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Géométrie affine et euclidienne
UNIVERSITÉ CADI AYYAD
FACULTÉ DES SCIENCES-SEMLALIA
DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES

Polycopié de cours

Tikz

Nombreux exercices et exemples avec solution

Professeur
Mohamed HOUIMDI
Version septembre 2017

Publications du
Département de Mathématiques

0.0

Espaces
vectoriels

Espaces
euclidiens

Géométrie

Espaces
Affines

Applications
affines

La page de garde et les dessins de ce polycopié ont été réalisés à l’aide du package
de LATEX

tikz

Pour une documentation complète sur tikz, voir le manuel officiel (1161 pages)
ftp://ftp.di.uminho.pt/pub/ctan/graphics/pgf/base/doc/pgfmanual.pdf
Pour une bibliothèque d’exemples, voir le site officiel (Des centaines d’exemples)
http://www.texample.net/tikz/examples/

ii

Pr.Mohamed HOUIMDI

Table des matières
1 Espaces affines
1.1 Propriètés de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Proprièté du parallélogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Sous-espace affine engendré par un ensemble de points . . . . .
1.2.3 Intersection de deux sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Parallélisme de deux sous-espace affines . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Barycentre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Fonction vectorielle de Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Définition et proopriètés du barycentre . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Mesure algèbrique - Théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Mesure algèbrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Espaces affines de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Repère affine - Coordonnées barycentriques . . . . . . . . . . . .
1.5.1.1 Repère affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1.2 Coordonnées barycentriques . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1.3 Quelques applications des coordonnées barycentriques
1.5.2 Repère cartésien - Coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . .
1.5.3 Représentation paramétrique d’un sous-espace affine . . . . . . .
1.5.4 Représentation cartésienne d’un sous-espace affine . . . . . . . .
1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Applications affines
2.1 Propriètés caractéristiques d’une application affine . . . . . . .
2.1.1 Définition et propriètés élémentaires . . . . . . . . . . .
2.1.2 Représentation analytique d’une application affine . . .
2.1.3 Composée de deux applications affines - Groupe affine .
2.1.4 Points fixes d’une application affine . . . . . . . . . . .
2.2 Exemples d’applications affines . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1.1 Définition et propriètés élémentaires . . . . .
2.2.1.2 Groupe des translations de E . . . . . . . . .
2.2.1.3 Décomposition d’une application affine . . . .
2.2.2 Homothétie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Groupe des homothéties-translations . . . . . . . . . .
2.2.4 Projection affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Symétrie affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii

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10
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37
37
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39
41
42
44
49
55

0.0

TABLE DES MATIÈRES

3 Endomorphismes d’un espace euclidiens
3.1 Endomorphisme adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Projection suivant une direction . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Définition et propriètés d’une projection orthogonale
3.2.3 Distance d’un point à un sous-espace vectoriel . . . .
3.3 Symétrie orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Symétrie suivant une direction . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Propriètés des symétries orthogonales . . . . . . . . .
3.4 Endomorphismes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Définition et propriètés de base . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Cas d’un espace euclidien de dimension 2 . . . . . . .
3.4.3 Cas d’un espace euclidien de dimension 3 . . . . . . .
3.4.4 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Espace affine euclidiens
4.1 Notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Repère orthonormé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Sous-espaces affines orthogonaux . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Hyperplan médiateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Perpendiculaire commune et distance de deux droites de E3
4.5.0.1 Perpendiculaire commune . . . . . . . . .
4.5.1 Distance de deux droites de E3 . . . . . . . . . . . .
4.6 Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.2 Distance d’un point à un sous-espace affine . . . . .
4.6.3 Distance d’un point à une droite affine de E3 . . . .
4.6.4 Distance d’un point à un plan affine affine de E3 . .
4.6.5 Distance d’un point à un hyperplan affine . . . . .
4.7 Symétrie orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Isométries affines
5.1 Définition et propriètés de base . . . . .
5.2 Isométrie du plan affine euclidien . . . .
5.2.1 Les déplacements . . . . . . . . .
5.2.2 Les antidéplacements . . . . . . .
5.3 Isométries de l’espace affine de dimension
5.3.1 Les déplacements . . . . . . . . .
5.3.2 Les antidéplacements . . . . . . .
5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

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3
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59
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62
66
68
68
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70
70
73
74
77
79

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95
97
97
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100
103
104
104
107
107
108
109
110

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114
. 114
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. 116
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. 119
. 119
. 122
. 124

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Pr.Mohamed HOUIMDI

1 Espaces affines
1.1

Propriètés de base

1.1.1

Définition et exemples

Définition
Soient E un R-espace vectoriel et E un ensemble quelconque, non vide. On dit que
E est un espace affine attaché à E (ou de direction E), s’il existe une application
E × E −→ E
# ”
(A, B) 7−→ AB
vérifiant les propriètés suivantes :
i) Pour tout A ∈ E, l’application
E −→ E
# ”
M 7−→ AM est bijective.
ii) Relation de Chasles :
# ” # ” # ”
∀A ∈ E, ∀B ∈ E, ∀C ∈ E, BC = BA + AC
Un espace affine E est dit de dimension finie, si sa direction est de dimension finie.
Dans ce cas, la dimension de E est égale à celle de sa direction.
Remarque
Si E est un espace affine de direction E, alors les éléments de E sont appelés des points et
sont désignés par des lettres majuscules A, B, C, D, M, N, P, . . . . Tandis que les éléments
de E sont appelés des vecteurs et sont désignés par des lettres minuscules surmontées
#” #” #”
#” . . . .
d’une flêche i , j , k , #”
u , #”
v , w,
Exemples
+ Si dim(E) = 1, on dit que E est une droite affine.

+
+

Si dim(E) = 2, on dit que E est un plan affine.
Tout R-espace vectoriel E, peut-être considéré, canoniquement, comme un espace
affine attaché à lui même.
En effet, dans ce cas, on prend E = E et on considère l’application de E × E vers
#”
#”
E qui à (a, b) ∈ E × E fait correspondre ab, avec ab = b − a, alors les conditions de
la définition sont vérifiées :
i) Pour tout a ∈ E, l’application de E vers E qui à b fait correspondre b − a est
bijective.
#” #”
#”
ii) Si a ∈ E, b ∈ E et c ∈ E, alors on a ba + ac
= (a − b) + (c − a) = c − b = bc.
Ainsi, les éléments d’un R-espace vectoriel sont considérés, selon les situations,
comme des points ou comme des vecteurs.
1

1.1

CHAPITRE 1. ESPACES AFFINES

1.1.2

Règles de calcul

Proposition 1
Soit E un espace affine attaché à l’espace vectoriel E, alors
# ” # ”
i) ∀M ∈ E, ∀N ∈ E, AM = AN =⇒ M = N
# ” #”
ii) ∀A ∈ E, ∀B ∈ E, AB = 0 ⇐⇒ A = B
# ”
# ”
iii) ∀A ∈ E, ∀B ∈ E, BA = −AB
# ” # ” # ”
iv) ∀A ∈ E, ∀B ∈ E, ∀C ∈ E, BC = AC − AB
v) Pour tout point A ∈ E et pour tout vecteur #”
u ∈ E, il existe un unique point
# ” #”
M ∈ E, tel que AM = u .
vi) Si A et B sont deux points de E, alors il exite un unique vecteur #”
u ∈ E, tel que
# ” #”
AB = u .
Preuve
i) D’après la première proprièté de la définition, l’application
E −→ E
# ”
M 7−→ AM est bijective.
Donc cette application est injective, par suite, on a le résultat.
ii) (⇐=) D’aprè la relation de Chasles, pour tout A ∈ E, on a
# ” # ” # ”
# ” #”
AA + AA = AA ainsi, on voit que AA = 0
# ”
# ”
# ”
#”
(=⇒) Si on suppose que AB = 0 , alors on aura AB = AA, donc d’après i), on a
B = A.
# ”
#”
iii) Pour tout A ∈ E, on a AA = 0 et d’après la relation de Chasles, pour tout B ∈ E,
# ” # ” # ” #”
# ”
# ”
on a AB + BA = AA = 0 , par suite, BA = −AB.
iv) Pour A, B et C éléments de E, on a, d’après Chasles,
# ” # ” # ”
# ” # ”
BC = BA + AC = −AB + AC
v) Lorsque on fixe un point A, l’aplication
E −→ E
# ”
M 7−→ AM est bijective.
# ”
Donc pour tout #”
u ∈ E, il existe un unique M ∈ E, tel que AM = #”
u.
vi) Par définition, à tout (A, B) ∈ E, est associé un unique vecteur #”
u.
Remarque
# ” # ”
# ”
# ” # ”
Soient B, C ∈ E, alors pour tout A ∈ E, on a AC − AB = BC, donc AC − AB ne
# ”
dépend pas du point A choisis, c’est pour cela, qu’on peut poser C − B = BC.

2

Pr.Mohamed HOUIMDI

1.2

1.2. SOUS-ESPACES AFFINES

1.1.3

Proprièté du parallélogramme

Proposition 2
Soient A, B, C et D quatre points d’un espace affine E. Alors les propriètés suivantes
sont équivalentes,
# ” # ”
i) AB = DC.
# ” # ”
ii) AD = BC.
# ” # ” # ”
iii) AB + AD = AC.
Si quatre points A, B, C et D vérifient l’une des trois propriètés équivalentes, précédentes, on dit que A, B, C et D forment un parallélogramme.
Preuve
i) ⇐⇒ ii)
# ” # ”
AB = DC ⇐⇒
⇐⇒

# ” # ” # ” # ”
AD + DB = DB + BC
# ” # ”
AD = BC

i) ⇐⇒ iii)
# ” # ”
AB = DC ⇐⇒
⇐⇒
D

# ” # ” # ”
AB = AC − AD
# ” # ” # ”
AB + AD = AC





C

e

m
am

r
log

è
all

r
Pa
A



1.2

Sous-espaces affines

1.2.1

Définition et exemples



B

Définition
Soit E un espace affine attaché à E. On dit qu’une partie non vide F de E est un
sous-espace affine de E, s’il existe un point A ∈ F et il existe un sous-espace vectoriel
F de E, tels que
# ”
∀M ∈ E, M ∈ F ⇐⇒ AM ∈ F
Dans ce cas, on dit que F est le sous-espace affine de E passant par le point A et de
direction le sous-espace vectoriel F .
3

Pr.Mohamed HOUIMDI

1.2

CHAPITRE 1. ESPACES AFFINES

Exemples
+ Pour tout point A ∈ E, le singleton {A} est un sous-espace affine de E. C’est le
#”
sous-espace affine de E passant par A et de direction F = { 0 }.

+

Soit E un R-espace vectoriel, alors pour tout sous-espace affine F de E, il existe un
point a ∈ E et il existe un sous-espace vectoriel F de E, tels que,
F =a+F
Donc, en particulier, tout sous-espace vectoriel de E peut-être considéré comme un
sous-espace affine de E, tandis que la réciproque n’est pas toujours vraie.
En effet, si F est un sous-espace affine de E, alors, par définition, il existe a ∈ F et
il existe un sous-espace vectoriel F de E, lel que pour tout x ∈ E,
#” = x − a
x ∈ F ⇐⇒ x − a ∈ F (car, dans ce cas, ax
⇐⇒ x ∈ (a + F )
On en déduit donc que F = a + F .

+

Soit F un sous-espace affine de E passant par A et de direction F .
i) Si dim(F ) = 1 avec F = V ect( #”
u ), on dit que F est une droite affine de E
passant par A et de vecteur directeur #”
u.
#”
On la note D(A, u ), donc pour M ∈ E on aura
# ”
M ∈ D(A, #”
u ) ⇐⇒ (AM , #”
u ) est lié
# ”
⇐⇒ ∃α ∈ R : AM = α #”
u
ii) Si dim(F ) = 2 avec F = V ect({ #”
u , #”
v }), on dit que F est un plan affine de E
passant par A et de vecteurs directeurs #”
u et #”
v.
#”
#”
On le note P (A, u , v ), donc pour M ∈ E on aura
# ”
M ∈ P (A, #”
u , #”
v ) ⇐⇒ (AM , #”
u , #”
v ) est lié

# ”
⇐⇒ ∃(α, β) ∈ R2 tel que AM = α #”
u + β #”
v

iii) Si F est un hyperplan de E, on dit que F est un hyperplan affine de E.
Comme F est un hyperplan de E, alors il existe une forme linéaire non nulle
ϕ de E, telle que pour #”
u ∈ E, on a
#”
u ∈ F ⇐⇒ ϕ( #”
u) = 0
Ainsi, l’hyperplan affine F sera aussi défini par
# ”
M ∈ F ⇐⇒ ϕ(AM ) = 0

4

Pr.Mohamed HOUIMDI

1.2

1.2. SOUS-ESPACES AFFINES

1.2.2

Sous-espace affine engendré par un ensemble de points

Définition
Soient E un espace affine attaché à E, A une partie non vide de E et A ∈ A.
On appelle sous-espace affine engendré par A, qu’on note Af f (A), le sous-espace
# ”
affine de E passant par le point A et de direction F = V ect({AB : B ∈ A}).
Remarque
Af f (A) est le plus petit sous-espace affine de E contenant A. C’est à dire, si F est un
sous-espace affine de E qui contient A, alors F contient Af f (A).
En effet, Fixons un point A ∈ A et désignons par F la direction de F.
Soit M ∈ Af f (A), alors, par définition, il existe (A1 , A2 , . . . , Am ) ∈ Am et il existe
(α1 , α2 , . . . , αm ) ∈ Rm , tels que
m
# ” X
# ”
AM =
αi AAi
i=1

Or, pour tout i ∈ {1, 2, . . . , m}, Ai ∈ F et A ∈ F, donc, pour tout i ∈ {1, 2, . . . , m},
# ”
# ”
AAi ∈ F , donc AM ∈ F , par suite, M ∈ F.

