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Nom original: AlgebreLineaire.pdf
Titre: Algèbre linéaire
Auteur: Mohamed HOUIMDI

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ALGEBRE LINEAIRE
UNIVERSITÉ CADI AYYAD
FACULTÉ DES SCIENCES-SEMLALIA
DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES

Polycopié de cours
Nombreux exercices et exemples avec solution

Professeur

Mohamed HOUIMDI
Version septembre 2018

Publications du
Département de Mathématiques

0.0

Espaces
vectoriels

Dualité

Algèbre
linéaire

Applications
linéaires

Réduction

Page ii sur 185

Pr.Mohamed HOUIMDI

Table des matières
1 Espaces vectoriels
1.1 Définitions et propriètés de base . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Espace vectoriel sur un corps quelconque . . . .
1.2.1 Conséquences de la définition . . . . . . . . . .
1.2.2 Exemples fondamentaux . . . . . . . . . . . . .
1.3 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Opérations sur les sous-espaces vectoriels . . . .
1.12.1 Sous-espaces supplémentaires . . . . . . . . . .
1.16 Espace vectoriel quotient . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.18 Partie génératrice – Partie libre – Base . . . . . . . . .
1.18.1 Combinaisons linéaires - Partie génératrice . . .
1.21.1 Partie libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.22.1 Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.26 Espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . .
1.26.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . .
1.27.1 Théorème de la dimension finie . . . . . . . . .
1.36.1 Théorème de la base incomplète . . . . . . . . .
1.38.1 Identités remarquables concernant la dimension
1.42 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2 Applications linéaires – Matrices
2.1 Applications linéaires – Isomorphisme d’epaces vectoriels . . . . . . .
2.1.1 Définition et propriètés de base . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Noyau et image d’une application linéaire . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Décomposition canonique - Théorème du rang . . . . . . . . .
2.11 Endomorphismes – Automorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.17 Exemples d’endomorphismes remarquables . . . . . . . . . . . . . . .
2.17.1 Projection sur un sous-espace vectoriel - Projecteurs . . . . . .
2.19.1 Symétrie par rapport à un sous-espace vectoriel - Symétries
vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.21.1 Affinités - Dilatations - Transvections . . . . . . . . . . . . . .
2.28 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.28.1 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.30.1 Matrices élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.32.1 Trace d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.37 Matrices et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.37.1 Matrice d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . .
2.39.1 Matrice de passage – Changement de base . . . . . . . . . . .
2.44 Rang d’une application linéaire - Rang d’une matrice . . . . . . . . .
2.44.1 Définition et propriètés de base . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.45.1 Quelques applications du theorème du rang . . . . . . . . . .
2.49.1 Rang et matrices équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.53 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.53.1 Noyau, image, isomorphisme, automorphisme, théorème du rang
iii

1
1
1
1
2
3
3
4
8
11
11
11
13
13
16
16
17
22
23
25
31
31
31
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42
42
43
44
46
46
48
49
51
51
53
55
55
57
60
62
62

0.0
2.53.2 Rang, décomposition d’une application linéaire . . . . . . . . . 66
2.53.3 Projecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.53.4 Matrices, applications linéaires de matrices . . . . . . . . . . . 69
3 Formes linéaires – Dualité
3.1 Formes linéaires et hyperplans . . . .
3.5 Espace vectoriel dual . . . . . . . . .
3.7 Base duale . . . . . . . . . . . . . . .
3.12 Base préduale . . . . . . . . . . . . .
3.15 Prolongement des formes linéaires . .
3.18 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . .
3.26 Bidual . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.29 Transposée d’une application linéaire
3.35 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . .

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4 Formes multilinéaires – Déterminants
4.1 Formes multilinéaires . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Définitions et propriètés de base . . . .
4.2.1 Formes multilinéaires alternées . . . .
4.6 Déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.1 Déterminant d’un système de vecteurs
4.9.1 Déterminant d’un endomorphisme . . .
4.12.1 Déterminant d’une matrice . . . . . . .
4.15.1 Développement d’un déterminant . . .
4.20.1 Inverse d’une matrice . . . . . . . . . .
4.21.1 Déterminant de Vandermonde . . . . .
4.23 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5 Réduction des endomorphismes
5.1 Polynômes et endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Notations et définitions . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Polynôme minimal . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . .
5.8.1 Théorème de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . .
5.13.1 Théorème de décomposition des noyaux . . . . . .
5.17 Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.17.1 Valeurs propres - Vecteurs propres . . . . . . . .
5.19.1 Sous-espaces propres . . . . . . . . . . . . . . . .
5.24.1 Endomorphismes diagonalisables . . . . . . . . .
5.29.1 Diagonalisation simultannée . . . . . . . . . . . .
5.33 Trigonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.37 Endomorphismes nilpotents . . . . . . . . . . . . . . . .
5.44 Jordanisation pour un endomorphisme nilpotent . . . . .
5.47 Décomposition de Dunford . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.50 Réduction de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.50.1 Base et matrice de Jordan . . . . . . . . . . . . .
5.52.1 Technique de jordanisation en petites dimensions
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74
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. 125
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Pr.Mohamed HOUIMDI

0.0
6 Applications de la réduction
6.1 Calcul de l’exponentielle d’une matrice . . . . . . . . . .
6.1.1 Norme d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Exponentielle d’une matrice . . . . . . . . . . . .
6.8 Systèmes et équations différentiels linéaires . . . . . . . .
6.8.1 Définition d’un système différentiel . . . . . . . .
6.9.1 Résolution pratique d’un système différentiel . . .
6.9.2 Solutions réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.10 Equations différentielles linéaires à coefficients constants
6.10.1 Equation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.13 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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. 170
. 172

Lemme de Zorn - Axiome du choix
184
.1 Elément maximum - Elément minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

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Pr.Mohamed HOUIMDI

0.0

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Pr.Mohamed HOUIMDI

1 Espaces vectoriels
1.1

Définitions et propriètés de base

1.1.1

Espace vectoriel sur un corps quelconque

Définition 1.2.
Soient (E, +) un groupe commutatif et (K, +, ×) un corps commutatif.
On dit que E est un K-espace vectoriel ou un espace vectoriel sur K, s’il
existe une application de K × E vers E, appelée loi externe sur E, qui à
(α, x) ∈ K × E fait correspondre α · x, vérifiant les axiomes suivants :
i) ∀x ∈ E, 1K · x = x.
ii) ∀α ∈ K, ∀β ∈ K, ∀x ∈ E, (α + β) · x = α · x + β · x.
iii) ∀α ∈ K, ∀β ∈ K, ∀x ∈ E, (αβ) · x = α · (β · x).
iv) ∀α ∈ K, ∀x ∈ E, ∀y ∈ E, α · (x + y) = α · x + α · y
Dans ce cas, les éléments de E sont appelés des vecteurs et se notent
x, y, z, . . ., tandis que les éléments de K sont appelés des scalaires et se
notent α, β, γ, λ, · · · .

1.2.1

Conséquences de la définition

Soit E un K-espace vectoriel, alors les propriètés de base suivantes sont vérifiées,
a) ∀x ∈ E, 0K · x = 0E .
b) ∀λ ∈ K, λ · 0E = 0E .
c) ∀λ ∈ K, ∀x ∈ E, λ · x = 0E ⇐⇒ λ = 0K ou x = 0E .
Preuve
a) D’après l’axiome ii) de la définition, nous avons
0K · x = (0K + 0K ) · x = 0K · x + 0K · x
donc 0K · x = 0E .
b) D’après l’axiome iv) de la définition, nous avons
λ · 0E = λ · (0E + 0E ) = λ · 0E + λ · 0E
donc λ · 0E = 0E .
c) (=⇒) Supposons que λ · x = 0E et λ 6= 0K et montrons que x = 0E .
Puisque λ · x = 0E , alors λ−1 · (λ · x) = λ · 0E = 0E , or d’après l’axiome
iii) de la définition, nous avons
λ−1 · (λ · x) = (λ−1 λ) · x = 1K · .x
donc d’après l’axiome i) de la définition, on a x = 0E .
(⇐=) Déjà vu.
1

1.2

1.2.2

Exemples fondamentaux

1. Soient (L, +, ×) un corps commutatif et K un sous-corps de L, alors L peutêtre considéré comme un K-espace vectoriel, pour la loi externe,
K × L −→ L
(λ, x) 7−→ λ · x = λ × x
Par exemple, L = C et K = R, L = R et K = Q ou L = C et K = Q.
En particulier, tout corps K peut-être considéré comme un espace vectoriel
sur lui-même.
2. Soit K un corps commutatif, alors pour tout entier n ≥ 1, K n est un K-espace
vectoriel pour la loi externe,
K × K n −→ K n
(λ, x) 7−→ λ · x = (λx1 , λx2 , . . . , λxn )
où x = (x1 , x2 , . . . , xn ).
3. Soit K un corps commutatif, on désigne par K N l’ensemble de toutes les suites
à coefficients dans K. Alors K N est un K-espace vectoriel pour la loi externe,
K × K N −→ K N
(λ, x) 7−→ λ · x = (λxn )n≥0
où x = (xn )n≥0 .
4. Soient K un corps commutatif, A un ensemble quelconque non vide et K A
l’ensemble de toutes les application de A vers K. Alors K A est un K-espace
vectoriel pour la loi externe,
K × K A −→ K A
(λ, f ) 7−→ λ · f
où λ · f est l’application de A vers K définie par,
∀a ∈ A, (λ · f )(a) = λf (a)
Rappelons aussi que si f et g sont deux éléments de K A , alors f + g est
l’application de A vers K, définie par,
∀a ∈ A, (f + g)(a) = f (a) + g(a)
5. Soient K un corps commutatif et K[X] l’anneau des polynômes à coefficients
dans K. Alors K[X] est un K-espace vectoriel pour la loi externe,
K × K[X] −→ K[X]
(λ, P ) 7−→ λ · P =

m
X

(λai )X i

i=1

où P =

m
X

ai X i .

i=1

6. Soient E1 , E2 , . . . , En des espaces vectoriels sur le même corps K. Alors le
produit cartésien E1 × E2 × · · · × En est un K-espace vectoriel pour la loi
externe définie par l’application de K ×E1 ×E2 ×· · ·×En −→ E1 ×E2 ×· · ·×En
qui à (λ, (x1 , x2 , . . . , xn )) ∈ K × E1 × E2 × · · · × En fait correspondre
λ · (x1 , x2 , . . . , xn ) = (λ · x1 , λ · x2 , . . . , λ · xn )
E1 × E2 × · · · × En s’appelle l’espace vectoriel produit des K-espaces vectoriels
E1 , E2 , . . . , En .
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Pr.Mohamed HOUIMDI

1.5
7. Soient E un K-espace vectoriel, A un ensemble non vide quelconque et E A
l’ensemble de toutes les applications de A vers E. Alors E A est un K-espace
vectoriel pour la loi externe,
K × E A −→ E A
(λ, f ) 7−→ λ · f
où λ · f est l’application de A vers E définie par,
∀a ∈ A, (λ · f )(a) = λ · f (a)
Rappelons aussi que si f et g sont deux applications de A vers E, alors f + g
est l’application de A vers E définie par,
∀a ∈ A, (f + g)(a) = f (a) + g(a)

1.3

Sous-espaces vectoriels

1.3.1

Définition et exemples

Définition 1.4.
Soient E un K-espace vectoriel et F une partie de E. On dit que F est un
sous-espace vectoriel de E, si
i) (F, +) est un sous-groupe de (E, +).
ii) ∀λ ∈ K, ∀x ∈ F, λ · x ∈ F .

Remarques 1.1
Si F est un sous-espace vectoriel de E, alors F est un espace vectoriel pour la loi
externe induite par celle de E :
K × F −→ F
(α, x) 7−→ α · x
Proposition 1.5.
Soient E un K-espace vectoriel et F une partie de E. Alors F est un sousespace vectoriel de E, si, et seulement si,
i) F 6= ∅.
ii) ∀x ∈ F, ∀y ∈ F, x + y ∈ F .
iii) ∀λ ∈ K, ∀x ∈ F, λ · x ∈ F .

