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مجموعة النقط عمل الورشات .pdf



Nom original: مجموعة النقط عمل الورشات.pdf
Titre: مجموعات النقط
Auteur: Hinfo

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‫مجموعات النقط‬
‫ملتقى ‪ 10‬جانفي ‪2019‬‬

‫‪2‬‬

‫مجموعات النقط‬
2019 ‫ جانفي‬10 ‫ملتقى‬

.‫خىاص طىيلخ عذد مزكت‬

 

O ,OI ;OJ 
‫خــواص‬

n

z

z'
z  z

(2

z z

(1

z' z'
‫و‬
z
z

(4

z ..z '  z . z '

(3

z  .z '  z  z '

(6

z 0

z
z B  z A  AB

z n  z . n (5

zB

M

zA

z A  OA

(3

(2

B

‫نتـبئج‬

A

z  OM (1

. ‫خىاص عمذح عذد مزكت غيز معذوم‬
 

O ,OI ;OJ 
‫خــواص‬

z'

z

n
arg  z   arg  z  (1

arg  z     arg  z  (2
 z '
  arg  z
z 

arg 

'  arg  z 

arg  z ..z '  arg  z   arg  z '

(4

(3

arg  z .n  n ..arg  z  (5

3

‫مجموعات النقط‬
‫ملتقى ‪ 10‬جانفي ‪2019‬‬

‫نتـبئج‬

‫‪A‬‬
‫‪(1‬‬

‫‪‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪M‬‬

‫‪zA‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪zC z B‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪arg  z A   OI ,OA  (2‬‬

‫‪arg  z   OI ,OM‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪arg  z B  z A   OI , AB  (3‬‬
‫‪(5‬‬

‫‪z‬‬

‫‪(4‬‬

‫‪‬‬

‫‪ ‬‬
‫‪zB ‬‬
‫‪  OA ,OB‬‬
‫‪zA ‬‬

‫‪‬‬

‫‪arg ‬‬

‫‪ z A   ‬‬
‫‪   AB , AC ‬‬
‫‪z‬‬
‫‪‬‬
‫‪z‬‬
‫‪ B‬‬
‫‪A ‬‬
‫‪ zC‬‬

‫‪arg ‬‬

‫عـمل الورشات‬
‫المطلىة من األسبتذح و على شكل مجمىعبد منبقشخ فقط األسئلخ التي‬
‫يجذونهب مؤطزح في التمبرين و التي تعبلج ثعض الىضعيبد لمجمىعبد‬
‫النقط التي تتعلق ثبلطىيلخ و العمذح ألعذاد مزكجخ مختلفخ ‪.‬‬

‫‪4‬‬

‫مجموعات النقط‬
2019 ‫ جانفي‬10 ‫ملتقى‬

)1(‫تمرين‬

 

M

O; u , v 

B, A

z  x  iy z B  1 2i , z A = i
z  1 2i
L
z
z i
zi
L 1
M

1 1
zI =  i
I

2 2
 AB 




)1(‫حل التمرين‬
L 

z I  1 2i
 1
zI i

1 1
z=  i
2 2


BM
1
AM

AM  BM

M A

I

L 1

z z B
1
z z A

L 1



 AB 

  a    1 
  AB  
b 
 3 





ax  by  c = 0 ... (1)

AB 

x  3y  c = 0
x  3y  c = 0

c  2

(1)

I   

I



x  3y  2 = 0

)2(‫تمرين‬

 

O; u , v 

G‫و‬C B A

z G  3 , z C  2  i 3 , z B  2  i 3 , z A  1
z A zC
ACG
zG zC
ACG






 A ; 1 ,  B ;2 , C ;2



G



AM  2BM  2CM  BM CM

M


)2(‫حل التمرين‬

C

CG ,CA   
 

ACG

2

5

i
z A zC
 3e 2
zG zC

‫مجموعات النقط‬
2019 ‫ جانفي‬10 ‫ملتقى‬

ACG

AG

AG

2

zG 

 1;0

 AG 
zG zC

AG
2

2

2

 
1 z A  2 z B  2 z C
GA  2GB  2GC  0
G
1 2  2
1 z A  2 z B  2 z C
1 z A  2 z B  2 z C
zG 
3
1 2  2
1 2  2














 A ; 1 ,  B ;2 , C ;2


AM  2BM  2CM  BM CM
2 3
3
2 3
3











 1 2  2GM  BC


G

)3(‫التمرين‬

P  z   z 3  4z 2  8z  8

C



AM  2BM  2CM  BM CM

3.GM  2 3

GM 

G

P z

P z   0

 

O;u, v 

B A



P  2



(2

zC  zB

zB  1  i 3 z A  2
zC

z B 

(1

n

 z C 

n

z B 

zB

n

2016

 z C 

2016

C

B A

zB
zC

OBC

OBAC

z' 

4
z2

z  z2
AM ' 

2OM
AM

M

M' z

z'