Proposition 3
Soient A, B et C trois points d’un espace affine E, alors les propriètés suivantes sont
équivalentes :
# ” # ”
i) (AB, AC) est libre,
# ” # ”
ii) (BA, BC) est libre,
# ” # ”
iii) (CA, CB) est libre.
Preuve
# ” # ”
# ” # ”
i)=⇒ii) Supposons que (AB, AC) est libre et montrons que (BA, BC) est libre.
# ”
# ” #”
# ”
# ” # ”
#”
Soient α, β ∈ R, tel que αBA+β BC = 0 , alors on aura, −αAB +β(AC − AB) = 0 ,
# ”
# ”
# ” # ”
#”
donc β AC − (α + β)AB = 0 . Comme (AB, AC) est libre, alors on a β = 0 et
α + β = 0, ce qui prouve que α = β = 0.
Les autres implications ii)=⇒iii) et iii)=⇒i) se démontre de la même manière.
Remarque
Si trois points A, B et C vérifient l’une des trois propriètés de la proposition précédente,
on dit que A, B et C sont non alignés.
B


C
A

B








A



C

Figure 1.2 – Trois points alignés

Figure 1.1 – Trois points non alignés
5

Pr.Mohamed HOUIMDI

1.2

CHAPITRE 1. ESPACES AFFINES

Exemples
Soit E un espace affine de direction E.

+
+

Pour tout point A ∈ E, on a Af f ({A}) = {A}.
Si A et B sont deux points distincts de E, alors Af f ({A, B}) est le sous-espace
# ”
affine de E passant par A et de direction V ect(AB).
# ”
Af f ({A, B}) est donc la droite passant par A et de vecteur directeur AB. Dans ce
cas, Af f ({A, B}) s’appelle la droite passant par les points distincts A et B, on la
note (AB), donc pour M ∈ E, on aura
# ” # ”
M ∈ (AB) ⇐⇒ (AM , AB) est lié
# ”
# ”
⇐⇒ ∃α ∈ R tel que AM = αAB

+

Si A, B et C sont trois points non alignés de E, alors Af f ({A, B, C}) est le sous# ” # ”
espace affine de E passant par A et de direction V ec({AB, AC}).
# ”
Af f ({A, B, C}) est donc le plan affine passant par A de vecteurs directeurs AB et
# ”
AC. dans ce cas, Af f ({A, B, C}) s’appelle le plan affine passant par les trois points
non alignés A, B et C, on la note (ABC), donc pour M ∈ E, on aura
# ” # ” # ”
M ∈ (ABC) ⇐⇒ (AM , AB, AC) est lié
# ”
# ”
# ”
⇐⇒ ∃(α, β) ∈ R2 tel que AM = αAB + β AC

1.2.3

Intersection de deux sous-espaces affines

Proposition 4
Soient E un espace affine de direction E, F et G deux sous-espaces affines de E de
directions respectives F et G. Alors l’intersection de F et G, s’il n’est pas vide, est
un sous-espace affine de E de direction F ∩ G.
Preuve
Supposons que F ∩ G =
6 ∅ et soit A ∈ F ∩ G, alors pour M ∈ E, on a
M ∈ F ∩ G ⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒

M ∈ F et M ∈ G
# ”
# ”
AM ∈ F et AM ∈ G
# ”
AM ∈ F ∩ G

Donc F ∩ G est un sous-espace affine de direction F ∩ G.

Lemme 1
Soient E un espace affine de direction E, F et G deux sous-espaces affines de E de
directions respectives F et G, tels que F ∩ G =
6 ∅.
i) Si F ⊆ G alors F ⊆ G.
ii) Si F = G alors F = G.
6

Pr.Mohamed HOUIMDI

1.2

1.2. SOUS-ESPACES AFFINES

Preuve
i) Supposons que F ⊆ G et montrons que F ⊆ G.
# ”
Soit A ∈ F ∩ G et soit M ∈ F, alors on a AM ∈ F , car A ∈ F, et comme F ⊆ G,
# ”
alors AM ∈ G, donc M ∈ G.
ii) Si F = G, alors on a F ⊆ G et G ⊆ F , donc d’après i), on aura F ⊆ G et G ⊆ F et
par suite, on a F = G.

Proposition 5
Soit E un espace affine de dimension 3 et de direction E.
1. Soient D = D(A, #”
u ) et D0 = D(B, #”
v ) deux droites affines de E, telles que
D ∩ D0 6= ∅, alors :
i) Si ( #”
u , #”
v ) est libre, alors D ∩ D0 est réduit à un seul point.
ii) Si ( #”
u , #”
v ) est lié, alors D = D0 .
2. Soient P et P 0 deux plans affines de E, de direction respectives F et G, tels
que P ∩ P 0 6= ∅, alors :
i) dim(F ∩ G) ∈ {1, 2}.
ii) Si dim(F ∩ G) = 1, alors P ∩ P 0 est une droite affine de E.
iii) Si dim(F ∩ G) = 2, alors P = P 0 .
#” un plan affine de
3. Soit D = D(A, #”
u ) une droite affine de E et P = P (B, #”
v , w)
E, tels que D ∩ P 6= ∅, alors :
#” est libre, alors D ∩ P est réduite à un seul point de E.
i) Si ( #”
u , #”
v , w)
#” est lié, alors D ⊆ P.
ii) Si ( #”
u , #”
v , w)
Preuve
#”
1. i) Si ( #”
u , #”
v ) est libre, alors V ect( #”
u ) ∩ V ect( #”
v ) = { 0 } et comme D ∩ D0 6= ∅, alors
#”
D ∩ D0 est un sous-espace affine de direction { 0 }, donc D ∩ D0 est réduit à un
seul point.
ii) Si ( #”
u , #”
v ) est lié, alors V ect( #”
u ) = V ect( #”
v ), donc d’après le lemme précédent,
0
0
on a D = D , car D ∩ D 6= ∅.
2. i) On a dim(F ) = dim(G) = 2, donc dim(F ∩ G) ≤ 2.
D’autre part, on a dim(F ∩ G) 6= 0, car sinon on aura
dim(F + G) = dim(F ) + dim(G) = 4
ce qui est absurde, car dim(E) = 3, donc dim(F + G) ≤ 3, par suite, on aura
dim(F ∩ G) ∈ {1, 2}.
ii) Si dim(F ∩ G) = 1, alors P ∩ P 0 est une droite affine.
iii) Si dim(F ∩ G) = 2, alors F ∩ G = F = G, donc d’après le lemme précédent, on
aura P = P 0 , car P ∩ P 0 6= ∅.
#” est libre, alors V ect( #”
#” = { #”
3. i) Si ( #”
u , #”
v , w)
u ) ∩ V ect({ #”
v , w})
0 }, donc D ∩ P est
réduit à un seul point.
#” est lié, comme ( #”
#” est libre, alors #”
#”
ii) Si ( #”
u , #”
v , w)
v , w)
u ∈ V ect({ #”
v , w}),
donc
#”
#”
#”
V ect({ u }) ⊆ V ect({ v , w}), par suite, d’après le lemme précédent, D ⊆ P.

7

Pr.Mohamed HOUIMDI

1.2

CHAPITRE 1. ESPACES AFFINES

Proposition 6
Soient E un espace affine quelconque, F et G deux sous-espaces affines de E de
directions respectives F et G. Alors
# ”
F ∩G =
6 ∅ ⇐⇒ ∃(A, B) ∈ F × G tel que AB ∈ F + G
Preuve
(=⇒) Supposons que F ∩ G =
6 ∅ et soit Ω ∈ F ∩ G, alors
# ”
# ”
∀A ∈ F, ∀B ∈ G AΩ ∈ F et BΩ ∈ G
# ” # ”
# ” # ” # ”
# ”
donc AΩ − BΩ ∈ F + G avec AΩ − BΩ = AB, donc AB ∈ F + G.
# ”
(⇐=) Supposons qu’il existe (A, B) ∈ F × G, tel que AB ∈ F + G, donc il existe
# ”
( #”
u , #”
v ) ∈ F × G, tel que AB = #”
u + #”
v.
# ” #”
# ”
Soit M le point de F défini par AM = u et N le point de G défini par BN = − #”
v,
alors on a
# ”
AM = #”
u =⇒
=⇒

# ” # ”
AB + BM = #”
u
# ”
# ”
#”
BM = − v (car AB = #”
u + #”
v)
# ” # ”
=⇒ BM = BN
=⇒ M = N

Donc M ∈ F ∩ G, par suite F ∩ G =
6 ∅.

Corollaire
Soient E un espace affine quelconque, F et G deux sous-espaces affines de E de
directions respectives F et G.
i) Si E = F + G, alors F ∩ G =
6 ∅.
ii) Si E = F ⊕ G, alors F ∩ G est réduit à un seul point.
Preuve
Exercice

1.2.4

Parallélisme de deux sous-espace affines

Définition
Soient E un espace affine de direction E, F et G deux sous-espaces affines de directions respectives F et G.
i) On dit que F et G sont parallèles, si F ⊆ G ou G ⊆ F .
ii) On dit que F et G sont strictement parallèles, si F = G.
Si F et G sont parallèles, on note F k G.
8

Pr.Mohamed HOUIMDI

1.2

1.2. SOUS-ESPACES AFFINES

Exemples
Soit E un espace affine de direction E.

+

Soient D = D(A, #”
u ) et D0 = D(B, #”
v ) deux droites affines de E, alors
D k D0 ⇐⇒ ( #”
u , #”
v ) est lié

+

#” et P 0 = P (B, #”
#”0 ) deux plans affines de E, alors
Soient P = P (A, #”
v , w)
v 0, w
#” #”
#” w
#”0 ) sont liés
P k P 0 ⇐⇒ ( #”
v , w,
v 0 ) et ( #”
v , w,

+

#” un plans affine de E et D = D(A, #”
Soient P = P (B, #”
v , w)
u ) une droite affine de E,
alors
#” est lié
D k P ⇐⇒ ( #”
u , #”
v , w)

Définition
Soit E un espace affine de dimension ≥ 3. On dit que deux droites D et D0 de E sont
coplanaires, s’il existe un plan P de E qui contient les droites D et D0 .

Exemples
1. Deux droites parallèles sont toujours coplanaires.
2. Deux droites dont l’intersection n’est pas vide, sont toujours coplanaires.

D
D
D0
D0

Figure 1.3 – Droites coplanaires
9

Pr.Mohamed HOUIMDI

1.3

CHAPITRE 1. ESPACES AFFINES
D

D0
Les droites D et D0 sont non coplanaires

Théorème 1

Soient E un espace affine de dimension 3, D = D(A, #”
u ) et D0 = D(B, #”
v ) deux
0
droites affines de E. On suppose que D et D ne sont pas prallèles, alors, l’une des
deux propriètés suivantes est vérifiée,
# ”
i) Si (AB, #”
u , #”
v ) est lié, alors D et D0 sont coplanaires et dans ce cas, D ∩ D0 est
réduit à un seul point.
# ”
ii) Si (AB, #”
u , #”
v ) est libre, alors D et D0 sont non coplanaires et dans ce cas, on a
D ∩ D0 = ∅.

Preuve
i) Comme D et D0 ne sont pas parallèles, alors ( #”
u , #”
v ) est libre, par suite, d’après la
0
proposition 6, D ∩ D est réduit à un seul point.
# ”
# ”
ii) Si (AB, #”
u , #”
v ) est libre, donc AB ∈
/ V ect({ #”
u , #”
v ), avec V ect({ #”
u , #”
v ) = F + G, et
comme A et B sont choisis d’une manière arbitraire, alors d’après la proposition 6,
on aura D ∩ D0 = ∅.

1.3
1.3.1

Barycentre
Fonction vectorielle de Leibnitz

Définition
Soit E un espace affine de direction E.
i) On appelle point pondéré de E, tout couple (A, α), où A ∈ E et α ∈ R.
Dans ce cas, α s’apelle le poids ou la masse de A.
ii) Si (A1 , α1 ), (A2 , α2 ), . . . , (Am , αm ) sont des points pondérés de E, alors α =

m
X

αi

i=1

s’appelle la masse totale des points pondérés (A1 , α1 ), (A2 , α2 ), . . . , (Am , αm ).
10

Pr.Mohamed HOUIMDI

1.3

1.3. BARYCENTRE

Remarque
En mécanique un point pondéré (A, m) s’appelle un point matériel, c’est un point de
l’espace affine de dimension 3, affecté d’une masse m.