Preuve
(=⇒) Trivial.
(⇐=) Supposons que F vérifie i), ii) et iii) et montrons que (F, +) est un sousgroupe de (E, +). Donc on doit vérifier que,
— F 6= ∅.
— ∀x ∈ F, ∀y ∈ F, x − y ∈ F .
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Pr.Mohamed HOUIMDI

1.6
Soient x ∈ F et y ∈ F , puisque, par hypothèse F 6= ∅, alors il suffit de voir
que x − y ∈ F .
D’après iii), (−1K )·y ∈ F avec (−1K )·y = −y, donc d’après ii), x+(−y) ∈ F .
Remarques 1.2
Soit K un corps commutatif. Pour montrer qu’un ensemble F est un K-espace vectoriel, il suffit, dans la plupart des cas, de montrer qe F est un sous-espace vectoriel
d’un K-espace vectoriel connu.
Exemples 1.1
1. Pour tout K-espace vectoriel E, les parties {0E } et E sont des sous-espaces
vectoriels de E.
2. Soit K un corps commutatif. Pour tout entier n ≥ 0, on désigne par Kn [X] la
partie de K[X] définie par,
Kn [X] = {P ∈ K[X] : deg(P ) ≤ n}
Alors Kn [X] est un K-espace vectoriel.
Il suffit de vérifier que Kn [X] est un sous-espace vectoriel de K[X].
i) Si on suppose que deg(0) = −∞, alors pour tout entier n ≥ 0, Kn [X]
contient le polynôme nul, par suite Kn [X] 6= ∅.
ii) On sait que pour tout P ∈ K[X] et pour tout Q ∈ K[X], on a
deg(P + Q) ≤ sup(deg(P ), deg(Q))
Donc si deg(P ) ≤ n et deg(Q) ≤ n, alors deg(P + Q) ≤ n et par suite,
on a
P + Q ∈ Kn [X].
iii) On sait, aussi, que pour tout λ ∈ K et pour tout P ∈ K[X],
deg(λP ) ≤ deg(P ) et si λ 6= 0 alors deg(λP ) = deg(P )
Donc si λ ∈ K et P ∈ Kn [X], alors λ · P ∈ Kn [X].
3. L’ensemble F des suites réelles qui tendent vers zéro à l’infini, est un R-espace
vectoriel,
F = {(xn )n≥0 ∈ RN : n→∞
lim xn = 0}
Il suffit de montrer que F est un sous-espace vectoriel de E = RN .
4. Soit I un intervalle de R, alors C(I, R), l’ensemle des fonctions continues de I
vers R, est un R-espace vectoriel. Il suffit de vérifier que C(I, R) est un sousespace vectoriel de RI , l’espace vectoriel de toutes les applications de I vers
R.

1.5.1

Opérations sur les sous-espaces vectoriels

Intersection
Proposition 1.6.
Soit E un K-espace vectoriel, alors l’intersection d’une famille quelconque
de sous-espaces vectoriels de E est un sous-espace vectoriel de E.

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1.8
Preuve
Soit (Fi )i∈I une famille de sous-espaces vectoriels de E, où I est un ensemble d’indice
T
quelcomque et non vide. La vérification que
Fi est un sous-espace vectoriel de E
i∈I

est laissée à titre d’exercice.
Rappelons que,
\
x∈
Fi ⇐⇒ ∀i ∈ I, x ∈ Fi
i∈I

Réunion
La réunion de deux sous-espaces vectoriels de E n’est pas toujours un sous-espace
vectoriel de E. Cependant on a la proposition suivante :
Proposition 1.7.
Soient E un K-espace vectoriel quelconque, F et G deux sous-espaces vectoriels de E. Alors F ∪ G est un sous-espace vectoriel de E, si et seulement
si, F ⊆ G ou G ⊆ F .

Preuve
(=⇒) Supposons que F ∪G est un sous-espace vectoriel de E et montrons que F ⊆ G
ou G ⊆ F . Pour cela, supposons, par absurde, que F * G et G * F .
F * G =⇒ ∃x : x ∈ F et x ∈
/G
F * G =⇒ ∃y : y ∈ G et y ∈
/F
F ∪ G étant un sous-espace vectoriel, donc x + y ∈ F ∪ G, par suite, on a
x + y ∈ F ou x + y ∈ G
Si x + y ∈ F , puisque y = (x + y) − x, alors y ∈ F , ce qui est absurde, car
y∈
/ F.
Si x + y ∈ G, puisque x = (x + y) − y, alors x ∈ G, ce qui est encore absurde,
car x ∈
/ G.
Donc notre supposition de départ est fausse, par suite, F ⊆ G ou G ⊆ F .
(⇐=) Trivial.
Remarques 1.3
La proposition précédente se généralise à un nombre fini de sous-espaces vectoriels
de E :
Proposition 1.8.
Soient E un K-espace vectoriel quelconque et n un entier ≥ 2. On suppose
que K est un corps de caractéristique ≥ n.
Soient F1 , F2 , . . . , Fn des sous-espaces vectoriels de E, alors F1 ∪ F2 · · · ∪ Fn
est un sous-espace vectoriel de E, si et seulement si,
∃i ∈ {1, 2, . . . , n} : ∀j ∈ {1, 2, . . . , n}, Fj ⊆ Fi

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1.10
Preuve
(⇐=) Trivial.
(=⇒) On procède par récurrence sur n ≥ 2.
Le cas n = 2 est déjà vu, car tout corps est de caractéristique ≥ 2.
Supposons, donc, que n > 2 et que la proposition est vérifiée pour tout entier
m < n.
Soient F1 , F2 , . . . , Fn des sous-espaces vectoriels de E, tel que F1 ∪ F2 · · · ∪ Fn
soit un sous-espace vectoriel de E.
Supposons, par absurde, que
n
[

∀i ∈ {1, 2, . . . , n},

Fj * Fi

j=1
j6=i

Donc, en particuler,

n−1
S
j=1

Fj * Fn . D’autre part, d’après l’hypothèse de récur-

rence, on peut supposer que Fn *
Soient x ∈ Fn et y ∈

n−1
S
j=1

n−1
S

Fj .

j=1

Fj , tels que x ∈
/

n−1
S

Fj et y ∈
/ Fn .

j=1

(x ∈ Fn et y ∈
/ Fn ) =⇒ ∀λ ∈ K, λx + y ∈
/ Fn
Or,

n
S

Fj est un sous-espace vectoriel de E, donc ∀λ ∈ K, λx + y ∈

n−1
S

Fj .

j=1

j=1

Remarquons que si λx + y ∈ Fj , pour un certain j ∈ {1, 2, . . . , n − 1}, alors
pour tout µ 6= λ, µx + y ∈
/ Fj , car sinon, on aura x ∈ Fj , ce qui est absurde.
K est de caractéristique ≥ n, donc l’ensemble {1K , 21K , . . . , (n − 1)1K } est
de cardinal = n − 1. Donc, d’après la remarque précédente, pour chaque j ∈
{1, 2, . . . , n − 1}, il existe un unique λj ∈ {1, 21K , . . . , (n − 1)1K }, tel que,
λj x + y ∈ Fj .
Or y ∈

n−1
S

Fj , donc il existe j ∈ {1, 2, . . . , n − 1}, tel que, y ∈ Fj , donc x ∈ Fj ,

i=1

car λj x + y ∈ Fj et λj 6= 0, ce qui est absurde, car x ∈
/ Fj .
Somme
Soient E un K-espace vectoriel, F1 , F2 , . . . , Fn des sous-espaces vectoriels de E, où
n ≥ 2. On définit la partie de E, notée F1 + F2 + · · · + Fn par :
x ∈ F1 +F2 +· · ·+Fn , si et seulement si, il existe (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ F1 ×F2 ×· · ·×Fn ,
tel que
x = x1 + x2 + · · · + xn

Proposition 1.9.
F1 + F2 + · · · + Fn est un sous-espace vectoriel de E, appelé sous-espace
vectoriel somme des sous-espaces vectoriels F1 , F2 , . . . , Fn .

Preuve
La vérification que F1 + F2 + · · · + Fn est un sous-espace vectoriel est laissée à titre
d’exercice.
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1.12
Somme directe
Définition 1.10.
Soient E un K-espace vectoriel et F1 , F2 , . . ., Fn des sous-espaces vectoriels
de E. On dit que la somme F1 + F2 + · · · + Fn est directe, si pour tout
x ∈ F1 +F2 +· · ·+Fn , il existe un unique (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ F1 ×F2 ×. . .×Fn ,
tel que x = x1 + x2 + · · · + xn .
Notations
Dans le cas où la somme F1 + F2 + · · · + Fn est directe, on la note,
F1 ⊕ F2 ⊕ · · · ⊕ Fn ou encore

n
M

Fi

i=1

Lemme 1.11.
La somme F1 + F2 + · · · + Fn est directe, si et seulement si, pour tout
(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ F1 × F2 × . . . × Fn , on a
x1 + x2 + · · · + xn = 0 =⇒ x1 = x2 = · · · = xn = 0
Preuve
(=⇒) Soit (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ F1 × F2 × . . . × Fn , tel que x1 + x2 + · · · + xn = 0,
a-t-on x1 = x2 = · · · = xn = 0 ?
Puisque la somme est directe et puisque on a aussi 0 = 0 + 0 + . . . + 0, alors
d’après l’unicité de la décomposition, on a x1 = x2 = · · · = xn = 0.
(⇐=) Soit x ∈ F1 +F2 +· · ·+Fn , tel que x = x1 +x2 +· · ·+xn et x = y1 +y2 +· · ·+yn ,
a-t-on x1 = y1 , x2 = y2 , . . ., xn = yn ?
x = x1 + x2 + · · · + xn et x = y1 + y2 + · · · + yn , donc on aura
(x1 − y1 ) + (x2 − y2 ) + · · · + (xn − yn ) = 0
par suite, si on pose z1 = x1 − y1 , z2 = x2 − y2 , . . . et zn = xn − yn , alors on
aura
(z1 , z2 , . . . , zn ) ∈ F1 ×F2 ×. . .×Fn et z1 +z2 +· · ·+zn = 0, donc, par hypothèse,
on a z1 = z2 = · · · = zn = 0.
Théorème 1.12.
La somme F1 + F2 + · · · + Fn est directe, si et seulement si,
∀i ∈ {1, 2, . . . , n − 1}, Fi ∩ (Fi+1 + · · · + Fn ) = {0}

Preuve
(=⇒) Supposons que la somme est directe et soit xi ∈ Fi ∩ (Fi+1 + · · · + Fn ), avec
i ∈ {1, 2, . . . , n − 1}. Montrons que xi = 0 ?
xi ∈ Fi+1 + · · · + Fn =⇒ ∃(xi+1 , . . . , xn ) ∈ Fi+1 × · · · × Fn : xi = xi+1 + · · · + xn
=⇒ xi + (−xi+1 ) + · · · + (−xn ) = 0
=⇒ xi = xi+1 = · · · = xn = 0 (d’après le lemme précédent)
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1.13
(⇐=) Supposons que ∀i ∈ {1, 2, . . . , n − 1}, Fi ∩ (Fi+1 + · · · + Fn ) = {0}.
Soit (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ F1 × F2 × . . . × Fn , tel que x1 + x2 + · · · + xn = 0,
a-t-on x1 = x2 = · · · = xn = 0 ? on a
x1 + x2 + · · · + xn = 0 =⇒ x1 = −(x2 + · · · + xn )
=⇒ x1 ∈ F1 ∩ (F2 + · · · + Fn )
=⇒ x1 = 0
D’où x2 + · · · + xn = 0, donc de la même manière on montre que x2 = 0 et
ainsi, par récurrence sur i ∈ {1, 2, . . . , n − 1}, on montre que
x1 = x2 = · · · = xn = 0
Remarques 1.4
Soit E un K-espace vectoriel quelconque, alors d’après le théorème précédent,
1. La somme de deux sous-espaces vectoriels F et G de E est directe, si et seumlement si,
F ∩ G = {0}
2. La somme de trois sous-espaces vectoriels F , G et H de E est directe, si et
seumlement si,
F ∩ (G + H) = {0} et G ∩ H = {0}

1.12.1

Sous-espaces supplémentaires

Définition 1.13.
Soient E un K-espace vectoriel, F et G deux sous-espaces vectoriels de
E. On dit que F et G sont supplémentaires dans E, si, Indexsous-espaces
supplémentaires
i) La somme F + G est directe.
ii) E = F ⊕ G.

Remarques 1.5

E = F ⊕ G ⇐⇒




E




⇐⇒

et
∀(x, y) ∈ F × G, x + y = 0 =⇒ x = y = 0




E




=F +G

=F +G

et
F ∩ G = {0}

Exemples 1.2
1. Soient E = RR le R-espace vectoriel de toutes les fonctions de R vers R, F
l’ensemble des fonctions f ∈ E qui sont paires et G l’ensemble des fonctions
f ∈ E qui sont impaires. Alors F et G sont deux sous-espaces supplémentaires
de E.
En effet, Il est clair que F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E, car la
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1.14
somme de deux fonctions paires (resp. impaires) est une fonction paire (resp.
impaire), ainsi que la multiplication d’une fonction paire (resp. impaire) est
une fonction paire (resp. impaire).
Si f ∈ F ∩ G, alors f est une fonction qui est à la fois paire et impaire, donc
f est nulle, par suite, F ∩ G = {0}.
Vérifions que E = F + G. Pour cela soit f ∈ E et soient g et h les fonctions
définies par,
∀x ∈ E, g(x) =

f (x) − f (−x)
f (x) + f (−x)
et h(x) =
2
2

Alors g et h sont respectivement paire et impaire et on a f = g + h.
2. Soient E = C m (R, R) le R-espace vectoriel des fonctions réelles de classe C m
sur R, F et G les parties de E définies par,
F = {f ∈ E : f (0) = f 0 (0) = · · · = f (m) (0) = 0} et G = Rm [x]
où Rm [x] est l’ensemble des fonctions polynômiales de degré ≤ m. Rappelons
que
f ∈ Rm [x] ⇐⇒ ∃(a0 , a1 , . . . , am ) ∈ Rm+1 tel que ∀x ∈ R, f (x) =

m
X

ai x i

i=0

Alors F et G sont deux sous-espaces supplémentaires de E.
En effet, soit f ∈ F ∩ G. Puisque f ∈ Rm [x], alors d’après la formule de
Taylor, on a
m
X
f k (0) k
x
∀x ∈ R, f (x) =
k!
k=0
et puisque f ∈ F , alors ∀k ∈ {0, 1, . . . , m}, f k (0) = 0, donc f est nulle, par
suite F ∩ G = {0}.
Soit maintenant f ∈ E. Cherchons (g, h) ∈ F × G, tel que f = g + h. Pour
cela, il suffit de considérer les fonction suivantes g et h définies par,
∀x ∈ R, h(x) =

m
X

f k (0) k
x et g(x) = f (x) − h(x)
k=0 k!

