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livre resume bac sm spc2019 .pdf



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CENTRE EXAMS PREPAS

Le guide mathématique
Préparation bac 2019

2eme bac sE sm biof
PROF TAHIRI MOHSINE

Préparation des concours
Début des cours : lundi 17 juin 2019
institut agronomique et vétérinaire





mathématiques

24 h

physique

24 h

sciences naturelles

20 h

Médicine générale et médecine dentaire
Etudes pharmaceutiques





mathématiques

24 h

physique

24 h

sciences naturelles
24 h
groupe option pc et groupe option smb
Ecole nationale des sciences appliqués (ENSA)




mathématiques

24 h

physique

24 h

Ecole nationale supérieure des arts et métiers (ENSAm)




mathématiques

24 h

physique
24 h
groupe option pc et groupe option sm
Ecole nationale de commerce et gestion (ENcg)




mathématiques

16 h

problèmes économiques

16 h

Les classes préparatoires




mathématiques

cpge

36 h

physique
36 h
groupe option pc et groupe option sm



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PROF TAHIRI 06.61.21.35.78

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Le guide mathématique
Préparation bac 2019

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 Identités remarquables :
















2eme bac sE sm biof
PROF TAHIRI MOHSINE

∀ (𝒂; 𝒃; 𝒄) ∈ ℝ𝟑

(𝒂 + 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
Triangle de pascal
(𝒂 − 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
n coefficients
(𝒂 + 𝒃 + 𝒄)𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝟐𝒂𝒄 + 𝟐𝒃𝒄
𝟑
𝟑
𝟐
𝟐
𝟑
(𝒂 + 𝒃) = 𝒂 + 𝟑𝒂 𝒃 + 𝟑𝒂𝒃 + 𝒃
0
1
(𝒂 − 𝒃)𝟑 = 𝒂𝟑 − 𝟑𝒂𝟐 𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 − 𝒃𝟑
(𝒂 + 𝒃)𝟒 = 𝒂𝟒 + 𝟒𝒂𝟑 𝒃 + 𝟔𝒂𝟐 𝒃𝟐 + 𝟒𝒂𝒃𝟑 + 𝒃𝟒
1
11
𝟒
𝟒
𝟑
𝟐 𝟐
𝟑
𝟒
(𝒂 + 𝒃) = 𝒂 − 𝟒𝒂 𝒃 + 𝟔𝒂 𝒃 − 𝟒𝒂𝒃 + 𝒃
2
121
(𝒂 + 𝒃)𝟓 = 𝒂𝟓 + 𝟓𝒂𝟒 𝒃 + 𝟏𝟎𝒂𝟑 𝒃𝟐 +𝟏𝟎𝒂𝟐 𝒃𝟑 + 𝟓𝒂𝒃𝟒 + 𝒃𝟓
(𝒂 + 𝒃)𝟓 = 𝒂𝟓 + 𝟓𝒂𝟒 𝒃 + 𝟏𝟎𝒂𝟑 𝒃𝟐 +𝟏𝟎𝒂𝟐 𝒃𝟑 + 𝟓𝒂𝒃𝟒 + 𝒃𝟓 3
1331
𝟐
𝟐
𝒂 − 𝒃 = (𝒂 − 𝒃)(𝒂 + 𝒃)
4
14641
𝒂𝟑 − 𝒃𝟑 = 𝒂 − 𝒃 (𝒂𝟐 + 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 )
𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 = 𝒂 + 𝒃 (𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 )
5
1 5 10 10 5 1
𝒂𝟒 − 𝒃𝟒 = 𝒂 − 𝒃 (𝒂𝟑 + 𝒂𝟐 𝒃 + 𝒂𝒃𝟐 + 𝒃𝟑 )
𝒂𝒏 − 𝒃𝒏 = 𝒂 − 𝒃 𝒂𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏−𝟐 𝒃 + ⋯ + 𝒂𝒃𝒏−𝟐 + 𝒃𝒏−𝟏 = (𝒂 − 𝒃) 𝒌=𝒏−𝟏
𝒂𝒌 𝒃𝒏−𝟏−𝒌
𝒌=𝟎
𝒂𝒏 − 𝟏 = 𝒂 − 𝟏 𝒂𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝒂 + 𝟏 = (𝒂 − 𝟏) 𝒌=𝒏−𝟏
𝒂𝒌
𝒌=𝟎

 Sommes importantes :

∀ 𝒏 ∈ ℕ∗

 Propriétés de calcul des sommes et produit :
A propos des signes 𝒆𝒕 ℿ
𝒌=𝒏
Soient 𝒙𝒑 ; 𝒙𝒑+𝟏 … … ; 𝒙𝒏 des nombres réels. 
𝒌=𝒑(𝒙𝒌 ) = 𝒙𝒑 × 𝒙𝒑+𝟏 × … × 𝒙𝒏
𝒌=𝒏

𝒌=𝒑(𝒙𝒌 ) = 𝒙𝒑 + 𝒙𝒑+𝟏 + ⋯ + 𝒙𝒏
𝒌=𝒏+𝟏
𝒌=𝒏

𝒌=𝒑 (𝒙𝒌 ) =
𝒌=𝒑(𝒙𝒌 ) × 𝒙𝒏+𝟏


𝒌=𝒏+𝟏
𝒌=𝒑 (𝒙𝒌 )



𝒌=𝒏
𝒌=𝒑(𝒂)

=

𝒌=𝒏
𝒌=𝒑(𝒙𝒌 )



+ 𝒙𝒏+𝟏

𝒌=𝒏
𝒌=𝒑(𝒂)

= 𝒂𝒏−𝒑+𝟏

 𝒏! = 𝒏 × 𝒏 − 𝟏 … . .× 𝟐 × 𝟏

= 𝒏−𝒑+𝟏 𝒂



𝒏 + 𝟏 ! = 𝒏 + 𝟏 𝒏! 𝒆𝒕 𝟎! = 𝟏

 Sommes importantes :
1) ∀𝒏 ∈ ℕ∗ 𝑺𝟏 =

𝒌=𝒏
𝒌=𝟏 𝒌

2) ∀𝒏 ∈ ℕ∗ 𝑺𝟐 =

𝒌=𝒏 𝟐
𝒌=𝟏 𝒌

=

3) ∀𝒏 ∈ ℕ∗ 𝑺𝟑 =

𝒌=𝒏 𝟑
𝒌=𝟏 𝒌

=

4) ∀𝒏 ∈ ℕ∗ 𝑺𝟒 =

𝒌=𝒏 𝟒
𝒌=𝟏 𝒌

=

=

𝒏(𝒏+𝟏)
𝟐
𝒏 𝒏+𝟏 (𝟐𝒏+𝟏)
𝟔
𝒏(𝒏+𝟏) 𝟐
𝟐
𝒏 𝒏+𝟏 𝟐𝒏+𝟏 (𝟑𝒏𝟐 +𝟑𝒏−𝟏)
𝟑𝟎

Pour démontrer ces sommes :
Méthode 1 : raisonnement par récurrence
Méthode 2 : développant les identités (𝒌 + 𝟏)𝒏 dans les cas 𝒏 = 𝟐; 𝟑; 𝟒
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 Equations et factorisation des polynômes
1) Equation 2 ème degré :
Forme canonique