M

z ' 2 

M'

6

2z
z 2
()

()
z 2

M

‫مجموعات النقط‬
2019 ‫ جانفي‬10 ‫ملتقى‬

)3(‫حل التمرين‬
P z 

2 , 1  i

P  z    z  2  z 2  2z  4 P  z 

3 , 1 i 3



P z   0

z C  2e
arg  z B   arg  z C   2k  ;(k )
n

n

n

zB

3

n

 zC

 
i  . 
 3

z B  2e

z B 

n

2n  2n

n
n



n

i


3

(2

n

 z C 

n

 zC

zB

n

n

arg  z B   arg  z C   2k 
n

 2k 

3

P  2  0

z 2

n

n

 2k 
3
3
n  3k ;(k  )


z B 

2016

 z C 

2016

k  672

2016  3k

B A

C

z A  z B  zC  2

OA  OB  OC  2

C

B A
O

C

B

C

B

x 1

z
arg  B
 zC

 2

 3

zB
zC

1

OBC

OBAC

D C B A



 



OB ,OC 

2
3

OB
OC

1

OA  OB  BC  AC  2

)4(‫التمرين‬

 

O;u, v 
z D  1  2i

2
i
zB
e 3
zC

z C  1  i
7

zB 2 zA i

‫مجموعات النقط‬
2019 ‫ جانفي‬10 ‫ملتقى‬

 A ;1 ,  B ; 1 , C ; 1

D

zD zA
zC  z B

ABDC

B

z

M'

M
iz  4  2i

z '

z ' i 



k 

 

 

4  4i

 

z 2

z 2



u , AM '  u , BM 

z

z 2

3
 2k 
4

AM ' BM  4 2

B

M
M'

arg  z ' i  





z

4



M

zE  2i

zE

E


)4(‫حل التمرين‬

   
z A 1 z B 1 z C
GA GB GC  0
D
1
z 1 z B 1 z C
z A 1 z B 1 z C
zD  A
 1 2i
1
1
D
 A ;1 ,  B ; 1 , C ; 1

  
zD zA
i
AD
zD zA
1
1
e 2
BC , AD 
zC  z B
2 BC
zC  z B

zD 





ABDC

I

 

O;u, v 

C B A

   ; 

)5(‫التمرين‬

 

z I  1

z  1  2e i 

z  1  2i  e

z B  1  2i z A  1

z C  1  2i
i

z

M


4

z



M

    
8

 

A

‫مجموعات النقط‬
2019 ‫ جانفي‬10 ‫ملتقى‬

 

    



C

 
)5(‫حل التمرين‬

1  1  2e i 

2  2e i 

   ; 

A  C 

z zA

 0

2  2i  e

i



1  1  2i  e

4

i



z zA

4

 2
2
i

2
2


2    2

2  2i   

A D 

2i  2e i 
   ; 

C

 


2

 

z C  1  2e i 

C

e i   i

)6(‫التمرين‬

 

O;u, v 

B A

zC  4

 AC 

zB  1  i

zA  1  i



z z A  z z A

ABC

z

 

B A

C

1 i z  2i  2 z  zB

1 i z  2i  1 i z A  2i

E 

M

z

z



M

)6(‫حل التمرين‬
ABC
a  3;b  1

AC  10 ; BC  10 ; AB  2

ax  by  c  0



AC a;b   AC  3; 1

5 1



 AC 


   :3x  y  7  0
9

I ; 
2 2

I

‫مجموعات النقط‬
2019 ‫ جانفي‬10 ‫ملتقى‬

)7(‫التمرين‬

‫ ع ت‬bac2012

z

z  2  3i

3i  z  2i 
z  2  3i



z



zA 1  i 5

zB  1  i 5

B

O

z'

3i  z  2i 
z  2  3i

z'

 z  2  3i  z

M'

   zE  3i zD  2  3i

CD 

B

 

E D C

OM '

CM



M'

 

A

M

zC   2i

DM

A

M
E

)7(‫حل التمرين‬
OA  OB  6

6

zA  zB  6

O

B

A

)08(‫التمرين‬
z 2  2 3z  4  0
C

B A



 

O ;u ,v 
zC  z B
 1  i  z B 


 zC


zB  3i

z A  2i

n

n

B

A

C
ABC





z  3i
z  2i
iz  1  i 3  2ie i 

z

M

z

10

M


E 

‫مجموعات النقط‬
2019 ‫ جانفي‬10 ‫ملتقى‬

)08(‫حل التمرين‬
z 2  2e







i  

6 

; z 1  2e

i


6

S‫ل‬



‫ال ح لو‬



3 i; 3 i



n

 


i  
i 
n
n
 4


 2e
n i
 1  i  z B 
 2e 6 
  2 e 12

 
 
i  


 zC

 6


2e



n  12k  6; k 
 1
 2

z A  z B   

 1  i  z B 


 zC

1
3
 
i
2 2

n 
  k
12 2
3 
i z C  z B 
2 

zA zB
zC  z B

 1
3 
2
arg   
i 
3
 2 2 
2
B

3

1
3
 
i 1
2 2

A

C

zA zB
1
zC  z B

AB  BC

ABC

S ABC 
S ABC 

AC  AB  sin
2


6 

3‫م‬



C B A

‫و‬

 
O; u, v

AC  h
2



h  AB  sin A  AB  sin
6

)9(‫التمرين‬



zC  zB zB  1  i 3

1

z A  2

z A  zB  z A  zC  zB  zC
2

2

ABC

A

O

2

D

zD

ABOC

z' 

iz  3  i
z2

z'

