v ∈ Lq (E), w ∈ Lr (E),
(u

N

v)

N

w=u

N N
N N
(v w) = u v w
not

Proposition 1.3.3
p, q ∈ N,
u ∈ Lp (E), v ∈ Lq (E),
=⇒
v] = p! A[u

N

v]

A(v)] = q! A[u

N

v]

1) A[A(u)
2) A[u

N

N


efinition 1.3.4
p, q ∈ N∗ ,
V
V
u ∈ p (E), v ∈ q (E),
^
u v : E p+q −→ K : (xi )i∈J1,p+qK 7−→

X
0
σ∈Sp,q

produit ext´
erieur de u et de v

n


0
avec Sp,q
= σ ∈ Sp+q σ(i)

i∈J1,pK



, σ(p + i)

h
i h
i
^
ε(σ) u (xσ(i) )i∈J1,pK v (xσ(p+i) )i∈J1,qK , ∈
(E)

i∈J1,q K

p+q

⊂ J1, p + q K, strict. %

o

Remarque 1.3.5
1)
p = 0 =⇒ u

V

v =u×v ∈

V

q = 0 =⇒ u

V

v =u×v ∈

V

2)
^

:

^
p

(E) ×

^
q

(E) −→

q (E)

p (E)

^
p+q

(E) : (u, v) 7−→ u

3)
6

^

^
^
^
v, ∈ L
(E),
(E);
p

q

p+q


(E)

p, q, r ∈ N,
u∈
(u

V

V

v∈

p (E),

v)

V

V

q (E), w



V

r (E),

V V
V V
w = u (v w) = u v w
not

Proposition 1.3.6 (Proposition 1.3.7 du cours)

p, q, r ∈ N,
^
^
^
^
u∈
(E), v ∈
(E) =⇒ u v = (−1)pq (v u)
p

q

Proposition 1.3.7 (Proposition 1.3.6 , 1.3.8 et remarque 1.3.9 du cours)

V
∀i ∈ J1, nK, pi ∈ N, ui ∈ pi (E)
"
#
O
^
1
A
ui
ui = Y
pi !
i∈J1,nK
i∈J1,nK
i∈J1,nK

Rappel

1)
p0 = 0
V
∀i ∈ J1, nK, pi ∈ N, ui ∈ pi (E) ou Lpi (E)
! "
O
X
X
ui
(xji )
ji ∈ J0,
pki K \ J0,
i∈J1,nK

ki ∈J0,iK

#
pki K

ki ∈J0,i−1K

"
Y

=

ui (xji )

ji ∈ J0,

X

pki K \ J0,

ki ∈J0,iK

X
ki ∈J0,i−1K

2) En particulier
(fi )i∈J1,nK ⊂

i∈J1,nK

#

i∈J1,nK

V

1 (E)

= L1 (E) = E ∗

=⇒

7

!

pki K

"
^

fi ∈

^

i∈J1,nK

n

^

(E) et

fi = A

i∈J1,nK

O

k

avec ∀(xi )i∈J1,nK ∈ E ,

#
O

fi

i∈J1,nK

fi

!
h

i
Y
(xi )i∈J1,nK =
fi (xi )

i∈J1,nK

1.4

i∈J1,nK

Dimension et base de Lk (E) et
F est de dimension finie

V

k (E)

quand

Dans ce § dim E = n ∈ N∗
(ej )j∈J1,nK base de E
∀i ∈ J1, nK, xi ∈ E,
xi = (xi,j )j∈J1,nK dans la base (ej )j∈J1,nK
X
c`
ad xi =
xi,j ej
j∈J1,nK

Proposition 1.4.1
1) (aJ )J⊂N∗n , |J|=k = (a(ji )i∈J1,kK )(j

i )i∈J1,kK ⊂J1,nK

v : E k −→ K : (xi )i∈J1,kK 7−→
=⇒

⊂K
Q

X

X

aJ xJ =def

J⊂J1,nK, |J|=k

(ji )i∈J1,kK ⊂J1,nK

a(ji )i∈J1,kK

Y

xi,ji

i∈J1,kK

v ∈ Lk (E)

2)u ∈ Lk (E)
=⇒
u : E k −→ K : (xi )i∈J1,kK 7−→

Q

X

u(eJ ) xJ =def

J⊂J1,nK, |J|=k

Rappel

(ei )i∈J1,nK base de E
∀i ∈ J1, nK, e∗i ∈ E ∗ d´
ef inie par ∀j ∈ J1, nK, e∗i (ej ) = δi,j
(e∗i )i∈J1,nK base de E ∗

8

X
(ji )i∈J1,kK ⊂J1,nK

u[(eji )i∈J1,kK ]

Y
i∈J1,kK

xi,ji

Proposition 1.4.2
!
(e∗,⊗
J )J⊂J1,nK, |J|=k =
def

O

e∗ji

i∈J1,kK

base de Lk (E)
(ji )i∈J1,kK ⊂J1,nK

u(eJ ) e∗,⊗
=
J

X

et (i) u ∈ Lk (E) =⇒ u =

J⊂N∗
n,


ef

|J|=k

X

u[(eji )i∈J1,kK ]

(ji )i∈J1,kK ⊂J1,nK

O

e∗ji

i∈J1,kK

k

et (ii) dim Lk (E) = n

Proposition 1.4.3
k ∈ Nn ,
1) (aJ )J⊂J1,nK, |J|=k, J

strict. %

v : E k −→ K : (xi )i∈J1,kK

⊂K
= (a(ji )i∈J1,kK )(j )
i i∈J1,kK ⊂J1,nK, strict. %
X
7−→
aJ x<J> =

ef

J⊂J1,nK, |J|=k, J strict. %

X

=


ef

(ji )i∈J1,kK ⊂J1,nK, strict. %

a(ji )i∈J1,kK

X

Y

ε(σ)


ef

xi,jσ(i)

i∈J1,kK

σ∈Sk

=⇒
v∈

V

2)u ∈

k (E)

V

k (E)

=⇒
X

u : E k −→ K : (xi )i∈J1,kK 7−→

aJ x<J>

J⊂N∗
n , |J|=k, J strict. %

Remarques 1.4.4
(ji )i∈J1,kK strict. %, (li )i∈J1,kK ⊂ J1, nK

1)a) {(ji )i∈J1,kK } = {(li )i∈J1,kK }
^

e∗ji [(eli )i∈J1,kK ] = ε(˜
σ)
i∈J1,kK

o`

˜ est l0 unique element de Sk qui ordonne strictement (li )i∈J1,kK
pour donner (ji )i∈J1,kK

b) {(ji )i∈J1,kK } =
6 {(li )i∈J1,kK }

9

X

(ji )i∈J1,kK ⊂J1,nK, strict. %

a(ji )i∈J1,kK x<(ji )i∈J1,k

^


e∗ji [(eli )i∈J1,kK ] = 0

i∈J1,kK

2) Si de plus (li )i∈J1,kK strict. %,
^

e∗ji [(eli )i∈J1,kK ] = 1 si (ji )i∈J1,kK = (li )i∈J1,kK et 0 sinon
i∈J1,kK

Proposition 1.4.5
k ∈ J0, nK,
!
(eJ∗,∧ )J⊂J1,nK, |J|=k, J strict. % =

ef
et (i) u ∈

V

k (E)