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎

𝟐

𝒂𝒙 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝒂

résolution de l’équation

∆=𝟎

 Solutions :
−𝒃 + ∆
−𝒃 − ∆
𝒙𝟏 =
; 𝒙𝟐 =
𝟐𝒂
𝟐𝒂
 Relations :
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 =

𝟐

; 𝒙𝟏 𝒙𝟐 =

𝒄
𝒂

 Factorisation :
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝒂 𝒙 − 𝒙𝟏 (𝒙 − 𝒙𝟐 )
 Signe :
𝒙
−∞ 𝒙𝟏
𝒙𝟐 + ∞
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
𝒂
𝟎 −𝒂 𝟎 𝒂



𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟒𝒂𝟐

∆= 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄

∆>𝟎

−𝒃
𝒂

𝒃
𝒙+
𝟐𝒂

∆<𝟎

 Solutions : 𝒙𝟎 =

−𝒃
𝟐𝒂

 Factorisation :
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝒂 𝒙 − 𝒙𝟎 𝟐
 Signe :
𝒙
−∞
𝒙𝟎
+∞
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
𝒂
𝟎
𝒂
-

 Solutions :
Ensemble vide
 Factorisation
Pas de factorisation

 le Signe :
Le signe de 𝒂

𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝑺
𝒙𝟏 𝒙𝟐 = 𝑷
 Alors : 𝒙𝟏 ; 𝒙𝟐 les solutions de : 𝒙𝟐 − 𝑺𝒙 + 𝑷 = 𝟎
 Soit

𝒙𝟏 ; 𝒙𝟐 ∈ ℝ𝟐 tels que :

2) factorisation des polynômes : 𝑷 𝒙 = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟐 avec 𝑷 𝟐 = 𝟎

 méthode 1 :
 méthode 2 :
𝑷(𝒙)
𝟐
𝑸(𝒙)

Division euclidienne
tableau de HORNER 𝑷 𝒙 = 𝒙 − 𝟐 𝑸(𝒙)
𝒙
𝒙𝟑
𝒙𝟐
𝟐
−𝟓
𝟑

𝟎
𝟒
−𝟐

𝟐
−𝟏
𝟏
𝟐
𝒙
𝟏
𝒙
𝟐
𝑷 𝒙 = 𝒙 − 𝟐 (𝟐𝒙 − 𝒙 + 𝟏)

𝟏
−𝟐
𝟐
𝟎

 méthode 3 :

Identification des coefficients
𝑷 𝒙 = 𝒙 − 𝟐 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃 − 𝟐𝒂 𝒙𝟐 + (𝒄 − 𝟐𝒃)𝒙 − 𝟐𝒄

Par identification des coefficients on a :

 méthode 4 :

𝒂=𝟐
𝒂=𝟐
𝒃 − 𝟐𝒂 = −𝟓
⇒ 𝒃 = −𝟏
𝒄 − 𝟐𝒃 = 𝟑
𝒄=𝟏
−𝟐𝒄 = −𝟐

identités remarquables

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 formulaire trigonométrique
𝝅
𝟐

𝝅

+𝒙

𝟐

−𝒙

𝒙

𝟎

𝒔𝒊𝒏 𝒙

𝟎

𝒄𝒐𝒔 𝒙

𝟏

𝒕𝒂𝒏 𝒙

𝟎

𝝅
𝟔
𝟏
𝟐
𝟑
𝟐
𝟑
𝟑

𝝅−𝒙

𝒙

𝝅+𝒙

−𝒙

−𝒙

𝒔𝒊𝒏 𝜽
𝒄𝒐𝒔 𝜽
𝒕𝒂𝒏 𝜽

−𝒔𝒊𝒏 𝒙
𝒄𝒐𝒔 𝒙
−𝒕𝒂𝒏 𝒙




∀𝒌 ∈ ℤ





𝟐𝝅
𝟑
𝟑
𝟐
𝟏

𝟐
− 𝟑

𝟎

∀𝒙 ∈ ℝ ∖

𝝅
𝟐

+ 𝒌𝝅

𝟏



𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒂 =

𝒕𝒂𝒏 𝒂 + 𝒃 = 𝟏−𝒕𝒂𝒏



𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒂 =

𝒕𝒂𝒏 𝒂 − 𝒃 =



𝒕𝒂𝒏 𝟐𝒂 =

= 𝒄𝒐𝒔
= 𝒄𝒐𝒔
= 𝒔𝒊𝒏
= 𝒔𝒊𝒏

𝒂 𝒄𝒐𝒔
𝒂 𝒄𝒐𝒔
𝒂 𝒄𝒐𝒔
𝒂 𝒄𝒐𝒔

𝒃
𝒃
𝒃
𝒃

+ 𝒔𝒊𝒏
− 𝒔𝒊𝒏
− 𝒄𝒐𝒔
+ 𝒄𝒐𝒔

𝒂
𝒂
𝒂
𝒂

𝒔𝒊𝒏(𝒃)
𝒔𝒊𝒏(𝒃)
𝒔𝒊𝒏(𝒃)
𝒔𝒊𝒏(𝒃)

𝒕𝒂𝒏 𝒂 +𝒕𝒂𝒏 𝒃
𝒂 .𝒕𝒂𝒏 𝒃
𝒕𝒂𝒏 𝒂 −𝒕𝒂𝒏 𝒃
𝟏+𝒕𝒂𝒏 𝒂 .𝒕𝒂𝒏 𝒃

𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝒂 − 𝒃
𝟐
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝒂 𝒔𝒊𝒏(𝒃) = 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝒂 − 𝒃
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝒂 𝒄𝒐𝒔 𝒃 = 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝒂 − 𝒃
𝟏+𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒂
𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒂 =
; 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒂
𝟐

𝒃=𝒂

𝒕 = 𝒕𝒂𝒏(𝒂)

