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Robotique
Manipulation et commande
Université de Strasbourg
Telecom Physique Strasbourg, option ISAV
Master IRIV, parcours AR
Chapitre 1 – Rappels de mécanique

Plan du chapitre
—  Conventions
—  1. Positionnement

◦  1.1. Rotation
◦  1.2. Décompositions de la rotation
◦  1.3. Attitude
◦  1.4. Matrice homogène

—  2. Cinématique

◦  2.1.Vitesse d’un solide indéformable
◦  2.2.Vecteur vitesse de rotation
◦  2.3. Mouvement rigide
◦  2.4. Torseur cinématique
11/02/17

jacques.gangloff@unistra.fr

2

Conventions
Ri
P
i
P
v ou v
i
v

OP ou OP
i
(OP )
u⇥v
u·v
0
R01 ou R01
0
M01 ou M01

Rep`ere num´ero i
Point
Coordonn´ees de P dans le rep`ere i
Vecteur
Coordonn´ees de v dans le rep`ere i
Vecteur

Coordonn´ees de OP dans le rep`ere i
Produit vectoriel
Produit scalaire
Rotation du rep`ere 0 vers le rep`ere 1 exprim´ee dans 0⇤
Matrice homog`ene du rep`ere 0 vers le rep`ere 1 exprim´ee dans 0⇤



Si le nombre de rep`eres d´epasse 10, mettre un espace entre les 2 num´eros
comme dans M12 13 .

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3

1. Positionnement
1.1. Rotations : le cas 2D

—  Représentation

y1

y0
y1
sin θ

− sin θ

x1

cosθ

R1

de la rotation :

x1

θ
R0

x0
cosθ

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0

x1

⎛ cosθ
R01 = ⎜
⎝ sin θ
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0

y1

− sin θ ⎞
cosθ ⎟⎠
4

1. Positionnement
1.1. Rotations : le cas 2D

—  Propriétés
⎛ cosθ
R01 = ⎜
⎝ sin θ

− sin θ ⎞
2
2

det
R
=
cos
θ
+
sin
θ =1
{
}
01

cosθ ⎠

⎛ cosθ
⇒R =⎜
⎝ − sin θ
−1
01

:

sin θ ⎞
T
=
R
= R10
01

cosθ ⎠

—  Ce

type de matrice 2x2 appartient au
groupe spécial orthogonal d’ordre 2 noté
SO(2)
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1. Positionnement
1.1. Rotations : le cas 2D

—  Changement


y1 1 P ⎜
⎜⎝

de repère :

y
xP ⎞ 0

1
y P ⎟⎠
1

x1
1

yP

1

xP

θ


1
P⎜
⎜⎝

xP ⎞

1
y P ⎟⎠


0
P⎜
⎜⎝

x P = 1 x P cosθ − 1 y P sin θ ⎞

0
1
1
y P = x P sin θ + y P cosθ ⎟⎠

1

0

⇒ 0 P = R01 1 P
x0

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1. Positionnement
1.1. Rotations : le cas 2D

—  Opérateur

0

de rotation :

y0


v′


v

θ

 1
0
0
v ′ = v = R10 v = Rθ v

−θ

x0
y1

x1
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1. Positionnement
1.1. Rotations : le cas 2D

—  Composition

:

◦  Transformation de coordonnées :
1

P = R12 2 P

0

P = R01 1 P

R1

⇒ P = R01 R12 P = R02 P
0

2

2

R2

R0
P

◦  Opérateur de rotation :

 

v1 = Rθ v0 v2 = Rθ v1
1
2


⇒ v2 = Rθ Rθ v0
2


v2

1

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θ2
 θ1
v1

v0
R0
8

1. Positionnement

1.1. Rotations : généralisation à la 3D

—  Positionnement
R01 =

(

0

x1

0

y1

det { R01 } = 1

0

z1

:

y0

)

y1

x1

R0

−1
R01
= RT01 = R10

R01 ∈SO(3)

R1

x0
z1

z0

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1. Positionnement

1.1. Rotations : généralisation à la 3D

—  Changement
0

de repère :

y0

P = R01 1 P

y1
P

R0

—  Composition
1

P = R12 2 P

0

P = R01 P
1

:

x1

R1

x0
z1

z0

⇒ 0 P = R01 R12 2 P = R02 2 P
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1. Positionnement