^
i∈J1,kK

e∗ji

base de
u(eJ ) e∗,∧
=
J

J⊂N∗
n , |J|=k, J strict. %

V

et (ii) dim

k (E)

=

Cnk

Remarques 1.4.6
1) dim

V

1 (E)

=n
n(n−1)
2

dim

V

1 (E)

=

dim

V

n (E)

=1

Si k ∈ N \ J0, nK, dim

V

k (E)

=0

2) ∀i, j, l ∈ J1, nK,
e∗i

V

e∗j = −(e∗j

e∗i

V

e∗i = 0

(e∗i + e∗j )

V

V

e∗i )

e∗l = e∗i

V

e∗l + e∗j

V

e∗l

Soit (ji )i∈J1,kK ⊂ J1, nK,
[∃i0 , i00 ∈ J1, k K : i0 6= i00 et ji0 = ji00 ] =⇒

^
i∈J1,kK

10

e∗ji = 0


ef

(E)

k

(ji )i∈J1,kK ⊂J1,nK, strict. %

X

=⇒ u =

^

X
(ji )i∈J1,kK ⊂J1,nK, strict. %

u[(eji )i∈J1,kK ]

^
i∈J1,kK

e∗ji

Chapitre 2

FORMES
DIFFERENTIELLES

Dans tout ce chapitre

k ∈ N,
p ∈ N ∪ {∞},
U ∈ P(Rn ), U 6= ∅,
(ei )i∈J1,nK base de Rn .

Convention :

∗ Si on parle de f ∈ C 0 (U ), on supposera U ∈ P(Rn )
∗ Si on parle de f ∈ C p (U ), p ∈ N∗ , on supposera U ∈ O(Rn )

2.1

1`
eres d´
efinitions

Rappels 2.1.1
∗ Si k = 0,
V

0 (R

n

)=R

11

∗ Si k ∈ J1, nK,
^
u∈
(Rn )
k

⇐⇒ ∃ (λJ )J⊂J1,nK, |J|=k, J

strict. %

λJ e∗,∧
J

X

⊂R : u=

J⊂J1,nK, |J|=k, J strict. %

⇐⇒def ∃ (λ(ji )i∈J1,kK )

(ji )i∈J1,kK ⊂J1,nK, strict. %

X

⊂R : u=

(ji )i∈J1,kK ⊂J1,nK, strict. %

∗ Si k ∈ N \ J0, nK,
V

k (R

n

) = {0}

ef


efinition 2.1.2
^

1) ω f orme dif f e´rentielle de degr´
e k sur U ⇐⇒ ω ∈ F U,
(Rn )
k


ef

donc

a) Si k = 0,
ω : U −→

V

0 (R

n

) = R : x 7−→ ω(x)

b) Si k ∈ J1, nK,
∃(λJ )J⊂J1,nK, |J|=k, J strict. % ⊂ F(U, R) :
^
ω : U −→
(Rn ) : x 7−→ ω(x) =
k

λJ (x) e∗,∧
J

X

J⊂J1,nK, |J|=k,J strict. %

c) Si k ∈ N \ J0, nK,
ω : U −→

V

k (R

n

) = {0} : x 7−→ ω(x) = 0

c-`
a-d ω = 0

2) ω f orme dif f e´rentielle de degr´
e k sur U et

^

Cp
⇐⇒ ω ∈ C p U,
(Rn )
k
U d´ef

∗ Si k ∈ J1, nK,
∃ (λJ )J⊂N∗ , |J|=k, J
n

strict. %

J⊂N∗
n,

=⇒

V

ω ∈ C p U, k (Rn ) ⇐⇒ (λJ )J⊂J1,nK, |J|=k,J

|J|=k,J strict. %

p

strict. %

12

λJ e∗,∧
J

X

⊂ F(U, R) : ω =

⊂ C (U, R)



λ(ji )i∈J1,kK

^
i∈J1,kK

e∗ji

3) Ωk (U ) = {ω|ω f orme dif f e´rentielle de degr´
e k sur U } = F(U,
Ωpk (U ) = {ω|ω f orme dif f e´rentielle de degr´
e k sur U et
ω ∈ Ωpk (U ) ⇐⇒ (λJ )J⊂J1,nK, |J|=k, J

strict. %

Cp
U }

V

k (R

= C p (U,

n

V

)

k (R

n

))

⊂ Ωp0 (U )

Remarque 2.1.3
1) ∗ Ωk (U ) R-ev
en posant ∀λ ∈ R, ∀ω1 , ω2 ∈ Ωk (U ), ω1 + λω2 : U −→

^
k

(Rn ) : x 7−→ ω1 (x) + λω2 (x)

∗ Ωpk (U ) sev de Ωk (U )
V

Ωp0 (U ) = C p U, 0 (Rn ) = C p (U, R)

∗ k ∈ N \ J0, nK =⇒ Ωk (U ) = {0}

2.2

Exemples et notations


efinition 2.2.1 (diff´
erentielle d’une fonction)

V

1) f ∈ Ωp+1
(U ) = C p+1 U, 0 (Rn ) = C p+1 (U, R)
0
∀x = (xj )j∈J1,nK ∈ U, ∀h = (hj )j∈J1,nK ∈ Rn ,
df (x)(h) =


ef

df : U −→

X
j∈J1,nK

V

1 (R

∂f
(x) hj
∂xj
n

) : x 7−→ df (x) , ∈ Ωp1 (U )

= dif f e´rentielle de f


ef

2) On note ∀i ∈ J1, nK, xif onction : Rn −→ R : x = (xj )j∈J1,nK 7−→ xi
On note ∀i ∈ J1, nK, dxi : Rn −→

V

1 (R

n

) : x 7−→ dxi (x) , ∈ Ωp1 (Rn )

Or ∀i ∈ J1, nK, ∀h = (hi )i∈J1,nK ∈ Rn
13

X ∂xi
(x) hj = hi = xif onction (h)
∂xj

dxi (h) =

j∈J1,nK

donc dxi (x) = xif onction
[donc ∀i ∈ J1, nK, dxi : Rn −→

V

1 (R

n

) : x 7−→ xif onction

dxi = xiabus ]
on note dxiabus = dxi (x)
dxi d´
esigne aussi bien dxi ∈ Ωp1 (Rn )
que dxi ∈