𝟐𝒂
𝟐𝒂
𝟐𝒂
𝟐𝒂

𝟏−𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒂
𝟏+𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒂
𝟐𝒕𝒂𝒏 𝒂
𝟏+𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒂
𝟐𝒕𝒂𝒏 𝒂
𝟏−𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒂

=
=
=

𝟏+𝒕𝟐
𝟏+𝒕𝟐
𝟐𝒕
𝟏+𝒕𝟐
𝟐𝒕
𝟏−𝒕𝟐

Formules de factorisation
𝒑+𝒒
𝒑−𝒒
𝒄𝒐𝒔
𝟐
𝟐
𝒑+𝒒
𝒑−𝒒
= −𝟐𝒔𝒊𝒏
𝒔𝒊𝒏
𝟐
𝟐
𝒑+𝒒
𝒑−𝒒
= 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝒑+𝒒
𝒑−𝒒
= 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐



𝒄𝒐𝒔 𝒑 + 𝒄𝒐𝒔 𝒒 = 𝟐𝒄𝒐𝒔

− 𝒄𝒐𝒔 𝒂 + 𝒃



𝒄𝒐𝒔 𝒑 − 𝒄𝒐𝒔 𝒒

+ 𝒔𝒊𝒏 𝒂 + 𝒃



𝒔𝒊𝒏 𝒑 + 𝒔𝒊𝒏 𝒒

𝟏−𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒂
𝟐



𝒔𝒊𝒏 𝒑 − 𝒔𝒊𝒏 𝒒

=

= 𝟏 + 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙

= 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒂 − 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒂
= 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒂 − 𝟏
= 𝟏 − 𝟐𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒂
= 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝒂 𝒄𝒐𝒔 𝒃

+ 𝒄𝒐𝒔 𝒂 + 𝒃

𝒄𝒐𝒔 𝒂 𝒄𝒐𝒔 𝒃 =

𝒔𝒊𝒏 𝒙
𝒄𝒐𝒔(𝒙)

Formules de duplication

𝒄𝒐𝒔
𝒄𝒐𝒔
𝒄𝒐𝒔
𝒔𝒊𝒏

𝒂−𝒃
𝒂+𝒃
𝒂−𝒃
𝒂+𝒃

𝝅
+𝒙
𝟐
𝒄𝒐𝒔 𝒙
−𝒔𝒊𝒏 𝒙
−𝟏
𝒕𝒂𝒏 𝒙

𝒕𝒂𝒏 𝒙 + 𝒌𝝅 = 𝒕𝒂𝒏 𝒙






𝒄𝒐𝒔
𝒄𝒐𝒔
𝒔𝒊𝒏
𝒔𝒊𝒏

𝟑𝝅
𝟓𝝅
𝝅
𝟒
𝟔
𝟏
𝟎
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑 −𝟏
𝟐


𝟐
𝟐
−𝟏 − 𝟑 𝟎
𝟑

𝝅+𝒙

𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙

Formules de linéarisation


𝝅
𝟐
𝟏

𝝅
−𝒙
𝟐
𝒔𝒊𝒏 𝒙
−𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙
−𝒄𝒐𝒔 𝒙 −𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝒙
𝟏
−𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒙
𝒕𝒂𝒏 𝒙
𝝅−𝒙

formules d’addition





𝝅
𝟑
𝟑
𝟐
𝟏
𝟐
𝟑

𝒕𝒂𝒏 𝒙 =

𝒔𝒊𝒏 𝒙 + 𝟐𝒌𝝅 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙
𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝟐𝒌𝝅 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 + 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒙 = 𝟏

∀𝒙 ∈ ℝ ∀𝒌 ∈ ℤ
−𝟏 ≤ 𝒄𝒐𝒔 𝒙 ≤ 𝟏
−𝟏 ≤ 𝒔𝒊𝒏 𝒙 ≤ 𝟏

𝜽

𝝅
𝟒
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏

Résolution des équations
 𝒔𝒊𝒏 𝒙 = 𝒔𝒊𝒏 𝜶 ⇔
𝒙 = 𝜶 + 𝟐𝒌𝝅 𝒐𝒖 𝒙 = 𝝅 − 𝜶 + 𝟐𝒌𝝅 𝒌 ∈ ℤ

𝒔𝒊𝒏 𝒙 = 𝟎 ⇔ 𝒙 = 𝒌𝝅 𝒌 ∈ ℤ
𝝅
 𝒔𝒊𝒏 𝒙 = 𝟏 ⇔ 𝒙 = + 𝟐𝒌𝝅 𝒌 ∈ ℤ
𝟐



𝝅

𝒔𝒊𝒏 𝒙 = −𝟏 ⇔ 𝒙 = − + 𝟐𝒌𝝅 𝒌 ∈ ℤ



𝒄𝒐𝒔 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝜶 ⇔
𝒙 = 𝜶 + 𝟐𝒌𝝅 𝒐𝒖 𝒙 = −𝜶 + 𝟐𝒌𝝅 𝒌 ∈ ℤ
 𝒄𝒐𝒔 𝒙 = 𝟏 ⇔ 𝒙 = 𝟐𝒌𝝅 𝒌 ∈ ℤ
 𝒄𝒐𝒔 𝒙 = −𝟏 ⇔ 𝒙 = 𝝅 + 𝟐𝒌𝝅 𝒌 ∈ ℤ
 𝒄𝒐𝒔 𝒙 = 𝟎 ⇔ 𝒙 = 𝝅 + 𝒌𝝅 𝒌 ∈ ℤ

𝟐

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𝒕𝒂𝒏 𝒙 = 𝒕𝒂𝒏 𝜶 ⇔
𝒙 = 𝜶 + 𝒌𝝅 𝒌 ∈ ℤ



𝒕𝒂𝒏 𝒙 = 𝟎 ⇔ 𝒙 = 𝒌𝝅 𝒌 ∈ ℤ

𝟐

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 limites et continuité




𝐥𝐢𝐦𝒙→+∞ 𝒙𝒏 = +∞
𝐥𝐢𝐦𝒙→+∞ 𝒙 = +∞
𝒏
𝐥𝐢𝐦𝒙→+∞ 𝒙 = +∞
+∞ ∶ 𝒏 𝒑𝒂𝒊𝒓
𝐥𝐢𝐦𝒙→−∞ 𝒙𝒏 =
−∞: 𝒏 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒊𝒓
𝒂
𝐥𝐢𝐦𝒙→+∞ 𝒙 = 𝟎