1.1. Rotations : généralisation à la 3D

—  Opérateur

de rotation :

y0 y1
θ

◦  Ex : rotation de v autour de y :
cosθ
R( y ,θ )
0

0

⎛ cθ
= R10 = ⎜⎜ 0
⎝ −sθ

sin θ
0 sθ
1 0
0 cθ






z1

−θ


v
x0
R0

x1 R 1

z0

v ′ = R10 0 v = R( y ,θ ) 0 v
0

◦  Autres rotations élémentaires :
R( x ,θ )
0

⎛ 1 0
= ⎜ 0 cθ

⎝ 0 sθ

0
−sθ







R( z ,θ )
0

⎛ cθ
= ⎜ sθ

⎝ 0

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−sθ

0

0
0
1






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1. Positionnement

1.1. Rotations : généralisation à la 3D

—  Opérateur

général

de rotation : cas

◦  Rotation de v autour de h d’un
angle θ :
◦  Méthode :
–  Transformer v par une rotation
qui amène h sur x
z
–  Faire la rotation de θ autour de x
–  Faire la transformation inverse
pour ramener h à sa position
initiale

x

β
α


h

θ

v
y

R( h,θ ) = R( x,α ) R( y, β ) R( x,θ ) R( y,−β ) R( x,−α )
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1. Positionnement

1.1. Rotations : généralisation à la 3D

—  Avec

R( h,θ )

—  Et

:

:

⎡ h 2 v + cθ
x θ

= ⎢ hx hy vθ + hz sθ

⎢ hx hz vθ − hy sθ

vθ = 1− cθ

hx hy vθ − hz sθ
hy 2 vθ + cθ
hy hz vθ + hx sθ

h = ⎡⎢ hx


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hy

hz ⎤
⎥⎦

hx hz vθ + hy sθ ⎤

hy hz vθ − hx sθ ⎥

hz2 vθ + cθ ⎥

T

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1. Positionnement
1.1. Rotations : résumé

—  Propriétés

:

◦  Ortho-normalité :
–  La norme des vecteurs lignes et des vecteurs
colonne est égale à 1.
–  Les vecteurs ligne et les vecteurs colonne sont
orthogonaux deux à deux.

◦  L’inverse est égale à la transposée.
◦  Le déterminant est égal à 1.
◦  R02 = R01 R12 R( h ,θ )( h ,θ ) = R( h ,θ ) R( h ,θ )
◦  Pas commutatif : R01 R12 ≠ R12 R01
1

1

2

2

2

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2

1

1

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1. Positionnement

1.2. Représentations de la rotation : introduction
—  Soit

R, une matrice de
rotation :

◦  R comprend 9 termes
◦  Il y a 6 relations
indépendantes entre ces
termes :
rx ⋅ ry = 0 rx ⋅ rz = 0 ry ⋅ rz = 0

⎡ r r
r13
11
12

R = ⎢ r21 r22 r23

⎢⎣ r31 r32 r33
= ⎡⎢ rx ry rz






⎥⎦

⎥⎦

rx = ry = rz = 1

◦  Il n’y a donc que 3 termes
indépendants.
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1. Positionnement

1.2. Représentations de la rotation : angle/axe

—  Paramétrage

angle/axe :

–  Toute rotation peut être
représentée par un axe de
rotation défini par un vecteur
unitaire h autour duquel on
effectue une rotation θ.


h

θ

⎡ r −r
⎢ 32 23
⎛ r11 + r22 + r33 − 1⎞
1 ⎢ r13 − r31
θ = arccos ⎜
h=

2
2sin θ ⎢ r − r


⎢ 21 12


–  Le vecteur θh définit entièrement
la rotation.
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1. Positionnement

1.2. Représentations de la rotation : quaternions

—  La

rotation est parfois représentée par un
quaternion unitaire :
T

◦  Soit : θ h = θ ⎡ hx hy hz ⎤
⎢⎣
⎥⎦
◦  Le quaternion p équivalent est défini par :
p = ⎡ p0


θ
⎢ cos
2


p1

p2

θ
sin hx
2

T

p3 ⎤ =


θ
sin hy
2


θ
sin hz ⎥
2


T

◦  Avec : p = 1
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1. Positionnement

1.2. Représentations de la rotation : angle/axe, exercice

—  Trouver

le paramétrage angle/axe de la
rotation entre les repères R0 et R1 :
y0 y1
R0

z1
z0

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x0

45°
x1
R1

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1. Positionnement

1.2. Représentations de la rotation : roulis, tangage, lacet

—  Définition

:

◦  3 rotation successives
autour des axes x (roulis,
roll), y (tangage, pitch), et z
(lacet, yaw) de R0.
R01 = R( z ,θ ) R( y,θ ) R( x,θ
l

t

r)

◦  Il existe des définitions
alternatives des noms des
axes et/ou de la rotation
associée.
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z