Proposition 7
Soient E un espace affine de direction E et (A1 , α1 ), (A2 , α2 ), . . . , (Am , αm ) des points
pondérés de E. On considère l’application ϕ : E −→ E, appelée fonction vectorielle
de Leibnitz, définie par,
∀M ∈ E, ϕ(M ) =

m
X

# ”
αi M A i

i=1

Alors on a les propriètés suivantes :
i) Si
ii) Si

m
X

αi = 0, alors ϕ est constante.

i=1
m
X

αi 6= 0, alors ϕ est bijective.

i=1

Preuve
i) Soint M et N deux points quelconques de E, alors on a
ϕ(M ) − ϕ(N ) =

m
X

m
# ” X
# ”
αi M Ai −
αi N A i

i=1

=
=

i=1

m
X

# ” # ”
αi (M Ai − N Ai )

i=1
m
X

# ”
αi M N (d’après la relation de chasles)
!

i=1

Donc si

m
X

αi = 0, alors ϕ est constante.

i=1

ii) Soit #”
u ∈ E. Montrons qu’il existe un unique M ∈ E, tel que ϕ(M ) = #”
u.
#”
Pour cela, nous devons résoudre l’équation ϕ(M ) = u et à cet fait, fixons un point
A ∈ E, alors d’après la relation de Chasles, on a
m
X
# ” # ”
ϕ(M ) = #”
u ⇐⇒
αi (M A + AAi ) = #”
u
i=1

⇐⇒

m
X

m
X
# ”
# ”
αi AAi −
αi AM = #”
u

!

i=1

i=1

m
# ”
# ” 1 X
αi AAi − #”
u
⇐⇒ AM =
α i=1

!

(avec α =

m
X

αi )

i=1

Donc l’équation ϕ(M ) = #”
u admet une solution unique M , définie par
m
# ” 1 X
# ”
AM =
αi AAi − #”
u
α i=1

11

!

Pr.Mohamed HOUIMDI

1.3

CHAPITRE 1. ESPACES AFFINES

Remarque
D’près la proposition précédente, si (A1 , α1 ), (A2 , α2 ), . . . , (Am , αm ) sont des points ponm
X
dérés de E, tel que
α 6= 0, alors pour tout vecteur #”
v ∈ E, il existe un unique point
i

M ∈ E, tel que

i=1
m
X

# ”
αi M Ai = #”
v

i=1

1.3.2

Définition et proopriètés du barycentre

Définition
Soient (A1 , α1 ), (A2 , α2 ), . . . , (Am , αm ) des points pondérés d’un espace affine E de
direction E, tels que,

m
P

αi 6= 0.

i=1

On appelle barycentre ou centre de gravité des points pondérés
(A1 , α1 ), (A2 , α2 ), . . . , (Am , αm ), l’unique point G de E défini par
ϕ(G) =

m
X

# ” #”
αi GAi = 0

i=1

Dans ce cas, on pose G = bar((A1 , α1 ), (A2 , α2 ), . . . , (Am , αm )).
Remarque
+ Soit G le barycentre des points pondérés (A1, α1), (A2, α2), . . . , (Am, αm), alors pour
tout point A ∈ E, on a
m
# ”
# ” 1X
αi AAi
AG =
α i=1

où α =

m
X

αi

i=1

+

Si α1 = α2 = · · · = αm = 1, on dit que G est l’isobarycentre des points A1 , A2 , . . . , Am ,.
Dans ce cas, on a
m
1 X
# ”
# ”
AG =
AAi
m i=1

+

Pour tout λ ∈ R∗ , les points pondérés (A1 , α1 ), (A2 , α2 ), . . . , (Am , αm ) et
(A1 , λα1 ), (A2 , λα2 ), . . . , (Am , λαm ) ont même barycentre.
m
m
X
1
P
Donc, si on prend λ = , avec α =
αi , alors on peut supposer que
αi = 1.
α
i=1
i=1

+

En mécanique on considère souvent le centre de gravité d’un système de points
matériels (A1 , m1 ), (A2 , m2 ), . . . , (Ap , mp ).

+

Les mots centre de gravité et barycentre désignent le même objet.

Exemples
soit E un espace affine de direction E.
1. Soient A et B deux points distincts de E, l’ensemble des barycentres des points
pondérés (A, α) et (B, β), avec α ≥ 0 et β ≥ 0, s’appelle le segment joignant les
points A et B et se note [A, B].
12

Pr.Mohamed HOUIMDI

1.3

1.3. BARYCENTRE
D’après la remarque précédente, on peut supposer que α + β = 1, donc le segment
[A, B] est défini par
# ”
# ” #”
M ∈ [A, B] ⇐⇒ ∃(α, β) ∈ R2+ tel que α + β = 1 et αM A + β M B = 0
# ”
# ” #”
⇐⇒ ∃α ∈ [0, 1] tel que (1 − α)M A + αM B = 0
# ”
# ”
⇐⇒ ∃α ∈ [0, 1] tel que AM = αAB
En particulier, le milieu I du segment [A, B] est caractérisé par,
# ” # ” #”
I est milieu de [A, B] ⇐⇒ IA + IB = 0
#” 1 # ” # ”
⇐⇒ ∀O ∈ E, OI = (OA + OB)
2
#” 1# ”
⇐⇒ AI = AB
2

2. Soient A, B et C trois points non alignés de E, alors A, B et C forment ce qu’on
appelle un triangle qui sera noté ABC, les segments [A, B], [A, C] et [B, C] sont
appelés les cotés de ce triangle. L’isobarycentre G des points A, B et C s’appelle le
centre de gravité du triagle ABC, il est donc défini par
# ” # ” # ” #”
GA + GB + GC = 0
Si donc G est le barycentre du triangle ABC, alor on a
# ” 1 # ” # ”
# ” 1 # ” # ” # ” 1 # ” # ”
AG = (AB + AC), BG = (BA + BC), et CG = (CA + CB)
3
3
3

Définition
On appelle médiane issue de A d’un triangle ABC, la droite (AI) passant par le
point A et le point I milieu de [B, C].
Remarque
Un triangle possède trois médianes, (AI), (BJ) et (CK), où I, J et K sont respectivement
les milieux de [B, C], [A, C] et [A, B].
A

K

J


B

I

C

Centre de gravié du triangle ABC

13

Pr.Mohamed HOUIMDI

1.4

CHAPITRE 1. ESPACES AFFINES

Théorème 2
Les trois médianes d’un triangle ABC se coupent au centre de gravité G de ce triagle
et on a
# ” 2#” # ” 2# ”
# ” 2# ”
AG = AI, BG = BJ et CG = CK
3
3
3
où I, J et K sont respectivement les milieux de [B, C], [A, C] et [A, B].
Preuve
I, J et K sont respectivement les milieux de [B, C], [A, C] et [A, B], donc on a
# ” 1 # ” # ”
#” 1 # ” # ” # ” 1 # ” # ”
AI = (AB + AC), BJ = (BA + BC) et CK = (CA + CB)
2
2
2
On en déduit, donc, que
2#”
# ” 1 # ” # ”
AG = (AB + AC) = AI
3
3
Donc G ∈ (AI). Et de la même manière, on montre que
# ” 2# ”
# ” 2# ”
BG = GJ et CG = CK
3
3
Donc G ∈ (AI) ∩ (BJ) ∩ (CK).

1.4
1.4.1

Mesure algèbrique - Théorème de Thalès
Mesure algèbrique

Soient E un espace affine, D une droite affine de E et #”
u un vecteur directeur de D. Soient
# ”
A et B deux points de D, alors on sait que les vecteurs AB et #”
u sont colinéaires, donc il
# ”
#”
existe un unique λ ∈ R, tel que AB = λ u .

Définition

# ”
# ”
Le réel λ, tel que AB = λ #”
u , s’appelle la mesure algèbrique du vecteur AB et se note
AB. (On dit aussi mesure algèbrique du bipoint (A, B)).

Remarque
1. Si D est une droite et si #”
u est un vecteur directeur de D, alors pour tout A, B ∈ D,
# ”
#”
on a AB = AB u .
2. Si A, B et C sont trois points de D, alors on a
i) AB = 0 ⇐⇒ A = B,
ii) BA = −AB,
iii) AC = AB + BC.
3. La mesure algèbrique dépend du vecteur directeur choisis.
AB
4. Si A, B, C et D sont quatre points de D, avec C 6= D, alors le rapport
ne
CD
dépend pas du vecteur directeur choisis.
Soit #”
v un autre vecteur directeur de D, alors on sait qu’il existe α ∈ R, tel que
#”
v = α #”
u . On désigne par λ respectivement µ la mesure algèbrique, par rapport au
# ”
# ”
# ”
vecteur directeur #”
v , de AB respectivement CD, alors on a AB = λ #”
v = λα #”
u et
AB
λ
# ”
CD = µ #”
v = µα #”
u . Ainsi, on voit que AB = λα et CD = µα, donc
= .
µ
CD
14

Pr.Mohamed HOUIMDI

1.4

1.4. MESURE ALGÈBRIQUE - THÉORÈME DE THALÈS

5. Si A, B, C et D sont quatre points de D, avec C 6= D, alors on a

α=

1.4.2

AB
# ”
# ”
⇐⇒ AB = αCD
CD

Théorème de Thalès

Théorème 3
Soient E un espace affine, H1 , H2 et H3 trois hyperplans parallèles de E de direction
commune H. Soient D1 et D2 deux droites de E, telles que
i) Les directions de D1 et D2 ne sont pas incluses dans H ;
ii) D1 coupe, respectivement, H1 , H2 et H3 en A1 , A2 et A3 .
iii) D2 coupe, respectivement, H1 , H2 et H3 en B1 , B2 et B3 .
Alors

A1 A3
B1 B3
=
.
A1 A2
B1 B2

Preuve
A1 A3
B1 B3
# ”
# ”
Soit α =
, alors on a A1 A3 = αA1 A2 . Pour montrer que
= α, il suffit de
A1 A2
B1 B2
# ”
# ”
montrer que B1 B3 = αB1 B2 .
# ”
# ”
Pour cela, on remarque d’abord que B1 B3 − αB1 B2 ∈ D2 , où D2 est la direction de D2 .
D’autre part, on a
# ”
# ” # ” # ” # ”
# ” # ” # ”
B1 B3 − αB1 B2 = B1 A1 + A1 A3 + A3 B3 − α(B1 A1 + A1 A2 + A2 B2 )
# ” # ”
# ” # ”
# ”
= (1 − α)B1 A1 + A3 B3 − αA2 B2 + A1 A3 − αA1 A2
# ” # ”
# ”
# ”
# ” #”
= (1 − α)B1 A1 + A3 B3 − αA2 B2 (car A1 A3 − αA1 A2 = 0 )

On a A1 , B1 ∈ H1 , A2 , B2 ∈ H2 et A3 , B3 ∈ H3 , où H1 , H2 et H3 sont des hyperplans
# ” # ” # ”
parallèles, donc H1 , H2 et H3 ont même direction H, par suite A1 B1 , A2 B2 , A3 B3 ∈ H.
# ”
# ”
On en déduit donc que B1 B3 − αB1 B2 ∈ H. Or D2 n’est pas inclus dans H et D2 est
# ”
# ” #”
#”
droite vectorielle, donc D2 ∩ H = { 0 }, par conséquent B1 B3 − αB1 B2 = 0 .

Remarque
1. Si E est un plan affine, alors H1 , H2 et H3 sont des droites affines et ainsi on retrouve
le théorème de Thalès classique :
15

Pr.Mohamed HOUIMDI

1.4

CHAPITRE 1. ESPACES AFFINES
D1

A1

A2

A3

D2





B1

H1







B2

H2



Figure 1.4 –

B3

H3

A1 A3
B1 B3
=
A1 A2
B1 B2

2. Si E est un espace affine de dimension 3, alors H1 , H2 et H3 sont des plans affines.

Corollaire
Soient A, B et C trois points non alignés et soit ∆ une droite parallèle à (BC) qui
coupe (AB) en P et (AC) en Q. Alors on a
AB
AC
PB
QC
=
et
=
AP
AQ
PA
QA

Preuve
Faisons d’abord un dessin
Q

A

P

B





P

Q



A


D




D




C

B





C

Considérons, par exemple, le deuxième dessin et considèrons la droite D passant par A
et parallèle à (BC). Alors la droite (AB) coupe les droites ∆, D et (BC) en P , A et B
16

Pr.Mohamed HOUIMDI

1.4

1.4. MESURE ALGÈBRIQUE - THÉORÈME DE THALÈS

respectivement, tandis que la droite (AC) coupe les droites ∆, D et (BC) en Q, A et C
respectivement, donc d’après le théorème de Thalès, on a
PB
QC
=
PA
QA
On a

PB
QA
P A + AB
QA + AC
AB
AC
=
, donc
=
, donc on a 1 +
= 1+
, ainsi, on a
PA
QA
PA
QA
PA
QA
AB
AC
=
AP
AQ

Corollaire (Théorème de Ménélaüs)
Soient A, B et C trois points non alignés d’un espace affine E. P , Q et R sont trois
points de E, tels que P ∈ (AB) \ {A, B}, Q ∈ (BC) \ {B, C} et R ∈ (AC) \ {A, C}.
Alors les points P , Q et R sont alignés, si et seulement si,
P A QB RC
×
×
=1
P B QC
RA

Preuve
Supposons que les points P , Q et R sont alignés et considérons, par exemple, le dessin
suivant, où ∆ est la droite passant par C, parallèle à la droite (P Q) et coupe la droite
(AB) en C 0 :
A

P


C0


B•


Q



C


R

En appliquant le corollaire précédent aux triangles AC 0 C et et BC 0 C, on aura
P C0
RC
P C0
QC
=
et
=
PA
RA
PB
QB
Donc en éliminant P C 0 , on aura

PA
QC
RA
=
×
. Ce qui prouve que
PB
QB RC
P A QB RC
×
×
=1
P B QC
RA
17

Pr.Mohamed HOUIMDI

1.5

CHAPITRE 1. ESPACES AFFINES

Réciproquement, supposons que
P A QB RC
×
×
=1
P B QC
RA
Soit G le point d’intersection des droites (P Q) et (AC). Pour conclure, il suffit de montrer
que G = R. On a G ∈ (AC), avec G 6= A et G 6= C, de plus P , Q et G sont alignés, donc
d’après ce qui précéde, on aura
P A QB GC
×
×
=1
P B QC
GA
RC
GC
RC
=
, donc si on pose α =
, on aura
RA
GA
RA
# ”
# ” #”
# ”
# ” #”
RC − αRA = 0 et GC − αGA = 0
# ” # ”
# ”
#”
Comme α 6= 1, alors on a (1 − α)GR = GC − αGA) = 0 , donc G = R.