∀𝒙 ∈ 𝑰 𝒇(𝒙) − 𝒍 < 𝑔(𝑥)
⇒⇒ 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) = 𝒍
𝒍𝒊𝒎𝒙→𝒂 𝒈(𝒙) = 𝟎



∀𝒙 ∈ 𝑰 𝒇(𝒙) < 𝑔(𝑥)
⇒⇒ 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) = −∞
𝒍𝒊𝒎𝒙→𝒂 𝒈(𝒙) = − ∞



∀𝒙 ∈ 𝑰 𝒇(𝒙) > 𝑔(𝑥)
⇒⇒ 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝒂 𝒇 𝒙 = +∞
𝒍𝒊𝒎𝒙→𝒂 𝒈(𝒙) = + ∞
∀𝒙 ∈ 𝑰 𝒉(𝒙) < 𝒇(𝒙) < 𝑔(𝑥)
⇒⇒ 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝒂 𝒇 𝒙 = 𝒍
𝒍𝒊𝒎𝒙→𝒂 𝒈(𝒙) = 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝒂 𝒈(𝒙) = 𝒍



𝒂



𝐥𝐢𝐦𝒙→∞ 𝒙𝒏 = 𝟎
𝒇 𝒙 =

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) =
𝒙→𝒂

𝟎
𝟎

𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒔𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒆𝒕 𝒔𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒑𝒂𝒓 𝒙 − 𝒂

𝑷(𝒙)
𝑸(𝒙)

∀𝒏 ≥ 𝒑



∀𝒏 ≥ 𝒑 𝑼𝒏 > 𝑽𝒏  𝐥𝐢𝐦𝐧→+∞ 𝐪𝐧 =
𝟎
𝐬𝐢 − 𝟏 < 𝑞 < 1
𝐥𝐢𝐦𝐧→+∞ 𝐕𝐧 = +∞
𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 𝑿 = 𝒙+∞
−𝒂
𝐬𝐢 𝐪 > 1
⇒𝑪𝒉𝒂𝒏𝒈𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕
𝐥𝐢𝐦𝐧→+∞ 𝐮𝐧 𝒅𝒆
= +∞
𝐩𝐚𝐬 𝐝𝐞 𝐥𝐢𝐦𝐢𝐭𝐞
𝐬𝐢 𝐪 ≤ −𝟏



𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎

𝒏

𝑷 𝒙 +𝒃

𝒎

∀𝒏 ≥ 𝒑 𝑾𝒏 < 𝑈𝒏 < 𝑽𝒏
𝐥𝐢𝐦𝐧→+∞ 𝐕𝐧 = 𝐥𝐢𝐦𝐧→+∞ 𝐖𝐧 = 𝒍
⇒ 𝐥𝐢𝐦𝐧→+∞ 𝐮𝐧 = 𝒍

𝑪𝒐𝒏𝒋𝒖𝒈𝒖é 𝒆𝒕 𝒔𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒑𝒂𝒓 𝒙 − 𝒂



𝐥𝐢𝐦 𝒂



⇒ 𝐥𝐢𝐦𝐧→+∞ 𝐮𝐧 = −∞

𝒓𝒂𝒄𝒊𝒏𝒆𝒔

𝒕𝒓𝒊𝒈𝒐𝒏𝒐𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒆

𝒙→±∞

𝑼𝒏 < 𝑽𝒏

𝒍𝒊𝒎𝒙→𝒂 𝒈(𝒙) = 𝟎

𝒕𝒂𝒏(𝒙)
=𝟏
𝒙

𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎

𝒔𝒊𝒏(𝒙)
=𝟏
𝒙

𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎

𝟏 − 𝒄𝒐𝒔(𝒙) 𝟏
=
𝒙𝟐
𝟐

𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒔𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒑𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒈𝒓𝒂𝒏𝒅𝒆 𝒑𝒖𝒊𝒔𝒔𝒂𝒏𝒄𝒆

𝑸 𝒙 = +∞ − ∞

𝒔𝒊 𝑭. 𝑰 = 𝟎 × ∞

±∞

𝒍𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒈𝒖é

Des limites avec la partie entière
𝒇(𝒙) ⟶ 𝒂

𝑼𝒕𝒊𝒍𝒊𝒔𝒆𝒓 𝒅𝒆𝒔 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒍𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒏𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 𝒑𝒐𝒖𝒓 é𝒄𝒓𝒊𝒓𝒆 𝒇 𝒙 𝒔𝒂𝒏𝒔 𝑬(𝒙)

𝐥𝐢𝐦 𝑬(𝒇 𝒙 )
𝒙→?

𝑼𝒕𝒊𝒍𝒊𝒔𝒆𝒓 𝒍′ 𝒆𝒏𝒄𝒂𝒅𝒓𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕: 𝒙 − 𝟏 < 𝐸(𝑥) ≤ 𝑥

𝒇(𝒙) ⟶ ±∞
Des limites avec sin et cos et arctan
𝐥𝐢𝐦 𝒔𝒊𝒏 𝒇 𝒙
𝒙→?

𝒐𝒖 𝒄𝒐𝒔(𝒇 𝒙 )

𝒇(𝒙) ⟶ ±∞

𝒇(𝒙) ⟶ 𝟎
𝐥𝐢𝐦 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒈 𝒇 𝒙
𝒙→?

𝒇(𝒙) ⟶ ±∞
𝒇(𝒙) ⟶ 𝒂 ≠ 𝟎

𝐥𝐢𝐦
𝑿→𝟎

𝑼𝒕𝒊𝒍𝒊𝒔𝒆𝒓 𝒍′ 𝒆𝒏𝒄𝒂𝒅𝒓𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕: −𝟏 ≤ 𝒔𝒊𝒏(𝒙) ≤ 𝟏

𝑨𝒓𝒄𝒕𝒈 𝑿
=𝟏
𝑿

𝐥𝐢𝐦 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒈 𝑿 = ±

𝑿→±∞

𝑨𝒓𝒄𝒕𝒈 𝒙 + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏

𝝅
𝟐

𝟏
𝝅

𝒙
𝟐

𝒔𝒊 𝑭. 𝑰

𝑼𝒕𝒊𝒍𝒊𝒔𝒆𝒓 𝒍𝒂 𝒏𝒐𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒖 𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒅é𝒓𝒊𝒗é 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂

𝒇 𝒙 − 𝒇(𝒂)
𝒙−𝒂

= 𝒇′ (𝒂)

Remarque : pour calculer une limite il faut la construire

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 Continuité

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 Continuité

en un point :

sur un intervalle :
𝒇 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒆 𝒆𝒏
 𝒇 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒆 𝒔𝒖𝒓 𝒂; 𝒃 ⟺
𝒕𝒐𝒖𝒕 𝒑𝒐𝒊𝒏𝒕 𝒅𝒆 𝒂; 𝒃