θl
x

θr

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θt

y

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1. Positionnement

1.2. Représentations de la rotation : roulis, tangage, lacet

—  Matrice

de rotation :

⎡ cθ −sθ 0 ⎤ ⎡ cθ
0 sθ t ⎤ ⎡ 1 0
l
l
t

⎥⎢
⎥⎢
R01 = ⎢ sθ l cθ l 0 ⎥ ⎢ 0
1 0 ⎥ ⎢ 0 cθ r

⎥ ⎢ −sθ 0 cθ ⎥ ⎢ 0 sθ
0
1 ⎦⎣
t
t ⎦⎣
r
⎣ 0
⎡ cθ cθ −sθ cθ + cθ sθ sθ
sθ l sθ r + cθ l sθ t cθ r
l
t
l
r
l
t
r

= ⎢ sθ l cθ t cθ l cθ r + sθ l sθ t sθ r −cθ l sθ r + sθ l sθ t cθ r

cθ t sθ r
cθ t cθ r
⎢⎣ −sθ t

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0 ⎤

−sθ r ⎥
cθ r ⎥





⎥⎦

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1. Positionnement

1.2. Représentations de la rotation : roulis, tangage, lacet

—  Transformation

inverse :

◦  Trouver θr , θt , θl à partir
des rij de la matrice R01
◦  On définit θ t = arcsin(−r31 )
◦  D’où :

⎡ r r
⎢ 11 12
R01 = ⎢ r21 r22

⎢⎣ r31 r32

r13 ⎤

r23 ⎥

r33 ⎥



⎛ r21 r11 ⎞
⎪ θ l = arctan 2
; ⎟

⎝ cθ t cθ t ⎠

pour cosθ t ≠ 0

⎛ r32 r33 ⎞

⎪ θ r = arctan 2 ⎜⎝ cθ ; cθ ⎟⎠
t
t

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1. Positionnement

1.2. Représentations de la rotation : roulis, tangage, lacet
z
π
—  Cas singulier : θ t = ±
2
y′
◦  Roulis et lacet ont le même effet.
θr
◦  Gimbal lock en anglais.
y
θr
y ′′
x
y ′′′ θ l
⎧⎪r12 = sin(θ r − θ l ) r13 = cos(θ r − θ l ) x ′′
π
θt = ⇒ ⎨
2
⎪⎩r22 = cos(θ l − θ r ) r23 = sin(θ l − θ r )

On choisit θ l = 0 ⇒ θ r = arctan 2 ( r12 ,r22 )

θt = −

π
: θ l = 0 ⇒ θ r = − arctan 2 ( r12 ,r22 )
2
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1. Positionnement

1.2. Représentations de la rotation : angles d’Euler

—  Principe

:

◦  Faire trois rotations successives d’angle α, β, γ
autour des axes z, y et x du repère courant.
ya yb y0
y1

γ
α

xb x1
xa
x0

β
z0 z a

zb z 1
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1. Positionnement

1.2. Représentations de la rotation : angles d’Euler

—  Matrice

de rotation :

⎡ cα −sα 0 ⎤
R01 = R0a Rab Rb1 avec R0a = ⎢⎢ sα cα 0 ⎥⎥
⎢⎣ 0
0
1 ⎥⎦
⎡ c β 0 sβ ⎤
⎡ 1 0
0 ⎤




Rab = ⎢ 0
1 0 ⎥ Rb1 = ⎢ 0 cγ −sγ ⎥
⎢ −sβ 0 cβ ⎥
⎢ 0 sγ cγ ⎥





⎡ cα cβ

d'où : R01 = ⎢ sα cβ
⎢ −sβ


cα sβ sγ − sα cγ
sα sβ sγ + cα cγ
cβ sγ
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cα sβ cγ + sα sγ ⎤

sα sβ cγ − cα sγ ⎥

cβ cγ


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1. Positionnement

1.2. Représentations de la rotation : angles d’Euler

—  Transformation

⎡ r r
⎢ 11 12
R01 = ⎢ r21 r22

⎢⎣ r31 r32
π
pour β ≠ ±
2

inverse :

β = arcsin(−r31 )
⎛ r21
r11 ⎞
α = arctan 2 ⎜
;
⎝ cos β cos β ⎟⎠
⎛ r32
r33 ⎞
γ = arctan 2 ⎜
;
⎝ cos β cos β ⎟⎠











r13 ⎤

r23 ⎥

r33 ⎥


π
β = : α = 0 γ = arctan 2(r12 ,r22 )
2
π
β = − : α = 0 γ = − arctan 2(r12 ,r22 )
2
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1. Positionnement
1.3. Attitude : définition