M'

z  2

z
arg  z ' 

A

M

 AB 
11

n

M


2

 
 AM , BM



M'

M

M

M'



‫مجموعات النقط‬
2019 ‫ جانفي‬10 ‫ملتقى‬

)9(‫حل التمرين‬
z A  z B  4 ; z A  z C  4 ; z B  z C  12
2

2

ABC

2

zD 2

AB  AC  OB  OC  2
OA  BC
S ABOC 
 2 3.ua 2
2

ABOC

 z 2  3 z 2  6z  21  0
D

 



O ;u ,v

C B A

z D  zC

ABC

)10(‫التمرين‬





z B  z A z A  3.e

z C  3  2i 3

n
n
 z C  1   z D  1
1439

 z 1
 C

 4 

E

C

.iz  3  .z  3  2i 3

T



M



T

S‫ل‬

‫ال ح لو‬

)10(‫حل التمرين‬



 i 3; i 3; 3  2 3i ; 3  2 3i

  z  1n   z  1n
D
 C
‫و‬
n
n

 arg  z C  1  arg  z D  1  2k 

n
n
 z C  1   z D  1

n
n

 2k 
3
3
2018



n
n
 z C  1   z D  1

n

 z C 1


 4 

zA

E

B
z

2018

D

O
zC  z B
zE zB

BEC

i
2

n

 z D 1


 4 

n  3k ; k 

z D  z A

 4n

arg  z C  1  arg  z D  1  2k 
n

 i 3 
 e 



12



2018

e

i  672 


2 
3 

n

1
3
 
i
2 2

‫مجموعات النقط‬
2019 ‫ جانفي‬10 ‫ملتقى‬

 z D 1


 4 

1439

 i 3 
 e






1439

e

i  480  


2 
3 



e

 z D 1


 4 

1439

z E  z D  3  2i 3
z zB 

arg  C

3
zE zB 

2





2

B

e

i   
3

1
3

i
2 2



2018

i 3 zA

D

E






3

2

2

E



C

)11(‫التمرين‬

 

O, u, v 

A



i  
zC  z B 1
3
 
i  e  3
zE zB 2 2
  
BE  BC
BC , BE 

1
3 
z C  z B    i z E  z B 

i 1

B

3

C

3

2 
3 

O

zC  z B
1
zE zB

1



 z 1
 C

 4 

BEC



i  

ZC  2  2i

(I

ZB  1  i Z A  2

 AC 

I

1

ZI

2

ABC

D

ABCD
Z '

Z 2
iZ  1  i

Z'

Z  1 i

M'

Z

 AB


T 

(II

M
OM ' 

M'

3

ZD

AM
:
BM

1
2

M

 
  
u, OM '  BM , AM   2k / k  
2
M'
M
 AB 

 