 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒂) ⟺ 𝒇 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒆 𝒆𝒏 𝒂
 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂+ 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒂) ⟺ 𝒇 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒆 𝒆𝒏 𝒂+



𝒇 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒆 𝒔𝒖𝒓 𝒂; 𝒃
𝒇 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒆 𝒆𝒏 𝒂+
𝒇 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒆 𝒆𝒏 𝒃−

𝒇 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒆 𝒔𝒖𝒓 𝒂; 𝒃 ⟺

 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂− 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒂) ⟺ 𝒇 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒆 𝒆𝒏 𝒂−
𝒇 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒆 𝒆𝒏 𝒂+
𝒇 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒆 𝒆𝒏 𝒂−

 𝒇 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒆 𝒆𝒏 𝒂 ⟺

𝒇 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒆 𝒔𝒖𝒓 𝑰
𝒇(𝑰) ⊂ 𝑱
⇒ 𝒈𝒐𝒇 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒆 𝒔𝒖𝒓 𝑱
𝒈 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒆 𝒔𝒖𝒓 𝑱



 Image d’un intervalle par une fonction continue :
 L’image d’un segment par une fonction
continue et un segment
l’intervalle

 L’image d’un intervalle par une
fonction continue et un intervalle
l’intervalle

𝑰

𝒇(𝑰)

𝒇 𝒄𝒓𝒐𝒊𝒔𝒔𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒔𝒖𝒓 𝑰

𝒇 𝒅é𝒄𝒓𝒐𝒊𝒔𝒔𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒔𝒖𝒓 𝑰

𝒇(𝒂); 𝒇(𝒃)

𝒇(𝒃); 𝒇(𝒂)

𝒂; 𝒃
𝒂; 𝒃

𝒇(𝒂); 𝐥𝐢𝐦− 𝒇(𝒙)

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙); 𝒇(𝒂)

𝒙→𝒃−

𝒙→𝒃

𝒂; 𝒃

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙); 𝒇(𝒃)

𝒇(𝒃); 𝐥𝐢𝐦+ 𝒇(𝒙)

𝒙→𝒂+

𝒂; 𝒃

𝒙→𝒂

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙); 𝐥𝐢𝐦− 𝒇(𝒙)

𝒙→𝒂+

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙); 𝐥𝐢𝐦+ 𝒇(𝒙)

𝒙→𝒃−

𝒙→𝒃

𝒂; +∞

𝒇(𝒂); 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)

𝒂; +∞

𝐥𝐢𝐦+𝒇(𝒙); 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)

𝒙→+∞

𝒙→+∞

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙); 𝐥𝐢𝐦+𝒇(𝒙)

𝒙→+∞

𝒙→𝒂

−∞; 𝒂

𝒙→+∞

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙); 𝒇(𝒂)

𝒙→𝒂−

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙); 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙); 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)

𝒙→+∞

Théorème des valeurs intermédiaires
𝒇 𝒄 =𝜸

𝜸 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒇 𝒂 𝒆𝒕 𝒇 𝒃
𝒇 𝒆𝒔𝒕 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒆 𝒔𝒖𝒓 𝒂; 𝒃


∃𝒄 ∈ 𝒂; 𝒃

𝒇 𝒄 =𝟎

𝒇 𝒂 × 𝒇 𝒃 <0
𝒇 𝒆𝒔𝒕 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒆 𝒔𝒖𝒓 𝒂; 𝒃
𝒇 𝒎𝒐𝒏𝒐𝒕𝒐𝒏𝒆 𝒔𝒖𝒓 𝒂; 𝒃 ⇒
𝒇 𝒂 × 𝒇 𝒃 <0
𝒇 𝒆𝒔𝒕 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒆 𝒔𝒖𝒓 𝑰
𝒇 𝒎𝒐𝒏𝒐𝒕𝒐𝒏𝒆 𝒔𝒖𝒓 𝑰 ⇒
𝟎∈𝒇 𝑰 =𝑱

𝒙→+∞

𝒙→−∞

𝒙→−∞

Fonctions réciproques

𝒇 𝒆𝒔𝒕 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒆 𝒔𝒖𝒓 𝒂; 𝒃

∃𝒄 ∈ 𝒂; 𝒃

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙); 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)

𝒙→𝒂

𝒙→−∞



𝒙→−∞

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙); 𝐥𝐢𝐦−𝒇(𝒙)

𝒙→−∞

−∞; +∞

𝒙→𝒂

𝒇(𝒂); 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)

𝒙→−∞

−∞; 𝒂

𝒙→𝒂

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙); 𝒇(𝒂)

𝒇 𝒂𝒅𝒎𝒆𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒇𝒐𝒏𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏
𝒇 𝒆𝒔𝒕 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒆 𝒔𝒖𝒓 𝑰
𝒇 𝒎𝒐𝒏𝒐𝒕𝒐𝒏𝒆 𝒔𝒖𝒓 𝑰 ⇒ 𝒓é𝒄𝒊𝒑𝒓𝒐𝒒𝒖𝒆 𝒇−𝟏 𝒅é𝒇𝒊𝒏𝒊𝒆
𝒇 𝑰 =𝑱
𝒔𝒖𝒓 𝑱
𝒇−𝟏 𝒙 = 𝒚

𝒇 𝒚 =𝒙
⇐⟺⇒

𝒙∈𝑱

𝒚∈𝑰

Important : on résout l’équation 𝒇 𝒚 = 𝒙 et on

∃! 𝒄 ∈ 𝒂; 𝒃 𝒇 𝒄 = 𝟎 écrit 𝒚 en fonction de 𝒙

 𝒇 𝒆𝒕 𝒇−𝟏 𝒐𝒏𝒕 𝒍𝒂 𝒎𝒆𝒎𝒆 𝒎𝒐𝒏𝒐𝒎𝒕𝒐𝒏𝒊𝒆

∃! 𝒄 ∈ 𝑰 𝒇 𝒄 = 𝟎

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 𝑪𝒇−𝟏 𝒔𝒚𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝑪𝒇 𝒑𝒂𝒓 𝒓𝒂𝒑𝒑𝒐𝒓𝒕 à 𝑫 : 𝒚 = 𝒙