—  L’attitude

du repère R1 par rapport au
repère R0 est définie par la translation
des

origines et par la rotation R01 : (O0O1 , R01 )
P
O1
O0

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1. Positionnement
1.3. Attitude : représentation

—  Une

attitude p (pose en anglais) est définie
de manière minimale par 6 paramètres : 3
pour la translation et 3 pour la rotation :





p=⎢




⎢⎣

Tx
Ty
Tz

α
β
γ











⎥⎦

3 coordonnées de translation

3 coordonnées de rotation :
Angles d’Euler, angle/axe, …

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1. Positionnement
1.3. Attitude : représentation

—  Une

attitude peut aussi être représentée
par une matrice homogène.
—  La matrice homogène est aussi :
–  Un opérateur de changement de repère
–  Un opérateur de transformation rigide


M 01 = ⎢

⎢⎣

R01
0 0 0

0


O
O
( 0 1) ⎥

1
⎥⎦

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Matrice homogène de
transformation entre le
repère R0 et le repère R1

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1. Positionnement

1.4. Matrices homogènes : changement de repère

—  On

a:

0

P=

0

1
O
O
+
R
( 0 1 ) 01 P

P
O1

—  D’où

:

O0

0

⎤ 1
⎡ P ⎤ ⎢
R01
O0O1 ) ⎥ ⎡ P ⎤ ⎫⎪
(

⎥=⎢

⎥⎬

1 ⎦ ⎪⎭
1
⎣ 1 ⎦ ⎢ 0 0 0

⎣⎥⎦
0

Coordonnées
homogènes

M 01

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1. Positionnement

1.4. Matrices homogènes : transformation rigide

—  La

matrice homogène est un opérateur
de transformation rigide
—  Un opérateur de transformation rigide
appliqué à tous les points d’un solide ne
déforme pas ce solide
—  La matrice homogène applique une
transformation équivalente à la
composition d’une translation et d’une
rotation
11/02/17

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30

1. Positionnement

1.4. Matrices homogènes : propriétés

—  Composition
M 02 = M 01 M12

—  Inverse

:

:
Opérateur de changement de repère de
coordonnées de points de R2 vers R0

⎡ RT
⎡ R T ⎤
−1
M=⎢
⎥⇒ M = ⎢
⎣ 0 1 ⎦
⎣ 0

—  Pas

− RT T ⎤

1


commutatif !

11/02/17

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31

1. Positionnement

1.4. Matrices homogènes : exercice
x1

—  Soit

le robot :

α =  ( y0 , y1 )
β =  ( y1 , x2 )

α
d

d = translation suivant z0

—  Avec

x0

z1

z0

β
y1
y0

y2
z2
x2

:

–  a1 la distance entre l’origine de R0 et celle de R1
–  a2 la longueur du premier bras
–  a3 la longueur du dernier bras
–  Les angles sont nuls lorsque le bras est horizontal
11/02/17

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32

1. Positionnement

1.4. Matrices homogènes : exercice

—  Déterminer

M01 , M12 puis M02

11/02/17

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33

2. Cinématique

2.1.Vitesse d’un solide : introduction

— 

Soient :

P

–  R1 un repère lié à un solide O1
en mouvement par rapport à
un repère R0
–  M01(t) la matrice homogène
de transformation entre R0 et
R1 en fonction du temps


⎢⎣

⎡ 1P
P(t) ⎤
⎥ = M 01 (t) ⎢
⎢⎣ 1
1 ⎥⎦
⎡ R (t) T (t)
01
M 01 (t) = ⎢ 01
1
⎢⎣ 0
0

R1


⎤ ⎡ 0 P(t)
⎡ 1P

⎥ = M 01 (t) ⎢
⎥⇒⎢
⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦
⎢⎣ 1
⎤ 0
 = R (t) 1 P + T (t)
⎥ ⇒ P(t)
01
01
⎥⎦ Vitesse de translation

R0



⎥⎦
(2.1)

de O1 dans R0
11/02/17

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2. Cinématique

2.1.Vitesse d’un solide : exemple

—  Soient

:

–  P un point d’un solide lié à
R1 en mouvement par
rapport à R0
–  Le mouvement est la
composition d’une
translation verticale de
vitesse v et d’une rotation
d’axe y0 et de vitesse ω .
Pour t=0 on a R1=R0 .