Alors g ∈ F , h ∈ G et on a f = g + h.
3. Soit E = Mn (K), où K est un corps commutatif, le K-espace vectoriel des
matrices carrées d’ordre n à coefficients dans K. On dit que A ∈ Mn (K) est
symétrique (resp. antisymétrique), si tA = A (resp. tA = −A). On désigne,
respectivement, par Sn (K) et An (K) l’ensemble des matrices symétriques et
celui des matrices antisymétriques et on pose F = Sn (K) et G = An (K). Alors
F et G sont deux sous-espaces supplémentaires de E.
En effet, il est clair que F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E et que si
A est une matrice qui est à la fois symétrique et antisymétrique, alors A = 0,
donc F ∩ G = {0}.
Pour vérifier que E = F + G, il suffit de ramarquer que si A ∈ E, alors les
matrices A1 et A2 définies par,
A1 =

A + tA
2

et A2 =

A − tA
2

sont, respectivement, symétrique et antisymétrique et on a A = A1 + A2 .
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1.17
Théorème 1.14.
Soit E un K-espace vectoriel quelconque. Alors tout sous-espace vectoriel
de E possède au moins un supplémentaire.

Preuve
Supposons d’abord que la dimension de E est finie.
Soit F un sous-espace vectoriel de E et soit M l’ensemble des sous-espaces vectoriels
G de E, tels que F ∩ G = {0}. Alors M =
6 ∅, car {0} ∈ M.
Posons M = {dim(G) : G ∈ M}, alors M est une partie de N, non vide et majorée
par dim(E), donc M possède un plus grand élément noté p. Puisque p ∈ M , alors il
existe au moins un G ∈ M, tel que dim(G) = p, donc, par définition F ∩ G = {0}.
Vérifions que E = F + G, pour cela, supposons, par absurde, que E 6= F + G, donc
il existe x ∈ E, tel que x ∈
/ F + G. Soit H = G + {λ · x : λ ∈ K}, alors H est un
sous-espace vectoriel de E et on a F ∩ H = {0}.
En effet, soit y ∈ F ∩H, alors il existe g ∈ G et il existe λ ∈ K, tels que y = g +λ·x.
Si λ = 0, alors y ∈ G et puisque F ∩ G = {0}, alors y = 0.
Si λ 6= 0, alors x = λ−1 · y − λ−1 · g, donc x ∈ F + G, ce qui est absurde, donc λ = 0
et ainsi y = 0.
Puisque F ∩ H = {0}, donc H ∈ M avec dim(H) > dim(G), absurde, car dim(G)
est maximal.
Si, maintenant, la dimension de E est infinie alors la démonstration précédente
ne marche plus. Donc, dans ce cas, on est obligé d’appliquer le fâmeux théorème de
Zorn :
Théorème 1.15 (de Zorn).
Si (E, ≤) est un ensemle ordonné et si E est inductif, alors E possède au
moins un élément maximal.
Preuve
Voir Annexe
Pour cela, on considère toujours l’ensemble M des sous-espaces vectoriels G de E,
tels que
F ∩ G = {0}, ordonné par inclusion. Alors M est inductif, en effet :
i) M =
6 ∅, car {0} ∈ M.
ii) Soit A une partie totalement ordonnée de M et soit H = G∈A G.
Comme A est totalement ordonnée par inclusion, alors H est un sous-espace
vectoriel de E et on a,
S

!

F ∩H =F ∩

[
G∈A

G =

[

(F ∩ G) = {0}

G∈A

Par suite H ∈ M et H est un majorant de A pour l’inclusion.
Ainsi (M, ⊆) est un ensemble inductif, donc d’après le lemme de Zorn, M
possède au moins un élément maximal, noté G.
Vérifions que E = F ⊕ G. Pour cela, on sait que G ∈ M, donc F ∩ G = {0}
et de la même manière que dans le cas précédent, on montre que F + G = E.
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1.20

1.16

Espace vectoriel quotient

Proposition 1.17.
Soient E un K-espace vectoriel, F un sous-espace vectoriel de E et E/F le
groupe quotient de E par F . Alors E/F est un K-espace vectoriel pour la
loi externe :
K × E/F −→ E/F
(λ, x) 7−→ λ · x = λ · x
appelé espace vectoriel quotient de E par F .

Preuve
Il suffit de vérifier les quatre axiomes de la définition d’un espace vectoriel :
i) ∀x ∈ E, 1 · x = 1 · x = x.
ii) ∀α ∈ K, ∀x ∈ E, ∀y ∈ E, on a
α · (x + y) = α · x + y = α · (x + y) = α · x + α · y = α · x + α · y = α · x + α · y
iii) ∀α ∈ K, ∀β ∈ K, ∀x ∈ E, on a
(α + β) · x = (α + β) · x = α · x + β · x = α · x + β · x = α · x + β · x
iv) ∀α ∈ K, ∀αβ ∈ K, ∀x ∈ E, on a
(α × β) · x = (α × β) · x = α · (β · x) = α · β · x = α · (β · x)

1.18

Partie génératrice – Partie libre – Base

1.18.1

Combinaisons linéaires - Partie génératrice

Définition 1.19.
Soient E un K-espace vectoriel et A une partie non vide de E. On dit
qu’un élément x de E est une combinaison linéaire d’éléments de A, s’il
existe x1 , x2 , . . . , xn éléments de A et il existe α1 , α2 , . . . , αn éléments de K,
tels que
x = α1 x1 + α2 x2 + · · · + αn xn =

n
X

α i xi

i=1

Proposition 1.20.
Soient E un K-espace vectoriel et A une partie non vide de E. Alors
l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires d’éléments A est un sousespace vectoriel de E, appelé sous-espace vectoriel engendré par A et se
note V ect(A).

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1.22
Preuve
Soient x ∈ V ect(A) et y ∈ V ect(A), alors par définition, on a
x=

n
X

αi xi et y =

i=1

m
X

βj y j

j=1

où ∀i ∈ {1, 2, . . . , n}, ∀j ∈ {1, 2, . . . , m}, αi ∈ K, xi ∈ A, βj ∈ K et yj ∈ A.
Pour chaque k ∈ {1, 2, . . . , n + m}, soient γk ∈ K et zk ∈ A définis par,

γk =


α

k

βk−n


x

si k ∈ {1, 2, . . . , n}
k
et zk =

si k ∈ {n + 1, . . . , n + m}
yk−n

si k ∈ {1, 2, . . . , n}
si k ∈ {n + 1, . . . , n + m}

Alors, on aura,
x+y =

n+m
X

γk zk

k=1

donc x + y est une combinaison linéaire d’éléments de A, par suite, x + y ∈ V ect(A).
De la même manière, on montre que si λ ∈ K et x ∈ V ect(A), alors λ·x ∈ V ect(A).
Remarques 1.6
1. On vérifie facilement que V ect(A) est le plus petit sous-espace vectoriel contenant A, c’est à dire, si F est un sous-espace vectoriel de E qui contient A,
alors F contient aussi V ect(A).
2. Puisque {0} est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant ∅, alors on
peut écrire V ect(∅) = {0}. C’est pour cela qu’on convient d’écrire,
X

α i xi = 0

i∈∅

Définition 1.21.
Soient E un K-espace vectoriel et A une partie de E. On dit que A est une
partie génératrice de E, si V ect(A) = E.

Exemples 1.3
1. ∅ est une partie génératrice de l’espace vectoriel nul {0}.
2. Pour tout K-rspace vectoriel E, E est une partie génératrice de E.
3. A = {e1 , e2 , . . . , en } est une partie génératrice de K n , où
e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0 . . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 0, 1)
4. A = {1, X, X 2 , . . . , X n , . . .} est une partie génératrice de K[X].
5. A = {1, X, X 2 , . . . , X n } est une partie génératrice de Kn [X].
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1.23

1.21.1

Partie libre

Définition 1.22.
Soient E un K-espace vectoriel et L une partie non vide de E.
i) Si L est finie, L = {x1 , x2 , . . . , xn }, on dit que L est libre, si pour tout
(α1 , α2 , . . . , αn ) ∈ K n , on a
α1 x1 + α2 · x2 + · · · + αn xn = 0 =⇒ α1 = α2 = · · · = αn = 0
ii) Si L est infinie, on dit que L est libre, si toute partie finie de L est libre.
iii) Une partie de E qui n’est pas libre est dite liée.

Exemples 1.4
1. Toute partie contenant le vecteur nul est liée.
2. Par convention, L = ∅ est une partie libre.
3. Pour tout x 6= 0, L = {x} est une partie libre.
4. L = {e1 , e2 , . . . , en }, où e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0 . . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 0, 1)
est une partie libre de K n .
5. L = {1, X, . . . , X n } est une partie libre de Kn [X].
6. L = {1, X, X 2 , . . . , X n , . . . . . .} est une partie libre de K[X].
7. L = {x(m) : m ∈ N}, où ∀m ∈ N, x(m) = (x(m)
n )n≥0 est la suite de K définie
par

1 si n = m
∀n ∈ N, x(m)
=
n
0 si n 6= m
Alors L est une partie libre de K N
8. Soit I un ensemble non vide quelconque, alors L = {fy : y ∈ K ∗ } est une
partie libre du K-espace vectoriel K I de toutes les applications de I vers K.
où ∀y ∈ K ∗ , ∀x ∈ K, fy (x) =

1.22.1


1
0

si x = y
si x =
6 y

Base

Définition 1.23.
Soient E un K-espace vectoriel et B une partie quelconque de E. On dit
que B forme une base de E, si B est à la fois une partie libre et génératrice.

Remarques 1.7
1. En fait, une base de E est une famille (xi )i∈I d’éléments de E, telle que,
i) ∀i ∈ I, ∀j ∈ I, i 6= j =⇒ xi 6= xj .
ii) B = {xi : i ∈ I} forme une partie libre de E.
2. Donc si une partie B forme une base de E, alors le “nombre” de bases qu’on
peut former à partir de B est égal au nombre de permutation qu’on peut faire
sur les éléments de B.
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1.25
3. Par exemple si B = {x1 , x2 , x3 } forme une base de E, alors (x1 , x2 , x3 ),
(x1 , x3 , x2 ), (x2 , x1 , x3 ), (x2 , x3 , x1 ), (x3 , x1 , x2 ) et (x3 , x2 , x1 ) sont six bases
différentes de E.
Exemples 1.5
1. Par convention, B = ∅ est une base de l’espace vectoriel nul {0}.
2. B = {e1 , e2 , . . . , en }, où e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0 . . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 0, 1)
forme une base de K n . Donc pour tout σ ∈ Sn , (eσ(1) , eσ(2) , . . . , eσ(n) ) est une
base de K n . (e1 , e2 , . . . , en ) s’appelle la base canonique de K n
3. B = {1, X, . . . , X n } forme une base de Kn [X].
(1, X, . . . , X n ) s’appelle la base canonique de Kn [X]
4. B = {1, X, X 2 , . . . , X n , . . .} forme une base de K[X].
Lemme 1.24.
Soient E un K-espace vectoriel, L une partie libre de E et x ∈ E, alors
x∈
/ V ect(L) ⇐⇒ L ∪ {x} est libre

Preuve
Par contraposée, il suffit de montrer que
x ∈ V ect(L) ⇐⇒ L ∪ {x} est liée
(=⇒) Trivial.
(⇐=) Supposons que L ∪ {x} est liée, donc par définition, il existe x1 , x2 , . . . , xn
éléments de L ∪ {x} et il existe α1 , α2 , . . . , αn éléments de K non tous nuls,
tels que,
n
X

αi xi = 0

i=1

Puisque L est libre, alors il existe i0 ∈ {1, 2, . . . , n}, tel que xi0 = x et pour la
même raison, puisque (α1 , α2 , . . . , αn ) 6= (0, 0, . . . , 0), on aura αi0 6= 0. Donc
x=−

1 X
α i xi
αi0 i=1
i6=i0

Par suite, x ∈ V ect(L).
Théorème 1.25 (Caractérisation d’une base).
Soient E un K-espace vectoriel et B une partie de E. Alors les propositions
suivantes sont équivalentes :
i) B forme une base de E.
ii) B est une partie génératrice minimal de E.
iii) B est une partie libre maximal de E.