On en déduit donc que

1.5

Espaces affines de dimension finie

1.5.1

Repère affine - Coordonnées barycentriques

1.5.1.1

Repère affine

Définition
Soient E un espace affine de direction E, A0 , A1 , . . . , Am des points de E. On dit que le
# ” # ”
#

système (A0 , A1 , . . . , Am ) est affinement libre, si le système (A0 A1 , A0 A2 , . . . , A0 Am )
est libre.
Exemples
+ Si A et B sont deux points distincts de E, alors (A, B) est un système affinement
libre.
+ Si A, B et C sont trois points non alignés, alors le système (A, B, C) est affinement
libre.
+ Si quatre points A, B, C et D sont affinement libres, on dit qu’ils sont non coplanaires et dans ce cas, A, B, C et D forment ce qu’on appelle un tétraèdre.
A


t

ra
è

dr
e



U

n

•D

B•



C
18

Pr.Mohamed HOUIMDI

1.5

1.5. ESPACES AFFINES DE DIMENSION FINIE

Définition
Soit E un espace affine de direction E, un repère affine de E est défini par un système
(A0 , A1 , . . . , An ) de points de E, tels que
i) E = Af f ({A0 , A1 , . . . , Am })
ii) (A0 , A1 , . . . , Am ) est affinement libre.
Exemples
+ Si A et B sont deux points distincts, alors (A, B) est un repère affine de la droite
affine (AB) passant par A et B.

+

Si A, B et C sont trois points non alignés, alors (A, B, C) est une repère affine du
plan (ABC) passant par A, B et C.

+

Si A, B, C et D sont quatre points affinement libre, alors E = Af f ({A, B, C, D})
est un espace affine de dimension 3 et (A, B, C, D) est un repère affine de E.

Théorème 4
Soit E un espace affine de direction E et de dimension finie = n. Alors E possède au
moins un repère affine (A0 , A1 , . . . , An ).
Preuve
Soit ( #”
e 1 , #”
e 2 , . . . , #”
e n ) une base de E. Fixons un point A0 ∈ E, alors pour tout
# ”
i ∈ {1, 2, . . . , n}, il existe un unique point Ai ∈ E, lel que A0 Ai = #”
e . Donc on a
# ” # ”
#

# ” # ”
# i ”
#”
#”
#”
(A0 A1 , A0 A2 , . . . , A0 Am ) = ( e 1 , e 2 , . . . , e n ), par suite, (A0 A1 , A0 A2 , . . . , A0 Am ) est libre,
donc (A0 , A1 , . . . , An ) est affinement libre.
# ”
Soit M ∈ E, alors on a A0 M ∈ E, donc il existe λ1 , λ2 , . . . , λn ∈ R, tel que
n
n
X
# ” X
# ”
#”
A0 M = ( e 1 =
A0 Ai
i=0

i=0

Ainsi, on voit que E = Af f ({A0 , A1 , . . . , An }).
1.5.1.2

Coordonnées barycentriques

Théorème 5
Soient E un espace affine de dimension finie = n et (A0 , A1 , . . . , An ) un repère affine
de E. Alors pour tout point M ∈ E, il existe un unique (α0 , α1 , . . . , αn ) ∈ Rn+1 , tel
que α0 + α1 + · · · + αn = 1 et tel que
n
X

# ” #”
αi M Ai = 0

i=0

Dans ce cas, α0 , α1 , . . . , αn s’appelle les coordonnées barycentriques du point M dans
le repère affine (A0 , A1 , . . . , An ).
19

Pr.Mohamed HOUIMDI

1.5

CHAPITRE 1. ESPACES AFFINES

Remarque
Si (A0 , A1 , . . . , An ) est un repère affine de E, alors pour tout point M ∈ E, il existe un
unique (α0 , α1 , . . . , αn ) ∈ Rn+1 , tel que α0 + α1 + · · · + αn = 1 et tel que M soit barycentre
des points pondérés (A0 , α0 ), (A1 , α1 ), . . . , (An , αn ).
Preuve
# ” # ”
# ”
(A0 , A1 , . . . , An ) est affinement libre, donc, par définition, (A0 A1 , A0 A2 , . . . , A0 An ) est
# ” # ”
#

libre dans E, or dim(E) = n, donc (A0 A1 , A0 A2 , . . . , A0 Am ) est une base de E. Soit
n
# ” P
# ”
M ∈ E, alors il existe un unique (β1 , β2 , . . . , βn ) ∈ Rn , tel que, A0 M =
βi A0 Ai
i=1

n
n
# ” X
# ”
# ” X
# ” # ”
A0 M =
βi A0 Ai =⇒ A0 M =
βi (M Ai − M A0 )
i=1

i=1

# ”
=⇒ M A0 +

n
X

n
# ” X
# ” #”
βi M Ai −
βi M A 0 = 0

i=1

=⇒

1−

n
X

i=1

!

βi

n
# ” X
# ” #”
M A0 +
βi M Ai = 0

i=1

Posons α0 = 1 −

Pn

i=1

i=1

βi et ∀i ∈ {1, 2, . . . , n}, αi = βi , alors on aura,
n
X

αi = 1 et

n
X

# ” #”
αi M Ai = 0

i=0

i=0

d’où l’existence de α0 , α1 , . . . , αn . Pour l’unicité, on suppose qu’il existe λ0 , λ1 , . . . , λn
vérifiant la même chose que α0 , α1 , . . . , αn , alors on aura
n
n
# ” X
# ”
# ” X
# ”
A0 M =
αi A0 Ai et A0 M =
λi A0 Ai
i=1

i=1

Donc pour tout i ∈ {1, 2, . . . , n}, αi = λi et puisque
n
X
i=0

αi =

n
X

λi = 1

i=0

alors on obtient α0 = λ0 .
Exemples
+ Si A et B sont deux points distincts, alors (A, B) est un repère affine de la droite
(AB), donc pour tout M ∈ (AB), il existe un unique (α, β) ∈ R2 , avec α + β = 1,
# ”
# ” #”
tel que αM A + β M B = 0 .

+

Si A, B et C sont trois points non alignés, alors (A, B, C) est un repère affine du
plan (ABC), donc pour tout M ∈ (ABC), il existe un unique (α, β, γ) ∈ R3 , avec
# ”
# ”
# ” #”
α + β + γ = 1, tel que αM A + β M B + γ M C = 0 .

+

Si A, B, C et D sont quatre points non coplanaires de E, alors (A, B, C, D) est
un repère affine de l’espace affine de dimension 3 défini par Af f ({A, B, C, D}).
Donc pour tout M ∈ Af f ({A, B, C, D}), il existe un unique (α, β, γ, δ) ∈ R4 , avec
# ”
# ”
# ”
# ” #”
α + β + γ + δ = 1, tel que αM A + β M B + γ M C + δ M D = 0 .

20

Pr.Mohamed HOUIMDI

1.5

1.5. ESPACES AFFINES DE DIMENSION FINIE

1.5.1.3

Quelques applications des coordonnées barycentriques

Proposition 8
Soit E un plan affine de direction E, muni d’un repère affine (A, B, C). Soient M ,
N et P trois points de E, de coordonnées barycentriques respectivement (α, β, γ),
(α0 , β 0 , γ 0 ) et (α00 , β 00 , γ 00 ) dans le repère (A, B, C). Alors M , N et P sont alignés, si
et seulement si,


α α0 α00




β β 0 β 00 = 0


γ γ 0 γ 00

Preuve
Puisque α + β + γ = α0 + β 0 + γ 0 = α00 + β 00 + γ 00 = 1, alors on a

α


β

γ


0
0 0
α0 α00 1 1 1 1

00
β

β
β

β







β 0 β 00 = β β 0 β 00 = β β 0 − β β 00 − β = 0

00







γ

γ
γ

γ
γ 0 γ 00 γ γ 0 γ 00 γ γ 0 − γ γ 00 − γ










D’autre part, on a
# ”
# ”
# ” # ”
# ”
# ”
# ”
# ”
# ”
AM = β AB + γ AC, AN = β 0 AB + γ 0 AC et AP = β 00 AB + γ 00 AC
Donc
# ”
# ”
# ”
# ”
# ”
# ”
M N = (β 0 − β)AB + (γ 0 − γ)AC et M P = (β 00 − β)AB + (γ 00 − γ)AC
# ” # ”
On sait que M , N et P sont alignés, si et seulement si, (M N , M P ) est lié. Puisque
# ” # ”
(AB, AC) est une base de E, alors
# ” # ”
# ” # ”
(M N , M P ) est lié ⇐⇒ det(M N , M P ) = 0


β 0 − β β 00 − β


⇐⇒ 0
=0
γ − γ γ 00 − γ
d’où le résultat.

Théorème de Ménélaüs
Soient E un plan affine, ABC un triangle, P , Q et R trois points de E, tels que
P ∈ (AB), Q ∈ (BC) et R ∈ (AC) avevc P ∈
/ {A, B}, Q ∈
/ {B, C} et R ∈
/ {A, C}.
# ”
# ” # ”
# ”
# ”
# ”
On suppose que P A = αP B, QB = β QC et RC = γ RA. Alors P , Q et R sont
alignés, si et seulement si, αβγ = 1.
21

Pr.Mohamed HOUIMDI

1.5

CHAPITRE 1. ESPACES AFFINES
A




B •



R



Q

C

P


Preuve
E est un plan affine et A, B, C non alignés, donc (A, B, C) est un repère affine de E.
# ”
# ”
On a P A = αP B, avec α 6= 1, car A 6= B, donc on aura
1 # ”
# ” #”
P A − αP B = 0
1−α
1
−α
par suite, on voit que P a pour coordonnées byrycenrtiques ( 1−α
, 1−α
, 0).
−β
1
De la même manière, on voit aussi que Q a pour coordonnées byrycenrtiques (0, 1−β
, 1−β
)
−γ
1
et R a pour coordonnées byrycenrtiques ( 1−γ , 0, 1−γ ).
Donc d’après la proposition précédente,


1


−α

0



0 −γ
1
0 = 0
P, Q, R sont alignés ⇐⇒

−β 1
⇐⇒ 1 − γαβ = 0
⇐⇒ αβγ = 1

1.5.2

Repère cartésien - Coordonnées cartésiennes

Définition
Soit E un espace affine de direction E et de dimension fine = n. Un repère cartésien de E est un système (O, e#”1 , e#”2 , . . . , e#”n ), où O est un point quelconque de E et
(e#”1 , e#”2 , . . . , e#”n ) une base quelconque de E.

Remarque
# ” # ”
# ”
Si (A0 , A1 , A2 , . . . , An ) est un repère affine de E, alors (A0 , A0 A1 , A0 A2 , . . . , A0 An ) est
un repère cartésien de E.
22

Pr.Mohamed HOUIMDI

1.5

1.5. ESPACES AFFINES DE DIMENSION FINIE

Exemples
# ”
+ Si A et B sont deux points distincts de E, alors (A, AB)
est un repère affine de la
droite affine passant par A et B.
# ” # ”
+ Si A, B et C sont trois points non alignés de E, alors (A, AB,
AC) est un repère
cartésien du plan affine passant par A, B et C.

Définition

Soit E un espace affine de dimension finie = n, muni d’un repère cartésien (O, e#”1 , e#”2 , . . . , e#”n ).
Donc pour tout point M ∈ E, il existe un unique (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn , tel que,
n
# ” X
OM =
xi e#”i
i=1

Dans ce cas, x1 , x2 , . . . , xn s’appellent les coordonnées cartésiennes du point M par
rapport au repère cartésien (O, e#”1 , e#”2 , . . . , e#”n ).

1.5.3

Représentation paramétrique d’un sous-espace affine

Soit E un espace affine de dimension finie = n, muni d’un repère cartésien (O, e#”1 , e#”2 , . . . , e#”n ).
Soit F un sous-espace affine de E, passant par le point A de coordonnées (a1 , a2 , . . . , an ),
de direction F avec dim(F ) = p. Soit (v#”1 , v#”2 , . . . , v#”p ) une base de F , alors on a
n

X
αij e#”i
∀j ∈ {1, 2, . . . , p}, v#”j =
i=1

Soit M un point quelconque de E de coordonnées (x1 , x2 , . . . , xn ), alors,
# ”
M ∈ F ⇐⇒ AM ∈ F
p
# ” X
⇐⇒ ∃(λ1 , λ2 , . . . , λp ) ∈ Rp tel que AM =
λj v#”j
j=1



⇐⇒ ∃(λ1 , λ2 , . . . , λp ) ∈ Rp



p
n
X
# ” X

tel que AM =
λj αij  e#”i
i=1

j=1



⇐⇒ ∃(λ1 , λ2 , . . . , λp ) ∈ Rp



p
n
X
# ” X
# ”

tel que OM =
λj αij  e#”i + OA
i=1

j=1

On obtient, donc, le système suivant, appelé représentation paramétrique de F,




x1











 x2




=
=

23

j=1
p
X

λj α1j + a1
λj α2j + a2

j=1

M ∈ F ⇐⇒ ∃(λ1 , λ2 , . . . , λp ) ∈ Rp tel que ..
.