V

∗ Si dxi ∈

1 (R

V

n

1 (R

)

n

) = (Rn )∗ et si (ei )i∈N∗n base canonique de Rn

∀i ∈ J1, nK, dxi = e∗i

Proposition 2.2.2 (´
ecriture canonique)

1) Si k ∈ J1, nK,
ω ∈ Ωk (U )
⇐⇒
∃(λJ )J⊂J1,nK, |J|=k, J
X
ω=

strict. %

J⊂J1,nK, |J|=k, J strict. %

=def (λ(ji )i∈J1,kK )

X

λJ dxJ ∧ =


ef

(ji )i∈J1,kK ⊂J1,nK, strict.%

∀(ji )i∈J1,kK ⊂ J1, nK, strict. %, ∀i ∈ J1, k K, dxji = e∗ji

2)En particulier
f ∈ Ωp+1
(U ) = C p+1 (U, R)
0
∂f
dxj
∂xj
j∈J1,nK
X ∂f
X ∂f
[car df (x)(h) =
(x) hj =
(x) dxj (h)

ef

ef
∂xj
∂xj

j∈N∗
j∈N
n
n
X ∂f
(x) dxj ]
c`
ad df (x) =

ef
∂xj
df =

⊂ F(U, R) :
^
λ(ji )i∈J1,kK
dxji

(ji )i∈J1,kK ⊂J1,nK, strict. %

X

j∈J1,nK

14

i∈J1,kK

2.3


erivation et produit ext´
erieur

Dans ce §
l ∈ N, q ∈ N ∪ {∞}.


efinition 2.3.1 (produit ext´
erieur)

ω1 ∈ Ωk1 (U ), ω2 ∈ Ωk2 (U ),
ω1

V

ω2 : U −→

V

k1 +k2

: x 7−→ ω1 (x)

V

ω2 (x), ∈ Ωk1 +k2 (U )

Remarque 2.3.2
ω1 ∈ Ωk1 (U ), ω2 ∈ Ωk2 (U ),
=⇒
1) ω1

V

ω2 = (−1)k1 k2 (ω2

V

ω1 )

2) k1 + k2 ∈ N \ J0, nK =⇒ ω1

V

ω2 = 0

3) ω1 ∈ Ωpk11 (U ), ω2 ∈ Ωpk22 (U ) =⇒ ω1

V

min(p ,p2 )

ω2 ∈ Ωk1 +k21

(U )


efinition 2.3.3 (d´
erivation ext´
erieur)
p ∈ N∗ ,
ω ∈ Ωpk ,
1) Si k = 0, dω =

X
j∈J1,kK

∂ω
dxj
∂xj

2) Si k ∈ J1, nK,
∃(λJ )J⊂J1,nK, |J|=k, J
X
ω=

strict.%

= (λ(ji )i∈J1,kK )

⊂ C p (U, R) :
^
λ(ji )i∈J1,kK
dxji

(ji )i∈J1,kK ⊂J1,kK, strict. %


ef

X

λJ dxJ ∧ =


ef

J⊂J1,nK, |J|=k, J strict. %

(ji )i∈J1,kK ⊂J1,nK, strict. %

i∈J1,kK

=⇒
dω =

X
J⊂J1,nK, |J|=k, J strict.%

dλJ

^

X

dxJ ∧ =


ef

(ji )i∈J1,kK ⊂J1,nK, strict. %

15

dλ(ji )i∈J1,kK

^

(

^

i∈J1,kK

dxji )

3) Si k ∈ N \ J0, nK, dω = 0

4) ∀k ∈ N, dω ∈ Ωp−1
k+1 (U )

Remarque 2.3.4
Si λ ∈ Ωp0 (U ) = C p (U, R),
^
^ ^
ω=λ
dxji =⇒ dω = dλ (
dxji )
i∈J1,kK

i∈J1,kK


eme avec (ji )i∈J1,kK ⊂ J1, nK

Proposition 2.3.5


1) d : Ω1k (U ) −→ Ω0k+1 (U ) : ω 7−→ dω, ∈ L Ω1k (U ), Ω0k+1 (U )

2)ω1 ∈ Ω1k1 (U ), ω2 ∈ Ω1k2 (U ) =⇒ d(ω1

^

ω2 ) = d(ω1 )

^

ω2 + (−1)k1 (ω1

^

dω2 )

3) ω ∈ Ω2k (U ) =⇒ d2 ω = 0 o`
u d2 ω = d(dω)
def

2.4

Transposition

Rappel 2.4.1
u ∈ L(Rm , Rn ),

1) Si k = 0,
u∗ = idR :

V

0 (R

n

) = R −→

V

0 (R

m

) = R : x 7−→ x

2) Si k ∈ N∗ ,
u∗ :

^
k

(Rn ) −→

h
i
^
(Rm ) : ϕ 7−→ u∗ (ϕ) : (Rm )k −→ R : (xi )i∈J1,kK 7−→ ϕ u(xi )
k

16


i∈J1,kK

=def transpos´
ee de u

3) En particulier si k = 1
u∗ :

V

1 (R

n

) = (Rn )∗ −→

V

1 (R

m

) = (Rm )∗ : ϕ 7−→ ϕ ◦ u

Proposition 2.4.2
u ∈ L(Rm , Rn ), v ∈ L(Rn , Rp ), α1 ∈

V

k1 (R

n

), α2 ∈

V

k2 (R

n

), α ∈

V

k (R

p

)

[En particulier v ◦ u ∈ L(Rm , Rp )],
=⇒
1) u∗ (α1

V

α2 ) = u∗ (α1 )

V

u∗ (α2 )

2) (v ◦ u)∗ (α) = (u∗ ◦ v ∗ )(α)


efinition 2.4.3
k ∈ N,
U1 ∈ O(Rn1 ), U2 ∈ O(Rn2 ),
f ∈ C 1 (U1 , U2 ), ω ∈ Ωk (U2 ),
^

f ∗ (ω) : U1 −→

h
i∗ h
i
(Rn1 ) : x 7−→ [f ∗ (ω)](x) = df (x)
ω f (x) , ∈ Ωk (U1 )

k




c`
ad f (ω) = (df ) (ω ◦ f ) =def transpos´
ee de ω par f

Proposition 2.4.4
Avec les not. de 4.3

∗ Si k = 0,
f ∗ (ω) = ω ◦ f

∗ Si k ∈ N∗ ,



∀x ∈ U1 , [f ∗ (ω)](x) : (Rn1 )k −→ R : (Xi )i∈J1,kK 7−→ [f ∗ (ω)](x)[(Xi )i∈J1,kK ] = ω f (x) df (x)(Xi )
17

i∈J1,kK

Proposition 2.4.5
U0 ∈ O(Rn0 ), U1 ∈ O(Rn1 ), U2 ∈ O(Rn2 ),
f ∈ C 1 (U0 , U1 ), g ∈ C 1 (U1 , U2 )
=⇒
1) g ∗ : Ωk (U2 ) −→ Ωk (U1 ) : ω 7−→ g ∗ (ω), ∈ L(Ωk (U2 ), Ωk (U1 ))