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1.27
Preuve
i) =⇒ ii) Supposons que B forme une base de E. Soit G l’ensemble de toutes les
parties génératrices de E. On doit montrer que B est un élément minimal de
(G, ⊆).
Pour cela, soit A un élément de G, tel que A ⊆ B, a-t-on A = B ?
Supposons, par absurde, que A 6= B, donc il existe x ∈ E, tel que x ∈ B et
x∈
/ A.
A est une partie génératrice de E, donc il existe x1 , x2 , . . . , xn éléments de A
et il existe α1 , α2 , . . . , αn éléments de K, tels que
x=

n
X

αi xi

i=1

Donc {x, x1 , x2 , . . . , xn } est liée avec {x, x1 , x2 , . . . , xn } ⊆ B, donc B est liée,
ce qui est absurde, car B est libre. Ainsi B est un élément minimal de (G, ⊆).
ii) =⇒ iii) Supposons que B est une partie génératrice minimal de E. Soit L l’ensemble de toutes les parties libres de E. On doit montrer que B est un élément
maximal de (L, ⊆).
Pour cela, montrons d’abord que B est libre. Supposons, par absurde, que B
n’est pas libre, donc il existe x1 , x2 , . . . , xn éléments de B et il existe α1 , α2 , . . . , αn
non tous nuls, tels que
n
X

αi xi = 0

i=1

(α1 , α2 , . . . , αn ) 6= (0, 0, . . . , 0) =⇒ ∃i0 ∈ {1, 2, . . . , n} : αi0 6= 0
1 X
α i xi
=⇒ xi0 = −
αi0 i=0
i6=ii

0

=⇒ B \ {xi0 } est une partie génératrice de E
Ce qui est absurde, car B \ {xi0 } * B et B génératrice minimal. Donc B est
libre.
Montrons maintenant que B est un élément maximal de L. Pour cela, soit L
un élément de L, tel que B ⊆ L, a-t-on B = L ?
Supposons, par absurde, que B 6= L, donc il existe x ∈ E, tel que x ∈ L et
x ∈
/ B. Or x ∈ V ect(B), car B est une partie génératrice, donc, d’après le
lemme précédent, B ∪ {x} est liée. Puisque B ∪ {x} ⊆ L, alors L est liée, ce
qui est absurde, car L est libre.
iii) =⇒ i) Supposons que B est libre maximale et montrons que B forme une base
de E. Pour cela, il suffit de montrer que V ect(B) = E.
Supposons que, par absurde, que V ect(B) 6= E, soit x ∈ E, tel que
x∈
/ V ect(B), donc d’après le lemme précédent, on a
[x ∈
/ V ect(B) et B libre ] =⇒ B ∪ {x} libre
Ce qui est absurde, car B * B ∪ {x} et B libre maximale.
Remarques 1.8
Le théorème précédent nous permet, en utisant le lemme de Zorn (voir annexe), de
montrer que tout espace vectoriel admet au moins une base.
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1.28

1.26

Espaces vectoriels de dimension finie

1.26.1

Définition et exemples

Définition 1.27.
Soit E un K-espace vectoriel. On dit que E est de dimension finie sur K,
si E possède au moins une partie génératrice finie. Dans le cas contraire, on
dit que E est de dimension infinie.

Exemples 1.6
1. Soit K un corps commutatif, alors pour tout entier n ≥ 1, K n est de dimension
finie sur K.
En effet, soit A = {e1 , e2 , . . . , en }, où e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0 . . . , 0),
. . ., en = (0, . . . , 0, 1), alors A est une partie génératrice finie de K n .
2. Pour tout corps commutatif K et pour tout entier n ≥ 1, Kn [X] est de dimension finie sur K.
Kn [X] = {P ∈ K[X] : deg(P ) ≤ n}
{1, X, X 2 , . . . , X n } est une partie génératrice finie de Kn [X].
3. Si E est de dimension finie sur K, alors tout sous-espace vectoriel de E est
aussi de dimension finie sur K. (Voir Corollaire 1.30)
4. Si E est de dimension finie sur K et si F est un sous-espace vectoriel de E,
alors l’espace vectoriel quotient E/F est aussi de dimension finie sur K.
En effet, soit {x1 , x2 , . . . , xm } une partie génératrice finie de E, alors il est
facile de voir que {x1 , x2 , . . . , xm } est une partie génératrice de E/F .
5. Soient E un K-espace vectoriel et F un sous-espace vectoriel de E. Si E/F
et F sont de dimension finie sur K, alors E est aussi de dimension finie sur K.
En effet, soient {x1 , x2 , . . . , xm } une partie génératrice de E/F et {y1 , y2 , . . . , yn }
une partie génératrice de F . Soit x ∈ E, alors il existe α1 , α2 , . . . , αm éléments
de K, tels que
x=

n
X

α i xi

i=1

Donc x −

n
P

αi xi = 0, par suite, x −

i=1

n
P

αi xi ∈ F , donc il existe β1 , β2 , . . . , βn

i=1

éléments de K, tels que
x−

n
X

αi xi =

i=1

n
X

βj y j

j=1

Ainsi on aura
x=

n
X
i=1

α i xi +

n
X

βj yj

j=1

On conclue que {x1 , x2 , . . . , xm , y1 , y2 , . . . , yn } est une partie génératrice de E.
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1.28

1.27.1

Théorème de la dimension finie

Lemme 1.28.
Soient E un K-espace vectoriel, A et B deux parties de E et n un entier
≥ 0, tels que
i) Cardinal(A) = n et Cardinal(B) = n + 1.
ii) Tout élément de B est combinaison linéaire d’éléments de A, (c’est à
dire, B ⊆ V ect(A)).
Alors B est liée.

Preuve
On procède par récurrence sur n ≥ 0.
Pour n = 0, on a A = ∅ et B = {y}, donc V ect(A) = {0} et puisque B ⊆ V ect(A),
alors y = 0, par suite, B est liée.
Pour n = 1, on a A = {x1 } et B = {y1 , y2 } avec y1 = αx1 et y2 = βx1 , car
B ⊆ V ect(A). On constate que (α, β) 6= (0, 0), car sinon, on aura y1 = y2 = 0, ce
qui est absurde, car, Cardinal(B) = 2.
y1 = αx1 et y2 = βx1 =⇒ βy1 − αy2 = 0
=⇒ {y1 , y2 } est lié (car (α, β) 6= (0, 0))
=⇒ B est liée
H.R : “Supposons que n ≥ 1 et que le lemme est vrai pour tout entier m < n”.
Posons A = {x1 , x2 , . . . , xn } et B = {y1 , y2 , . . . , yn , yn+1 }. Alors, par hypothèse, on
a
∀i ∈ {1, 2, . . . , n, n + 1}, yi =

n
X

αij xj

i=1

Si ∀i ∈ {1, 2, . . . , n, n + 1}, αin = 0, alors
{y1 , y2 , . . . , yn } ⊆ V ect({x1 , x2 , . . . , xn−1 }
Donc, d’après l’hypothèse de récurrence, {y1 , y2 , . . . , yn } est liée, par suite, B est
liée.
Si, maintenant, il existe i0 ∈ {1, 2, . . . , n, n + 1}, tel que αi0 n 6= 0, alors quitte à
réordonner les éléments de B, on peut supposer que αn+1,n 6= 0, donc on aura
yn+1 =

n
X
j=1

αn+1,j xj =⇒ xn =



1
αn+1,n

yn+1



n−1
X



αn+1,j xj 

j=1



n−1
X



n−1
X
αin 
=⇒ ∀i ∈ {1, 2, . . . , n}, yi =
αij xj +
yn+1 −
αn+1,j xj 
α
n+1,n
j=1
j=1

=⇒ ∀i ∈ {1, 2, . . . , n}, yi −

Pour chaque i ∈ {1, 2, . . . , n}, posons zi = yi −

αin
αn+1,n

yn+1 =

n−1
X
j=1

αij −

αin
αn+1,n

!

αn+1,j xj

αin

yn+1
αn+1,n
Donc tout élément de {z1 , z2 , . . . , zn } est combinaison linéaire d’éléments de {x1 , x2 , . . . , xn−1 }.
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1.30
Donc, d’après l’hypothèse de récurrence, {z1 , z2 , . . . , zn } est liée, par suite, il existe
γ1 , γ2 , . . . , γn éléments de K avec (γ1 , γ2 , . . . , γn ) 6= (0, 0, . . . , 0), tels que
n
X

γi zi = 0

i=1

Donc, on aura
n
X

γi yi −

i=1

!

αin
αn+1,n

yn+1 = 0

Pour chaque i ∈ {1, 2, . . . , n}, posons
λi = γi et λn+1 = −

1

n
X

αn+1,n

i=1

γi αin

Alors (λ1 , λ2 , . . . , λn , λn+1 ) 6= (0, 0, . . . , 0) et on a
n+1
X

λi y i = 0

i=1

Donc B = {y1 , y2 , . . . , yn , yn+1 } est liée.
Corollaire 1.29.
Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et A une partie génératrice finie de E. Alors pour toute partie libre L de E, on a
Cardinal(L) ≤ Cardinal(A)

Preuve
Posons A = {x1 , x2 , . . . , xn }, puis supposons, par absurde, que L est une partie libre
de E, telle que Cardinal(L) > Cardinal(A).
Soient y1 , y2 , . . . , yn , yn+1 (n + 1 éléments de L deux à deux distints.
Puisque E = V ect(A), alors on a
{y1 , y2 , . . . , yn , yn+1 } ⊆ V ect(A)
Donc, d’après le lemme précédent, {y1 , y2 , . . . , yn , yn+1 } est liée, par suite, L est liée,
ce qui est absurde, car L est libre.
Corollaire 1.30.
Soit E un K-espace vectoriel. Alors E est de dimension infinie, si et seulement si, E possède au moins une partie libre infinie.
Preuve
(=⇒) Supposons que E est de dimension infinie. Soit x1 ∈ E avec x1 6= 0, puisque
E est de dimension infinie, alors V ect(x1 ) 6= E.
Soit x2 ∈ E avec x2 ∈
/ V ect(x1 ), donc {x1 , x2 } est libre. Puisque E est de
dimension infinie, alors V ect({x1 , x2 }) 6= E.
Soit x3 ∈ E avec x3 ∈
/ V ect({x1 , x2 }), donc {x1 , x2 , x3 } est libre. Ainsi, par
récurrence, on construit une suite (xn )n≥1 d’éléments de E, tels que
∀n ≥ 1, {x1 , x2 , . . . , xn } est libre
Donc L = {x1 , x2 , . . . , xn , . . .} est une partie libre infinie de E.
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1.32
(⇐=) Supposons que E possède une partie libre infinie L et supposons, par absurde,
que E est de dimension finie. Soit A une partie génératrice finie de E, alors
d’après le lemme précédent, Cardinal(L) ≤ Cardinal(A), ce qui est absurde.
Exemples 1.7
1. Pour tout corps commutatif K, K[X] est un K-espace vectoriel de dimension
infinie, car L = {1, X, X 2 , . . . , X n , . . .} est une partie libre infinie de K[X].
2. RN le R-espace vectoriel de toutes les suites réelles est de dimension infinie,
car
L = {x(m) : m ∈ N}
est une partie libre infinie de RN , où pour tout entier m ≥ 0, x(m) = (x(m)
n )n≥0
est la suite de R définie par

1

si n = m
=
∀n ∈ N, x(m)
n
0 si n =
6 m
3. Si E possède un sous-espace vectoriel de dimension infinie, alors E est de
dimension infinie. Par suite, si E est de dimension finie, alors tout sous-espace
vectoriel de E est de dimension finie.
4. RN est un sous-espace vectoriel de RR , donc RR , l’espace vectoriel de toutes
les applications de R vers R, est de dimension infinie.
5. Un élément α ∈ R est dit algèbrique, s’il existe un polynôme non nul
P ∈ Q[X], tel que P (α) = 0. Si α n’est pas algèbrique, on dit que α est
transcendant. Il est facile de montrer, en utilisant le fait que Q est dénombrable, que l’ensemble des nombres algèbriques est une partie dénombrable de
R. Puisque R est non dénombrable, alors l’ensemble des nombres transcendants n’est pas vide et possède le même cardinal que R. Soit α ∈ R un nombre
transcendant, alors par définition,
L = {1, α, α2 , . . . , αn , . . .}
est une partie libre infinie de R considéré comme espace vectoriel sur Q.
Donc R est un Q-espace vectoriel de dimension infinie.
Remarques 1.9
L’ensemble des nombres transcendants est infini non dénombrable, cependant on
ne connaît que peu de nombres transcendants. Par exemple π et e sont des nombres
transcendants et si α est un nombre algébrique, alors d’après le théorème de HermiteLindemann, eα est un nombre transcendant.
Corollaire 1.31.
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, alors tout sous-espace
vectoriel de E est aussi de dimension finie.

Preuve
Puisque E est de dimension finie, alors d’après le corollaire 1.6.1, toute partie libre
de E est finie. Par suite, si F est un sous-espace vectoriel de E, alors toute partie
libre de F est finie, donc, d’après le corollaire précédent, F est de dimension finie.
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1.35
Corollaire 1.32.
Tout espace vectoriel de dimension finie possède au moins une base.

Preuve
Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et A une partie génératrice finie
de E.
Si E = {0}, alors, par convention, B = ∅ est une base de E, donc dans la suite on
peut supposer que E 6= {0}
D’après le théorème de caractérisation d’une base, il suffit de montrer que E possède
au moins une partie libre maximale. Pour cela, soit L l’ensemble de toutes les parties
libres de E, alors L =
6 ∅, car
∀x ∈ E, x 6= 0 =⇒ {x} ∈ L
Soit Λ = {Cardinal(L) : L ∈ L}, alors
i) Λ 6= ∅, car 1 ∈ Λ.
ii) Λ est majorée, car ∀L ∈ L, Cardinal(L) ≤ Cardinal(A).
Ainsi, Λ est une partie de N non vide et majorée, donc Λ possède un plus grand
élément noté m.
m ∈ Λ, donc il existe B ∈ L, tel que Cardinal(B) = m. Puisque pour toute partie
libre L de E, on a
Cardinal(L) ≤ Cardinal(B)
alors B est une partie libre maximale de E, donc B forme une base de E.
Théorème 1.33 (Théorème de la dimension finie).
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, alors
i) Toute base de E est de cardinal fini.
ii) Toutes les bases de E ont même cardinal.