..



.








x

 n

p
X

=

p
X

λj αnj + an

j=1

Pr.Mohamed HOUIMDI

1.5

CHAPITRE 1. ESPACES AFFINES

Exemples
Soit E un espace affine de dimension finie = n, muni d’un repère cartésien (O, e#”1 , e#”2 , . . . , e#”n ).

+

Représentation paramétrique d’une droitre affine
Soit D = D(A, #”
u ) une droite affine passant par A de coordonnées (a1 , a2 , . . . , an ) et
de vecteur directeur #”
u , tel que
n

X
#”
u =
αi e#”i
i=1

Soit M un point quelconque de E de coordonnées (x1 , x2 , . . . , xn ), alors d’après ce
qui précéde, on a


x1







= λα1 + a1
x2 = λα2 + a2
M ∈ D ⇐⇒ ∃λ ∈ R tel que .
.

.



x

+

n

= λαn + an

Représentation paramétrique d’un plan affine
Soit P = P (A, #”
u , #”
v ) un plan affine de E, passant par A de coordonnées (a1 , a2 , . . . , an )
et de vecteurs directeurs #”
u et #”
v , tels que
n

n

i=1

i=1

X
X
#”
u =
αi e#”i et #”
v =
βi e#”i

Soit M un point quelconque de E de coordonnées (x1 , x2 , . . . , xn ), alors d’après ce
qui précéde, on a


x1






= λ1 α1 + λ2 β1 + a1
x2 = λ1 α2 + λ2 β2 + a2
M ∈ P ⇐⇒ ∃(λ1 , λ2 ) ∈ R2 tel que
..


.



x

1.5.4

n

= λ1 αn + λ2 βn + an

Représentation cartésienne d’un sous-espace affine

Théorème 6
Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie = n et F un sous-espace vectoriel de E de dimension = p. Alors, il existe n − p formes linéaires, linéairement
indépendants, ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn−p , telles que
∀x ∈ E, x ∈ F ⇐⇒ ∀i ∈ {1, 2, . . . , n − p}, ϕi (x) = 0

Preuve
Soit F ⊥ l’orthogonal de F dans E ∗ , puisque dim(F ) = p, alors dim(F ⊥ ) = n − p.
Soit (ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn−p ) une base de F ⊥ , alors on a
∀x ∈ E, x ∈ F =⇒ ∀i ∈ {1, 2, . . . , n − p}, ϕi (x) = 0.
Réciproquement, supposons que ∀i ∈ {1, 2, . . . , n − p}, ϕi (x) = 0 et supposons, par
24

Pr.Mohamed HOUIMDI

1.5

1.5. ESPACES AFFINES DE DIMENSION FINIE

absurde, que x ∈
/ F . Soit G un supplémentaire de V ect(x) + F dans E et soit H = F + G,
alors E = V ect(x) ⊕ H et F ⊆ H. Soit ϕ la forme linéaire sur E définie par
∀y ∈ E, y = αx + z =⇒ ϕ(y) = α où z ∈ H
Alors on aura ϕ(x) = 1 et ∀y ∈ F, ϕ(y) = 0, par suite ϕ ∈ F ⊥ . Or (ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn−p ) est
une base de F ⊥ et ∀i ∈ {1, 2, . . . , n − p}, ϕi (x) = 0, donc ϕ(x) = 0, ce qui est absurde.
Soient E un espace affine de dimension finie = n, muni d’un repère cartésien (O, e#”1 , e#”2 , . . . , e#”n ),
et F un sous-espace affine de E de dimension = p. Soit F la direction de F et soit A un
point quelconque de F de coordonnées (a1 , a2 , . . . , an ). D’après le théorème précédent, il
existe n − p formes linéaires, linéairement indépendants, ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn−p , telles que
∀ #”
u ∈ E, #”
u ∈ F ⇐⇒ ∀i ∈ {1, 2, . . . , n − p}, ϕi ( #”
u) = 0
Soit M un point quelconque de E de coordonnées (x1 , x2 , . . . , xn ). Donc si on pose
∈ {1, 2, . . . , n − p}, ∀j ∈ {1, 2, . . . , n}, αij = ϕi (e#”j )
# ”
∀i ∈ {1, 2, . . . , n − p}, βi = ϕi (OA)

∀i

Alors, on aura
# ”
M ∈ F ⇐⇒ AM ∈ F
# ”
⇐⇒ ∀i ∈ {1, 2, . . . , n − p}, ϕi (AM ) = 0
# ”
# ”
⇐⇒ ∀i ∈ {1, 2, . . . , n − p}, ϕi (OM ) = ϕ(OA)
⇐⇒ ∀i ∈ {1, 2, . . . , n − p}, ϕi (

n
X

xj e#”j ) = βi

j=1

⇐⇒ ∀i ∈ {1, 2, . . . , n − p},

n
X

αij xj = βi

j=1

Ainsi, on obtient le système suivant à n−p équations et de rang n−p, appelé représentation
cartésienne de F,


α11 x1







+ α12 x2 + · · · + α1n xn = β1
α21 x2 + α22 x2 + · · · + α2n xn = β2
M ∈ F ⇐⇒ .
.

.



α

n−1,1 x1

+ αn−p,2 x2 + · · · + αn−p,n xn = βn−p

Remarque
+ Tout sous-espace affine de dimension p, possède une représentation cartésienne sous
forme d’un système de rang n − p et de n − p équations.

+

Soit F un hyperplan affine de E, donc dim(F) = n − 1, par suite, F possède une
représentation cartésienne sous forme d’une seule equation,
M ∈ F ⇐⇒ α1 x1 + α2 x2 + · · · + αn xn = β
25

Pr.Mohamed HOUIMDI

1.5

CHAPITRE 1. ESPACES AFFINES

Exemples
+ Cas d’un plan affine
#” #”
Soit E un plan affine muni d’un repère cartésien (O, i , j ). Les sous-espaces affines
non triviaux de E sont les droites affine de E. Soit D une droite affine de E, alors D
` une représentation cartésienne, sous la
est un hyperplan affine de E, donc D possde
forme
M ∈ D ⇐⇒ ax + by + c = 0 avec (a, b) 6= (0, 0)
#” #”
où x et y sont les coordonnées de M dans le repère (O, i , j ).
#”
#”
Dans ce cas, on vérifie que D est la droite de vecteur directeur #”
u = −b i + a j .
a) Soit maintenant D la droite affine de E, passant par le point A de coordonnées
#”
#”
(x0 , y0 ) et de vecteur directeur #”
u = α i + β j . Soit M un point quelconque de
E de coordonnées (x, y), alors l’équation cartésienne de D est déterminée par
# ”
M ∈ D ⇐⇒ (AM , #”
u ) est lié
# ” #”
⇐⇒ det(AM , u ) = 0


x − x α


0
=0
⇐⇒
y − y0 β
⇐⇒

β(x − x0 ) − α(y − y0 ) = 0

b) Soient A un point de coordonnées (a, b) et B un point de coordonnées (c, d),
avec A 6= B. Soit (AB) la droite passant par les points A et B, alors l’équation
cartésienne de (AB) est déterminée par
# ” # ”
M ∈ (AB) ⇐⇒ (AM , AB) est lié
# ” # ”
⇐⇒ det(AM , AB) = 0


x − a c − a


⇐⇒
=0
y − b d − b
⇐⇒

+

(d − b)(x − a) − (c − a)(y − b) = 0

Cas d’un espace affine de dimension 3
#” #” #”
Soit E un espace affine de dimension 3, muni d’un repère cartésien (O, i , j , k ). Les
sous-espaces affines non triviaux de E sont ou bien des droites affines ou bien des
plans affines.
a) Soit P un plan affine de E, puisque dim(E) = 3, alors P est un hyperplan affine
de E, donc P possède une représentation cartésienne sous la forme d’une seule
équation,
M ∈ P ⇐⇒ ax + by + cz + d = 0 avec (a, b, c) 6= (0, 0, 0)
#” #” #”
où (x, y, z) sont les coordonnées de M dans le repère (O, i , j , k ).
#”
#”
#”
#”
Dans ce cas, #”
u = −b i + a j et #”
v = −c i + a k sont deux vecteurs directeurs
du plan P.
Puisque (a, b, c) 6= (0, 0, 0), alors on peut supposer, par exemple, que a 6= 0
et dans ce cas, en posant y = λ et z = µ, on obtient une représentation
paramétrique de P, définie par





x

c
b
=− λ− µ−d
a
a
y
=
λ




z = µ
26

Pr.Mohamed HOUIMDI

1.6

1.6. EXERCICES
b) Soit D une droite affine de E, puisque dim(E) = 3, alors D possède une représentation cartésienne sous forme d’un système de deux équations,
M ∈ D ⇐⇒


ax + by

+ cz + d = 0
a x + b y + c0 z + d0 = 0
0

0

D’aprè ce qui précède, ce système est de rang deux, donc on doit avoir

a

0
a

1.6











b c
a c
b




6= 0
0 6= 0 ou 0
0 6= 0 ou 0
b c0
a c
b

Exercices

Exercice 1
Dans chacun des cas suivants, montrer que F est un sous-espace affine dont on déterminera
un point et la direction :
1. F = {(x, y, z) ∈ R3 : x + 2y + z = 1}.
2. F = {f ∈ RR : ∀x ∈ R, f (x + 1) = f (x) + 1}.
3. Soient E et F deux R-espaces vectoriels et f : E −→ F une application linéaire.
Pour chaque y ∈ Im(f ), on pose F = f −1 ({y}).
4. F = {u ∈ L(E) : u(x0 ) = x0 }, où E est un R-espace vectoriel et x0 ∈ E.
Exercice 2
Soient E un R-espace vectoriel, x0 ∈ E et F = {u ∈ L(E) : u(x0 ) = x0 }. Montrer que
F est un sous-espace affine de L(E) dont on déterminera un point et la direction.
Exercice 3
Soient A, B, C et D quatre points deux à deux distincts d’un plan affine E. On suppose
que (AD) est parallèle à (BC), (AD) ∩ (CD) = {E} et (AC) ∩ (BD) = {F }. Soient I et
J les milieux de [A, D] et [B, C] respectivement. Montrer que les points E, F , I et J sont
alignés.
Exercice 4
Soient A, B et C trois points non alignés d’un plan affine E. P , Q et R trois points tels
que P ∈ (AB), Q ∈ (AC) et R ∈ (BC). On considère les points I, J et K, tels que
BP IR, AP JQ et CQKR soient des parallélogrammes. montrer que les points I, J et K
sont alignés.
Exercice 5
Dans un plan affine, soient ABC et A0 B 0 C 0 deux triangles de centre de gravité G et G0
respectivement.
# ” # ” # ”
1. Calculer AB 0 + BC 0 + CA0 en fontion de G et G0 .
2. On suppose que les triagles ABC et A0 B 0 C 0 ont même centre de gravité. Soit M le
point du plan, tel que M BA0 C soit un parallélogramme. Montrer que M B 0 AC 0 est
aussi un parallélogramme.
3. Réciproquement, on suppose qu’il existe un point M du plan, tel que M BA0 C et
M B 0 AC 0 soient des parallélogrammes. Montrer que les triagles ABC et A0 B 0 C 0 ont
même centre de gravité.
27

Pr.Mohamed HOUIMDI

1.6

CHAPITRE 1. ESPACES AFFINES

Exercice 6
Soient A, B et C trois points non alignés d’un plan affine E.
1. Soit ∆A la médiane du triangle ABC issue de A.
Montrer que pour tout M ∈ E, on a
# ” # ” # ”
M ∈ ∆A ⇐⇒ det(AM , AB + AC) = 0
2. Montrer que pour tout M ∈ E, on a
# ” # ” # ”
# ” # ” # ”
# ” # ” # ”
det(AM , AB + AC) + det(BM , BA + BC) + det(CM , CB + CA) = 0
3. En déduire que les trois médianes d’un triangle sont concourantes.
Exercice 7
Soient A, B et C trois points non alignés d’un plan affine E et M un point quelconque de
E. On pose
# ” # ”
# ” # ”
# ” # ”
λA = det(M B, M C), λB = det(M C, M A), λC = det(M A, M B)
1. Montrer que λA + λB + λC 6= 0.
2. Montrer que M est le barycentre de (A, λA ), (B, λB ) et (C, λC ).
3. En déduire que si G est le barycentre du triangle ABC, alors
# ” # ”
# ” # ”
# ” # ”
det(GB, GC) = det(GC, GA) = det(GA, GB)
Exercice 8
Soint P un plan affine muni d’un repère affine (A, B, C) et M un point de P de coordonnées barycentriques (α, β, γ). Trouver une condition necessaire et suffisante liant α, β et
γ, telle que :
a) Le point M appartient à la droite (AB).
b) Le point M appartient à la médiane issue de A du triangle ABC.
c) Le point M appartient à la parallèle à la droite (BC) mené par le milieu du segment
[A, B].
Exercice 9 (Théorème de Pappus)
Soient D et D0 deux droites d’un plan affine, on considère trois points distincts A, B et
C de D et trois points distincts A0 , B 0 et C 0 de D0 . On suppose que les droites (AB 0 ) et
(BA0 ) et que les droites (BC 0 ) et (CB 0 ) sont parallèles. Montrer que les droites (CA0 ) et
(AC 0 ) sont parallèles.
Exercice 10 (Théorème de Menelaüs)
Soit A, B et C trois points non alignés, P , Q et R trois points, tels que
P ∈ (BC) \ {B, C}, Q ∈ (AC) \ {A, C} et R ∈ (AB) \ {A, B}
# ”
# ” # ”
# ”
# ”
# ”
On suppose que P B = αP C, QC = β QA et RA = γ RB. Montrer que les points P , Q et
R sont alignés, si et seulement si, αβγ = 1.
Exercice 11 (Théorème de Ceva)
Soit A, B et C trois points non alignés, P , Q et R trois points, tels que
P ∈ (BC) \ {B, C}, Q ∈ (AC) \ {A, C} et R ∈ (AB) \ {A, B}
# ”
# ” # ”
# ”
# ”
# ”
On suppose que P B = αP C, QC = β QA et RA = γ RB. Montrer que les droites (AP ),
(BQ) et (CR) sont concourantes, si et seulement si, αβγ = −1.
28

Pr.Mohamed HOUIMDI

1.6

1.6. EXERCICES

Exercice 12
Soient A, B et C trois points non alignés d’un plan affine. Déterminer l’ensemble des points
# ” # ”
# ” # ”
ayant mêmes coordonnées dans les repères cartésiens (A, AB, AC) et (B, BA, BC).
Exercice 13
Soient E un espace affine de dimension finie, F et G deux sous-espaces affines de E de
directions respectives F et G.
1. On suppose que F ∩ G 6= ∅. Déterminer la direction de Af f (F ∪ G) et en déduire
que
dim(Af f (F ∪ G)) = dim(F ) + dim(G) − dim(F ∩ G)
2. On suppose que F ∩ G = ∅.