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 Dérivation

et interprétations géométriques

𝒇 𝒆𝒔𝒕 𝒅é𝒓𝒊𝒗𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒆𝒏 𝒂

𝒇 𝒙 − 𝒇(𝒂)
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒙−𝒂

=𝒍

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𝑪

𝑨

𝑪𝒇 𝒂𝒅𝒎𝒆𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆

𝒇′ 𝒂 = 𝒍

𝑻 : 𝒚 = 𝒇′ 𝒂 𝒙 − 𝒂 + 𝒇(𝒂)
𝑻

𝐥𝐢𝐦+

𝒙→𝒂

𝒇 𝒙 − 𝒇(𝒂)
𝒙−𝒂

𝒇 𝒙 − 𝒇(𝒂)
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂−
𝒙−𝒂

𝒇 𝒆𝒔𝒕 𝒅é𝒓𝒊𝒗𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒆𝒏 𝒂+

𝒇 𝒆𝒔𝒕 𝒅é𝒓𝒊𝒗𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒆𝒏 𝒂−
𝒇𝒈 𝒂 =𝒍

𝐥𝐢𝐦−

𝒇 𝒙 − 𝒇(𝒂)
𝒙−𝒂

=

𝒙

𝒚𝑩 −𝒚𝑨
𝒙𝑩 −𝒙𝑨

𝒇′ 𝒅 𝒂 =

𝒚𝑪 −𝒚𝑨
𝒙𝑪 −𝒙𝑨

𝑪𝒇 𝒂𝒅𝒎𝒆𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 (𝒖𝒏𝒆 𝒅𝒆𝒎𝒊 𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒉𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍𝒆)

−∞ 𝑪𝒇 𝒂𝒅𝒎𝒆𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒅𝒆𝒎𝒊 𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒗𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍𝒆 à 𝒅𝒓𝒐𝒊𝒕𝒆 𝒅𝒖 𝒑𝒐𝒊𝒏𝒕 𝑨(𝒂, 𝒇 𝒂 𝒅𝒊𝒓𝒊𝒈é𝒆 𝒗𝒆𝒓𝒔 𝒍𝒆 𝒃𝒂𝒔
−∞ 𝑪𝒇 𝒂𝒅𝒎𝒆𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒅𝒆𝒎𝒊 𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒗𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍𝒆 à 𝒈𝒂𝒖𝒄𝒉𝒆 𝒅𝒖 𝒑𝒕𝒔 𝑨(𝒂, 𝒇 𝒂 𝒅𝒊𝒓𝒊𝒈é𝒆 𝒗𝒆𝒓𝒔 𝒍𝒆 𝑯𝒂𝒖𝒕
+∞ 𝑪𝒇 𝒂𝒅𝒎𝒆𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒅𝒆𝒎𝒊 𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒗𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍𝒆 à 𝒈𝒂𝒖𝒄𝒉𝒆 𝒅𝒖 𝒑𝒐𝒊𝒏𝒕 𝑨(𝒂, 𝒇 𝒂 𝒅𝒊𝒓𝒊𝒈é𝒆 𝒗𝒆𝒓𝒔 𝒍𝒆 𝒃𝒂𝒔

𝒇′
𝟎
𝒂
𝒏𝒙𝒏−𝟏
𝟏
− 𝟐
𝒙
𝟏
𝟐 𝒙
𝟏

𝑫𝒇



ℝ∗

𝑫𝒇′



ℝ∗

ℝ∗+

ℝ∗+

ℝ∗+

ℝ∗+

𝟑

𝒄𝒐𝒔(𝒙)
𝒔𝒊𝒏(𝒙)
𝒕𝒂𝒏(𝒙)

𝒇′ 𝒈 𝒂 =

+∞ 𝑪𝒇 𝒂𝒅𝒎𝒆𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒅𝒆𝒎𝒊 𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒗𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍𝒆 à 𝒅𝒓𝒐𝒊𝒕𝒆 𝒅𝒖 𝒑𝒐𝒊𝒏𝒕 𝑨(𝒂, 𝒇 𝒂 𝒅𝒊𝒓𝒊𝒈é𝒆 𝒗𝒆𝒓𝒔 𝒍𝒆 𝑯𝒂𝒖𝒕
=

𝟑

𝑻𝒈 : 𝒚 = 𝒇′ 𝒈 𝒂 𝒙 − 𝒂 + 𝒇(𝒂)



𝒇 𝒙 − 𝒇(𝒂)
𝒙−𝒂

𝒇
𝒂
𝒂𝒙
𝒙𝒏
𝟏
𝒙
𝒙

𝒚𝑩 −𝒚𝑨
𝒙𝑩 −𝒙𝑨

𝑪𝒇 𝒂𝒅𝒎𝒆𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒅𝒆𝒎𝒊 𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆

=𝒍

𝐥𝐢𝐦+

𝒙→𝒂

𝒇′ 𝒂 =

𝑻𝒅 : 𝒚 = 𝒇′ 𝒅 𝒂 𝒙 − 𝒂 + 𝒇(𝒂)

𝒇′ 𝒅 𝒂 = 𝒍

𝒇′ 𝒂 = 𝟎 𝒐𝒖 𝒇′ 𝒈 𝒂 = 𝟎 𝒐𝒖 𝒇′𝒅 𝒂 = 𝟎

𝒙→𝒂

𝑪𝒇 𝒂𝒅𝒎𝒆𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒅𝒆𝒎𝒊 𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆

=𝒍

𝑩

𝟑 𝒙𝟐
−𝒔𝒊𝒏(𝒙)
𝒄𝒐𝒔(𝒙)
𝟏 + (𝒕𝒂𝒏(𝒙))𝟐



ℝ∖




𝝅
/𝒌 ∈ ℤ
𝟐

convexité point d’inflexion



∀𝒙 ∈ 𝑰



∀𝒙 ∈ 𝑰 𝒇 𝒙 ≠ 𝟎 ⟹



∀𝒙 ∈ 𝑰 𝒇 𝒙 ≠ 𝟎 ⟹




𝒇 × 𝒈 ′ (𝒙) = 𝒇′ 𝒙 𝒈(𝒙) + 𝒇(𝒙)𝒈′ (𝒙)
𝟏 ′
𝒇 ′

𝒙 =

𝒈

∀𝒙 ∈ 𝑰 𝒇 𝒙 > 0 ⟹
∀𝒙 ∈ 𝑰 𝒇 𝒙 > 0 ⟹

𝒙 =−

𝒇



𝒇
𝟑

𝒇



𝒇′ (𝒙)
(𝒇 𝒙 )𝟐

𝒇′ 𝒙 𝒈 𝒙 −𝒇(𝒙)𝒈′ (𝒙)