Preuve
i) Soit A une partie génératrice finie de E et soit B une base quelconque de E.
Puisque B est libre, alors Cardinal(B) ≤ Cardinal(A), puisque A est finie
alors B est finie.
ii) Soient B1 et B2 deux bases de E. Puisque B1 est génératrice et B2 libre, alors
Cardinal(B2 ) ≤ Cardinal(B1 )
De la même manière on voit que Cardinal(B1 ) ≤ Cardinal(B2 ).
Donc Cardinal(B1 ) = Cardinal(B2 ).
Définition 1.34.
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. Le cardinal commun à
toutes les bases de E, s’appelle la dimension de E sur K et se note dimK (E)
ou tout simplement dim(E) s’il n’y a pas d’ambiguité.

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1.37
Remarques 1.10
La dimension d’un K-espace vectoriel dépend du corps K. Par exemple on a
dimC (C) = 1, dimR (C) = 2 et dimQ (C) = ∞

Corollaire 1.35.
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie = n, alors
i) Toute partie libre de E est de cardinal ≤ n.
L libre =⇒ Cardinal(L) ≤ n
ii) Toute partie génératrice de E est de cardinal ≥ n.
A gńératrice =⇒ Cardinal(A) ≥ n

Preuve
Soit B une base de E, puisque dim(E) = n, alors Cardinal(B) = n.
i) Soit L une partie libre de E, puisque B est une partie génératrice, alors
Cardinal(L) ≤ Cardinal(B)
ii) Soit A une partie génératrice de E, puisque B est une partie libre de E, alors
Cardinal(B) ≤ Cardinal(A)
Corollaire 1.36.
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie = n, alors
i) Toute partie libre de cardinal = n est une base de E.
[(L libre) et (Cardinal(L) = n)] =⇒ L base de E
ii) Toute partie génératrice de cardinal = n est une base de E.
[(A génératrice) et (Cardinal(A) = n)] =⇒ A base de E

Preuve
i) Si L est une partie libre de cardinal = n, alors il est facile de voir que L est une
partie libre maximale.
ii) Si A est une partie génératrice de cardinal = n, alors il est facile de voir que A
est une partie génératrice minimale.
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1.39

1.36.1

Théorème de la base incomplète

Théorème 1.37.
Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, A une partie génératrice
quelconque de E et L une partie libre de E, telle que L ⊆ A. Alors il existe
une base B de E, telle que
L⊆B⊆A

Preuve
On considère l’ensemble A de toutes les parties libres G de E, telles que L ⊆ G ⊆ A.
Or pour tout G ∈ A, on a Cardinal(G) ≤ dim(E), donc A possède au moins un
élément B dont le cardinal est maximal.
Supposons, par absurde, que V ect(B) 6= E, donc A * V ect(B), car E est le plus
petit sous-espace vectoriel contenant A. Soit x ∈ A, tel que x ∈
/ V ect(B), alors on a
[x ∈
/ V ect(B) et B libre] =⇒ B ∪ {x} libre
avec B ∪ {x} ∈ A et B
B ∪ {x}, ce qui est absurde, car le cardinal de B est
maximal.
Donc V ect(B) = E et par suite, B est une base de E vérifiant L ⊆ B ⊆ A.

Corollaire 1.38.
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie ≥ 1. Alors
i) Toute partie libre de E peut-être complétée en une base de E.
ii) De toute partie génératrice de E on peut extraire une base de E.

Preuve
i) Soit L une partie libre de E. Puisque E est une partie génératrice de E qui
contient L, alors d’après le théorème précédent, il existe une base B de E,
telle que,
L⊆B⊆E
ii) Soit A une partie génératrice de E et soit x ∈ A avec x 6= 0. Alors L = {x} est
une partie libre de E, telle que L ⊆ A, donc d’après le théorème précédent, il
existe une base B de E, telle que,
L⊆B⊆A
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1.39

1.38.1

Identités remarquables concernant la dimension

Proposition 1.39.
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. Alors
i) Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E, alors on a
E = F ⊕ G =⇒ dim(E) = dim(F ) + dim(G)
ii) Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E, alors on a
dim(F + G) = dim(F ) + dim(G) − dim(F ∩ G)
iii) Si F est un sous-espace vectoriel de E, alors on a
dim(E/F ) = dim(E) − dim(F )

Preuve
i) Soient B1 une base de F et B2 une base de G, alors on a
B1 ∩ B2 = ∅, car F ∩ G = {0}.
B = B1 ∪ B2 est une base de E, car F ∩ G = {0} et F + G = E.
Donc on a
dim(E) = Cardinal(B) = Cardinal(B1 ) + Cardinal(B2 ) = dim(F ) + dim(G)
ii) Soit H un supplémentaire de F ∩ G dans F , alors, d’après ce qui précède, on a
dim(F ) = dim(H) + dim(F ∩ G)
Or, on voit facilement que F + G = H ⊕ G, donc on aura,
dim(F +G) = dim(H⊕G) = dim(H)+dim(G) = dim(F )−dim(F ∩G)+dim(G)
iii) Soit G un supplémentaire de F dans E, alors on a
dim(G) = dim(E) − dim(F )
Soit {x1 , x2 , . . . , xm } une base de G.
Nous allons vérifier que {x1 , x2 , . . . , xm } est une base de E/F .
Soit x ∈ E, alors on a x = y + z avec y ∈ F et z ∈ G, donc x = z, car y = 0.
z ∈ G, donc il existe α1 , α2 , . . . , αm éléments de K, tels que z = α1 x1 +
α2 x2 + · · · + αm xm . Donc on aura
x = z = α1 x1 + α2 x2 + · · · + αm xm = α1 x1 + α2 x2 + · · · + αm xm
Par suite, {x1 , x2 , . . . , xm } est une partie génératrice de E/F .
Soit α1 , α2 , . . . , αm éléments de K, tels que α1 x1 + α2 x2 + · · · + αm xm = 0.
a-t-on α1 = α2 = · · · = αm = 0 ?
α1 x1 + α2 x2 + · · · + αm xm = 0 =⇒ α1 x1 + α2 x2 + · · · + αm xm = 0
=⇒ α1 x1 + α2 x2 + · · · + αm xm ∈ F
=⇒ α1 x1 + α2 x2 + · · · + αm xm = 0 car F ∩ G = {0}
=⇒ α1 = α2 = · · · = αm = 0
car {x1 , x2 , . . . , xm } est libre
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1.41
Ainsi B = {x1 , x2 , . . . , xm } est une base de E/F et on a
dim(E/F ) = Cardinal(B) = dim(G) = dim(E) − dim(F )
Corollaire 1.40.
Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, F et G deux sous-espaces
vectoriels de E. Alors

E = F ⊕ G ⇐⇒




F




∩ G = {0}

et
dim(F ) + dim(G) = dim(E)

Preuve
(=⇒) D’après la proposition précédente.
(⇐=) Puisque F ∩ G = {0}, alors d’après la proposition précédente, on aura
dim(F + G) = dim(F ) + dim(G) = dim(E)
Donc F + G = E et par conséquent, E = F ⊕ G.
Remarques 1.11
Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, F1 , F2 , . . . , Fn des sous-espaces
vectoriels de E. Alors on vérifie, par récurrence sur n, qu’on a toujours
dim(F1 + F2 + · · · + Fn ) ≤ dim(F1 ) + dim(F2 ) + · · · + dim(Fn )
Corollaire 1.41.
Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, F1 , F2 , . . . , Fn des sousespaces vectoriels de E. Alors



F 1

+ F2 + · · · + Fn = E

E = F1 ⊕F2 ⊕· · ·⊕Fn ⇐⇒ et


dim(F1 ) + dim(F2 ) + · · · + dim(Fn ) = dim(E)

Preuve
(=⇒) Il suffit de montrer par récurrence sur n ≥ 2 que
dim(F1 ) + dim(F2 ) + · · · + dim(Fn ) = dim(E)
D’après le corollaire précédent, la proprièté est vraie pour n = 2
Supposons que n > 2 et que la proprièté est vraie pour tout entier m < n.
Puisque E = F1 ⊕ F2 ⊕ · · · ⊕ Fn , alors (F1 + F2 + · · · + Fn−1 ) ∩ Fn = {0}, donc
dim((F1 + F2 + · · · + Fn−1 ) + Fn ) = dim(F1 + F2 + · · · + Fn−1 ) + dim(Fn )
Or F1 + F2 + · · · + Fn−1 est une somme directe, donc, d’après l’hypothèse de
récurrence, on a
dim(F1 + F2 + · · · + Fn−1 ) = dim(F1 ) + dim(F2 ) + · · · + dim(Fn−1 )
Puisque E = F1 + F2 + · · · + Fn alors on a le résultat.
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1.42
(⇐=) Il suffit de vérifier que
∀i ∈ {1, 2, . . . , n − 1}, Fi ∩ (Fi+1 + · · · + Fn ) = {0}
Pour cela, supposons, par absurde, qu’il existe i ∈ {1, 2, . . . , n − 1}, tel que
Fi ∩ (Fi+1 + · · · + Fn ) 6= {0}
Donc dim(Fi ∩ (Fi+1 + · · · + Fn )) 6= 0, par suite, on aura
dim(Fi + Fi+1 + · · · + Fn ) < dim(Fi ) + dim(Fi + Fi+1 + · · · + Fn )
D’autre part, on a
dim(F1 + F2 + · · · + Fn ) ≤ dim(F1 + F2 + · · · + Fi−1 ) + dim(Fi + · · · + Fn ) pour i 6= 1
< dim(F1 + F2 + · · · + Fi−1 ) + dim(Fi ) + dim(Fi+1 + · · · + Fn )
< dim(F1 ) + dim(F2 ) + · · · + dim(Fn )
Ce qui est absurde, car on a
F1 + F2 + · · · + Fn = E et dim(E) = dim(F1 ) + dim(F2 ) + · · · + dim(Fn )

1.42

Exercices

Exercice 1.1
On munit R∗+ de la loi interne notée ⊕ et définie par
∀x ∈ R∗+ , ∀y ∈ R∗+ , x ⊕ y = xy
et d’une loi externe définie par
∀λ ∈ R, ∀x ∈ R∗+ , λ · x = xλ
Montrer que (R∗+ , ⊕, ·) est un R-espace vectoriel.
Exercice 1.2
Soit E un R-espace vectoriel. On munit (E 2 , +) de la loi externe suivante,
C × E 2 −→ E 2
(λ, (x, y)) 7−→ λ · (x, y)
où pour λ = a + ib, on a λ · (x, y) = (ax − by, bx + ay).
Montrer que (E 2 , +, ·) est un C-espace vectoriel.
Exercice 1.3
Soient (E, +) un groupe commutatif et p un nombre premier.
Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que E soit un Z/pZ-espace vectoriel.
Exercice 1.4
Parmi les ensembles suivants lequel est un sous-espace vectoriel ?
1. {f ∈ RR : f est croissante}.
2. {f ∈ RR : f (0) = 1}.
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1.42
3. {f ∈ RR : f (1) = 0}.
4. {f ∈ RR : f continue et (f (1) = 0 ou f (5) = 0)}.
5. {f ∈ RR : ∃(α, ϕ) ∈ R2 : ∀x ∈ R, f (x) = α cos(x + ϕ)}.
6. {P ∈ K[X] : P (X + 2) = 2P (X + 1) − P (X)}.
7. {P ∈ K[X] : P (0) ∈ Z}.
8. {f ∈ RR : f (R) est fini}
Exercice 1.5
On note F l’ensemble des (x, y, z) ∈ K3 , (K = R ou C), tels que
x2 + 2y 2 + 2z 2 + 2xy + 2xz = 0
Est-ce que F est un sous-espace vectoriel de K3 ?
Exercice 1.6
Soient E un K-espace vectoriel, F , G et H trois sous-espaces vectoriels de E.
1. Montrer que
H ⊆ F ∪ G =⇒ H ⊆ F ou H ⊆ G
2. Comparer les sous-espaces vectoriels suivants :
a) F ∩ (G + H) et (F ∩ G) + (F ∩ H).
b) F + (G ∩ H) et (F + G) ∩ (F + H).
3. Montrer que
F ∩ (G + F ∩ H) = (F ∩ G) + (F ∩ H)
4. Montrer que
G ⊆ F =⇒ [F ∩ (G + H) = G + (F ∩ H)]
Exercice 1.7
Soient E un K-espace vectoriel avec K = R ou C, n un entier ≥ 2 et F1 , F2 , . . . , Fn ,
des sous-espaces vectoriels de E. Montrer que F1 ∪ F2 ∪ · · · ∪ Fn est un sous-espace
vectoriel de E, si et seulement si, il existe i0 ∈ {1, 2, . . . , n}, tel que
∀i ∈ {1, 2, . . . , n}, Fi ⊆ Fi0
Exercice 1.8
Pour tout entier n ∈ N, soit Fn = {f ∈ RR : ∀x ∈ R, |x| ≥ n =⇒ f (x) = 0}.
a) Vérifier que ∀n ∈ N, Fn est un sous-espace vectoriel de RR .
T

b) Déterminer

Fn .