# ”
a) Montrer que pour tout A ∈ F et pour tout B ∈ G, on a AB ∈
/ F + G.
b) Déterminer la direction de Af f (F ∪ G) et en déduire que
dim(Af f (F ∪ G)) = dim(F ) + dim(G) − dim(F ∩ G) + 1

Exercice 14
#” #” #”
L’espace affine de dimension 3 est rapporté à un repère cartésien (O, i , j , k ). On considère les pints A, B et C de coordonnées respectives (1, 2, 3), (2, −1, 2) et (0, 1, −2). Soient
D1 et D2 les droites affines définies par



x

= −λ + 3
D1 : y = 2λ + 1


z =λ−1

, λ ∈ R,




x

= 3µ + 1
D2 : y = −2µ


z = 5µ + 3

, µ∈R

Soient P1 , P2 et P3 les plans affines définis par



x

= −2λ + 3µ + 1
P1 : y = λ + µ − 2



z = −λ − 2µ + 4

, (λ, µ) ∈ R2 ,

P2 : 2x − y + 3z − 1 = 0,

P3 : x + 2z − 4 = 0

1. Donner une équation cartésienne de P1 .
2. Déterminer une représentation paramétrique de P2 ∩ P3 .
3. Donner une équation cartésienne du plan pssant par les points A, B et C.
4. Montrer que D1 et D2 sont coplanaires et donner une équation du plan Q contenant
D1 et D2 .
5. Donner une équation cartésienne du plan P passant par le point C et contenant la
droite D1 .
6. Donner une représentation paramétrique de la droite passant par A, parallèle à P2
et coupant D1 .
Exercice 15
#” #” #”
Soit E un espace affine de dimension 3 muni d’un repère cartésien (O, i , j , k ). On considère les points A, B et C de coordonnées respectives (1, 2, 3), (2, −1, 1) et (1, 1, 1).
1. Montrer que les points A, B et C sont non alignés.
2. Trouver une équation cartésienne du plan P1 passant par les points A, B et C.
29

Pr.Mohamed HOUIMDI

1.6

CHAPITRE 1. ESPACES AFFINES

3. Soit D la droite affine de E définie par,
D:


2x + y

+z−5=0
−2x − y + z + 3 = 0

a) Trouver une représentation paramétrique de D.
b) Vérifier que le point A0 de coordonnées (2, −2, −3) n’appartient pas à D et
trouver une représentation paramétrique du plan P2 contenant la droite D et
le point A0 .
c) Montrer que P1 et P2 sont parallèles et que P1 6= P2 .
4. Soient α et β deux réels, tels que α + β = 1. Pour chaque point M de coordonnées
(x, y, z), on considère le point M 0 de coordonnées (x0 , y 0 , z 0 ) barycentre du système
((A0 , α), (M, β)).
a) Déterminer x0 , y 0 et z 0 en fonction de α, β, x, y et z.
b) On considère l’ensemble P des points M 0 lorsque M décrit P1 . Montrer que si
β 6= 0, alors P est un plan parallèle à P1 . Dans quel cas a-t-on P = P1 ? Que
devient l’ensemble P, lorsque β = 0 ?
5. Soit D0 la droite affine de E définie par,

x − y

+z =a
D0 : 
x−z =2
a) Pour quelles valeurs du réel a, les droites D et D0 sont coplanaires ?
b) Dans le cas où D et D0 sont coplanaires, déterminer une équation cartésienne
du plan contenant D et D0 .
Exercice 16
#” #” #”
L’espace affine de dimension 3 est rapporté à un repère cartésien (O, i , j , k ). On considère les droites D1 et D2 définies par

x − 2z

=1
y = z + 2


x + y

+z =1
x − 2y + 2z = a

,

Déterminer le réel a pour que D1 et D2 soient coplanaires et dans ce cas, déterminer une
équation cartésienne du plan les contenant.
Exercice 17
#” #” #”
L’espace affine de dimension 3 est rapporté à un repère cartésien (O, i , j , k ). Soient D
et D0 les droites définies par :



x

= −1 − λ
D : y = 1 + 2λ



z =3+λ

, λ ∈ R,




x

= 2 − 3µ
D : y =1+µ



z = −2µ
0

,µ ∈ R

1. Montrer que D et D0 ne sont pas coplanaires.
2. Soit m ∈ R et soient M et M 0 des points appartenant respectivement à D et D0 .
En prenant λ = µ = m, montrer que la droite (M M 0 ) reste parallèle à un plan fixe
lorsque m varie.
30

Pr.Mohamed HOUIMDI

1.6

1.6. EXERCICES

Exercice 18
#” #” #”
Soit E un espace affine de dimension 3, muni d’un repère cartésien (O, i , j , k ). Pour
chaque m ∈ R, on considère le plan Pm d’équation,
(2m + 1)x − 2y + (m + 1)z − 3m + 4
1. Montrer que tous les plans Pm contiennent une droite ∆ dont on déterminera une
représentation paramétrique.
2. On considère les droites ∆1 et ∆2 définies par :


x


= 1 − 2λ
∆1 : y = 3 + λ


z = 1 + 4λ


x − 2y

+3=0
, λ ∈ R et ∆2 : 
x + 2z = 0

a) Montrer que ∆1 et ∆2 sont sécantes et déterminer le point I intersection de ∆1
et ∆2 . Vérifier que I ∈ P0 .
b) Ecrire une équation cartésienne du plan Q contenant ∆1 et ∆2 .
c) Soit O0 l’image de O par la symétrie centrale de centre I. Ecrire une équation
cartésienne du plan Q0 passant par O0 et parallèle à P0 .
d) Donner une représentation paramétrique de D = Q ∩ Q0 .
1
3. a) Existe-t-il un plan Pm passant par le point A de coordonnées ( , 0, 2).
2
b) Ecrire une équation cartésienne du plan Q passant par le point A et la droite ∆.
c) Soient P l’ensemble de tous les plans Pm et Q celui de tous les plans contenant
∆. P est-t-il égal àQ ?
Exercice 19
#” #” #”
L’espace affine de dimension 3 est rapporté à un repère cartésien (O, i , j , k ).
A tout couple (a, m) ∈ R2 , on associe la droite ∆a et le plan Pm définis par :

x + 1

=0
∆a : 
y − z − a = 0 et Pm : (m + 1)x − (m − 1)y + (2m + 3)z + 2 = 0
1. Trouver un point A et un vecteur directeur #”
u de la droite ∆a .
2. Etudier, suivant les valeurs de a et m, la position relative de ∆a et Pm .
3. Démontrer que tous les plans Pm contiennent une droite fixe D dont on déterminera
un point A et un vecteur directeur #”
u.
4. a) Déterminer a pour que ∆a et D soient coplanaires.
b) Dans le cas où ∆a et D sont coplanaires, donner une équation cartésienne du
plan Q contenant ∆a et D.
Exercice 20
Soient A, B et C trois points non alignés, I le barycentre de ((A, 2), (C, 1)), J celui de
((A, 1), (B, 2)) et K celui de ((C, 1), (B, −4)).
a) Montrer que J est le milieu de [I, K].
b) Soient L et M les milieux respectifs de [C, I] et [C, K]. Montrer que IJM L est un
parallélogramme dont le centre G est le barycentre du triangle ABC.
31

Pr.Mohamed HOUIMDI

1.6

CHAPITRE 1. ESPACES AFFINES

Exercice 21
#” #” #”
L’espace affine de dimension 3 est rapporté à un repère cartésien (O, i , j , k ). Soient A,
B, C et D les points de coordonnées respectives (4, −1, 2), (2, −5, 4), 5, 0, −3) et (1, −5, 6).
1. Montrer que les points A, B, C et D sont non coplanaires.
2. On considère les droites et les plans suivants dont les équations par rapport au
#” #” #”
repère (O, i , j , k ) sont données par
i) x + y = 1 = 0.
ii) 2x − 3y + 4z − 1 = 0.
iii)

iv)


x + y

+z =1
2x − y + 4z = 3

3x − y

− z = −1
4x − 3y − z = −2

.

.

# ” # ” # ”
Donner les équations de ces droites et ces plans par rapport au repère (A, AB, AC, AD).
Exercice 22
Soient A, B, C et D quatres points non coplanaires de l’espace affine de dimension 3. On
définit les points K, L, M et N par
# ”
# ” #” # ”
# ” #” # ”
# ” #” # ”
# ” #”
KA + αKB = 0 , LB + β LC = 0 , M C + γ M D = 0 , N D + λN A = 0
Caractériser (α, β, γ, λ) pour que les plans (KCD), (LDA), (M AB) et (N BC) aient un
point commun.

32

Pr.Mohamed HOUIMDI

2 Applications affines
2.1
2.1.1

Propriètés caractéristiques d’une application affine
Définition et propriètés élémentaires

Définition
Soit E un espace affine de direction E. On dit qu’une application f : E −→ E est
#”
une application affine, s’il existe un endomorphisme de E, noté f , telle que
#
” #” # ”
∀M ∈ E, ∀N ∈ E, f (M )f (N ) = f (M N )
#”
Dans ce cas, f s’appelle l’application linéaire associée à f
Exemples
Soit E un R-espace vectoriel muni de sa structure affine canonique. Alors toute application
affine f de E s’écrit sous la forme,
∀x ∈ E, f (x) = u(x) + b où u ∈ L(E) et b ∈ E
En effet, si f (x) = u(x) + b, alors on aura,
#

∀x ∈ E, ∀y ∈ E, f (x)f (y) =
=
=
=

f (y) − f (x)
u(y) − u(x)
u(y − x)
#”
u(xy)

Donc f est une application affine.
Réciproquement, soit f une application affine, alors il existe une application linéaire u de
E, telle que :
∀x ∈ E, ∀y ∈ E, f (x) − f (y) = u(x − y), donc pour y = 0 et b = f (0) nous obtenons,
∀x ∈ E, f (x) = u(x) + b

Proposition 9
Soient E un espace affine de direction E et f : E −→ E une application.
Alors f est une application affine, si et seulement si, il existe une application linéaire
#”
f de E et il existe un point A ∈ E, tel que,
#
” #” # ”
∀M ∈ E, f (A)f (M ) = f (AM )

33

2.1

CHAPITRE 2. APPLICATIONS AFFINES

Preuve
(=⇒) Trivial.
(⇐=) Soient M et N deux points quelconques de E, alors on a
#

#
” #

f (M )f (N ) = f (A)f (N ) − f (A)f (M )
#” # ”
#” # ”
= f (AN ) − f (AM )
#” # ” # ”
= f (AN − AM )
#” # ”
= f (M N )

Proposition 10
Soient E un espace affine de direction E, f une application affine de E et F un
sous-espace affine de E passant par le point A et de direction F , alors,
#”
i) f (F) est un sous-espace affine de E passant par f (A) et de direction f (F ).
#”
ii) f −1 (F), s’il n’est pas vide, est un sous-espace affine de direction f −1 (F ).
Preuve
i) Montrons que

#
” #”
∀M ∈ E, M ∈ f (F) ⇐⇒ f (A)M ∈ f (F )

Soit M ∈ f (F), alors, il existe P ∈ F, tel que M = f (P ), donc,
#
” #
” #” # ”
#
” #”
f (A)M = f (A)f (P ) = f (AP ). Donc f (A)M ∈ f (F ).
#
” #”
#
” #”
Supposons que f (A)M ∈ f (F ), donc il existe #”
u ∈ F , tel que f (A)M = f ( #”
u ).
#
” #

# ”
#”
Soit N ∈ F, tel que u = AN , donc f (A)M = f (A)f (N ), par suite, M = f (N ).
ii) Supposons que f −1 (F) 6= ∅ et soit A ∈ f −1 (F), alors on a
M ∈ f −1 (F) ⇐⇒ f (M ) ∈ F
#

⇐⇒ f (A)f (M ) ∈ F
#” # ”
⇐⇒ f (AM ) ∈ F
# ” #”
⇐⇒ AM ∈ f −1 (F )
#”
Donc f −1 (F) est le sous-espace affine passant par A et de direction f −1 (F ).
Remarque
Pour tout point M ∈ E, f −1 ({M }), s’il n’est pas vide, est un sous-espace affine de E
#”
de direction ker( f ).