3
4

)11(‫حل التمرين‬
Z A  ZC
1 (I
 2i
2
AB  BC  2 , AB 2  BC 2  AC 2 2
ZI 

B

ABC

B

ABCD
13

ABC

3

‫مجموعات النقط‬
2019 ‫ جانفي‬10 ‫ملتقى‬

ZD  3i

 
AD  BC

Z D  Z A  ZC  Z B

)12(‫التمرين‬
z 2  2 3z  4  0
6



z

(1

6

 z1   z2 
     2
 2   2 

z1 ‫و‬

z2



O; u, v 

D ‫ و‬C ;B ;A
z D  2i

(2

zC  4  3  i

ABC

zB  3  i

zA  3  i

i
zC z A
 2e 2
z B z A

I
zD



M

z

Arg z  2  i  

k


Arg z  2  i  

(3


......E 
6

I


6

E

)12(‫حل التمرين‬

i
zC z A
 2e 2 (2
z B z A

ABC

A

ABC
zI 





z B  zC
 2 3
2




C

B A

z A  z C .e
zA

 zC






2  


2  
i
3

BC

BC 

I

)13(‫التمرين‬

 3
  3  2i 3





(I

 O;u, v 
 

zB zA

n

n

(II
3
2

z A   +i

3
2

zC

14

zA

(1

‫مجموعات النقط‬
2019 ‫ جانفي‬10 ‫ملتقى‬

z 
2 A 
 3

2015

1962

z 
 B 
 3

1435

z 
 C 
 3

z D  1 i

sin



7

cos

12



A
7

O

D

D (2

S

zA
zD

12

z  k 1 i 

k

i 7
e 12

(3

M

z

)13(‫حل التمرين‬

 i 3 ,   3 i 3
2

2



2     3
2     3


2





3

2
i
3


2     3  2i 3


2     3


2     3  2i 3
n
zA 
i n
i 5
i
3
6
2

e
z

3
e
,
z

3
e


C
A
 zC 
n
n
zA 
zA 
arg     2k 1 


 zC 
 zC 



 3

e

i 1635 

i 1636  
e 
 e i   1

(II

n
  2k 1 
3

n  6k  3 ,  k  

1962
zB 

(I

1435
i 1435
 zC 
2

e


 3

e
e

zA 


 3

2015

i  718  
2


i   
 2

e

 i

z 
2 A 
 3

2015

e

e
1962

z 
 B 
 3

i 10075
6

i 1978    
6


i    
6


1435

z 
 C 
 3



3 1
 i
2 2

  3 1

z D  1 i

zD
6 i 712
a

e
zA
2

S D  = A

z D  a.z A
7
12

15

D (2

6
2

S

‫مجموعات النقط‬
2019 ‫ جانفي‬10 ‫ملتقى‬

zA
3  3
3 3

i
zD
4
4
sin

r

C

2 6

7 y
 
12 r

, cos

4
6

x 

2

 6 2
7 x
 
12 r
4

3  3

3 3

; y 

4

4

)14(‫التمرين‬

 

B A

(O ,u ,v )

z A  3 i

z B  3 i

zC  i

zB
zA

zB

L

z  zC
z zB





n

n

z

zB

M

zA

L

arg  L   

arg  L   

E 

M



M

2



A

E 
)14(‫حل التمرين‬
zA

zB





n

e

i n
3

zB zA

z
arg  A
 zC





n

i   
 2e  6 

 2k 
z
arg  A
 zC

)

 z  2  z 2  4z  8  0

 O;u, v 
 

zA

zA

zB

n
 2k 
3

n  6k ,  k  

i   
 2e  6 







n





n

 2k 

bac (

)15(‫التمرين‬
(I

(II
16

‫مجموعات النقط‬
2019 ‫ جانفي‬10 ‫ملتقى‬

zC   2

z A  2  2i

zB z A

B A

C

zB

B

ACD


arg 


zB z  

z A  z  2

B A

zA
zD

D

M z

 3

M





O

  



h

4

h

C

)15(‫حل التمرين‬
zB 

B

ACD

3

  

A'
O '  h O 



h

B '  h B 

A '  h A 

z A '  6  4i

z A '  z C  2 z A  z C 

B '  6;4 

z B '  6  4i

z B '  z C  2 z B  z C 

O '  2;0 

zO '  2

z O '  z C  2 z O  z C 

D



)16(‫التمرين‬



 4  z 2  2 3z  4  0
 
C B A
(o ;u ,v )
2

zD   3 i

z C  2i



zB  3i

D

zA  3 i

B

C

ABC

D

C

A

O

A
zA zB
zC  z B

S
S (B )  C

S

ABC

4

O'

A '  6; 4 

z

(II

z D  3z B  z A  z C

z D  6  8i

B'

z A  zC  z D

ECD

S

A
ECD

17

E

‫مجموعات النقط‬
2019 ‫ جانفي‬10 ‫ملتقى‬



arg z  3  i



2




3

M z 

 2k  ;  k  


D

B

C



C

)16(‫حل التمرين‬

 
(o ;u ,v )

A

zD   3 i

zB  3i

z C  2i

D

O

b  3 i

  arg(a ) 
 3 1
; 
2
2




‫و‬
S O   A

S C   D

z D  z A   a z C  z O 

3i

z 

S O   A

z A  az O  b



a

2

3

b
3 1

 i
1 a
2 2

z B '  z    i



3z B  z  

S (B )  C

S (B )  B '

z B '  zC

S (C )  D

ECD

S ECD  3 3 ‫م‬

A

i 2
zA zB
e 3
zC  z B

1
 2 
S ABC  AB .BC .sin    3 ‫م‬
2
 3 
zD zA

zC  zO

B

C

z A  z B AB

1
z C  z B BC

ABC

a

zA  3 i

z A  z B  zC  z D  2

OA  OB  OC  OD  2

2



S (B )  C

S

‫و‬S

S (A )  E

ABC

S ECD  k 2  S ABC

k

)2016‫(ثكبلىريب ريبضي‬

z 2  2z  2  0

H

D C B A

zH 

zC  z B
zE zB




2z 1  3z 2  5i 3


z 1  3z 2  2i 3
 

(I

z2

z1

O ;u ,v 

z D 1 i

)17(‫التمرين‬

(II

z C 1 i
18

z B  i 2 z A  i 2

‫مجموعات النقط‬
2019 ‫ جانفي‬10 ‫ملتقى‬





DE  2DO

E
zH

BEC
z '  z Az  z B

z'

z

M'