n∈N

c) Montrer que

S

Fn est un sous-espace vectoriel de E.

n∈N

Exercice 1.9
Soit E un K-espace vectoriel. On désigne par V l’ensemble de tous les sous-espaces
vectoriels de E ordonné par inclusion.
a) Montrer que V possède un plus petit et un plus grand élément.
b) Soient F et G deux éléments de V. Motrer que {F, G} possède un majorant et
un minorant dans V, que l’on déterminera.
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1.42
Exercice 1.10
Soient F , G, H et I les parties de RN définies par
F = {u ∈ RN : ∀n ∈ N, un+2 + un+1 − 2un = 0},
G = {u ∈ RN : ∀n ∈ N, un+2 − un+1 − 6un = 0},
H = {u ∈ RN : ∀n ∈ N, un+2 + un+1 − 6un = 0},
et I = {u ∈ RN : ∀n ∈ N, un+2 − 2un+1 − 3un = 0}.
Déterminer F ∩ G, F ∩ H et F ∩ L.
Exercice 1.11
Soient E un K-espace vectoriel, F , G et H trois sous-espaces vectoriels de E, tels
que
F ∩ G = F ∩ H, F + G = F + H et G ⊆ H
Montrer que G = H. Sur des exemples bien choisis, montrer que cette égalité peut
devenir fausse lorsque une au moins des trois hypothèses manque.
Si F ⊕ G = F ⊕ H est-ce que G = H ?
Exercice 1.12
Soient A ∈ R|X] et F = {P ∈ R[X] : A divise P }. Montrer que F est un
sous-espace vectoriel de R[X] et déterminer un supplémentaire de F dans R[X].
Exercice 1.13
Soient a0 , a1 , . . . , an des nombres réels deux à deux distincts et soit F la partie de
RR définie par
F = {f ∈ RR : f (a0 ) = f (a1 ) = · · · = f (an ) = 0}
Montrer que F est un sous-espace vectoriel de RR et déterminer un supplémentaire
de F dans RR .
Exercice 1.14
Soient F = {(xn )n≥0 ∈ RN : lim xn = 0} et G l’ensemble de toutes les suites
n→∞
constantes de RN . Montrer que F et G sont deux sous-espaces vectoriels de RN et
que RN = F ⊕ G.
Exercice 1.15
Soit K un corps commutatif. Pour chaque a ∈ K, on pose
Ea = {P ∈ K[X] : P (a) = 0}
Montrer que
∀a ∈ K, ∀b ∈ K, a 6= b =⇒ Ea + Eb = K[X]
La somme est-elle directe ?
Exercice 1.16
Soient E, F et G les sous-espaces vectoriels de RN définies par
E = {u ∈ RN : ∀n ∈ N, un+2 − un+1 − 2un = 0},
F = {u ∈ RN : ∀n ∈ N, un+1 + un = 0},
et G = {u ∈ RN : ∀n ∈ N, un+1 − 2un = 0}
Motrer que F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E et que E = F ⊕ G.
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1.42
Exercice 1.17
Soient E un K-espace vectoriel, F1 , F2 , . . . , Fn des sous-espaces vectoriels de E, tels
que F1 F2 · · · Fn . Pour chaque j ∈ {1, 2, . . . , n−1}, soit Gj un supplémentaire
de Fj dans Fj+1 . Montrer que la somme G1 + G2 + · · · + Gn−1 est directe et que
G1 ⊕ G2 ⊕ · · · ⊕ Gn−1 est un supplémentaire de F1 dans E.
Exercice 1.18
Soient E un K-espace vectoriel, A et B deux parties quelconques de E. Comparer
les parties de E suivantes :
a) V ect(A ∩ B) et V ect(A) ∩ V ect(B).
b) V ect(A ∪ B) et V ect(A) ∪ V ect(B).
c) V ect(A ∪ B) et V ect(A) + V ect(B).
Exercice 1.19
Soit E un K-espace vectoriel quelconque.
a) Soient x, y et z trois éléments de E. Montrer que
[V ect(x, y) = V ect(x, z)] ⇐⇒ [∃(α, β, γ) ∈ K 3 : αx+βy+γz = 0 et βγ 6= 0]
b) Soient F un sous-espace vectoriel de E, y et z deux éléments de E. Montrer que
[F +V ect(y) = F +V ect(z)] ⇐⇒ [∃x ∈ F, ∃(α, β) ∈ K 2 : x+αy+βz = 0 et αβ 6= 0]
Exercice 1.20
Soit E un K-espace vectoriel, (K = R ou C). Soient L1 et L2 les parties de E définies
par
L1 = {x1 , x2 , . . . , xn } et L2 = {x1 + x2 , x2 + x3 , . . . , xn−1 + xn , xn + x1 }
Montrer que
a) Si n est pair, alors L2 est liée.
b) Si n est impair, alors
L1 est libre ⇐⇒ L2 est libre
Exercice 1.21
Soit E le R-espace vectoriel de toutes les fonctions continues de R vers R.
1. Pour a ∈ R, on désigne par fa l’élément de E défini par :
∀x ∈ R, fa (x) = |x − a|
Montrer que {fa : a ∈ R} est une partie libre de E.
2. Pour k ∈ N, on désigne par fk l’élément de E défini par :
∀x ∈ R, fk (x) = (sin x)k
Montrer que {fk : k ∈ N} est une partie libre de E.
3. Pour a ∈ R, on désigne par fa l’élément de E défini par :
∀x ∈ R, fa (x) = eax
Montrer que {fa : a ∈ R} est une partie libre de E.
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1.42
Exercice 1.22
Soient K un corps commutatif et P un polynôme de K[X] avec deg(P ) = n. Montrer
que (P, P 0 , . . . , P (n) ) est une base de Kn [X].
Exercice 1.23
Soient K un corps commutatif et F un sous-espace vectoriel de Kn [X], tel que
∀P ∈ F ⊆ {0}, ∀Q ∈ F ⊆ {0}, deg(P ) = deg(Q)
Montrer que dim(F ) = 1.
Exercice 1.24
Soient K un corps commutatif et (Pn )n≥0 une suite de polynômes de K[X], tels que
∀n ∈ N, deg(P ) = n
Montrer que {Pn : n ∈ N} forme une base de K[X].
Exercice 1.25
Dans chacun des cas suivants, déterminer les dimensions des sous-espaces de R4 , F ,
G, F ∩ G et F + G.
i)
F = V ect({(2, 2, 1, 0), (1, 4, 2, −1), (2, 1, −1, 0), (2, −5, 4, 2)})
G = V ect({(2, 1, 4, 5), (1, 2, 3, 4)})
ii)
F = V ect({(1, 2, 0, 1), (2, 1, 3, 1), (1, −4, 6, −1)})
G = V ect({(1, 2, 1, 0), (−1, 1, 1, 1), (2, −1, 0, 1), (2, 2, 2, 2)})
Exercice 1.26
Soit K un corps commutatif, P un polynôme non nul de K[X] et (P ) l’idéal engendré par P . Montrer que K[X]/(P ) est un K-espace vectoriel de dimension finie et
déterminer sa dimension.
Exercice 1.27
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie = n.
1. Si H1 et H2 sont deux hyperplans distincts de E. Déterminer la dimension de
H1 ∩ H2 .
2. Si H est un hyperplan de E et si F est un sous-espace vectoriel de E, tel que
F * H.
Déterminer la dimension de F ∩ H.
3. Soient H1 , H2 , . . . , Hm des hyperplans de E. Montrer que
dim(H1 ∩ H2 ∩ · · · ∩ Hm ) ≥ n − m
Exercice 1.28
Dans chacun des cas suivant, montrer que E est un espace vectoriel et déterminer
une base de E.
1. E = {P ∈ R3 [X] : P (X 2 ) = X 2 P (X)}.
2. E = {P ∈ R3 [X] : P (−1) = P (0)}.
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1.42
3. E = {P ∈ R2 [X] : P ( 12 ) = 2P (1)}.
4. E = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x + y + z + t = 0 et x + 2y − z − t = 0}.
5. E = {(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn :

n
P

xi = 0}.

i=1

6. Soit n ∈ N∗ et soit E l’ensemble des fonctions f : [0, 1] −→ R, telles que
k k+1
[
∀k ∈ {0, 1, . . . , n − 1}, f est constante sur ] ,
n n
Exercice 1.29
Soient E un K-espace vectoriel, F et G deux sous-espaces vectoriels de E, tels que
dim(F ) = dim(G). Motrer que F et G possèdent un supplémentaire commun dans
E.
Exercice 1.30
Soit E = Rn [X]. Pour chaque i ∈ {0, 1, . . . , n}, on définit la partie Fi de Rn [X] par
P ∈ Fi ⇐⇒ [∀j ∈ {0, 1, . . . , n}, j 6= i =⇒ P (j) = 0]
Montrer que pour tout i ∈ {0, 1, . . . , n}, Fi est un sous-espace vectoriel de E et que
E = F0 ⊕ F1 ⊕ · · · ⊕ Fn
Exercice 1.31
Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie = n, F1 , F2 , . . . , Fk des sousespaces vectoriels de E. Montrer que
k
X

k
\

dim(Fj ) > n(k − 1) =⇒

Fj 6= {0}

j=1

j=1

Exercice 1.32
Soient E un K-espace vectoriel, G un sous-espace vectoriel de E et (Fn )n≥0 une
suite décroissante de sous-espaces vectoriels de E.
a) On suppose G de dimension finie. Montrer que
(

\
n∈N

Fn ) + G =

\

(Fn + G)

n∈N

b) Montrer, par un contre exemple, que la proprièté précédente ne subsiste plus
dans le cas où G est de dimension infinie.

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2 Applications linéaires – Matrices
2.1

Applications linéaires – Isomorphisme d’epaces
vectoriels

2.1.1

Définition et propriètés de base

Définition 2.2.
Soient E et F deux espaces vectoriels sur le même corps K. Une application
f : E −→ F est dite linéaire, (ou parfois K-linéaire), si
i) ∀x ∈ E, ∀y ∈ E, f (x + y) = f (x) + f (y),
ii) ∀α ∈ K, ∀x ∈ E, f (α · x) = α · f (x).
Si une application linéaire f est bijective, on dit que f est un isomorphisme
d’espaces vectoriels

Notations
On désigne par LK (E, F ) l’ensemble de toutes les applications K-linéaires de E vers
F
Exemples 2.1
1. Soient E un K-espace vectoriel et F un sous-espace vectoriel de E. On appelle
injection canonique de F dans E, l’application j : F −→ E définie par,
∀x ∈ F, j(x) = x
Alors j est une application linéaire.
2. Soient E un K-espace vectoriel et F un sous-espace vectoriel de E. On appelle
surjection canonique de E vers E/F , l’application définie par,
s : E −→ E/F
x 7−→ s(x) = x
Alors s est une application linéaire.
3. Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie = n et (e1 , e2 , . . . , en ) une
base de E. Alors l’application f définie par,
f : K n −→ E
(α1 , α2 , . . . , αn ) 7−→ f (α1 , α2 , . . . , αn ) =

n
P

αi e i

i=1

est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
Donc tout K-espace vectoriel de dimension finie = n est isomorphe à K n .
Remarques 2.1
1. Soient E, F et G trois espaces vectoriels sur le même corps K. f : E −→ F et
g : F −→ G deux applications linéaires. Alors g ◦f est une application linéaire.
31

2.5
2. Soit f : E −→ F un isomorphisme d’espaces vectoriels, alors f −1 : F −→ E
est aussi un isomorphisme d’espaces vectoriels.
3. La relation R d’isomorphisme entre espaces vectoriels est une relation d’équivalence.
4. Deux espaces vectoriels de même dimension sont isomorphes.
Proposition 2.3.
Soient E et F deux K-espaces vectoriels. Pour f et g deux éléments de
LK (E, F ) et pour α élément de K, on définie f + g et α · f , par
∀x ∈ E, (f + g)(x) = f (x) + g(x) et (α · f )(x) = α · f (x)
Alors (LK (E, F ), +, ·) est un K-espace vectoriel.
Preuve
Il suffit de vérifier que LK (E, F ) est un sous-espace vectoriel de F E le K-espace
vectoriel de toutes les applications de E vers F .
Théorème 2.4.
Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie. Alors LK (E, F )
est de dimension finie et on a
dim(LK (E, F )) = dim(E) × dim(F )

Preuve
Soient m = dim(E), n = dim(F ), (e1 , e2 , . . . , em ) une base de E et (e01 , e02 , . . . , e0n )
une base de F .
Pour (i, j) ∈ Nn × Nm , où ∀p ∈ N, Np = {1, 2, . . . , p}, on définit l’application
fij : E −→ F par,
∀x ∈ E, fij (x) = xj e0i

où x =

m
X

xj e j

j=1

Alors, B = {fij : (i, j) ∈ Nm × Nn } forme une base de LK (E, F ). En effet,
— Pour f ∈ LK (E, F ), on pose,
∀j ∈ Nm , f (ej ) =

n
X

αij e0i

i=1

Alors pour tout x ∈ E avec x =

m
P

xj ej , on a

j=1

u(x) =

m
X
j=1

xj f (ej ) =

m
X
j=1

n
X

xj (

i=1

αij e0i ) =

n X
m
X

αij xj e0i =

i=1 j=1

n X
m
X

αij fij (x)

i=1 j=1

Donc B est une partie génératrice finie de LK (E, F ).
— Il est facile de vérifier que B est une partie libre, en rmarquant que

e 0

∀k ∈ Nm , fij (ek ) = 

j

0

si k = i
si k =
6 i

Cardinal(B) = Cardinal(Nm × Nn ) = m × n, donc dim(LK (E, F )) = m × n.
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2.6

2.4.1

Noyau et image d’une application linéaire

Proposition 2.5.
Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f : E −→ F une application
linéaire. Alors,
i) L’image par f d’un sous-espace vectoriel de E est un sous-espace vectoriel
de F . En particulier, f (E) est un sous-espace vectoriel de F , appelé
image de f et noté Im(f ).
ii) L’image réciproque par f d’un sous-espace vectoriel de F est un sousespace vectoriel de E. En particulier, f −1 ({0F }) est un sous-espace
vectoriel de E, appelé noyau de f et noté ker(f ).