2) ∀α1 ∈ Ωk1 (U2 ), ∀α2 ∈ Ωk2 (U2 ),
g ∗ (α1

V

α2 ) = g ∗ (α1 )

V

g ∗ (α2 )

3)∀h ∈ Ω0 (U2 ), ∀λ ∈?, ∀α ∈ Ωk (U2 ),
h∗ (λ ◦ α) = (λ ◦ h) h∗ (α)

4) ∀ϕ ∈ Ω10 (U2 ), f ∗ (dϕ) = d(f ∗ (ϕ)) = d(ϕ ◦ f )

5) ∀α ∈ Ωk (U2 ), (g ◦ f )∗ (α) = (f ∗ ◦ g ∗ )(α)

Remarque sur 5)

f ∈ C 1 (U1 , U2 ), g ∈ C 1 (U2 , U1 ), bijection avec g = f −1
=⇒
[(f ◦ f −1 )∗ (α) = [(f −1 )∗ ◦ f ∗ ](α)]
c`
ad idU2 (α) = [(f −1 )∗ ◦ f ∗ ](α)]
c`
ad α = [(f −1 )∗ ◦ f ∗ ](α)]

Corollaire 2.4.6
U1 ∈ O(Rn1 ), U2 ∈ O(Rn2 ),
f ∈ C 1 (U1 , U2 ),
∃(λJ )J⊂J1,n2 K, |J|=k, J

strict. %

= (λ(ji )i∈N∗ )


ef

k

(ji )i∈J1,kK ⊂J1,n2 K, strict.%

18

⊂ F(U2 , R) :

X

ω=

X

λJ dxJ ∧ =


ef

J⊂J1,n2 K, |J|=k, J strict. %

(ji )i∈J1,kK ⊂J1,n2 K, strict. %

λ(ji )i∈J1,kK

^

dxji ∈ Ωk (U2 )

i∈J1,kK

=⇒
X

f ∗ (ω) =

X

(λJ ◦ f )df J ∧ =


ef

J⊂J1,n2 K, |J|=k, J strict. %

(ji )i∈N∗ ⊂J1,n2 K, strict. %
k

Remarque 2.4.7
U1 ∈ O(Rn1 ), U2 ∈ O(Rn2 ),
p ∈ N∗ , q, k ∈ N,
min(p−1,q)

f ∈ C p (U1 , U2 ), ω ∈ Ωqk (U2 ) =⇒ f ∗ (ω) ∈ Ωk

(U1 )

∗ Si k = 0,
min(p,q)

on a mieux f ∗ (ω) = ω ◦ f ∈ Ωk

(U1 )

Proposition 2.4.8
U1 ∈ O(Rn1 ), U2 ∈ O(Rn2 ),
f ∈ C 2 (U1 , U2 ), ω ∈ Ω1k (U2 ) =⇒ f ∗ (ω) ∈ Ω1k (U1 ), d[f ∗ (ω)] = f ∗ (dω)

2.5

Recherches de primitives

Th´
eor`
eme 2.5.1
ω ∈ Ω1k (U2 ), dω ∈ Ω1k+1 (U2 ) =⇒ d2 ω = 0
Remarque

Si k = 0,
f ∈ Ω0 (U ), f , df C 1 ⇐⇒ f C 2

19

(λ(ji )i∈J1,kK ◦ f )

^
i∈J1,kK

df ji ∈ Ωk (U1 )


efinition 2.5.2
p, k ∈ N,
ω ∈ Ωpk (U ),

1) ω exacte ⇐⇒ k ∈ N∗ et ∃α ∈ Ω1k−1 (U ), dα = ω ⇐⇒ α primitive de ω

ef


ef

2) ω f erm´
ee ⇐⇒ p ∈ N∗ et dω = 0

ef

Proposition 2.5.3
p, k ∈ N∗ ,
ω ∈ Ωpk (U ),
ω exacte =⇒ ω f erm´
ee

Proposition 2.5.4
p ∈ N, k ∈ N∗ ,
ω ∈ Ωpk (U ),
∃α ∈ Ω1k−1 (U ), dα = ω
=⇒


[β ∈ Ω1k−1 (U ) et dβ = ω] ⇐⇒ [∃γ0 ∈ Ω1k−1 (U ), β = α + γ0 et dγ0 = 0]

Lemme 2.5.5
k ∈ N \ J0, 2K


x, (Xi )i∈J1,k−1K ∈ (Rn )k
=⇒
^
l∈J1,kK

dxjl

!


h

X
x, (Xi )i∈J1,k−1K =
(−1)l−1 xjl (
l∈J1,kK

^
i∈J1,l−1K

20

dxji )

^

(

^

i∈Jl+1,kK

ih
i
dxji ) (Xi )i∈J1,k−1K

Remarque :

(

^

dxji )

^

dxˆjl

^

^

(

i∈J1,l−1K

i∈Jl+1,kK

^

dxji ) = (

ef

dxji )

^
(

i∈J1,l−1K

^

dxji )

i∈Jl+1,kK


efinition 2.5.6
V ∈ O(Rn ),
t

V e´toil´
e\ a
` x0
⇐⇒def

o
n

∀x ∈ V, [x, x0 ] = (1 − t)x + tx0 t ∈ [0, 1] et [x, x0 ] ⊂ V


efinition 2.5.7
t

U ∈ O(Rn ), e´toil´
e\ a
` 0,
p, k ∈ N,
ω ∈ Ωpk (U )

1) Si k = 0,
h
i
∀x ∈ U, Ψ(ω) (x) = 0
conv

2) Si k = 1,
Z
h
i
∀x ∈ U, Ψ(ω) (x) =

1

h

i
^
ω(tx) (x) dt ∈
(R) = R
0

0

3) Si k ∈ N \ N1 ,
h
i
h
i h
i
∀x ∈ U, Ψ(ω) (x) : (Rn )k−1 −→ R : (Xi )i∈J1,k−1K 7−→ Ψ(ω) (x) (Xi )i∈J1,k−1K
Z
=
0

1

h
i

tk ω(tx) x, (Xi )i∈J1,k−1K dt, ∈ Ωk−1 (Rn )

4) ∀k ∈ N∗ ,
Ψ(ω) : U −→

V

k−1 (R

n

) : x 7−→ [Ψ(ω)](x), ∈ Ωpk−1 (U )

21

A retenir :