M

S
S

CD

 

C

 

S

z

B

C

M

  '
 

M
zB z
zC  z

)17(‫حل التمرين‬
z 2  i 2 z 1  i 2

z E  1  i

1  i ;1  i 
z E  z D  2 z O  z D 

S

S      CD 2  4 ‫م‬

z H  1.e

  arg(z A ) 
‫و‬

C ' D '  2 CD  2 2

i   
 4


2

CD  z D  z C  2

S  

  '

C'

(I

z '  z Az  z B

zA  2

zB
2
2
 i
1 z A 3
3



DE  2DO

BC
1
BE

BEC

2



S



C '  2;0

C 'D '



 
S C   C '
)18(‫التمرين‬

z

2

i
 4ie 6

E 
C

B A

 0.... E 



i  
i 

3
3
 z  2e  z  2e   0



 

O ;u ,v 

zC  z A  z B
E  2;0






E 

A

H


MA  MB  MC  ME

z B  z A

z A 1 i 3

D

C ;1 ,  B ; 1 ,  A ;1
z

D
M

19

zD

‫مجموعات النقط‬
2019 ‫ جانفي‬10 ‫ملتقى‬

zA zB
z D  zC

ABCD
i
z  e 2

M   z 

 z  2

D

B A

C

M z 

R
R

S  RH

S

arg  z A z   arg  z B z   2k 

k 

M z 




S

C

)18(‫حل التمرين‬

 

O ;u ,v 

B A

zC  z A  z B
zD 

z A 1 i 3

z B  z A

z D  z E  2 z A  z E 

z D  4  2i 3
z A  z B  zC









DA  DB  DC  0

111

C ;1 ,  B ; 1 ,  A ;1

z A  z B  zC

D


111



111 MD  ME

H A   D

D
 4  2i 3  z D









MA  MB  MC  ME

MD  ME
 ED 



ABCD

 



AB ; DC  2k 

a 1

 1; 1 ; z   b  1 i
z1

R H M

z

M1

  M '


R
2
 R  H  M   M '

M

H

R H M

R M 1   M '
z   2iz


2

M'

z1

z   i  2z  2  2i

S

O
20

H M   M 1

z 1  z E  2 z  z E 

z 1  2z  2

z'

z   iz  2i

z   az  b



1 a

zA zB
1
z D  zC

AB  DC

  M '

M1
z   iz 1  2i

2i  2

R

‫مجموعات النقط‬
2019 ‫ جانفي‬10 ‫ملتقى‬
)‫ (ع ت‬bac2016

P  z   z  24 3 z

)19(‫التمرين‬

3





P  z    z  2 3  z  az  b z
2

C

P 2 3  0

b

P z   0
 
O; u , v



B ,A

a





z C  2 3 , z B   3  3i , z A   3  3i
zC z A
z B z A
B

C
ABCD
z
arg    2k  ;  k   
z 

r

A

ABC



AB

z

zD

D

C



M

)19(‫حل التمرين‬

 z  2 3  z  2 3 12  0
2 3;  3  3i ;  3  3i 

P z   0

2

a 1 ; a
C

zC z A 1
3
 i
z B z A 2
2

i
e 3

1
3
، a  i
2
2

B
ABC

z C  z A  a z B  z A 


A
r
3
 
z z
‫ و‬C A  AC  1 ; AB ;AC  
3
z B  z A AB

 

z D  z C b







T C  D AB

z D  2 3  6i
ABC

T

b  z B  z A  6i
AB =CD

 

T C D

ABCD

arg  z    arg  z 

21

‫مجموعات النقط‬
2019 ‫ جانفي‬10 ‫ملتقى‬
)‫ (ت رياضي‬bac2017

 

z C  i , z B  2  i , z A  1
z A zC
z B zC
C
S

ABC

A

O; u , v 

B ,A

C

)20(‫التمرين‬

B
D

S

E

z E  1 2i

zE

E

B

C

D

zD

D
ADEB

B

A

z

M

arg  z  z A   arg  z  z B  

k 






2

)20(‫حل التمرين‬
z A  z C 1 i 2
 e
z B zC 2

CB ;CA   2

ABC

 2k 

C

 

C



M

z A  z C  a z B  z C 

z A zC  1e
2

2

zC 
E

z A  z C 1 i 2
 e
z B zC 2
1


z B  z C 

z ' z C  1 e

1
1
z '  iz   i
2
2

z D  2  3i

i
2

zB zD
2

zE

z E  1 2i

22

i

2

2

 

S B A

2

z  z C 

 BD 

z E  1 2i
1
1
z E  iz D   i
2
2

C

D

S D   E

‫مجموعات النقط‬
2019 ‫ جانفي‬10 ‫ملتقى‬

)2014‫(ثكبلىريب تقني ريبضي‬



z 0 1 i

O; u, v 

A





z  z 0  2e i 



+

z  z 0  ke

k

i

 

M z 

3
4

)21(‫التمرين‬

  '

M z 

  '   
3
4

i

z 1  z 0  2e
z1  z 0
z0

OAB


.  