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y1

z1

R1
y0

ω

v
z0

⎡ 1 ⎤


1
P=⎢ 0 ⎥
x1 ⎢⎣ 0 ⎥⎦

R0

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x0

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2. Cinématique

2.1.Vitesse d’un solide : exemple

—  On

a:

⎡ c(ω t) 0 s(ω t) ⎤
⎡ 0 ⎤




R01 (t) = ⎢ 0
1
0 ⎥ T01 (t) = ⎢ vt ⎥
⎢ −sω t 0 cω t ⎥
⎢⎣ 0 ⎥⎦



—  D’où



0 
P(t) = ⎢




=⎢



:

ω c(ω t) ⎤ ⎡ 1
⎥⎢
0
0
0
⎥⎢ 0
−ω c(ω t) 0 −ω s(ω t) ⎥⎦ ⎢⎣ 0

⎤ ⎡ 0 ⎤
⎥+⎢

v
⎥ ⎢

⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦

−ω s(ω t) 0

⎡ 0
−ω s(ω t) ⎤
⎥ 0


v

P(0)
=

⎢ v
⎢⎣ −ω
−ω c(ω t) ⎥⎦
11/02/17




⎥⎦

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2. Cinématique

2.2.Vecteur vitesse de rotation : définition

—  C’est

un vecteur dont l’axe coïncide avec
l’axe de rotation, qui est dirigé suivant le
« principe du tire-bouchon » et dont la
norme est égale à la valeur de la vitesse
angulaire.
—  Note :
–  Dans l’exemple précédent, le vecteur vitesse de
rotation de R1 par rapport à R0 est dirigé suivant y0
et a pour norme ω.

11/02/17

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37

2. Cinématique

2.2.Vecteur vitesse de rotation : application

—  Application

:



ω
–  Trouver la vitesse du point
P lié au repère R1 qui
θ
tourne suivant un vecteur
O
P
v
vitesse de rotation Ω par
R1
R0
rapport à R0

–  On a : v = Ω ⋅ OP ⋅sinθ

Vitesse de P dans le
–  De plus : v ⊥ OP,Ω
mouvement de R1 par
rapport à R0 exprimé
–  Et le sens de v est celui de
dans R0
la règle des 3 doigts.

–  D’où : v = Ω × OP 0 v01P = 0 Ω × 0 (OP ) (2.2)

(

)

11/02/17

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2. Cinématique

2.3.Vecteur vitesse de rotation : matrice anti-symétrique

—  On

définit :

–  Les vecteurs : a = ⎡⎢ ax a y az ⎤⎥


–  La matrice AS(.) :
⎡ 0

AS(a) = ⎢ az

⎢ −a y


—  D’où

:

−az
0
ax

⎡ a v −a v
z y
⎢ y z
AS(a)v = ⎢ az vx − ax vz

⎢ ax v y − a y v x


T

v = ⎡⎢ vx


vy

vz ⎤
⎥⎦

T

ay ⎤

−ax ⎥

0 ⎥



⎥ = a × v ⇒ 0 v01P = AS( 0 Ω)R01 1 P (2.3)



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2. Cinématique
2.3. Mouvement rigide

—  Le

repère R1 se déplace par rapport à R0
en translation et en rotation : on parle de
mouvement rigide. Eq. (2.3) devient :
0

—  Si

O

v01P = AS( 0 Ω)R01 1 P + 0 v011

(2.4)
Vitesse de l’origine de R1

on compare (2.4) et (2.1) :
d
AS( Ω)R01 = R01
dt
0

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2. Cinématique

2.3. Mouvement rigide : exercice

—  Mouvement

de R1 par rapport à R0 :

–  R0 et R1 ont leur origine commune,
–  Les angles de roulis et tangage évoluent selon ωt
–  L’angle de lacet est constant et nul

—  Question

:

–  Déterminer les coordonnées du vecteur vitesse de
rotation de R1 par rapport à R0

—  On

a (définition de RTL) :

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2. Cinématique

2.3. Mouvement rigide : exercice

—  D’où
—  Et

:

:

—  De

plus :
—  D’où :

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2. Cinématique
2.4. Torseur cinématique

—  En

robotique, on a l’habitude de définir le
torseur cinématique de la manière
suivante :
⎡ 0 v O1
0
C 01 = ⎢ 0 01
⎢ Ω
01







Vecteur 6x1 des coordonnées de vitesse
linéaire et angulaire de R1 par rapport à
R0 exprimées dans R0

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2. Cinématique

2.5. Composition des vitesses

—  Soient

:

0

C 01 le torseur cinématique de R1 par rapport à R0

1

C12 le torseur cinématique de R2 par rapport à R1

—  Loi

de composition :

⎡ 0 v O2 + 0 v O2 = 0 v O2
0
C 02 = ⎢ 0 01 0 12 0 02
⎢ Ω + Ω = Ω
01
12
02







Vitesse de O2 dans le
mouvement de 1 par rapport
à 0 en figeant le mouvement
de 2 par rapport à 1.
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