Si k = 0,
ω ∈ Ωp0 (U ) =⇒ Ψ(ω) = 0

Si k ∈ N∗ ,
ω ∈ Ωpk (U ) =⇒ Ψ(ω) ∈ Ωpk−1 (U )
Lemme 2.5.8
t

U ∈ O(Rn ), e´toil´
e\ a
` 0,
p ∈ N, k ∈ N∗ ,
X

ω=

λJ dxJ ∧ ∈ Ωpk (U )

J⊂J1,nK, |J|=k, J strict. %

=⇒
Si k = 1,
X Z

h
i
∀x ∈ U, Ψ(ω) (x) =

j1 ∈J1,nK

1


λj1 (tx) dt xj1

0

Si k ∈ N \ J0, 1K,
h

i
∀x ∈ U, Ψ(ω) (x) =

X

X

(−1)

l−1

Z

1

h
tk−1 λJ (tx) dt xjl (

0

J⊂J1,nK, |J|=k, J strict. % l∈J1,kK

^

dxji )

^
(

i∈J1,l−1K

i
dxji )

^
i∈Jl+1,kK

Lemme 2.5.9
Sous les hyp. de 4.8

h

i
Ψ(dω) (x) =

X

X

X

J⊂J1,nK, |J|=k, J strict. % j0 ∈J1,nK l∈J1,kK

Th´
eor`
eme 2.5.10
t

U ∈ O(Rn ), e´toil´
e\ a
` 0,
p ∈ N, k ∈ N∗ ,
ω ∈ Ωpk (U )
22

(−1)

l

Z
0

1

tk

h
∂λJ
(tx) dt xjl (
∂xj0

^

i∈J1,l−1K

dxji )

^

(

^

i∈Jl+1,kK

dxji )

i

=⇒
dΨ(ω) + Ψ(dω) = ω
donc dω = 0 =⇒ dΨ(ω) = ω
or Ψ(ω) ∈ ω ∈ Ωpk−1 (U )
on peut donc appliquer la prop.5.4 si p = 1 ou utiliser le cor.5.15

Th´
eor`
eme 2.5.11
t

U ∈ O(Rn ), e´toil´
e\ a
` x0 ,
p ∈ N, k ∈ N∗ ,
ω ∈ Ωpk (U ),
ω exacte ⇐⇒ ω f erm´
ee


efinition 2.5.12
p ∈ N, k ∈ N,
ω ∈ Ωpk (U ),
V ∈ O(Rn ), V ∈ P(U ),

1) ω exacte sur V ⇐⇒ k ∈ N∗ et ∃α ∈ Ω1k−1 (U ), dα|V = ω|V [c`
ad dα = ω sur V ]

ef

⇐⇒ α primitive de ω sur V

ef

2) ω f erm´
ee sur V ⇐⇒ p ∈ N∗ et d(ω|V ) = 0 [c`
ad dω = 0 sur V ]

ef

3) k ∈ N∗ ,
ω loc. exacte ⇐⇒ ∀x ∈ U, ∃Vx ∈ VRn (x), Vx ∈ P(U ), ω exacte sur Vx

ef

⇐⇒ ω admet loc. une primitive

ef

23

Remarque

ω exacte =⇒ ω loc. exacte
∀j ∈ J, ω f erm´
ee sur Vj =⇒ ω f erm´
ee sur

[

Vj

j∈J

Th´
eor`
eme 2.5.13 (de Poincar´
e local)

p, k ∈ N∗ ,
ω ∈ Ωpk (U ),
ω loc. exacte ⇐⇒ ω f erm´
ee

Corollaire 2.5.14 (du th. de Poincar´
e)

U ∈ O(Rn ), e´toil´
e,
p ∈ N∗ , k ∈ N \ J0, 1K,
ω ∈ Ωpk (U ), f erm´
ee
=⇒
∃α ∈ Ωpk−1 (U ), dα = ω
et


[β ∈ Ωpk−1 (U ) et dβ = ω] ⇐⇒ [∃γ0 ∈ Ω1k−2 (U ), β = α + dγ0 et dγ0 ∈ Ω1k−1 (U )]

Corollaire 2.5.15 (du th. de Poincar´
e)
U ∈ O(Rn ), e´toil´
e,
p ∈ N∗ ,
ω ∈ Ωp1 (U ), f erm´
ee
=⇒
∃α ∈ Ωp0 (U ) [ou mieux Ωp+1
(U )], dα = ω
0
et


[β ∈ Ωpk−1 (U ) et dβ = ω] ⇐⇒ [∃c0 ∈ R, β = α + c0 ]
24

[Remarque : β = α + c0 ∈ Ωp+1
(U )]
0

Remarques et propositions compl´
ementaires

1) (li )i∈J1,kK 2 a
` 2 distincts ⊂ J1, nK
⇐⇒
∃(ji )i∈J1,kK ⊂ J1, nK, strict. %, ∃!σ˜1 : ∀i ∈ J1, k K ji = lσ˜1 (i)
⇐⇒
∃(ji )i∈J1,kK ⊂ J1, nK, strict. %, ∃!σ˜2 : ∀i ∈ J1, k K li = jσ˜2 (i)

2) det[(aij )i,j∈J1,kK ] =

def

X
σ∈Sk

ε(σ)

Y

aσ(j),j =

j∈J1,kK

X
σ∈Sk

ε(σ)

Y

ai,σ(i)

i∈J1,kK

3)f : Rn −→ Rn : x = (xj )j∈J1,nK 7−→ [fi (x)]i∈J1,nK , ∈ C 1 (Rn , Rn )
∀a ∈ Rn
Jf (a) = det
^
i∈J1,kK

h

dfi =

∂fi
∂xj (a)



i
(i,j)∈J1,nK×J1,nK

X
(ji )i∈J1,kK ⊂J1,nK, strict. %

det

h ∂f
i ^
i
dxji
∂xji (i,ji )∈J1,kK×J1,nK
i∈J1,kK

25

Chapitre 3

INTEGRALE
CURVILIGNE

Dans tout le chapitre, U ∈ O(Rn ) et O(Rn ) = {U 0 ∈ P(Rn )|U 0 ouvert de Rn }

3.1

Rappels sur les arcs


efinition 3.1.1
1) Γ arc de Rn ⇐⇒ ∃a, b ∈ R, Γ ∈ C 0 ([a, b], Rn )

ef

2) Γ arc f erm´
e de Rn ⇐⇒ ∃a, b ∈ R, Γ ∈ C 0 ([a, b], Rn ) et Γ(a) = Γ(b)

ef

3)
A ∈ P(Rn )
Γ arc (de Rn ) dans A ⇐⇒ ∃a, b ∈ R, Γ ∈ C 0 ([a, b], Rn ) et Γ([a, b]) ∈ P(A)