 1 


 2



B

A

2

 A ; ,C ; 







z2

C

 

O



2  MA  MC   MA  MC   0


B

z1

E 

M



)21(‫حل التمرين‬
z 0  z1
 i 2
z0

A

OA , BA    2
2  i 1 2 
  1  2   0
 

 

OAB

z 2  1

  1 ;   1 2


  


 2

z1  z 0
i 2
z0

z 2  z 0  i  z 1  z 0 

z 0  z 2
0
 

)2017‫(ثكبلىريب ريبضي‬

z 2  2 1  sin   z  2 1  sin    0...(E )



(E )

(I



z 2 z1


. z 12017  z 22017  1

z 2 z1



 

O ;u ,v 
z C  2z A

zB zA

)22(‫التمرين‬


6

(II
1
2

zA  

23

3
2

i

C B A

‫مجموعات النقط‬
2019 ‫ جانفي‬10 ‫ملتقى‬

zA 


zB 

z'

z

M'

n

n

M

S

z '  1  z A  z  2z B
S
k 

arg  z  z B   


3

 2k 

z



M





C

)22(‫حل التمرين‬


z

(I

  4  4sin 2   4cos 2 
  2i cos  .
2

z 2  1  sin   i cos
 

i 
 
1
3
z2  i
e  3
2
2

z

2017
1

e

z 1  1  sin   i cos




i  


1
3

z1   i
e  3  
2
2
6

 

3
 

i

z 12017  e

1
3
 i
2
2

e

. z 12017  z 22017  1

 2017

3


i












i  672  

3 

z 22017  z 12017 
n

1
3
i
2
2
 2n 

3 

i

zA 


 e
zB 

n  3k ;

arg  a  


6

2n 
 2k 
3

 k  

a 3

zA 


zB 

3

z ' i

z '  az  b

2

S

C

b
1 a

3
z 1 i 3
2 
3
3
i
 3
2
2


6

1 i 3

24

3

(II
n

‫مجموعات النقط‬
2019 ‫ جانفي‬10 ‫ملتقى‬



 z  4 z

2

C

)23(‫التمرين‬



 2z  4  0

z

B A




 

O ;u ,v

zD  3 i
zB 
 2 


 zC 
 2 



zC 1 i 3

z B 1 i 3

zC
n

2020

 z B   zC 
 2   2 

 






P  z   z 1  i 3 z 1  i 3

P z   4



n

z  3  i  ke

i

z


z




S‫ل‬

3

zB 
 2 



 672  



2019

e

n

n

2019  3k

k  673


3

A

 2 



2020

C







i  

i

3 

; z B  2e

2019
3

i


3

 e i   1

 z B   zC 
 2   2 

 


n

n
n

 2k 
3
3
2020
2019
 zC 
 zC 
 zC 

1
3
z 
  C     i
2
2
 2 
1
3
zB zA  i
z C  z A 
2
2







n

z 
z 
arg  B   arg  C   2k 
 2 
 2 
n  3k ;  k   

)23(‫حل التمرين‬

 4;1  i 3;1  i 3

‫ال ح لو‬

z C  z B  2e
2019

2



M



O

M

P z   z  z B


6

B

C

P z 

M

zB

n

A

 zC 
 2 



zA 4

2019

ABC

k 





 2 

 zC 
 2 



2019

z 
 A 
 2 

25

2019

 1

zB zA 1
3
 i
zC  z A 2
2

1
3

arg   i

2 
3
2

B



 2 

1
2

i

3
2

1

‫مجموعات النقط‬
2019 ‫ جانفي‬10 ‫ملتقى‬

 

 AB , AC   3

ABC

zB zA 1
3
 i
1
zC  z A
2
2

AB  AC

)24(‫التمرين‬

)2015‫(ثكبلىريب تقني ريبضي‬

z 2  4  sin  z  4  0..(1)



z


z 2 z1



(1)

z 2 z1
 

O ;u ,v 

C B A

zB  3 i

zC  3 3  i


3

zA  3i

zC z A
z B z A

ABC

A

S



B
t

AC

ABCD

z zC
z z B
z zC
z z B

z zB
z zB

C

B

z

D

 1 

M

z

 2 

M

)24(‫حل التمرين‬
  16  sin 2   1  16cos 2  .
  4i cos  .
2

z  2sin  2i cos

z 2  3  i  2e
A

z 1  3  i  2e

C

i


6

zC z A
i
z B z A

2

B

ABC

6 

 AB , AC   

zD 3 3 i
(2).....



i  

 

ABC

S





z  2sin  2i cos

i





3

3

3e


2



z C  z A  3e 2  z B  z A 

3
A
zD

2
 z B  z 

 
(1)..... AC  BD

ABCD

AC

t B   D
t B   D
(2)

