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Mr Mamisoa

0346684105

Mr Mamisoa

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Série : 01

Série : 01

Exercice 1 : Probabilité

Exercice 1 : Probabilité

Une urne contient quatre boules blanches, trois boules vertes et deux boules rouges numérotées
de 1 à 9. On tire simultanément quatre boules de l’urne.

Une urne contient quatre boules blanches, trois boules vertes et deux boules rouges numérotées
de 1 à 9. On tire simultanément quatre boules de l’urne.

1234567-

Combien y a-t-il de tirages possibles ?
Combien y a-t-il de tirages contenant une seule boule blanche ?
Combien y a-t-il de tirages contenant une seule boule verte ?
Combien y a-t-il de tirages contenant une seule boule rouge ?
Combien y a-t-il de tirages contenant exactement trois boules vertes ?
Combien y a-t-il de tirages contenant exactement trois boules de la même couleur ?
Combien y a-t-il de tirages contenant au moins une boule rouge ?

Exercice 2 ; Nombres Complexes
12-

3-

Combien y a-t-il de tirages possibles ?
Combien y a-t-il de tirages contenant une seule boule blanche ?
Combien y a-t-il de tirages contenant une seule boule verte ?
Combien y a-t-il de tirages contenant une seule boule rouge ?
Combien y a-t-il de tirages contenant exactement trois boules vertes ?
Combien y a-t-il de tirages contenant exactement trois boules de la même couleur ?
Combien y a-t-il de tirages contenant au moins une boule rouge ?

Exercice 2 ; Nombres Complexes

Résoudre dans ℂ l’équation : 𝑧 2 − 2𝑧 + 2 = 0
Soit A le point d’affixe a et B le point d’affixe b tels que a et b soient les solutions de
l’équation ci-dessus (Im(a)>0).
Préciser la nature du triangle OAB.
Soit M le milieu du segment [OB]. Déterminer l’affixe du point N tel que OAMN soit un
parallélogramme.
Le quadrilatère OAMN est-il un losange ?

Exercice 3 : Problème
1-

891011121314-

45-

6-

Résoudre dans ℂ l’équation : 𝑧 2 − 2𝑧 + 2 = 0
Soit A le point d’affixe a et B le point d’affixe b tels que a et b soient les solutions de
l’équation ci-dessus (Im(a)>0).
Préciser la nature du triangle OAB.
Soit M le milieu du segment [OB]. Déterminer l’affixe du point N tel que OAMN soit un
parallélogramme.
Le quadrilatère OAMN est-il un losange ?

Exercice 3 : Problème

Démontrer que, pour tout nombre réel x, on a :

3-

Démontrer que, pour tout nombre réel x, on a :

𝑒 2𝑥
𝑒𝑥
= 𝑒𝑥 −
𝑥
1+𝑒
1 + 𝑒𝑥
Déduisez-en l’intégrale 𝐼
2-

1 𝑒 2𝑥
1+𝑒 𝑥

= ∫0

𝑒 2𝑥
𝑒𝑥
= 𝑒𝑥 −
𝑥
1+𝑒
1 + 𝑒𝑥

𝑑𝑥

Soit la fonction définie sur ℝ par :

Déduisez-en l’intégrale 𝐼
4-

1 𝑒 2𝑥
1+𝑒 𝑥

= ∫0

Soit la fonction définie sur ℝ par :

𝑓(𝑥) = ln(1 + 𝑒 𝑥 )

𝑓(𝑥) = ln(1 + 𝑒 𝑥 )

Calculer la dérivée 𝑓′ de la fonction 𝑓.

Calculer la dérivée 𝑓′ de la fonction 𝑓.

Déduisez-en, à l’aide d’une intégration par parties, la valeur exacte de l’intégrale

Déduisez-en, à l’aide d’une intégration par parties, la valeur exacte de l’intégrale

1

1

𝐽 = ∫0 𝑒 𝑥 ln(1 + 𝑒 𝑥 ) 𝑑𝑥

𝐽 = ∫0 𝑒 𝑥 ln(1 + 𝑒 𝑥 ) 𝑑𝑥

Exercice 4 : Bonus

Exercice 4 : Bonus

Soit l’équation : 4𝑥 3 + 𝑥 2 + 𝑥 − 3 = 0 (I)

Soit l’équation : 4𝑥 3 + 𝑥 2 + 𝑥 − 3 = 0 (I)

1-

𝑑𝑥

Montrer, en étudiant la fonction numérique 𝑓 définie sur ℝ par
𝑓(𝑥) = 4𝑥 3 + 𝑥 2 + 𝑥 − 3
Que l’équation (I) n’a qu’une solution réelle qui, de plus, appartient à l’intervalle ]0, 1[.

2-

Montrer, en étudiant la fonction numérique 𝑓 définie sur ℝ par
𝑓(𝑥) = 4𝑥 3 + 𝑥 2 + 𝑥 − 3
Que l’équation (I) n’a qu’une solution réelle qui, de plus, appartient à l’intervalle ]0, 1[.