ef

4) Γ arc de Rn , C 1 par morceaux (ou chemin de Rn )
⇐⇒

ef

∃a, b ∈ R, Γ ∈ C 1 par morceaux ([a, b], Rn )
⇐⇒

ef

26

∃a, b ∈ R, Γ ∈ C 0 ([a, b], Rn )
et
∃p ∈ N∗ , ∃(ti )i∈J0,pK subdivision de [a, b]
h
i
c-`
a-d a = < ti = b
i∈J0,pK

et
∀i ∈ J0, p − 1K, Γ|]ti ,ti+1 [ ∈ C 1 (]ti , ti+1 [, Rn )
et
(j),−

∀i ∈ J0, pK, ∀j ∈ J0, 1K, ∃bi

(j),+

, bi

(j),−

∈ Rn , lim− Γ(j) (t) = bi
t→ti

(j),+

et lim+ Γ(j) (t) = bi
t→ti

5) x0 , x1 ∈ Rn

n
o

a) [x0 , x1 ] = (1 − t)x0 + tx1 t ∈ [0, 1]

ef

ou
b) [x0 , x1 ] ∈ C 1 ([0, 1], Rn ), [x0 , x1 ] : [0, 1] −→ Rn : t 7−→ (1 − t)x0 + tx1


efinition 3.1.2
a1 , b1 , a2 , b2 ∈ R, a1 ≤ b1 , a2 ≤ b2

1)
γ1 ∈ C 0 ([a1 , b1 ], Rn ),
γ2 ∈ C 0 ([a2 , b2 ], Rn ),
γ1 (b1 ) = γ2 (a2 ),

γ1

[

γ1

[

γ2 ∈ C 0 ([a1 , b2 + (b1 − a2 )], Rn ),
(
γ2 :


ef

[a1 , b2 + (b1 − a2 )] −→ Rn : t 7−→ (γ1

Remarque :

t ∈ [b1 , b2 + (b1 − a2 )] ⇐⇒ t − (b1 − a2 ) ∈ [a2 , b2 ]

27

[

γ2 )(t) =

γ1 (t)
γ2 [t − (b1 − a2 )]

si t ∈ [a1 , b1 ]
si t ∈ [b1 , b2 + (b1 − a2 )]

Sch´
ema :

Remarque 3.1.3
Γ chemin de Rn =⇒ ∃p ∈ N (ou N∗ ), ∀i ∈ J0, pK, γi arc de Rn , C 1 et Γ =

[
i∈J0,pK

3.2

Int´
egrale le long d’un arc


efinition 3.2.1
ω ∈ Ω01 ([a, b])
=⇒
∃f ∈ Ω00 ([a, b]) = C 0 ([a, b], R), ω = f dx
et
Z

b

b

Z
ω =

a

f (x) dx (int´
egrale de Riemann)

def

a


efinition 3.2.2
ω ∈ Ω01 (U ),

a, b ∈ R,
Γ ∈ F([a, b], Rn ), arc (de Rn ), dans U


c-`
a-d Γ ∈ C 0 ([a, b], Rn ) et Γ([a, b]) ∈ P(U ) ,

Z

Z
ω =

Γ


ef

b

Γ∗ (ω),




Γ∗ (ω) ∈ Ω01 ([a, b])

a

28

γi

Remarque 3.2.3
1) ∀λ1 , λ2 ∈ R, ∀ω1 , ω2 ∈ Ω01 (U ),
Z
Z
Z
λ1 ω1 + λ2 ω2 = λ1 ω1 + λ2 ω2
Γ

Γ

Γ

2) ω ∈ Ω01 (U ),

a, b ∈ R,
Γ ∈ F([a, b], Rn ), arc C 1 (de Rn ), dans U


c-`
a-d Γ ∈ C 1 ([a, b], Rn ) et Γ([a, b]) ∈ P(U ) ,

∃p ∈ N (ou N∗ ), ∀i ∈ J0, pK, γi arc de Rn , C 1 et Γ =

[

γi

i∈J0,pK

=⇒

Z

X Z

ω=
Γ

i∈J0,pK

ω

γi


efinition 3.2.4
ω ∈ Ω01 (U ),

Γ chemin de Rn =⇒ ∃p ∈ N (ou N∗ ), ∀i ∈ J0, pK, γi arc de Rn , C 1 et Γ =

[
i∈J0,pK

Z
ω =
Γ

def

X Z
i∈J0,pK

ω

γi

(d´
ef inition ind´
ependante du d´
ecoupage)

Proposition 3.2.5 (Expression de l’int´
egrale curviligne )

ω ∈ Ω01 (U ),

a, b ∈ R,
29

γi

Γ ∈ F([a, b], Rn ), arc C 1 (de Rn ), dans U


c-`
a-d Γ ∈ C 1 ([a, b], Rn ) et Γ([a, b]) ∈ P(U ) ,

Γ : [a, b] −→ Rn : t 7−→




Γi (t)

i∈J1,nK

=⇒

Γ∗ (ω) =

X

(ai ◦ Γ) dΓi

i∈J1,nK

et

Z
(∗)

Z
ω =

Γ


ef

b

Γ∗ (ω) =

a

X Z
i∈J1,nK

b

ai [Γ(t)] Γ0i (t)dt

a

h
i
∀i ∈ J1, nK, hi ∈ C 1 ([a, b], Rn ), hi : [a, b] −→ R : t 7−→ ai [Γ(t)] Γ0i (t)

Remarque 3.2.6
1) (∗) reste valable si Γ chemin dans U



dans ce cas ∀i ∈ J1, nK, hi ∈ C 1 par morceaux ([a, b], Rn )

2)ω ∈ Ω01 (U ),

a, b ∈ R,
Γ : [a, b] −→ R

n

Z
: t 7−→ c =⇒

ω=0
Γ

30



3.3

Primitives et integrales curvilignes

Proposition 3.3.1
ω ∈ Ω01 (U ),
a, b ∈ R,
f primitive de ω [c`
ad f ∈ Ω01 (U ), df = ω],
=⇒
n

n

Z

∀Γ ∈ F([a, b], R ), chemin (de R ), dans U,

ω = f [Γ(b)] − f [Γ(a)]
Z

c-`
a-d ∀Γ ∈ C 1 par morceaux ([a, b], Rn ) et Γ([a, b]) ∈ P(U ),
ω = f [Γ(b)] − f [Γ(a)]
Γ



Γ

Corollaire 3.3.2
ω ∈ Ω01 (U ),
a, b ∈ R,

n

n

Z

ω exacte =⇒ ∀Γ ∈ F([a, b], R ), chemin (de R ), dans U, f erm´
e,
ω=0
Γ

c-`
a-d ω exacte =⇒ ∀Γ ∈ C 1 par morceaux ([a, b], Rn ) et Γ([a, b]) ∈ P(U ), Γ(a) = Γ(b),
Z