)2009‫(ثكبلىريب تقني ريبضي‬
26

i

(1)

)25(‫التمرين‬

‫مجموعات النقط‬
2019 ‫ جانفي‬10 ‫ملتقى‬

z 2  2z  2  0

 z  3

2



z

 2  z  3  2  0







z



O; u , v

z ,1  i ,1 i 



+

z  1 i  ke

k

5
4

i

M ,B ,A


E 

M

z 1 i  z 1 i

M
)2009‫(ثكبلىريب تقني ريبضي‬

z  1 i

 z  3

2

  4   2i 

z  1 i

 2  z  3  2  0

)25(‫حل التمرين‬
2

Z z 3

Z 2  2Z  2  0

z  2  i

z  2  i

z  3 1 i

z  3 1 i

)26(‫التمرين‬

 

O ;u ,v 

C B A

zC  z A

z B  iz A z A  2e



S

 
zA 


 zC 

z  zC k

k

 z z
arg  A
 zC z





2

zA
zC

z

  2k 1  ;(k )

zA

A

 
  '

ABC



4

z

B

S



zB

1 i  z  2e i 
1 i  z
z

i

n

n

 1 

M

z

 2 

M

 2 

 2 

O

)26(‫حل التمرين‬
27

‫مجموعات النقط‬
2019 ‫ جانفي‬10 ‫ملتقى‬

z C 1 i
1
3

z   i

1 i  z 0  2  1 i  z 0 





z





z A  z   2 z B  z 

S

2

B

k 2

OA  OB  OC 

2
2

E  S O 



z E  z   2 z O  z 

E (1;3)

z

 



‫ـ‬

n

n

n
i
zA 
2

 e
z
 C

n

z 
arg  A   2k 
 zC 



ABC

B

E  S O 



z C  2  3i

z D  2  3i

C

E

)27(‫التمرين‬
O ;u ,v

C B A



n
 2k 
2

n  4k ; k 

D

 
  '

z E  1 3i
zA 


 zC 

 3  z 2  4z  13  0

 

O

k 2 2 2

z

z A  z B  zC  2

2

ABC

O

S



A



z

z A 1 i

1 i  z  2
1 i  z
1 i  z   2
1 i  z 

z

z A  z   2e i  z B  z 

z B  1  i

A

zB 3 zA i
z A z B
zC z B

S

z



M

arg  z  z A   2arg  z A   arg  z  z B 
2






S

28

  '
 An n

O

2

‫مجموعات النقط‬
2019 ‫ جانفي‬10 ‫ملتقى‬

An 1  S  An  : n

zn

An

z n  1  i   i
n

z 0  1 i

:n

 AD 

n

An

)27(‫حل التمرين‬
 3;2  3i ;2  3i 

S‫ل‬



  
BA , BC 
2



‫ال ح لو‬

i   
z A z B
 i  e  2 
zC z B

BA
1
BC

B

ABC

z   z A  a  z  z A ...(1)
a

zC  z A
 1 i
zB zA

z C  z A  a z B  z A 

z   i  1  i  z  i 

z   1  i  z  1

 AB '

  '

B '  S B 

B'

A

O '  S O 

S B  C
(1)



S

A

O'

O ' 1;0 , B '  3; 4
z n  1  i   i
n

:n

z n  1  i   i

P n 

n

0
1  i   i  1  i  z 0 n  0
n 1
P n 
n 0
z n 1  1  i   i
P  n 1
n
z n 1  1  i  z n  1
An 1  S  An 
z n 1  1  i   1  i   i   1

P  0

 1  i 

n 1

i

z n  1  i   i
n

P  n 1

:n



 



AAn , AD  k 

 z D z A
 z n z A

arg 

arg  2  2i   arg 1 i   k 
29

An


  k 


arg  z D  z A   arg  z n  z A   k 
n

 AD 

 z D z A
 z n z A

arg 


  k 





‫مجموعات النقط‬
2019 ‫ جانفي‬10 ‫ملتقى‬

  n  k 

n  4k 1 ;  k  

4

4

 AD 



n

A n  2 cos

n
n
n
n

z n  1  i 
;  2 sin
 1
4
4
4
4

n
n
n
n
 2 sin
 2 cos
An   AD 
y n  x n 1
4
4
n
n
 sin
 cos
4
4
n

n
   k
tan
 1
n  4k 1 ;  k  
4
4
4

H

O ;u ,v 

z D  1  5i

z C  3  i



z

 BC 

)28(‫التمرين‬

 