2.1.2

Représentation analytique d’une application affine

Soit E un espace affine de dimension finie = n, muni d’un repère cartésien (O, e#”1 , e#”2 , . . . , e#”n ).
#”
Soient f une application affine et A = (aij )1≤i,j≤n la matrice de f par rapport à la base
(e#”1 , e#”2 , . . . , e#”n ).
On désigne par (b1 , b2 , . . . , bn ) les coordonnées de Ω = f (O) et pour chaque point M ∈ E
de coordonnées (x1 , x2 , . . . , xn ), on désigne par (x01 , x02 , . . . , x0n ) les coordonnées de M 0 ,
#

#” # ”
avec M 0 = f (M ), puisque f (OM ) = f (O)f (M ), alors on aura
34

Pr.Mohamed HOUIMDI

2.1

2.1. PROPRIÈTÉS CARACTÉRISTIQUES D’UNE APPLICATION AFFINE

# ”
# ”
#” # ”
OM 0 = f (OM ) + OΩ, par suite, on obtient le système suivant, appelé représentation
analytique de l’application affine f :


x01





 0

= a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn + b1
x2 = a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn + b2
..


.



 x0

n

= an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn + bn

Remarque
D’après ce qui précède, si on pose
b1
x01
x1
 
 0
 
b2 
x



 x2 
0
 
 2

X=
 ..  , X =  ..  et b =  .. 
.
 . 
 . 
0
bn
xn
xn












alors, on obtient ce qu’on appelle une représentation matricielle de l’application affine f ,
par rapport au repère cartésien (O, e#”1 , e#”2 , . . . , e#”n ) :
X 0 = AX + b

2.1.3

Composée de deux applications affines - Groupe affine

Proposition 11
Soient E un espace affine, f et g deux applications affines de E. Alors g ◦ f est une
#”
application affine dont l’application linéaire associée est #”
g ◦ f.
Preuve
Soient M et N deux points quelconques de E, alors on a
#

#

(g ◦ f )(M )(g ◦ f )(N ) = g(f (M ))g(f (N ))
#

= #”
g (f (M )f (N ))
#” # ”
= #”
g ( f ( #”M N ))
#” # ”
= ( #”
g ◦ f )(M N )
# ”
#”
Donc g ◦ f est une application affine et g ◦ f = #”
g ◦ f.

Proposition 12
Soient E un espace affine de direction E et f une application affine de E. Alors,
i)

#”
f est bijective ⇐⇒ f est bijective

# ” #”
ii) Si f est bijective, alors f −1 est une application affine et on a f −1 = f −1 .
35

Pr.Mohamed HOUIMDI

2.1

CHAPITRE 2. APPLICATIONS AFFINES

Preuve
i) Fixons un point A ∈ E. Supposons que f est bijective et soient ϕ et ψ les applications
définies par
ϕ : E −→ E
# ”
M 7−→ AM

et

ψ : E −→ E
#

M 7−→ f (A)f (M )

alors, par définition, ϕ est bijective et puisque f est bijective, alors ψ est bijective.
#”
#”
#”
On voit facilement que ψ ◦ f = f ◦ ϕ, donc f = ψ ◦ f ◦ ϕ, par suite f est bijective.
#”
Réciproquement, supposons que f est bijective et montrons que f est à la fois
injective et surjective.
Soint M et N deux points de mathcalE, tels que f (M ) = f (N ), a-t-on M = N ?
Pour cela fixons un point A ∈ E, alors on aura,
#
” #

f (M ) = f (N ) =⇒ f (A)f (M ) = f (A)f (N )
#” # ”
#”
=⇒ f (AM ) = f (AN )
#”
# ” # ”
=⇒ AM = AN (car f est bijective)
=⇒ M = N
Soit P un point de E, existe-t-il M ∈ E, lel que f (M ) = P ?
#

#”
#”
Puisque f est bijective, alors il existe #”
v ∈ E, tel que f ( #”
v ) = f (A)P . Soit M ∈ E,
#

#

#”
#” # ”
# ”
tel que AM = #”
v , donc f ( #”
v ) = f (AM ) = f (A)f (M ) = f (A)P , par suite, on a
P = f (M ).
ii) Exercice
Remarque
Soit E un espace affine. On note GA(E) l’ensemble de toutes les bijections affines de E,
alors (GA(E), ◦) est un groupe, appelé groupe affine de E.

2.1.4

Points fixes d’une application affine

Définition
Soient E un espace affine et f une application affine de E. On dit que A ∈ E est un
point fixe de f , si f (A) = A.
On note F ix(f ) l’ensemble de tous les points fixes de f .
Remarque
Soient E un espace affine de dimension finie = n et f une application affine de E. On
muni E d’un repère cartésien (O, e#”1 , e#”2 , . . . , e#”n ), où O est un point fixe de f . Alors la
représentation matricielle de f par rapport à ce repère s’écrit sous la forme :
X 0 = AX
Donc, dans ce cas, f se comporte comme une application linéaire.

36

Pr.Mohamed HOUIMDI

2.2

2.2. EXEMPLES D’APPLICATIONS AFFINES

Proposition 13
Soient E un espace affine et f une application affine de E. Alors F ix(f ), s’il n’est
#”
pas vide, est un sous-espace affine de E de direction ker( f − IdE ).
Preuve
Supposons que F ix(f ) 6= ∅ et fixons un point A ∈ F ix(f ), alors on a,
M ∈ F ix(f ) ⇐⇒ f (M ) = M
#
” # ”
⇐⇒ Af (M ) = AM
#
” # ”
⇐⇒ f (A)f (M ) = AM
#” # ”
# ”
⇐⇒ f (AM ) = AM
#”
# ”
⇐⇒ AM ∈ ker( f − IdE )
#”
Donc F ix(f ) est le sous-espace affine de E passant par A et de direction ker( f − IdE ).

Théorème 7
Soient E un espace affine de dimension finie = n et f une application affine de E.
Alors les deux propositions suivantes sont équivalentes,
i) f possède un unique point fixe.
#”
ii) 1 n’est pas valeur propre de f .
Preuve
i) =⇒ ii) Si f possède un unique point fixe A, donc le sous-espace affine F ix(f ) est réduit
#”
#”
#”
à un seul point, par suite, F ix(f ) est de direction { 0 }, donc ker( f − IdE ) = { 0 },
#”
donc 1 n’est pas valeur propre de f .
#”
ii) ⇐= i) Fixons un point A ∈ E. Puisque 1 n’est pas valeur propre de f et E de
#”
dimension finie, alors IdE − f est bijective, par suite, il existe #”
u ∈ E, tel que
#

#” #”
(IdE − f )( u ) = Af (A).
#
” # ” #” # ”

# ”
# ” #
Soit M ∈ E, tel que AM = #”
u . Ainsi, Af (A) = AM − f (AM ) = AM − f (A)f (M ),
#
” # ”
donc Af (M ) = AM , par conséquent, f (M ) = M , donc F ix(f ) 6= ∅.
” #” # ”
# ” #
Soient A et B deux points de F ix(f ), alors on a AB = f (A)f (B) = f (AB), donc
#”
# ” #”
AB = 0 , car 1 n’est pas valeur propre de f , par suite A = B.
Remarque
# ”
D’après la démonstration précédente, l’unique point fixe Ω de f est définie par AΩ = #”
u,
#

#” #”
avec (IdE − f )( u ) = Af (A), pour n’importe quel point A ∈ E.

2.2

Exemples d’applications affines

2.2.1

Translation

2.2.1.1

Définition et propriètés élémentaires
37

Pr.Mohamed HOUIMDI

2.2

CHAPITRE 2. APPLICATIONS AFFINES

Définition

Soient E un espace affine de direction E et #”
u un vecteur de E. On appelle translation
de vecteur #”
u , l’application de E vers E qui à tout point M ∈ E, fait correspondre
l’unique point M 0 de E, tel que
# ”
M M 0 = #”
u
u.
On note t #” la translation de vecteur #”
u

Exemples (Illustration graphique :)

M

#”
u



t u#” (M ) = M 0


• t u#” (M )

M

= M0

#”
u



Proposition 14
Soit E un espace affine de direction E, alors toute translation de E est une application
affine dont l’application linéaire associée est l’identité de E.
Preuve
Soit f une translation de E de vecteur #”
v et soient M et N deux points quelconques de
E, alors, d’après la relation de Chasles, on a,
#
” #
” # ” #

# ”
# ”
# ”
f (M )f (N ) = f (M )M + M N + N f (N ) = − #”
v + M N + #”
v = M N = IdE (M N )
#”
Donc f est une application affine et f = IdE .

Proposition 15
Soient E un espace affine et f une application affine de E. Alors f est une translation
#”
de E, si et seulement si, f = IdE .
Preuve
(=⇒) D’après la proposition précédente.
#”
(⇐=) Supposons que f = IdE , alors on aura,
#
” #” # ”
# ”
∀M ∈ E, ∀N ∈ E, f (M )f (N ) = f (M N ) = M N
Donc, d’après la proprièté du prallélogramme, on a
#
” #

∀M ∈ E, ∀N ∈ E, M f (M ) = N f (N )
#

Fixons A ∈ E et soit #”
v = Af (A), alors f est la translation de vecteur #”
v.
2.2.1.2

Groupe des translations de E
38

Pr.Mohamed HOUIMDI

2.2

2.2. EXEMPLES D’APPLICATIONS AFFINES

Proposition 16
Soit E un espace affine de direction E. Alors
i) t #”0 = IdE .
ii) ∀ #”
u ∈ E, ∀ #”
v ∈ E, t u#” ◦ t #”v = t #”v ◦ t u#” = t( u#”+ #”v ) .
#”
#” = t
iii) Pour tout u ∈ E, t #” est bijective et on a t−1
u

u

#” .
−u

iv) Soit T l’ensemble de toutes les translations de E, alors (T , ◦) est un groupe
commutatif, appelé groupe des translations de E.
v) L’application
(E, +) −→ (T , ◦)
#”
u 7−→ t u#”
est un isomorphisme de groupes.
Preuve
#
” #”
#”
i) Si #”
u = 0 , alors pour tout M ∈ E, on a M f (M ) = 0 , donc f (M ) = M , où f = t u#” .
# ” #”
ii) On pose f = t u#” et g = t #”v , alors f ◦ g = f ◦ #”
g = IdE ◦ IdE = IdE , donc f ◦ g est une
#” le vecteur de f ◦ g et soit A ∈ E, alors on a
translation. Soit w
#
” #
” #

#” = A(f
w
◦ g)(A) = Af (A) + f (A)g(f (A)) = #”
u + #”
v
#” .
#” = t− u
iii) On a t u#” ◦ t− u#” = t− u#” ◦ t u#” = t #”0 = IdE , donc t u#” est bijective et t−1
u

iv) Exercice.
v) Exercice.

Proposition 17
Le groupe T des translations de E est un sous-groupe distingué du groupe affine
GE(E) et le groupe quotient de GE(E)/T est isomorphe au groupe linéaire de E.
GE(E)/T ' GL(E)

Preuve
En effet, il suffit de considérer l’application
ϕ : (GE(E), ◦) −→ (GL(E), ◦)
#”
f 7−→ ϕ(f ) = f
# ”
#”
On a vu que g ◦ f = #”
g ◦ f , donc ϕ est un homomorphisme de groupes. D’après la
#”
proposition précédente, f = IdE , si et seulement f est une translation de E, donc
ker(ϕ) = {f ∈ E : ϕ(f ) = IdE } = T
Donc T est un sous-groupe distingué et GE(E)/T est isomorphe à ϕ(GE(E)) avec
ϕ(GE(E)) = GL(E).
2.2.1.3

Décomposition d’une application affine
39

Pr.Mohamed HOUIMDI

2.2

CHAPITRE 2. APPLICATIONS AFFINES

Lemme 2

Soient E un espace affine de direction E, f une application affine de E et #”
v un
vecteur de E. Alors
#”
f ◦ t #”v = t #”v ◦ f ⇐⇒ #”
v ∈ ker( f − IdE )

Preuve
(=⇒) On sait que

#

∀M ∈ E, M t #”v (M ) = #”
v
#
” #

Soit A ∈ E, alors on aura At #”v (A) = f (A)t #”v (f (A)) = #”
v , donc,

#” #”
#” #
f ( v ) = f (At #”v (A))
#

= f (A)f (t #”v (A))
#

= f (A)t #”v (f (A)) (car f ◦ t #”v = t #”v ◦ f )
= #”
v

(⇐=)
#

#

∀M ∈ E, f (M )(f ◦ t #”v )(M ) = f (M )f (t #”v (M ))

#” #
= f (M t #”v (M ))
#

#”
= M t #”v (M ) (car f ( #”
v ) = #”
v)
#

= f (M )t #”v (f (M ))
#

= f (M )(t #”v ◦ f )(M )
Donc f ◦ t #”v = t #”v ◦ f .

