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Auteur: M
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Mr Mamisoa
0346684105
Mr Mamisoa
0346684105
Série : 01
Série : 01
Exercice 1 : Probabilité
Exercice 1 : Probabilité
Une urne contient quatre boules blanches, trois boules vertes et deux boules rouges numérotées
de 1 à 9. On tire simultanément quatre boules de l’urne.
Une urne contient quatre boules blanches, trois boules vertes et deux boules rouges numérotées
de 1 à 9. On tire simultanément quatre boules de l’urne.
1234567-
Combien y a-t-il de tirages possibles ?
Combien y a-t-il de tirages contenant une seule boule blanche ?
Combien y a-t-il de tirages contenant une seule boule verte ?
Combien y a-t-il de tirages contenant une seule boule rouge ?
Combien y a-t-il de tirages contenant exactement trois boules vertes ?
Combien y a-t-il de tirages contenant exactement trois boules de la même couleur ?
Combien y a-t-il de tirages contenant au moins une boule rouge ?
Exercice 2 ; Nombres Complexes
12-
3-
Combien y a-t-il de tirages possibles ?
Combien y a-t-il de tirages contenant une seule boule blanche ?
Combien y a-t-il de tirages contenant une seule boule verte ?
Combien y a-t-il de tirages contenant une seule boule rouge ?
Combien y a-t-il de tirages contenant exactement trois boules vertes ?
Combien y a-t-il de tirages contenant exactement trois boules de la même couleur ?
Combien y a-t-il de tirages contenant au moins une boule rouge ?
Exercice 2 ; Nombres Complexes
Résoudre dans ℂ l’équation : 𝑧 2 − 2𝑧 + 2 = 0
Soit A le point d’affixe a et B le point d’affixe b tels que a et b soient les solutions de
l’équation ci-dessus (Im(a)>0).
Préciser la nature du triangle OAB.
Soit M le milieu du segment [OB]. Déterminer l’affixe du point N tel que OAMN soit un
parallélogramme.
Le quadrilatère OAMN est-il un losange ?
Exercice 3 : Problème
1-
891011121314-
45-
6-
Résoudre dans ℂ l’équation : 𝑧 2 − 2𝑧 + 2 = 0
Soit A le point d’affixe a et B le point d’affixe b tels que a et b soient les solutions de
l’équation ci-dessus (Im(a)>0).
Préciser la nature du triangle OAB.
Soit M le milieu du segment [OB]. Déterminer l’affixe du point N tel que OAMN soit un
parallélogramme.
Le quadrilatère OAMN est-il un losange ?
Exercice 3 : Problème
Démontrer que, pour tout nombre réel x, on a :
3-
Démontrer que, pour tout nombre réel x, on a :
𝑒 2𝑥
𝑒𝑥
= 𝑒𝑥 −
𝑥
1+𝑒
1 + 𝑒𝑥
Déduisez-en l’intégrale 𝐼
2-
1 𝑒 2𝑥
1+𝑒 𝑥
= ∫0
𝑒 2𝑥
𝑒𝑥
= 𝑒𝑥 −
𝑥
1+𝑒
1 + 𝑒𝑥
𝑑𝑥
Soit la fonction définie sur ℝ par :
Déduisez-en l’intégrale 𝐼
4-
1 𝑒 2𝑥
1+𝑒 𝑥
= ∫0
Soit la fonction définie sur ℝ par :
𝑓(𝑥) = ln(1 + 𝑒 𝑥 )
𝑓(𝑥) = ln(1 + 𝑒 𝑥 )
Calculer la dérivée 𝑓′ de la fonction 𝑓.
Calculer la dérivée 𝑓′ de la fonction 𝑓.
Déduisez-en, à l’aide d’une intégration par parties, la valeur exacte de l’intégrale
Déduisez-en, à l’aide d’une intégration par parties, la valeur exacte de l’intégrale
1
1
𝐽 = ∫0 𝑒 𝑥 ln(1 + 𝑒 𝑥 ) 𝑑𝑥
𝐽 = ∫0 𝑒 𝑥 ln(1 + 𝑒 𝑥 ) 𝑑𝑥
Exercice 4 : Bonus
Exercice 4 : Bonus
Soit l’équation : 4𝑥 3 + 𝑥 2 + 𝑥 − 3 = 0 (I)
Soit l’équation : 4𝑥 3 + 𝑥 2 + 𝑥 − 3 = 0 (I)
1-
𝑑𝑥
Montrer, en étudiant la fonction numérique 𝑓 définie sur ℝ par
𝑓(𝑥) = 4𝑥 3 + 𝑥 2 + 𝑥 − 3
Que l’équation (I) n’a qu’une solution réelle qui, de plus, appartient à l’intervalle ]0, 1[.
2-
Montrer, en étudiant la fonction numérique 𝑓 définie sur ℝ par
𝑓(𝑥) = 4𝑥 3 + 𝑥 2 + 𝑥 − 3
Que l’équation (I) n’a qu’une solution réelle qui, de plus, appartient à l’intervalle ]0, 1[.

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