𝒙 =

(𝒈 𝒙 )𝟐
𝒇′ (𝒙)
𝟐 𝒇(𝒙)
𝒇′ (𝒙)

𝒙 =
𝟑

𝟑

𝒇(𝒙) 𝟐




∀𝒙 ∈ 𝑰
∀𝒙 ∈ 𝑰

𝒇𝒏 ′ (𝒙) = 𝒏𝒇′ 𝒙 𝒇 𝒏−𝟏 (𝒙)
𝒈𝒐𝒇 ′ (𝒙) = 𝒇′ 𝒙 𝒈(𝒇 𝒙 )



∀𝒙 ∈ 𝑰

𝑨𝒓𝒄𝒕𝒈(𝒇) ′ (𝒙) =



𝒇 𝒅é𝒓𝒊𝒗𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒆𝒏 𝒃
𝒇 𝒅é𝒓𝒊𝒗𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒆𝒏 𝒂

𝒇 𝒂 ≠𝟎

𝟏
𝟏
(𝒇−𝟏 )′ 𝒃 = ′ −𝟏
= ′
𝒇 𝒂 =𝒃
𝒇 (𝒇
𝒃 )
𝒇 (𝒂)

∀𝒙 ∈ 𝑰 𝒇"(𝒙) ≤ 𝟎 ⇒

∀𝒙 ∈ 𝑰 𝒇"(𝒙) ≥ 𝟎 ⇒

𝑪𝒇 𝒄𝒐𝒏𝒄𝒂𝒗𝒆 𝒔𝒖𝒓 𝑰
𝑪𝒇 𝒆𝒏 𝒅𝒆𝒔𝒔𝒐𝒖𝒔
𝒅𝒆 𝒔𝒆𝒔 𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔

𝑪𝒇 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒙𝒆 𝒔𝒖𝒓 𝑰
𝑪𝒇 𝒂𝒖 𝒅𝒆𝒔𝒔𝒖𝒔
𝒅𝒆 𝒔𝒆𝒔 𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔

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𝒇′ 𝒙
𝟏+(𝒇 𝒙 )𝟐
−𝟏

𝒇"(𝒂) = 𝟎 𝒐𝒖 𝒇′(𝒂) = 𝟎
𝒆𝒕 𝒇′ 𝒏𝒆 𝒄𝒉𝒂𝒏𝒈𝒆
𝒑𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒆 𝒔𝒖𝒓 𝑰
⇒ 𝑰(𝒂, 𝒇 𝒂 𝒑𝒐𝒊𝒏𝒕 𝒅′𝒊𝒏𝒇𝒍𝒆𝒙𝒊𝒐𝒏

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𝒂𝒖 𝒗𝒐𝒊𝒔𝒊𝒏𝒂𝒈𝒆 𝒅𝒆 ∞

𝒂𝒖 𝒗𝒐𝒊𝒔𝒊𝒏𝒂𝒈𝒆 𝒅𝒆 ∞

𝒂𝒖 𝒗𝒐𝒊𝒔𝒊𝒏𝒂𝒈𝒆 𝒅𝒆 ∞

𝒐𝒃𝒍𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝑪𝒇

𝒗𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍𝒆 𝒅𝒆 𝑪𝒇

𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 − (𝒂𝒙 + 𝒃) = 𝟎

𝒉𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍𝒆 𝒅𝒆 𝑪𝒇

𝒙→∞

𝒆𝒔𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒂𝒔𝒚𝒎𝒑𝒕𝒐𝒕𝒆



𝑳𝒂 𝒅𝒓𝒐𝒊𝒕𝒆 ∆ : 𝒙 = 𝒂

𝒂𝒖 𝒗𝒐𝒊𝒔𝒊𝒏𝒂𝒈𝒆 𝒅𝒆 ∞

𝒗𝒆𝒓𝒔 𝑶𝒚

𝒃𝒓𝒂𝒏𝒄𝒉𝒆 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒃𝒐𝒍𝒊𝒒𝒖𝒆

𝑪𝒇 𝒂𝒅𝒎𝒆𝒕 𝒖𝒏𝒆

𝒆𝒔𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒂𝒔𝒚𝒎𝒑𝒕𝒐𝒕𝒆

𝑳𝒂 𝒅𝒓𝒐𝒊𝒕𝒆 ∆ : 𝒚 = 𝒃

𝒗𝒆𝒓𝒔 ∆ : 𝒚 = 𝒂𝒙

𝒗𝒆𝒓𝒔 𝑶𝒙

𝒆𝒔𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒂𝒔𝒚𝒎𝒑𝒕𝒐𝒕𝒆

∆ : 𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃

𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 − 𝒂𝒙 = 𝒃

𝒙→∞

𝒇(𝒙)
=𝟎
𝒙→∞ 𝒙
𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝒂

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = ∞

Le guide mathématique
Préparation bac 2019


∆ : 𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃 𝒆𝒔𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒂𝒔𝒚𝒎𝒑𝒕𝒐𝒕𝒆 𝒐𝒃𝒍𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝑪𝒇 𝒂𝒖 𝒗𝒐𝒊𝒔𝒊𝒏𝒂𝒈𝒆 𝒅𝒆 ∞

𝒃𝒓𝒂𝒏𝒄𝒉𝒆 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒃𝒐𝒍𝒊𝒒𝒖𝒆

𝒃𝒓𝒂𝒏𝒄𝒉𝒆 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒃𝒐𝒍𝒊𝒒𝒖𝒆

𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 − 𝒂𝒙 = ∞

𝒙→∞

𝒇(𝒙)
=𝒂≠𝟎
𝒙→∞ 𝒙
𝐥𝐢𝐦

𝑪𝒇 𝒂𝒅𝒎𝒆𝒕 𝒖𝒏𝒆

𝒇(𝒙)
=𝟎
𝒙→∞ 𝒙

𝐥𝐢𝐦

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = ∞

𝒙→∞

𝑪𝒇 𝒂𝒅𝒎𝒆𝒕 𝒖𝒏𝒆

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝒃

𝒙→∞

Les branches infinies

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∀𝒙 ∈ 𝑫𝒇 ∶ 𝟐𝒂 − 𝒙 ∈ 𝑫𝒇
∆ : 𝒙 = 𝒂 𝒆𝒔𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒂𝒙𝒆 𝒅𝒆 𝒔𝒚𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒐𝒖𝒓𝒃𝒆 𝑪𝒇 ⇔
∀𝒙 ∈ 𝑫𝒇 𝒇 𝟐𝒂 − 𝒙 = 𝒇(𝒙)

