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Exponentielles .pdf



Nom original: Exponentielles.pdf
Auteur: oumaima

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Lycée Alaoui
Prof : ABDA Ezeddine

I.

Fonctions exponentielles

Année scolaire 2018-2019
Niveau : 4ème Maths

Fonctions exponentielles

Définition et propriétés :
On appelle fonction exponentielle ( noté






Pour tout réel et pour tout réel
.
Pour tout réel ,
Pour tout réel
,
.
Pour tout réel ,
.
Pour tout réel ,
.
Soit

et

deux réels et

et

;

:

deux entiers naturels :

;


;

) la fonction réciproque de la fonction logarithme Népérien.

;

.

Limites de références :
Soit et deux entiers naturels non nuls :

Théorème : Soit



une fonction dérivable sur un intervalle .

La fonction définie par :
Les primitives de

II.

est dérivable sur et on a pour tout
sont les fonctions
,

de
.

.

Fonctions exponentielles de base

Définition : Soit

un réel strictement positif.

On appelle fonction exponentielle de base

la fonction définie sur

par

.

Remarque :



On notera par convention :
pour tout

Règles de calculs : Pour tous
;

;

pour tout

.

.
et

de

et tous
;

et
;

de

:
;

( ) .

Théorème :
 Si
 Si
 Si

alors :
alors :
alors :
Page 1 sur 7

Série n°8 : Fonctions exponentielles
Exercice 1 : (QCM)
1. Le nombre
a.

est solution de l’équation :
b.

2. L’équation
a. solutions

possède dans
b. solution

c.

d.

c. Solution double

d.

:
solution

3. Soit la fonction définie est dérivable sur , d’expression
.
Une équation de la tangente à la courbe représentative de au point d’abscisse est :
a.
b.
c.
d.

4. Soit

la fonction définie sur

par

La courbe représentative de :
a. admet comme asymptote la droite
d’équation
.

b. admet comme asymptote la droite
d’équation
.
d. n’admet pas de droite asymptote.

c. admet comme asymptote la droite
d’équation
.
5. Soit
a.

la fonction définie sur

.

par

.
b.

c. La courbe représentative de
centre de symétrie.

admet un

d.

est un intervalle fermé.
est strictement monotone.

Exercice 2 :
1.

2.

3.

Résoudre dans

les équations suivantes :



















Résoudre les inéquations suivantes :












Calculer les limites suivantes :















Page 2 sur 7



















(

)

Exercice 3 :
La courbe au-dessous est celle d’une fonction

définie sur .

L’axe des abscisses est une asymptote horizontale à
admet une branche parabolique de direction

.

⃗ au

.

1.

a. Dresser le tableau de variation de .
b. Déterminer le signe de
.
c. Déterminer
et
.

2.

Soit
,
.
a. Déterminer les limites de en
et interpréter graphiquement les résultats obtenus.
b. Préciser
et dresser le tableau de variation de .
c. Tracer .

Exercice 4 :
Soit

un entier naturel non nul et

la fonction définie sur

On désigne par la courbe représentative de
du solide de révolution obtenu par rotation de
les courbes , , , , …
1.
2.

par :



.

dans un repère orthonormé
⃗ ⃗ , et par le volume
autour de l’axe des abscisses. On a représenté ci-dessous

Que peut-on conjecturer quant à la monotonie et la convergence de la suite
?
a. Calculer .
b. Montrer que la suite
est monotone, en déduire qu’elle est convergente.
c. Montrer que pour tout entier
:
Page 3 sur 7

d. En déduire que pour tout entier
3.

:

Déterminer alors

Pour tout entier naturel non nul , on pose
a.

Montrer que pour tout entier

:

b. Montrer que pour tout entier

:

.

.
.


. Déterminer alors



.

Exercice 5 :
Soit la fonction définie sur par :
.
On a représenté ci-dessous la courbe de et la droite
dans un repère orthonormé
1. a. Montrer que est une bijection de sur un intervalle que l’on précisera.
b. Montrer que pour tout

2.

c.

Préciser

a.

Vérifier que pour tout réel ,

de

.
dans le même repère.
.

l’aire de la partie du plan limitée par la courbe

et les droites

,

. Montrer que :

En déduire l’intégrale : ∫
c.



. Tracer la courbe

b. On désigne par
et



,

⃗ ⃗ .

Déterminer en fonction de
deux axes.




l’aire

de la partie du plan limitée par les courbes

et

et les

Page 4 sur 7

Exercice 6 :
Soit la fonction définie sur
par :
et sa courbe représentative dans un repère

orthonormé
⃗ ⃗ .
1. a. Montrer que est une bijection de sur un intervalle que l’on précisera.
b. Expliciter
pour tout
.
c. Tracer .
d. Calculer le volume du solide engendré par la rotation autour de l’axe
⃗ de la surface
délimitée dans le plan par l’axe
⃗ , la droite d’équation
et .
2. Pour tout
, on pose :




a. Montrer que est dérivable sur
et que pour tout
b. En déduire
pour tout
.
c. Calculer alors l’aire de la partie du plan limitée par la courbe
et
.

