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Prof :EL MOUNTASSIR

Deuxième Année BIOF
(PC/SVT)

Les Nombres Complexes

Partie 1 :

Forme algébrique d’un nombre complexe/Opérations dans

 Z  a  ib / a  et b 

 avec i

:

est un nombre imaginaire qui vérifie i 2  1 .

Z  a  ib est la Forme Algébrique du nombre complexe Z avec :
 a  Re  Z  appelée la partie réel de Z ;
 b  Im  Z  appelée la partie imaginaire de Z .
Soient Z et Z  deux nombres complexes :

Z  0  Re  Z   Im  Z   0
Z

Z  Z   Re  Z   Re  Z  et Im  Z   Im  Z 

 Im  Z   0

Z  i  Re  Z   0

Soient Z  a  ib et Z   a  ib deux nombres complexes ou a; b; aetb sont des réels:

z  z   a  ib   a  ib   a  a  b  b i
z    a  ib  a  ib
z  z   a  ib   a  ib   aa  bb   ab  ab i
1
1
a  ib
a  ib
a
b


 2 2  2 2 2 2i
Z  a  ib   a  ib    a  ib  a  b
a b a b
Z
1
 a  ib  aa  bb ba  ab
 Z    a  ib    2
 2
 2
i
2 
2
Z
Z
a  b2
 a  b  a  b

Z 2   a  ib   a 2  2abi   bi   a 2  2abi  b 2  a 2  b 2  2abi
2

2

 z  z   z 2  2 zz  z2
2
 z  z   z 2  2 zz  z2
z 2  z2   z  z z  z
3
 z  z  z 3  3z 2 z  3zz2  z3
3
 z  z   z 3  3z 2 z  3zz2  z3
z 3  z 3   z  z    z 2  zz   z 2 
z 3  z 3   z  z    z 2  zz   z 2 
2

1

Conjugué et Module d’un nombre complexe:

Partie 2 :

Soit Z un nombre complexe de forme algébrique : Z  x  iy avec  x; y  

2

Le conjugué de Z est le nombre complexe : Z  x  iy
Le module de Z est le nombre réel positif : Z  Z  Z 
Propriétés du Conjugué

Propriétés du Module

z  z  z  z 

z  z  z  z

(L’inégalité triangulaire)

z  z  z  z 

z  z  z  z

z z
   
z  z
zn   z 
NB : z 

 z  0

z
z

z z

 z  0

n  

zn  z

 n 



n

n

 z   z et z  z  z

 z  z et z  i

Partie 3 :

x2  y 2

Représentations géométriques-Argument d’un nombre complexe:

Soit Z un nombre complexe de forme algébrique : Z  x  iy avec  x; y  

2

et un point M de

coordonnées  x; y  dans un repère  O;u; v  :
On dit que le point M est l’image de Z est on note M  z  et inversement on dit que Z est
l’affixe de M et on note Z M ;
On dit que le vecteur OM est l’image de Z est on note OM  z  et inversement on dit que Z
est l’affixe de M et on note ZOM .





On appelle argument de Z toute mesure en radian de l’angle orienté u; OM et on note





arg  z  on écrit : arg  z   u;om  2 
Propriétés :
L’affixe du vecteur AB est : Z AB  zB  z A ;

AB  CD  Z AB  ZCD  Z B  Z A  Z D  ZC ;
La distance AB est : AB  ZB  Z A  Z A  ZB ;

 AB; DC   arg  ZZ

 ZD 
  2  ;
B  ZA 

C

L’affixe du point I milieu du segment  AB est : Z I 

2

Z A  ZB
;
2

Alignement de trois points :
 Méthode 1 :
(A ;B et C sont alignés)   k 

 : AB  k AC

  k 

 : ZAB  kZ AC

  k 

 : ZB  Z A  k  ZC  Z A 



ZB  Z A

 ZC  Z A 

 Méthode 2 :

 ZB  Z A 
  k avec k 
Z

Z
A 
 C

(A ; B et C sont alignés)  arg 
Parallélisme de deux droites:
 Méthode 1 :

 AB CD  ZB  Z A  k  ZD  ZC 
 Méthode 2 :

 ZB  Z A
 Z D  ZC

 AB   CD   arg 


  k ; k 


Orthogonalité de deux droites :

 ZB  Z A  
   k avec k 
Z

Z
2
C 
 D

 AB    CD   arg 

Les différents Types de Triangles

Triangle Isocèle :
ABC triangle isocèle 

ZB  Z A
1
ZC  Z A

Triangle Rectangle :