Preuve
i) Soit A un sous-espace vectoriel de E. Alors,
— f (A) 6= ∅, car 0F = f (0E ), donc 0F ∈ f (A).
— Si x ∈ A, y ∈ A et α ∈ K, on a
f (x) + f (y) = f (x + y) et α · f (x) = f (α · x)
avec x + y ∈ A et α · x ∈ A, donc f (x) + f (y) ∈ f (A) et α · f (x) ∈ f (A).
ii) Soit, maintenant, A un sous-espace vectoriel de F . Alors
— f −1 (B) 6= ∅, car f (0E ) = 0F et 0F ∈ B, donc 0E ∈ f −1 (B).
— Si x ∈ f −1 (B), y ∈ f −1 (B) et α ∈ K, alors f (x + y) = f (x) + f (y) et
f (α · x) = α · f (x), donc x + y ∈ f −1 (B) et α · x ∈ f −1 (B), car B est un
sous-espace vectoriel de F .
Rappelons que
z ∈ f −1 (B) ⇐⇒ f (z) ∈ B
Remarques 2.2
Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f : E −→ F une application linéaire.
Alors
1.
ker(f ) = {x ∈ E : f (x) = 0F }
x ∈ ker(f ) ⇐⇒ f (x) = 0F
2.
Im(f ) = {f (x) : x ∈ E}
y ∈ Im(f ) ⇐⇒ ∃x ∈ E : y = f (x)
Théorème 2.6.
Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f : E −→ F une application
linéaire. Alors
i)
f est injetive ⇐⇒ ker(f ) = {0E }
ii)
f est surjetive ⇐⇒ Im(f ) = F

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2.7
Preuve
i) (=⇒) Supposons que f est injective et soit x ∈ ker(f ). On a f (x) = 0F et
comme f est linéaire, alors f (0E ) = 0F , donc f (x) = f (0E ) et puisque f
est injective, alors x = 0E . Ainsi, ker(f ) = {0E }.
(⇐=) Supposons que ker(f ) = {0E }.
Soient x ∈ E et y ∈ E, tels que f (x) = f (y), a-t-on x = y ?
f (x) = f (y) =⇒ f (x) − f y) = 0F
=⇒ f (x − y) = 0F car f est linéaire
=⇒ x − y ∈ ker(f )
=⇒ x = y car ker(f ) = {0E }
Donc f est injective.
ii) Trivial, car une application f : E −→ F est surjective, si et seulement si,
f (E) = F .
Proposition 2.7.
Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f : E −→ F une appligation
linéaire. Alors
a) Pour tout sous-espace vectoriel G de E, on a
f −1 (f (G)) = G + ker(f )
b) f est injective, si et seulement si, pour tout sous-espace vectoriel G de
E, on a
f −1 (f (G)) = G
c) Pour tout sous-espace vectoriel H de F , on a
f (f −1 (H)) = H ∩ Im(f )
d) f est surjective, si et seulement si, pour tout sous-espace vectoriel H de
F , on a
f (f −1 (H)) = H

Preuve
a) Soit x ∈ E, alors
x ∈ f −1 (f (G)) ⇐⇒ f (x) ∈ f (G)
⇐⇒ ∃a ∈ G : f (x) = f (a)
⇐⇒ ∃a ∈ G : f (x − a) = 0
⇐⇒ ∃a ∈ G : x − a ∈ ker(f )
⇐⇒ ∃a ∈ G, ∃b ∈ ker(f ) : x = a + b
⇐⇒ x ∈ G + ker(f ).
b) (=⇒) Si on suppose que f est injective, alors ker(f ) = {0}, donc, d’après a),
pour tout sous-espace vectoriel G de E, f −1 (f (G)) = G.
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2.9
(⇐=) si on suppose que pour tout sous-espace vectoriel G de E, f −1 (f (G)) =
G, alors en particulier, on a f −1 (f ({0E })) = {0E }.
Or f ({0E } = {f (0E )} = {0F }, donc ker(f ) = f −1 ({0F }) = {0E }.
c) Soit y ∈ f (f −1 (H)), alors il existe x ∈ f −1 (H), tel que y = f (x).
Comme x ∈ f −1 (H), alors f (x) ∈ H, donc y ∈ H ∩ Im(f ).
y ∈ H ∩ Im(f ) =⇒ y ∈ H et y ∈ Im(f )
=⇒ y ∈ H et ∃x ∈ E, : y = f (x)
=⇒ x ∈ f −1 (H) car f (x) ∈ H
=⇒ f (x) ∈ f (f −1 (H))
=⇒ y ∈ f (f −1 (H)).
d) (=⇒) Supposons que f est surjective, alors Im(f ) = F , donc pour tout sousespace H de E, on a f (f −1 (H)) = H ∩ F = H.
(⇐=) Supposons que pour tout sous-espace vectoriel H de F , on a
f (f −1 (H)) = H, alors en particulier, on aura f (f −1 (F )) = F .
Or f −1 (F ) = E, donc f (E) = F , par suite, f est surjective.

2.7.1

Décomposition canonique - Théorème du rang

Théorème 2.8 (Décomposition canonique).
Soient E et F deux K-espaces vectoriels quelconques, f : E −→ F une
application linéaire, j : Im(f ) −→ F l’injection canonique et s : E −→
E/ ker(f ) la surjection canonique. Alors il existe un isomorphisme canonique
f : E/ ker(f ) −→ f (E)
tel que f = j ◦ f ◦ s,
E
s



E/ ker(f )

f

/

FO
j

f

/

Im(f )

Preuve
Soit f : E/ ker(f ) −→ Im(f ) la correspondance définie par
∀x ∈ E, f (x) = f (x)
Alors pour x ∈ E et y ∈ E, on a
x = y ⇐⇒ x − y = 0E
⇐⇒ x − y ∈ ker(f )
⇐⇒ f (x − y) = 0F
⇐⇒ f (x) = f (y)
Ainsi, f est bien définie et f est injective. Puisque f est linéaire et surjective par
construction, donc f est un isomorphisme d’espaces vectoriels et on a
∀x ∈ E, (j ◦ f ◦ s)(x) = (j ◦ f )(s(x)) = (j ◦ f )(x) = j(f (x)) = j(f (x)) = f (x)
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2.10
Corollaire 2.9 (Théorème du rang).
Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, F un K-espace vectoriel quelconque et
f : E −→ F une application linéaire. Alors
dim(E) = dim(ker(f )) + dim(Im(f ))

Preuve
D’après le théorème précédent, on sait que E/ ker(f ) et Im(f ) sont isomorphes, donc
dim(E/ ker(f )) = dim(Im(f ))
Or, on sait que dim(E/ ker(f )) = dim(E) − dim(ker(f )), par suite, on aura
dim(E) = dim(ker(f )) + dim(Im(f ))
Corollaire 2.10.
Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie avec dim(E) =
dim(F ). Soit
f : E −→ F une application linéaire, alors les propositions suivantes sont
équivalentes :
i) f est injective.
ii) f est surjective.
iii) f est bijective.

Preuve
i) =⇒ ii) Supposons que f est injective.
f est injective =⇒ ker(f ) = {0E }
=⇒ dim(ker(f )) = 0
=⇒ dim(E) = dim(Im(F )) (d’après le corollaire précédent)
=⇒ Im(f ) = E
ii) =⇒ iii) Supposons que f est surjective.
f est surjective =⇒ Im(f ) = E
=⇒ dim(Im(f )) = dim(E)
=⇒ dim(ker(f )) = 0 (d’après le corollaire précédent)
=⇒ ker(f ) = {0E }
Donc f est injective et par conséquent, f est bijective.
iii) =⇒ i) Trivial.
Remarques 2.3
Les équivalences du corollaire précédent ne sont plus vraies dans le cas de la dimension infinie, comme le montre l’exemple suivant :
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2.10
Exemples 2.2
Soient K un corps commutatif et P = a0 + a1 X + a2 X 2 + · · · + an X n un polynôme
de K[X]. On définie le polynôme dérivé de P , qu’on note P 0 , par
P 0 = a1 + 2a2 X + · · · + nan X n−1
Soit f : K[X] −→ K[X] l’application qui à P fait correspondre P 0 . Alors f est une
application linéaire surjective qui n’est pas injective.
Im(f ) = K[X] et ker(f ) = K
Soit g : K[X] −→ K[X] définie par
∀P ∈ K[X], P =

n
X

ai X i =⇒ g(P ) =

i=1

n
X

ai X i+1

i=1

Alors g est une application linéaire injective qui n’est pas surjective.
ker(g) = {0} et Im(g) = {P ∈ K[X] : P (0) = 0}
Exemples 2.3 (Théorème d’interpolation de Lagrange)
Soient a0 , a1 , . . . , an des nombres réels deux à deux distincts et α0 , α1 , . . . , αn des
nombres réels quelconques, alors il existe un unique polynôme P ∈ R[X] de degré
≤ n, tel que
∀i ∈ {0, 1, . . . , n}, P (ai ) = αi
De plus, si on pose
Qn

j=0

∀i ∈ {0, 1, . . . , n}, Li = Qnj6=i

j=0
j6=i

Alors on aura
P =

n
X

(X − aj )
(ai − aj )

αi Li

i=1

En effet, soit ϕ : Rn [X] −→ Rn+1 l’application définie par
∀P ∈ Rn [X], ϕ(P ) = (P (a0 ), P (a1 ), . . . , P (an ))
Alors ϕ est une application linéaire et on a
P ∈ ker(ϕ) ⇐⇒ P (a0 ) = P (a1 ) = · · · = P (an ) = 0
Donc P possède n + 1 racines deux à deux distinctes, donc P = 0, car deg(P ) ≤ n
et par suite, P possède au plus n racines deux à deux distinctes.
Ainsi, ker(ϕ) = {0}, donc ϕ est injective. Puisque dim(Rn [X]) = dim(Rn+1 ) = n+1,
alors, d’après le corollaire précédent, ϕ est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
Ainsi, pour (α0 , α1 , . . . , αn ) ∈ Rn+1 , il existe un unique P ∈ Rn [X], tel que
ϕ(P ) = (α0 , α1 , . . . , αn ), donc pour (α0 , α1 , . . . , αn ) ∈ Rn+1 , il existe un unique
P ∈ Rn [X], tel que
∀i ∈ {0, 1, . . . , n}, P (ai ) = αi
Soit (e0 , e1 , . . . , en ) la base canonique de Rn+1 . Pour chaque i ∈ {0, 1, . . . , n}, soit
Li = ϕ−1 (ei ), alors on aura

∀j

∈ {0, 1, . . . , n}, j 6= i =⇒ Li (aj ) = 0
Li (ai ) = 1
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2.14
Donc pour tout j ∈ {0, 1, . . . , n}, avec j 6= i, aj est une racine de Li , donc le
polynôme

n
Q

(X − aj ) divise Li avec deg(Li ) ≤ n, donc il existe α ∈ K, tel que Li

j=0
j6=i

s’écrit sous la forme
Li = α

n
Y

(X − aj )

j=1
j6=i

Puisque Li (ai ) = 1, alors α = (

n
Q

(ai − aj ))−1 .

j=1
j6=i

Soit maintenant α0 , α1 , . . . , αn des nombres réels quelconque et soit P l’unique polynôme de degré ≤ n, tel que ϕ(P ) = (α0 , α1 , . . . , αn ), donc on aura
P = ϕ−1 (α0 , α1 , . . . , αn )

(α0 , α1 , . . . , αn ) =

n
X

αi ei =⇒ ϕ−1 ((α0 , α1 , . . . , αn )) =

i=0

n
X

αi ϕ−1 (ei )

i=0

=⇒ P =

n
X

αi L i

i=0

2.11

Endomorphismes – Automorphismes

Définition 2.12.
Soit E un K-espace vectoriel.
i) Une application linéaire u : E −→ E s’appelle un endomorphisme de
E.
ii) Un endomorphime bijective s’appelle un automorphisme de E.