ω=0
Γ

Th´
eor`
eme 3.3.3
ω ∈ Ω01 (U ),
a, b ∈ R,

n

n

Z

ω exacte ⇐⇒ ∀Γ ∈ F([a, b], R ), chemin (de R ), dans U, f erm´
e,
ω=0
Γ

c-`
a-d ω exacte ⇐⇒ ∀Γ ∈ C 1 par morceaux ([a, b], Rn ) et Γ([a, b]) ∈ P(U ), Γ(a) = Γ(b),
Z

ω=0
Γ

31

Th´
eor`
eme 3.3.4
t

U ∈ O(Rn ), e´toil´
e\ a
` x0 ,
[x0 , x], [x, y], [y, x0 ] ∈ P(U ),
ω ∈ Ω01 (U ),
Z
ω exacte ⇐⇒

ω=0
[x0 ,x]∪[x,y]∪[y,x0 ]

Corollaire 3.3.5
U ∈ O(Rn ), convexe,
ω ∈ Ω01 (U ),
Z
ω exacte ⇐⇒ ∀x, y, z ∈ U,

ω=0
[x,y]∪[y,z]∪[z,x]

Corollaire 3.3.6
1) ω ∈ Ω01 (U )
alors les cond. suivantes sont ∼:
(i) ω loc. exacte
(ii) ∀x ∈ U, ∃rx ∈

R∗+ ,

Z

n

∀Γ chemin (de R ), dans B(x, rx ), f erm´
e,
Z
(iii) ∀x ∈ U, ∃rx ∈ R∗+ , ∀y, z ∈ B(x, rx ),
ω=0
[x,y]∪[y,z]∪[z,x]

2) ω ∈ Ω11 (U ),
alors les cond. suivantes sont ∼:
(i), (ii), (iii)
(iv) ω f erm´
ee

32

ω=0
Γ

3.4

Primitive d’une 1-forme le long d’un arc


efinition 3.4.1
ω ∈ Ω01 (U ),
a, b ∈ R,

Γ ∈ F([a, b], Rn ), arc (de Rn ), dans U


c-`
a-d Γ ∈ C 0 ([a, b], Rn ) et Γ([a, b]) ∈ P(U ) ,

F primitive de ω le long de Γ

⇐⇒

ef

F ∈ Ω00 ([a, b]) = C 0 ([a, b], R),

∀τ ∈ [a, b], ∃V ∈ V[a,b] (τ )

T


T
O(R), ∃W ∈ VU Γ(τ )
O(Rn ), ∃f primitive de ω sur W,

Γ(V ) ∈ P(W ) et F|V = (f ◦ Γ)|V

Remarque 3.4.2
1) Dans 4.1 on peut prendre W aussi petit que l0 on veut
par exemple a
` la place de V, W
on peut prendre W 0 ∈ P(W ) et V 0 = V ∩ Γ−1 (W 0 ) [Γ(V 0 ) ∈ P(W 0 )]

2) ω, f ∈ Ω01 (U ),
a, b ∈ R,

df = ω =⇒ ∀Γ ∈ F([a, b], Rn ), arc (de Rn ), dans U, f ◦ Γ primitive de ω le long de Γ

c-`
a-d df = ω =⇒ ∀Γ ∈ C 0 ([a, b], Rn ) et Γ([a, b]) ∈ P(U ), f ◦ Γ primitive de ω le long de

Γ
33

Proposition 3.4.3
ω ∈ Ω01 (U ),

a, b ∈ R,
Γ ∈ F([a, b], Rn ), arc (de Rn ), dans U


c-`
a-d Γ ∈ C 0 ([a, b], Rn ) et Γ([a, b]) ∈ P(U ) ,

∃F primitive de ω le long de Γ

=⇒

∀G primitive de ω le long de Γ,

∃c ∈ R, G = F + c

Proposition 3.4.4
ω ∈ Ω01 (U ), loc. exacte (sur U ),




\
n
K ∈ K U, O(U )
c-´
a-d K compact de U, O(U ) , avec O(U ) = O(R ) U
=⇒
∃ε ∈ R∗+ , ∀x ∈ K, B(x, ε) ∈ P(U ) et ω exacte sur B(x, ε)

Th´
eor`
eme 3.4.5 (3.5.4 g´
en´
eralise 3.4.5)

ω ∈ Ω01 (U ), loc. exacte (sur U ),

a, b ∈ R,
Γ ∈ F([a, b], Rn ), arc (de Rn ), dans U
34




c-`
a-d Γ ∈ C 0 ([a, b], Rn ) et Γ([a, b]) ∈ P(U ) ,

=⇒



∃F ∈ F [a, b], R , primitive de ω le long de Γ

et

Z
h
i
Γ chemin de Rn =⇒
ω = F (b) − F (a)
Γ


efinition 3.4.6
ω ∈ Ω01 (U ), loc. exacte (sur U ),

a, b ∈ R,
Γ ∈ F([a, b], Rn ), arc (de Rn ), dans U


c-`
a-d Γ ∈ C 0 ([a, b], Rn ) et Γ([a, b]) ∈ P(U ) ,

=⇒

Z
∀F primitive de ω le long de Γ,

ω = F (b) − F (a)
Γ

def

Remarque 3.4.7
1) U ne primitive le long d0 un chemin e´tant d´
etermin´
ea
` 1 constante additive pr`
es
, la d´
ef inition pr´
ec´
edente est ind´
ependante du choix de F.

2) d0 apr`
es 4.5 si Γ chemin, cette nouvelle d´
ef inition co¨incide avec l0 ancienne.

Z
3) On sait maintenant d´
ef inir

ω :
Γ

∗ si Γ chemin dans U et ω ∈ Ω01 (U )
∗ si Γ arc dans U et ω ∈ Ω01 (U ), loc. exacte (sur U )
35

3.5

Primitive d’une 1-forme suivant une application continue sur un rectangle


efinition 3.5.1
ω ∈ Ω01 (U ),
R = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] (a1 < b1 , a2 < b2 ),
δ ∈ C 0 (R, Rn ), δ(R) ∈ P(U ),
F primitive de ω suivant δ
⇐⇒def
F ∈ Ω00 (R) = C 0 (R, R),
∀τ ∈ R, ∃V ∈ VR (τ )

T


T
O(R2 ), ∃W ∈ VU δ(τ )
O(Rn ), ∃f primitive de ω sur W,

δ(V ) ∈ P(W ) et F|V = (f ◦ δ)|V

Remarque 3.5.2 (Sous les hypoth`eses pr´ec´edentes)