 ZB  Z A 


2
 ZC  Z A 

ABC triangle rectangle en A  arg 

Triangle Rectangle et Isocèle:
ABC triangle rectangle en A et isocèle 

 Z  ZA 
ZB  Z A

 1et arg  B


ZC  Z A
2
 ZC  Z A 

Triangle Equilatéral:
ABC triangle équilatéral 

 Z  ZA 
ZB  Z A

 1 et arg  B


ZC  Z A
3
 ZC  Z A 
3

Nombres Complexes et ensemble de points :
L’ensemble des points M d’affixe Z tel que :


Z  Z A  r avec r



Z  Z A  Z  Z B est la médiatrice de  AB

0 est le cercle de centre A et de rayon r ;

Soient A ;B ;C et D quatre points du plan :
Les points A ; B ; C et D sont cocyclique (c’est-à-dire appartient au même cercle)
si et seulement si :

Z D  Z A Z B  ZC


Z B  Z A Z D  ZC

Nombres Complexes et Forme Géométrique:
Méthode1 : Montrer que AB  DC
Pour Montrer qu’ABCD est
un Parallélogramme

Méthode 2 : Montrer que

Z A  ZC Z B  Z D

2
2

(  AC et  BD ont le même milieu)

Méthode1 : Montrer qu’ABCD est un parallélogramme ayant deux
côtés consécutifs de même longueur (par exemple AB = BC)

Pour Montrer qu’ABCD est
Un Losange

Méthode 2 : Montrer qu’ABCD est un parallélogramme ayant ses
diagonales perpendiculaires.

Méthode1 : Montrer qu’ABCD est un parallélogramme ayant un angle
droit

Pour Montrer qu’ABCD est
Un Rectangle

Méthode 2 : Montrer qu’ABCD est un parallélogramme ayant ses

Pour Montrer qu’ABCD est
Un Carré

Il faut montrer qu’ABCD est un losange et un rectangle

diagonales
de même longueur ( ZC  Z A  ZD  ZB )

Propriétés de l’Argument:
Soient Z et Z  deux nombres complexes non nuls :

arg  Z  Z   arg  Z   arg  Z  2 
Z
arg    arg  Z   arg  Z    2 
 Z 
1
arg     arg  Z   2 
Z
arg  Z n   n  arg  Z   2 
4

arg  Z    arg  Z   2  et arg  Z     arg  Z  2 
Cas particuliers de l’Argument d’un nombre complexe:

Z 



  arg  Z   0  2 

Z 



  arg  Z     2 

 Z  i   arg  Z   2  2 


 Z  i   arg  Z    2  2 


Partie 4:

Forme Trigonométrique et Forme Exponentielle d’un nombre complexe non nul:

Pour tout nombre complexe Z non nul :
La forme Trigonométrique de Z est :

Z  Z  cos    i sin   avec  est l’argument de Z
La forme Exponentielle de Z est :

Z  Z ei avec  est l’argument de Z
i



Cas particuliers : i  e 2 ; i  e

i


2

;1  ei 0 ; 1  ei

Formules d’Euler :
Pour tout x de

on a :

eix  e ix
 sin  x  
2i
 cos  x  

eix  eix
2

Formule de Moivre:

    n   :  cos    i sin   

 

i
C’est-à-dire : e

n

n

 cos  n   i sin  n 

 ein

5

Equations du second degré dans

Partie 5:

l’équation : aZ 2  bZ  c  0  a  0  avec :   b 2  4ac le discriminant de l’équation.

On considère dans
Cas1

:



0 :

 b   b   
;
 ;
2a 
 2a

 Les solutions de l’équation sont : S  

 La factorisation de l’équation est : a  Z  Z1  Z  Z2  avec Z1 et Z 2 les solutions de l’équation
 Relation entre Z1 et Z 2 : Z1  Z 2  

b
c
et Z1  Z 2 
a
a

0 :


Cas2


 La solution de l’équation est : Z o 

b
;
2a

 La factorisation de l’équation est : a  Z  Z o 
Cas3



2

0 :

 b  i  b  i  
;

2a
2a



 Les solutions de l’équation sont : S  
Partie 6:

Expressions Complexes des Transformations affines usuelles :

Translation :
Soit tu la translation de vecteur u tel que Zu  a  ib on a :

tu  M   M   Z   Z  Zu
Homothétie:
Soit h l’homothétie de centre   w et de rapport k on a :

hM   M   Z  k Z   
Rotation :
Soit R la rotation de centre   w et d’angle  on a :

R  M   M   Z   ei  Z     

6


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