Notations
On désigne par LK (E) l’ensemble de tous les endomorphismes de E et par GLK (E)
l’ensemble de tous les automorphismes de E.
Définition 2.13.
Soient (A, +, ×) un anneau quelconque et K un corps commutatif. On dit
que A est une K-algèbre (ou une algèbre sur K), s’il existe une loi externe,
K × A −→ A
(λ, x) 7−→ λ · x
telle que,
i) (A, +, ·) est un K-espace vectoriel.
ii) ∀λ ∈ K, ∀x ∈ A, ∀y ∈ A, λ · (x × y) = (λ · x) × y = x × (λ · y)

Exemples 2.4
Pour tout corps commutatif K, (K[X], +, ×, ·) est une K-algèbre.
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2.15
Proposition 2.14.
Soit E un K-eapace vectoriel. Alors
i) (LK (E), +, ◦, ·) est une K-algèbre, applée algèbre des endomorphismes de E.
ii) (GLK (E), ◦) est un groupe, appelé groupe linéaire de E.

Preuve
Exercice.
Remarques 2.4
Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E.
Alors d’après le théorème du rang, on sait que
dim(E) = dim(ker(u)) + dim(Im(u))
Mais attention, par contre on a pas toujours
E = ker(u) ⊕ Im(u)
Cependant, on a le théorème suivant,
Théorème 2.15.
Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et u : E −→ E un
endomorphisme de E. Alors les propositions suivantes sont équivalentes :
i) E = ker(u) ⊕ Im(u).
ii) Im(u) = Im(u2 ).
iii) ker(u) = ker(u2 ).
iv) ker(u) ∩ Im(u) = {0}.

Preuve
i) =⇒ ii) Supposons que E = ker(u) ⊕ Im(u) et montrons que Im(u) = Im(u2 ).
Pour cela, remarquons d’abord que ∀u ∈ LK (E), Im(u2 ) ⊆ Im(u). Donc, il
suffit de montrer que Im(u) ⊆ Im(u2 ).
Soit y ∈ Im(u), alors il existe x ∈ E, tel que y = u(x).
Puisque E = ker(u) ⊕ Im(u), alors x = x1 + u(x2 ), avec x1 ∈ ker(u), donc
y = u2 (x), par suite, y ∈ Im(u2 ).
ii) =⇒ iii) Supposons que Im(u) = Im(u2 ) et montrons que ker(u) = ker(u2 ). Pour
cela, remarquons aussi que ∀u ∈ LK (E), ker(u) ⊆ ker(u2 ). Donc, il suffit de
montrer que ker(u2 ) ⊆ ker(u).
D’après le théorème du rang, on a
dim(E) = dim(ker(u)) + dim(Im(u)) = dim(ker(u2 )) + dim(Im(u2 ))
Puisque Im(u) = Im(u2 ) alors dim(ker(u)) = dim(ker(u2 )), par suite, on aura
ker(u) = ker(u2 ).
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2.16
iii) =⇒ iv) Supposons que ker(u) = ker(u2 ) et montrons que ker(u) ∩ Im(u) = {0}.
y ∈ ker(u) ∩ Im(u) ⇐⇒ u(y) = 0 et ∃x ∈ E : y = u(x)
=⇒ u2 (x) = u(y) = 0
=⇒ x ∈ ker(u2 )
=⇒ x ∈ ker(u)
=⇒ u(x) = 0
=⇒ y = 0
iv) =⇒ i) Trivial, car on sait que

E = ker(u) ⊕ Im(u) ⇐⇒




dim(ker(u)) + dim(Im(u))




= dim(E)

et
ker(u) ∩ Im(u) = {0}

Théorème 2.16 (Noyaux et images itérés).
Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme
de E. Alors il existe un entier p ≥ 1, tel que
i)


∀k


∈ N, k ≥ p =⇒ ker(uk ) = ker(up )

et
ker(up−1 )





ker(up )

ii)



∀k




∈ N, k ≥ p =⇒ Im(uk ) = Im(up )

et
Im(up )

Im(up−1 )

iii)
E = ker(up ) ⊕ Im(up )

Preuve
i) Soit A = {dim(ker(uk )) : k ∈ N∗ }. Puisque ∀k ∈ N, dim(ker(uk )) ≤ dim(E),
alors A est une partie de N, non vide et majorée, donc A possède un plus grand
élément, noté d. D’autre part, soit Λ = {k ∈ N∗ : dim(ker(uk )) = d}, alors Λ
est une partie de N non vide, donc Λ possède un plus petit élément noté p.
— Pour k ≥ p, on sait que ker(up ) ⊆ ker(uk ) et d’après ce qui précède, on sait
que dim(ker(uk )) ≤ dim(ker(up )), donc ker(uk ) = ker(up ).
— p est le plus petit élément de Λ, donc p − 1 ∈
/ Λ, par conséquent, on aura
p−1
p
p−1
dim(ker(u )) < dim(ker(u )), donc ker(u ) ker(up ).
ii) Posons ∆ = {dim(Im(uk )) : k ∈ N∗ }, alors ∆ est une partie non vide de N,
par suite, ∆ possède un plus petit élément noté r.
Soit β = {k ∈ N∗ : dim(Im(uk )) = r}, alors β est une partie non vide de N,
donc β possède un plus petit élément noté q.
— Pour k ≥ q, on sait que Im(uk ) ⊆ Im(uq ) et d’après ce qui précède, on
sait que dim(Im(uq )) ≤ dim(Im(uk )), donc Im(uk ) = Im(uq ).
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2.18
— q est le plus petit élément de β, donc q − 1 ∈
/ β, par suite, on aura
q−1
q
q
dim(Im(u )) > dim(Im(u )), donc Im(u ) Im(uq−1 ).
— Vérifions maintenant que q = p. Pour cela, supposons, par absurde, que
q > p, donc d’après ce qui précède, on a
ker(uq ) = ker(up ) et Im(uq )

Im(up )

Or d’après le théorème du rang, on a
dim(E) = dim(ker(up )) + dim(Im(up )) = dim(ker(uq )) + dim(Im(uq ))
Donc dim(Im(uq )) = dim(Im(up )), ce qui est absurde, car
Im(uq ) Im(up ), donc q ≤ p.
De la même manière, on montre que p ≤ q.
iii) On sait que

p

p

E = ker(u ) ⊕ Im(u ) ⇐⇒


p
p


dim(ker(u )) + dim(Im(u ))




= dim(E)

et
ker(up ) ∩ Im(up ) = {0}

Puisque, on a toujours dim(ker(up )) + dim(Im(up )) = dim(E), alors il suffit
de montrer que ker(up ) ∩ Im(up ) = {0}.
y ∈ ker(up ) ∩ Im(up ) ⇐⇒ up (y) = 0 et ∃x ∈ E : y = up (x)
=⇒ u2p (x) = 0
=⇒ x ∈ ker(u2p )
=⇒ x ∈ ker(up ) (car 2p ≥ p)
=⇒ up (x) = 0
=⇒ y = 0

Remarques 2.5
Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, u un endomorphisme de E, N
et I les parties de E définies par
N=

[

ker(uk ) et I =

k∈N

\

Im(uk )

k∈N

Alors, d’après le théorème précédent, N et I sont deux sous-espaces supplémentaires :
E =N ⊕I
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2.19

2.17

Exemples d’endomorphismes remarquables

2.17.1

Projection sur un sous-espace vectoriel - Projecteurs

Définition 2.18.
Soient E un K-espace vectoriel quelconque, F un sous-espace vectoriel de
E et G un supplémentaire de F dans E.
i) On appelle projection sur F parallèlement à G, (ou de direction G),
l’application pF définie par
pF : E = F ⊕ G −→ E
x = x1 + x2 7−→ pF (x) = x1
ii) On appelle projecteur de E, tout endomrphisme u de E, vérifiant
u ◦ u = u.

Remarques 2.6
Soit pF la projection sur F parallèlement à G, alors
i) pF est un endomorphisme de E.
ii) Im(pF ) = F et ker(pF ) = G.
iii) pF ◦ pF = pF , donc pF est un projecteur de E.
Réciproquement, on a le théorème suivant,
Théorème 2.19.
Soient E un K-espace vectoriel et u un projecteur de E, alors on a
i) E = Im(u) ⊕ ker(u).
ii) ∀x ∈ E, x ∈ Im(u) ⇐⇒ u(x) = x
iii) Si on pose F = Im(u) et G = ker(u), alors u est la projection sur F
parallèlement à G.

Preuve
i) La dimension de E est quelconque, donc

E = Im(u) ⊕ ker(u) ⇐⇒




Im(u) + ker(u)




=E

et
Im(u) ∩ ker(u) = {0}

y ∈ Im(u) ∩ ker(u) ⇐⇒ ∃x ∈ E : y = u(x) et u(y) = 0
=⇒ u2 (x) = 0
=⇒ u(x) = 0 (car u2 = u)
=⇒ y = 0
Pour x ∈ E, on a x = (x−u(x))+u(x) avec u(x) ∈ Im(u) et x−u(x) ∈ ker(u),
(car u(x − u(x)) = u(x) − u2 (x) = 0), donc E = Im(u) + ker(u).
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2.21
ii)
x ∈ Im(u) =⇒ x − u(x) ∈ Im(u)
=⇒ x − u(x) ∈ Im(u) ∩ ker(u) (car u(x − u(x)) = u(x) − u2 (x) = 0)
=⇒ u(x) = x (car Im(u) ∩ ker(u) = {0})
Réciproquement, si u(x) = x, alors x ∈ Im(u).
iii) On a E = Im(u) ⊕ ker(u), donc, pour x ∈ E avec x = x1 + x2 , on a
u(x) = u(x1 ) + u(x2 ) = x1 , (car x1 ∈ Im(u), donc u(x1 ) = x1 et x2 ∈ ker(u)).
Donc u est la projection sur Im(u) parallèlement à ker(u).

2.19.1

Symétrie par rapport à un sous-espace vectoriel Symétries vectorielles

Définition 2.20.
Soient E un K-espace vectoriel, F un sous-espace vectoriel de E et G un
supplémentaire de F dans E.
i) On appelle symétrie par rapport à F parallélement à G, (ou de direction
G), l’application sF définie par,
sF : E = F ⊕ G −→ E
x = x1 + x2 7−→ sF (x) = x1 − x2
ii) On appelle symétrie vectorielle, tout endomorphisme u de E, vérifiant
u ◦ u = IdE .

Remarques 2.7
1. Soit sF la symétrie par rapport à F parallélement à G, alors
i) sF est un endomorphisme.
ii) ker(u − IdE ) = F et ker(u + IdE ) = G.
iii) s2F = IdE , donc sF est une symétrie vectorielle.
Réciproquement, on a le théorème suivant :
2. Soit pF la projection sur F parallélement à G, alors sF = 2pF − IdE .
Théorème 2.21.
Soient E un K-espace vectoriel et u une symétrie vectorielle de E. Alors,
i) E = ker(u − IdE ) ⊕ ker(u + IdE ).
ii) Si on pose F = ker(u − IdE ) et G = ker(u + IdE ), alors u est la symétrie
vectorielle par rapport à F parallélement à G.

Preuve
i)
x ∈ ker(u − IdE ) ∩ ker(u + IdE ) =⇒ u(x) = x et u(x) = −x
=⇒ x = 0
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2.23
Donc ker(u − IdE ) ∩ ker(u + IdE ) = {0}.
x + u(x)
x − u(x)
Pour x ∈ E, on pose x1 =
et x2 =
, alors x1 ∈ ker(u−IdE ),
2
2
x2 ∈ ker(u + IdE ) et x = x1 + x2 . Donc E = ker(u − IdE ) + ker(u + IdE ).
ii) Pour x ∈ E, avec x = x1 + x2 , x1 ∈ ker(u − IdE ) et x2 ∈ ker(u + IdE ), on a
u(x) = u(x1 + x2 ) = u(x1 ) + u(x2 ) = x1 − x2
Donc u est la symétrie par rapport à ker(u−IdE ) parallélement à ker(u+IdE ).

2.21.1

Affinités - Dilatations - Transvections

Définition 2.22.
Soient E un K-espace vectoriel quelconque, F un sous-espace vectoriel de
E, G un supplémentaire de F dans E et λ ∈ K. On appelle affinité de base
F , de direction G et de rapport λ, l’application u définie par,
u : E = F ⊕ G −→ E
x = x1 + x2 7−→ u(x) = x1 + λx2

Remarques 2.8
Soit u une affinité de base F , de direction G et de rapport λ. Alors,
1. u est un endomorphisme de E.
2. Si λ = 1, alors u = IdE .
3. Si λ = 0, alors u est la projection sur F de direction G.
4. Si λ = −1, alors u est la symétrie par rapport à F de direction G.
5. Si λ 6= 0, alors u ∈ GL(E).
6. Si λ 6= 0 et dim(G) = 1,
on dit que u est une dilatation de base F , de direction G et de rapport λ.
Définition 2.23.
Soit E un K-espace vectoriel quelconque. On appelle hyperplan de E, tout
sous-espace vectoriel H, tel que
dim(E/H) = 1

Remarques 2.9
Soit E un K-espace vectoriel quelconque.
1. Un hyperplan de E est un sous-espace vectoriel maximal de E, c’est à dire,
si H est un hyperplan de E et si F est un sous-espace vectoriel de E, tel que
F 6= E et H ⊆ F , alors H = F .
2. Soit H un sous-espace vectoriel de E. Alors H est un hyperplan de E, si et
seulement si, tout supplémentaire de H dans E est de dimension 1.
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