DM05 TS2 2018 2019 Exponentielle (1) .pdf


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[ TS2 - Devoir Maison N◦ 05 \
mardi 29 janvier 2019
À rendre le lundi 11 février 2019

P ROBLÈME

1

On considère la fonction f définie sur R∗ par f (x)
ex . ´
³ =→
− →

C f est sa courbe représentative dans un repère O, i , j orthonormé (unité 4 cm).
Partie A Etude générale
1. a. Étudiez les limite de f aux bornes de son ensemble de définition.
b. En déduire le cas échéant, des asymptotes à la courbe C f .
2. Etude des variations. Justifiez que f est dérivable sur son ensemble de définition et déterminer
sa dérivée sur R∗ .
3. En déduire son tableau de variations.
Partie B Étude Locale à l’origine :
On veut savoir comment se comporte plus précisément la fonction f lorsque x tend vers zéro par valeur
négative.
Pour cela on va lui adjoindre une fonction qui lui ressemble le plus possible et qui sera définie en 0.
On considère alors la fonction g définie sur R par : Si x 6= 0, g (x) = f (x) et si x = 0, g (0) = 0.
1. Est-ce que la fonction g ainsi définie sur R est continue en 0 ? On parlera de continuité à gauche
et g sera dite une extention de f par continuité à gauche en 0.
2. On étudie la dérivabilité à gauche de g en 0.
Pour g < 0, former le taux de variations en 0 puis étudiez sa limite lorsque g tends vers 0 en
restant négatif.
On parlera alors de demi-tangente à gauche. Quelle est son équation ? La tracer. ( On ne tracera
qu’une demi-droite, avec uniquement une seule flèche)
Partie C Point d’inflexion :
1. Déterminer l’expression de la dérivée seconde f " de f
Résoudre sur R∗ l’équation f "(x) = 0.
Soit x0 la solution, déterminer l’équation de la tangente T à la courbe représentative C f de f au
point d’abscisse x0 .
2. Etudier la position relative de T et C f pour x ∈ R∗
a. Montrer que cette position
µ
¶ par µle signe
¶¸ de la fonction ϕ définie par :
· µ est¶donnée
1
1
1
x+
+f −
.
∀x ∈ R∗ , ϕ(x) = f (x) − f ′ −
2
2
2
µ

µ

1
1
b. En gardant ϕ sous cette forme, calculer ϕ′ (x) et ϕ"(x) pour x ∈ R∗− ainsi que ϕ′ − et ϕ" − .
2
2
c. Déterminer le signe de ϕ"(x) pour x ∈ R∗− , puis les variations de ϕ′ (x).
d. En déduire le signe de ϕ′ (x) pour x ∈ R∗− , puis les variations de ϕ(x).
e. En déduire le signe de ϕ(x) pour x ∈ R∗− puis conclure.
3. Tracer cette tangente.
Information : Ce point est un point particulier de la courbe.
C’est un point d’inflexion : la courbe traverse en ce point sa tangente.
Enfin tracer la courbe C f (unité 4cm et (−1 6 y 6 3)).


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