Théorème 8
Soient E un espace affine de direction E et f une application affine sans points fixes,
telle que
#”
#”
E = ker( f − IdE ) ⊕ Im( f − IdE )
#”
Alors il existe #”
v ∈ ker( f − Id ) et il existe une application affine g avec F ix(g) 6= ∅,
E

tels que
f = t #”v ◦ g = g ◦ t #”v

Preuve
#

#”
Supposons qu’il existe un point A ∈ E, tel que Af (A) ∈ ker( f − IdE ), puis posons
#

#”
v = Af (A) et g = t− #”v ◦ f , alors on aura
i) f = t #”v ◦ g = g ◦ t #”v .
#
” #”
#
” #
” #

#”
ii) Ag(A) = At− #”v (f (A)) = Af (A) + f (A)t− #”v (f (A)) = Af (A) − #”
v = 0 , donc g(A) = A.
40

Pr.Mohamed HOUIMDI

2.2

2.2. EXEMPLES D’APPLICATIONS AFFINES

#

#”
Donc il suffit de montrer qu’il existe un point A ∈ E, tel que Af (A) ∈ ker( f − IdE ). Pour
#”
#”
cela, fixons un point B ∈ E, puisque E = ker( f − IdE ) ⊕ Im( f − IdE ), alors il existe
#”
#”
v ∈ ker( f − IdE ) et il existe #”
u ∈ E, tels que
#

#”
Bf (B) = #”
v + (IdE − f )( #”
u)
#

#

# ”
# ”
Soit A ∈ E, tel que BA = #”
u , alors on aura Bf (B) = #”
v + BA − f (B)f (A), donc
#

Af (A) = #”
v.
Remarque
#

+ M ∈ F ix(g) ⇐⇒ M f (M ) ∈ ker( #”f − IdE ).
#

+ #”v = Af (A), pour n’importe quel point A ∈ F ix(g).

2.2.2

Homothétie

Définition
Soient E un espace affine de direction E, Ω un point de E et k un nombre réel, avec
k∈
/ {0, 1}. On appelle homothétie de centre Ω et de rapport k, qu’on note h(Ω, k),
l’application h : E −→ E qui à tout point M de E fait correspondre le point M 0 de
E défini par
# ”
# ”
ΩM 0 = k ΩM

Remarque
Soit h une homothétie de E de centre Ω et de rapport k.

+
+
+

Ω, M et h(M ) sont toujours alignés.
Si k = 0, alors ∀M ∈ E, h(M ) = Ω, donc, dans ce cas, h est constante.
Si k = 1, alors ∀M ∈ E, h(M ) = M , donc, dans ce cas, h = IdE .
h(M ) = M 0


h(M ) = M 0


M







M

+





Centre d’une l’homothétie de rapport k = −2 Centre d’une l’homothétie de rapport k = 3

41

Pr.Mohamed HOUIMDI

2.2

CHAPITRE 2. APPLICATIONS AFFINES

Proposition 18
Soient E un espace affine de direction E et h une homothétie de E de centre Ω et de
rapport k. Alors h est une application affine dont l’application linéaire associée est
#”
h = kIdE .
Preuve
Soient M et N deux points quelconques de E, alors on a,
#
” #
” #

# ”
# ”
# ”
# ”
h(M )h(N ) = Ωh(N ) − Ωh(M ) = k ΩN − k ΩM = k M N = kIdE (M N )
#”
Donc h est une application affine et h = kIdE .
Remarque
Soit h est une homothétie de centre Ω et de rapport k, avec k 6= 1.

+
+

Alors Ω est l’unique point fixe de h.
Si k = −1, on dit que h est une symétrie centrale de centre Ω.

Proposition 19
Soient E un espace affine et f une application affine de E. Alors f est une homothétie,
#”
si et seulement si, il existe un réel k, avec k 6= 1, tel que f = kIdE .
Preuve
(=⇒) Déjà vu.
#”
#”
(⇐=) f = kIdE , avec k 6= 1, donc 1 n’est pas valeur propre de f , donc d’après le
théorème 6, f possède un unique point fixe Ω, ainsi on aura
#
” #
” #” # ”
# ”
∀M ∈ E, Ωf (M ) = f (Ω)f (M ) = f (ΩM ) = k ΩM
Donc f est l’homothétie de centre Ω et de rapport k.

2.2.3

Groupe des homothéties-translations

On désigne par HT (E) l’ensemble des applications affines de E défini par
#”
f ∈ HT (E) ⇐⇒ ∃k ∈ R∗ tel que f = kIdE
Donc, d’après ce qui précède, on voit que si f ∈ HT (E), alors f est une homothétie, si
k 6= 1, et f est une translation, si k = 1.
On se propose de montrer que (HT (E), ◦) est un sous-groupe du groupe affine de E.
Nous avons donc besoin des lemmes suivants :

Lemme 3
Soient h(Ω, k) et h(Ω0 , k 0 ) deux homothéties d’un espace affine E.

# ”
i) Si kk 0 = 1, alors h(Ω0 , k 0 ) ◦ h(Ω, k) est une translation de vecteur #”
u = (k 0 − 1)Ω0 Ω.
ii) Si kk 0 6= 1, alors h(Ω0 , k 0 ) ◦ h(Ω, k) est une hmothétie de rapport kk 0 et de centre
Ω00 , avec Ω00 = bar ((Ω, k 0 (k − 1)), (Ω0 , (k 0 − 1))).
42

Pr.Mohamed HOUIMDI

2.2

2.2. EXEMPLES D’APPLICATIONS AFFINES

Preuve
# ”
Posons f = h(Ω, k) et g = h(Ω0 , k 0 ), alors on a g ◦ f = kk 0 IdE .
# ”
i) Si donc kk 0 = 1, alors g ◦ f = IdE , donc g ◦ f est une translation de vecteur
#

#”
u = M (g ◦ f )(M ), où M est un point quelconque de E.
#

Donc, en particulier, on a #”
u = Ω(g ◦ f )(Ω).
On a (g ◦ f )(Ω) = h(Ω0 , k 0 )(Ω), car Ω est un point fixe de h(Ω, k), par suite
#

# ”
on a Ω0 (g ◦ f )(Ω) = k 0 Ω0 Ω. Donc, en appliquant la relation de Chasles, on aura
#

# ”
Ω(g ◦ f )(Ω) = (k 0 − 1)Ω0 Ω.
# ”
ii) Si kk 0 6= 1, comme g ◦ f = kk 0 IdE , alors d’après la proposition 16, g ◦ f est une
homothétie de rapport kk 0 et de centre Ω00 , où Ω00 est l’unique point fixe de g ◦ f .
# ”
D’après le théorème 6, Ω00 est définie par ΩΩ00 = #”
u , où #”
u est l’unique vecteur, tel
#

# ” #”
que (IdE − g ◦ f )( u ) = Ω(g ◦ f )(Ω).
#

# ”
Comme g ◦ f = kk 0 IdE , alors (1 − kk 0 ) #”
u = Ω(g ◦ f )(Ω).
Or Ω est un point fixe de f , donc on a
(g ◦ f )(Ω) = g(Ω) = h(Ω0 , k 0 )(Ω)
#

# ”
=⇒ Ω0 (g ◦ f )(Ω) = k 0 Ω0 Ω
# ”
#

=⇒ Ω(g ◦ f )(Ω) = (k 0 − 1)Ω0 Ω
# ”
=⇒ (1 − kk 0 ) #”
u = (k 0 − 1)Ω0 Ω
# ”
# ”
=⇒ (1 − kk 0 )ΩΩ00 = (k 0 − 1)Ω0 Ω
# ”
# ” # ”
=⇒ (kk 0 − 1)Ω00 Ω = (k 0 − 1)(Ω00 Ω − Ω00 Ω0 )
# ”
# ” #”
=⇒ k 0 (k − 1)Ω00 Ω + (k 0 − 1)Ω00 Ω0 = 0
=⇒ Ω00 = bar ((Ω, k 0 (k − 1)), (Ω0 , (k 0 − 1)))

Lemme 4
Soient h(Ω, k) une homothétie, et t u#” une translation d’un espace affine E. Alors
# ”
k #”
i) h(Ω, k) ◦ t u#” est une homothétie de rapport k est de centre Ω0 , avec ΩΩ0 =
u.
1−k
ii) t u#” ◦ h(Ω, k) est une homothétie de rapport k est de centre Ω0 , avec
# ”
1 #”
ΩΩ0 =
u.
1−k
Preuve
#”
i) Soit f = h(Ω, k) ◦ t u#” , alors f = kIdE , et comme k 6= 1, alors d’après la proposition
16, f est une homothétie de rapport k et de centre son unique point fixe Ω0 .
# ”
D’après le théorème 6, Ω0 est défini par ΩΩ0 = #”
v , où #”
v est l’unique vecteur, tel que
#


#

#

1 #
#” #”
0
(IdE − f )( v ) = Ωf (Ω), par suite, on a ΩΩ =
Ωf (Ω). On a Ωt u#” (Ω)
1−k
f (Ω) = h(Ω, k)(t u#” (Ω))
#

#

=⇒ Ωf (Ω) = k Ωt u#” (Ω)
#

#

=⇒ Ωf (Ω) = k #”
u (car Ωt u#” (Ω) = #”
u)
# ”
ainsi, on voit que ΩΩ0 =

k #”
u.
1−k
43

Pr.Mohamed HOUIMDI

2.2

CHAPITRE 2. APPLICATIONS AFFINES

ii) De la même manière, on voit que t u#” ◦ h(Ω, k) est une homothétie de rapport k et de
# ”
1 #”
u.
centre Ω0 , avec ΩΩ0 =
1−k

Lemme 5
Soient h(Ω, k) une homothétie, et t u#” une translation d’un espace affine E. Alors pour
tout f ∈ GA(E), ona
i) f −1 ◦ h(Ω, k) ◦ f est une homothétie de rapport k et de cente f (Ω).
#”
u ).
ii) f −1 ◦ t u#” ◦ f est une translation de vecteur f −1 ( #”
Preuve
#
” #”
#” #” #”
#”
i) On pose h = h(Ω, k), alors on a f −1 ◦ h ◦ f = f −1 ◦ h ◦ f = f −1 ◦ (kIdE ) ◦ f = kIdE .
Donc f −1 ◦ h ◦ f est une homothétie de rapport k.
Soit Ω0 le centre de f −1 ◦ h ◦ f , alors on a (f −1 ◦ h ◦ f )(Ω0 ) = Ω0 , ce qui est équivalent
à h(f −1 (Ω0 )) = f −1 (Ω0 ). Or Ω est l’unique point fixe de h, donc on aura f −1 (Ω0 ) = Ω
et par suite, Ω0 = f (Ω).
ii) Exercice

Théorème 9
Pour tout espace affine E, HT (E) est un sous-groupe distingué de GA(E).
Preuve
D’après les deux lemmes précédents, on voit facilement que HT (E) est stable pour la
composition des applications. De plus on sait que si h(Ω, k) est une homothétie, alors
1
h(Ω, k) est inversible et h(Ω, k)−1 est une homothétie de rapport et de centre Ω. On en
k
déduit donc facilement que HT (E) est un sous-groupe de GA(E)
Le lemme précédent (lemme 5) assure que HT (E) est un distingué dans GA(E).

2.2.4

Projection affine

Proposition 20
Soient E un espace affine de direction E, F un sous-espace affine de direction F et G
un supplémentaire de F dans E. Alors pour tout point M ∈ E, il existe un unique
# ”
point M 0 ∈ F, tel que M M 0 ∈ G.
Preuve
Fixons un point A ∈ F et soit M un point quelconque de E, puisque E = F ⊕ G, alors il
# ”
existe ( #”
u , #”
v ) ∈ F × G, tel que AM = #”
u + #”
v . Puisque #”
u ∈ F et A ∈ F, alors il existe
#

#
” #”
# ”
#”
0
0
0
M ∈ F, tel que AM = u , donc on aura M M = v , par suite M M 0 ∈ G.
# ”
# ”
Supposons qu’il existe un autre point N de F, tel que M N ∈ G, donc M 0 N ∈ G et on a
# ”
#”
aussi M 0 N ∈ F , or F ∩ G = { 0 }, donc M 0 = N .

44

Pr.Mohamed HOUIMDI

2.2

2.2. EXEMPLES D’APPLICATIONS AFFINES

Définition
Soient E un espace affine de direction E, F un sous-espace affine de direction F et
G un supplémentaire de F dans E.
On appelle projection affine sur F parallèlement à G (ou de direction G), l’application de E vers E qui à tout point M de E fait correspondre l’unique point M 0
# ”
de F, tel que M M 0 ∈ G.

Projection affine sur F parallèlement à G.
G



M



p(M )
F
F

Remarque
Soit f la projection sur F parallèlement à G, alors

+
+
+
+

Pour tout M ∈ E, on a f (M ) ∈ F.
#

Pour tout M ∈ E, on a M f (M ) ∈ G.
∀M ∈ E, f (M ) = M ⇐⇒ M ∈ F.
# ”
M 0 = f (M ) ⇐⇒ (M 0 ∈ F et M M 0 ∈ G).

Rappel d’algèbre linéaire
Soient E un K-espace vectoriel, F un sous-espace vectoriel de E et G un supplémentaire de F dans E.
i) On appelle projection sur F parallèlement à G, l’application de E vers E définie
par
pF : E = F ⊕ G −→ E
x = x1 + x2 7−→ pF (x) = x1
ii) On appelle projecteur de E tout endomorphisme u de E vérifiant u2 = u.
45

Pr.Mohamed HOUIMDI



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