D C B A

h

I

z B  1  3i





MA  MB  MC 

D

zI

E

zE

zI zA
zE zD
E

I

D
4
z 1  i

E

M

z K  z D  2e

z 1  i 

h

 A ;1 ,  B ; 1 , C ;1

1  
MB  MC
2

A

z A 1 i

A

C

I


y  x 1
n
n
n
n
 i  2 cos
 i 2 sin
i

S
i
6

z I  z A 

K

E

z

K

M

5

)28(‫حل التمرين‬
h A  C
z   2z A  z C  5  i
z C  z   2z A  z  






z A z B  zC
z



1

i
BC
I
EA

EB

EC

0
 
E
111
  
z  zC
zI  B
 2  2i
IB  IC  0
2
 1

   1  
MA  MB  MC  MB  MC
1  1  1 ME  1  1 MI
2
2
ME  MI
30

‫مجموعات النقط‬
2019 ‫ جانفي‬10 ‫ملتقى‬

 EI 

M

 

 
zI zA
1
1 i   2 
 i  e
zE zD
2
2

1 i  
z I  z A  e  2  z E  z D 
2



2

1
2

A

D

E

I

 

1 i  
z I  z A  e  2  z E  z D 
2

S

z K  z D  2e

z K  z D  2e

i
6

1  e
z K  z D e

2
3
D

i

e

z E  z D   e

D

z E  z D 

i   
 3
i  2 
 3 




z E  z D 
z E  z D 

E

K

)29(‫التمرين‬

 

C B A

O ;u ,v 

z D  zC

z C  3  2i 3
 1+z A 
 2 



D

i    
6 2

z K  z D  1e
i   
 3

z I  z A 

1 i  2 
 e
z E  z D 
2

z K  z D  1e
i

i
6

C B A

zB zA
2018

+ 

zA i 3

 z A 

2018

 1
2 
zC z A
z D z B
zC z B
z D z A



ABDC

z

M



arg  z 2  3  arg  z  i 3   k  ; k 

E 



arg  z  z A   k  ; k 



.........(1)

zH 2i 3

E 

H

(1)


)29(‫حل التمرين‬

31

‫مجموعات النقط‬
2019 ‫ جانفي‬10 ‫ملتقى‬

2018
2
 672 
3
3

 1+z A 
 2 



2018


   i
2


3 
2

 1 z A 
 2 



2018

2018

  1  z A 
 2 

 1+z A 
 2 



2018

e

e

2018

D

C A

 DC 

D

C B

2

2

2018

2

 1

zC z A
3
i
z D z A
3
  
AD , AC 


 2
  
BD
 , BC   2
D

BD

   i 3
2

 z A 
+ 

 2 

 DC 
DC
2 3
2
AC
AC  BD

i 2
3

   i 3

z D z B
3
 i
zC z B
3

 DC 

i 2018
3



 1+z A 
 2 



2018
2
 672 
3
3

2018

C B A

z D zC
3
2
AB  DC

  3;0 

z 

AB  DC

ABDC
)2017‫(ثكبلىريب ريبضي‬

 z  2  2i   z 2  2 2z  8  0
 



O ;u ,v

B A

C





z C  2 1  i 
C

)30(‫التمرين‬

zB zA

zA  2 i 6

zC

B A

zB zA


zA 


z
 C 


k

zA 

zB 

z  zC  k 

n

n

z


2

h r

h

O



M


2
3

C

r

O

h r


32

‫مجموعات النقط‬
2019 ‫ جانفي‬10 ‫ملتقى‬

S‫ل‬
z C  2 2e





‫ال ح لو‬

)30(‫حل التمرين‬



 2  2i ; 2  i 6; 2  i 6



i  

4 





; z B  2 2e

OA  OB  OC  2 2

3 

; z A  2 2e

1  2k  07

n


3

B A

C

n

i
zA 

e


 zC 

7n 
  k
12
2
k  7  3

i

z A  z B  zC  2 2



O

2 2



i  



6 1  2k 
7

7 n
12

n  12  6 ;   

)31(‫التمرين‬
P  z   z 3  1  2cos  z 2  1  2cos  z  1  0

z

(I


P  z    z  1  z 2  az  b 

b

P z   0
C B A

  0; 

P 1

a


 

O ;u ,v 
zC  z B

(II
z B   cos  i sin

z A 1

zC , z B





ABC
 z z


B
arg 



  z  z 2 
2
C




)31(‫حل التمرين‬

P  z    z  1  z 2  2  cos  z  1

z 2  2  cos  z  1
z 2   cos  i sin ; z 1   cos  i sin

z 1

P 1  0

(I

P z   0

   2i sin  

2

z B   cos  i sin   cos      i sin      e 

i   

33

‫مجموعات النقط‬
2019 ‫ جانفي‬10 ‫ملتقى‬

z C  z B  cos       i sin       e 

i   

AB  AC

 cos  1

2

 sin 2  

 cos  1

2

 sin 2 

2
2
z B  z A  zC  z B
 cos  1  sin 2    2sin 
2
2
 cos  1  sin 2    2sin 

9

AB  AC  BC

z B  z A  zC  z A
AB  BC )‫ب‬

2cos2   cos  1  0




3

cos 

34

1
2

  0; 

cos  1


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