:

.

et les droites d’équations

,

Exercice 7 :
On considère la fonction
On désigne par
1.

2.

par

.

la courbe représentative de

⃗ ⃗ .

dans un repère orthonormé

a. Dresser le tableau de variation de .
b. Tracer en précisant ses points d’intersection avec les droites
⃗ et
⃗ .
c. Soit un réel de
. On pose
l’aire de la partie du plan limitée par la courbe
droites
,
et
. Calculer
et
.


On pose pour tout entier naturel non nul :
a. Calculer .
b. Montrer que pour tout
:
c.

3.

définie sur

En déduire que pour tout

d. En déduire



.
.



:

a. Montrer que pour tout
b. En déduire que pour tout
c. Calculer alors
.

et les

.

:

.
:

.

.

Exercice 7 : (bis)


On définit pour tout entier non nul ,
1.

Calculer

2.

Montrer que pour tout

3.

À l’aide d’une intégration par parties, montrer que

4.

Montrer par récurrence que

5.

On pose pour tout
a.

.

Calculer

,

,

.



:

.

.

.

et prouver que pour

b. En déduire que pour tout entier
c. Calculer la
et
.

,
,

.
( )

.

Page 5 sur 7



6.

Justifier que

.

7.

Que peut-on conjecturer quant à la limite de ∑

lorsque

tend vers

.

Exercice 8 :
On considère la fonction
8.
2.

3.

définie sur

par

.

a. Dresser le tableau de variation de .
b. Tracer sa courbe dans le plan rapporté à un repère orthonormé
⃗ ⃗ .
Soit le point de coordonnées
.
a. Écrire une équation cartésienne de la courbe dans le repère
⃗ ⃗ .
b. En déduire que, dans le repère
⃗ ⃗ , la courbe est la représentation graphique de la fonction

définie sur par
.

Soit la fonction définie sur par :

a. Résoudre dans , l’équation
.
b. Montrer que la fonction est dérivable sur

c.



Calculer l’aire de la partie du plan limitée par

, avec

.

et que, pour tout réel , on a :
est les droites d’équations

,

et

.

Exercice 9 :
Partie A :
Soit la fonction
1.

définie sur

par :

3.

a. Dresser le tableau de variation de .
b. Tracer la courbe représentative de dans un repère orthonormé
a. Montrer que est une bijection de sur
.
b. Expliciter
.
c. Construire la courbe de
dans le même repère
⃗ ⃗ .
Calculer l’aire du plan limitée par et les droites d’équations
et

4.

a.

2.

Montrer que pour tout réel

:

⃗ ⃗ .

.

.

b. Soit
et
autour de l’axe des abscisses. Calculer le volume de .

le solide obtenu par rotation de

Partie 2 :
On considère les deux ensembles suivants :

1.

Pour tout réel , on pose :

2.

Établir les égalités :


a. Montrer que a pour équation :

b. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de .
Page 6 sur 7

3.

4.

c. Donner la nature et les caractéristiques de .
Soient , , et les points d’affixes respectives : ;
; et
.
a. Montrer qu’il existe un unique déplacement qui transforme en et
b. Donner la nature et les éléments de .
a. Déterminer, par son équation cartésienne, l’ensemble image de par
b. Préciser la nature et les éléments de caractéristiques de .

en .
.

Exercice 10 :


Soit la fonction
définie sur
par
représentative dans un repère orthonormé
1.

. On désigne par

⃗ ⃗ .

2.

a. Montrer que est dérivable sur et calculer
.
b. Donner une équation de la tangente à la courbe au points d’abscisse .
a. Montrer que pour tout réel positif :
.

3.

b. En déduire que pour tout :
a. Montrer que pour tout réel positif

4.

b. En déduire que admet en
a. Montrer que pour tout réel :
b. Calculer alors
et
c.

sa courbe

.
:

une limite finie

dont en donnera un encadrement.
.

.

Dresser le tableau de variation de
On prendra

et donner une allure de .

Exercice 11 :
Soit la fonction

définie sur

par : {

1.
2.
3.

Étudier la continuité de .
Étudier les limites de en
.
Calculer la dérivée de sur . En déduire le sens de variation de .
(Ind : étudier les variation de la fonction
)

4.

On pose

et

a. Calculer , , ,
b. En déduire que :

5.



Pour tout



Pour tout

Déduire la limite en

et

.

.

de

on a :
:

de

.
.

.

est-elle dérivable en

?

Exercice 12 : (exp à base a)
Soit la fonction
1.
2.
3.

.

Déterminer l’ensemble de définition de .
Dresser le tableau de variation de sur
.
Tracer la courbe de dans un repère orthonormé.

Page 7 sur 7


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