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Table des matières
1 Espaces vectoriels
1.1 Définitions et propriètés de base . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Espace vectoriel sur un corps quelconque . . . .
1.2.1 Conséquences de la définition . . . . . . . . . .
1.2.2 Exemples fondamentaux . . . . . . . . . . . . .
1.3 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Opérations sur les sous-espaces vectoriels . . . .
1.12.1 Sous-espaces supplémentaires . . . . . . . . . .
1.16 Espace vectoriel quotient . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.18 Partie génératrice – Partie libre – Base . . . . . . . . .
1.18.1 Combinaisons linéaires - Partie génératrice . . .
1.21.1 Partie libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.22.1 Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.26 Espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . .
1.26.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . .
1.27.1 Théorème de la dimension finie . . . . . . . . .
1.36.1 Théorème de la base incomplète . . . . . . . . .
1.38.1 Identités remarquables concernant la dimension
1.42 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2 Applications linéaires – Matrices
2.1 Applications linéaires – Isomorphisme d’epaces vectoriels . . . . . . .
2.1.1 Définition et propriètés de base . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Noyau et image d’une application linéaire . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Décomposition canonique - Théorème du rang . . . . . . . . .
2.11 Endomorphismes – Automorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.17 Exemples d’endomorphismes remarquables . . . . . . . . . . . . . . .
2.17.1 Projection sur un sous-espace vectoriel - Projecteurs . . . . . .
2.19.1 Symétrie par rapport à un sous-espace vectoriel - Symétries
vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.21.1 Affinités - Dilatations - Transvections . . . . . . . . . . . . . .
2.28 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.28.1 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.30.1 Matrices élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.32.1 Trace d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.37 Matrices et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.37.1 Matrice d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . .
2.39.1 Matrice de passage – Changement de base . . . . . . . . . . .
2.44 Rang d’une application linéaire - Rang d’une matrice . . . . . . . . .
2.44.1 Définition et propriètés de base . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.45.1 Quelques applications du theorème du rang . . . . . . . . . .
2.49.1 Rang et matrices équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.53 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.53.1 Noyau, image, isomorphisme, automorphisme, théorème du rang
iii

1
1
1
1
2
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3
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11
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