1) ∃F ∈ Ω10 (U ) : dF = ω =⇒ F ◦ δ primitive de ω suivant δ
2)∀t1 ∈ [a1 , b1 ], δt1 = δ(t1 , .) : [a2 , b2 ] −→ Rn : t2 7−→ δ(t1 , t2 ), arc dans U
∀t2 ∈ [a2 , b2 ], δt2 = δ(., t2 ) : [a1 , b1 ] −→ Rn : t1 7−→ δ(t1 , t2 ), arc dans U

∀t1 ∈ [a1 , b1 ], Ft1 : [a2 , b2 ] −→ Rn : t2 7−→ F (t1 , t2 ), arc dans U
F primitive de ω suivant δ =⇒ Ft1 primitive de ω suivant δt1

∀t2 ∈ [a2 , b2 ], Ft2 : [a1 , b1 ] −→ Rn : t1 7−→ F (t1 , t2 ), arc dans U
F primitive de ω suivant δ =⇒ Ft2 primitive de ω suivant δt2

36

Lemme 3.5.3 (recollement des primitives)

ω ∈ Ω01 (U ),
R = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] (a1 < b1 , a2 < b2 ),
R1 , R2 2 rectangles de R avec un cot´
e commun

Sch´
ema :

δ ∈ C 0 (R, Rn ), δ(R) ∈ P(U )
∀i ∈ J1, 2K, Fi primitive de ω suivant δi = δ|Ri
=⇒
∃F primitive de ω suivant δ|R1 ∪R2

Th´
eor`
eme 3.5.4 [generalisation de 3.4.5]

ω ∈ Ω01 (U ), loc. exacte
R = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] (a1 < b1 , a2 < b2 )
δ ∈ C 0 (R, Rn ), δ(R) ∈ P(U )
=⇒
∃F ∈ F(R, R), F primitive de ω suivant δ

37

3.6

Homotopie

Remarque 3.6.1
a, b ∈ R,
γ ∈ F([a, b], Rn ), chemin (de Rn ), dans U


c-`
a-d γ ∈ C 1 par morceaux ([a, b], Rn ) et Γ([a, b]) ∈ P(U ) ,

Γ : [0, 1] −→ Rn : t 7−→ γ[(1 − t)a + tb]

n

n

Γ ∈ F([0, 1], R ), arc (de R ), dans U et ∀ω ∈

Ω01 (U ),

Z

Z

ω=
ω
Z Γ Z
c-`
a-d Γ ∈ C 0 ([0, 1], Rn ) et Γ([0, 1]) ∈ P(U ) et ∀ω ∈ Ω01 (U ),
ω=
ω
γ



γ

Γ


efinition 3.6.2
1) γ0 , γ1 ∈ F([0, 1], Rn ), arcs (de Rn ), dans U


c-`
a-d γ0 , γ1 ∈ C 0 ([0, 1], Rn ) et γ0 ([0, 1]), γ1 ([0, 1]) ∈ P(U )

⇐⇒

∃δ ∈ C 0 ([0, 1] × [0, 1], Rn ), γ0 = δ(., 0) et γ1 = δ(., 1)

On dit que δ homotopie de γ0 a
` γ1 , dans U

∀t ∈ [0, 1], γt = δ(., t) arc dans U

Quand t varie de 0 a
` 1 γt se transf orme continument de γ0 a
` γ1 , en restant dans U

(γt )t∈[0,1] d´
ef ormation continue dans U de l0 arc γ0 en l0 arc γ1

Sch´
ema :

38

2) δ homotopie de γ0 a
` γ1 , dans U, avec origine et extr´
emit´
e f ix´
ees
⇐⇒

ef

δ homotopie de γ0 a
` γ1 , dans U
∀t ∈ [0, 1], γ0 (0) = δ(0, t) = γt (0) et γ0 (1) = δ(1, t) = γt (1)

Sch´
ema :

Th´
eor`
eme 3.6.3
ω ∈ Ω01 (U ), loc. exacte,

γ0 , γ1 homotopes dans U, avec origine et extr´
emit´
e f ix´
ees
[c`
ad ayant meme origine et meme extr´
emit´
e]

=⇒

Z

Z
ω=

γ0

ω
γ1


efinition 3.6.4
γ0 , γ1 homotopes dans U, en tant qu0 arcs f erm´
es
⇐⇒

ef

γ0 , γ1 ∈ F([0, 1], Rn ), arcs f erm´
es (de Rn ), dans U


c-`
a-d γ0 , γ1 ∈ C 0 ([0, 1], Rn ) et γ0 ([0, 1]), γ1 ([0, 1]) ∈ P(U ) et γ0 (0) = γ0 (1), γ1 (0) = γ1 (1)

∃δ homotopie de U de γ0 a
` γ1 ,
∀t ∈ [0, 1], γt = δ(., t) [= δt ] ∈ F([0, 1], Rn ), arc f erm´
e (de Rn ), dans U


c-`
a-d ∀t ∈ [0, 1], γt = δ(., t) [= δt ], ∈ C 0 ([0, 1], Rn ) et γt ([0, 1]) ∈ P(U ) et γt (0) = γt (1)

39

Th´
eor`
eme 3.6.5
ω ∈ Ω01 (U ), loc. exacte,
γ0 , γ1 homotopes dans U, en tant qu0 arcs f erm´
es
=⇒
Z
Z
ω=
γ0

3.7

ω

γ1

Simple connexit´
e


efinition 3.7.1
x ∈ U,
γ0 homotope, en x, dans U, en tant qu0 arc f erm´
e
⇐⇒def
γ1,x : [0, 1] −→ Rn : t 7−→ x
et
γ0 homotope a
` γ1,x dans U, en tant qu0 arc f erm´
e


efinition 3.7.2
U ∈ O(Rn ), simplement connexe
⇐⇒def
1) U ∈ O(Rn ), connexe,
2) ∀γ arc f erm´
e dans U, ∃x ∈ U, γ homotope, en x, dans U, en tant qu0 arc f erm´
e
[c`
ad tout arc f erm´
e dans U se d´
ef orme continument, sans sortir de U, pour donner un point x ∈ U ]

Sch´
ema :

40

Exemple 3.7.3
U ∈ O(Rn )
1) U convexe =⇒ U e´toil´
e =⇒ U simplement connexe

Sch´
ema :

2) U simplement connexe
3) U non simplement connexe
4) U simplement connexe ⇐⇒ U ouvert connexe ”sans trou”

Th´
eor`
eme 3.7.4 [am´
elioration du th´
eor`
eme de Poincar´
e]

U ∈ O(Rn ), simplement connexe
ω ∈ Ω01 (U ), loc. exacte [par exemple ω ∈ Ω11 (U ), f erm´
ee]
=⇒
Z
1) ∀γ arc f erm´
e dans U,

ω = 0,
γ

2) ω exacte

41



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