𝑫𝑬 = 𝑫𝒇 ∩ 𝒂; +∞

ou 𝑫𝑬 = 𝑫𝒇 ∩ −∞; 𝒂
∀𝒙 ∈ 𝑫𝒇 ∶ 𝟐𝒂 − 𝒙 ∈ 𝑫𝒇

𝑰 𝒂; 𝒃 𝒆𝒔𝒕 𝒖𝒏 𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒅𝒆 𝒔𝒚𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒐𝒖𝒓𝒃𝒆 𝑪𝒇 ⇔
∀𝒙 ∈ 𝑫𝒇 𝒇 𝟐𝒂 − 𝒙 = 𝟐𝒃 − 𝒇(𝒙)

𝑫𝑬 = 𝑫𝒇 ∩ 𝒂; +∞

ou 𝑫𝑬 = 𝑫𝒇 ∩ −∞; 𝒂
∀𝒙 ∈ 𝑫𝒇 ∶ 𝒙 ± 𝑻 ∈ 𝑫𝒇

𝒇 𝒆𝒔𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒇𝒐𝒏𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏 𝑻 − 𝒑é𝒓𝒊𝒐𝒅𝒊𝒒𝒖𝒆(𝑻 > 0) ⇔
∀𝒙 ∈ 𝑫𝒇 𝒇 𝒙 + 𝑻 = 𝒇(𝒙)

𝑫𝑬 = 𝑫𝒇 ∩ 𝒂; 𝒂 + 𝑻

𝑳𝒂 𝒄𝒐𝒖𝒓𝒃𝒆 𝑪𝒇
𝑨 𝒂; 𝒃 ∈ 𝑪𝒇
∆ : 𝒙 = 𝒂 𝒆𝒔𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒂𝒔𝒚𝒎𝒑𝒕𝒐𝒕𝒆
𝒗𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍𝒆 𝒅𝒆 𝑪𝒇
∆ : 𝒚 = 𝒃 𝒆𝒔𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒂𝒔𝒚𝒎𝒑𝒕𝒐𝒕𝒆
𝒉𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍𝒆 𝒅𝒆 𝑪𝒇
𝑪𝒇 𝒂𝒅𝒎𝒆𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒃𝒓𝒂𝒏𝒄𝒉𝒆
𝒑𝒂𝒓𝒂𝒃𝒐𝒍𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒗𝒆𝒓𝒔 𝑶𝒚
𝒂𝒖 𝒗𝒐𝒊𝒔𝒊𝒏𝒂𝒈𝒆 𝒅𝒆 ∞
𝑪𝒇 𝒂𝒅𝒎𝒆𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒃𝒓𝒂𝒏𝒄𝒉𝒆
𝒑𝒂𝒓𝒂𝒃𝒐𝒍𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒗𝒆𝒓𝒔 𝑶𝒙
𝒂𝒖 𝒗𝒐𝒊𝒔𝒊𝒏𝒂𝒈𝒆 𝒅𝒆 ∞
𝑪𝒇 𝒂𝒅𝒎𝒆𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒃𝒓𝒂𝒏𝒄𝒉𝒆
𝒑𝒂𝒓𝒂𝒃𝒐𝒍𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒗𝒆𝒓𝒔
𝒍𝒂 𝒅𝒓𝒐𝒊𝒕𝒆 ∆ : 𝒚 = 𝒂𝒙
∆ : 𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃 𝒆𝒔𝒕 𝒖𝒏𝒆
𝒂𝒔𝒚𝒎𝒑𝒕𝒐𝒕𝒆 𝒐𝒃𝒍𝒊𝒒𝒖𝒆
𝒅𝒆 𝑪𝒇 𝒂𝒖 𝒗𝒐𝒊𝒔𝒊𝒏𝒂𝒈𝒆 𝒅𝒆 ∞
𝑪𝒇 𝒂𝒅𝒎𝒆𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒅𝒆𝒎𝒊 𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆
𝒗𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍𝒆 𝒗𝒆𝒓𝒔 𝒍𝒆 𝑯𝒂𝒖𝒕
𝑪𝒇 𝒂𝒅𝒎𝒆𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒅𝒆𝒎𝒊 𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆
𝒗𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍𝒆 𝒗𝒆𝒓𝒔 𝒍𝒆 𝒃𝒂𝒔
𝑪𝒇 𝒂𝒅𝒎𝒆𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒅𝒆𝒎𝒊 𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆
𝒉𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍𝒆 à 𝒈𝒂𝒖𝒄𝒉𝒆
𝑪𝒇 𝒂𝒅𝒎𝒆𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒅𝒆𝒎𝒊 𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆
𝒉𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍𝒆 à 𝒅𝒓𝒐𝒊𝒕𝒆
∆ : 𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃 𝒆𝒔𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆
𝒐𝒃𝒍𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝑪𝒇 𝒂𝒖 𝒑𝒐𝒊𝒏𝒕 𝑨 𝒂; 𝒃
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𝑻

𝑻

ou 𝑫𝑬 = 𝑫𝒇 ∩ 𝒂 − 𝟐 ; 𝒂 + 𝟐

𝑳𝒂 𝒄𝒐𝒖𝒓𝒃𝒆 𝑪𝒇−𝟏
𝑨′ 𝒃; 𝒂 ∈ 𝑪𝒇−𝟏
∆′ : 𝒚 = 𝒂 𝒆𝒔𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒂𝒔𝒚𝒎𝒑𝒕𝒐𝒕𝒆
𝒉𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍𝒆 𝒅𝒆 𝑪𝒇−𝟏
∆′ : 𝒙 = 𝒃 𝒆𝒔𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒂𝒔𝒚𝒎𝒑𝒕𝒐𝒕𝒆
𝒗𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍𝒆 𝒅𝒆 𝑪𝒇−𝟏
𝑪𝒇−𝟏 𝒂𝒅𝒎𝒆𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒃𝒓𝒂𝒏𝒄𝒉𝒆
𝒑𝒂𝒓𝒂𝒃𝒐𝒍𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒗𝒆𝒓𝒔 𝑶𝒙
𝒂𝒖 𝒗𝒐𝒊𝒔𝒊𝒏𝒂𝒈𝒆 𝒅𝒆 ∞
−𝟏
𝑪𝒇 𝒂𝒅𝒎𝒆𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒃𝒓𝒂𝒏𝒄𝒉𝒆
𝒑𝒂𝒓𝒂𝒃𝒐𝒍𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒗𝒆𝒓𝒔 𝑶𝒚
𝒂𝒖 𝒗𝒐𝒊𝒔𝒊𝒏𝒂𝒈𝒆 𝒅𝒆 ∞
−𝟏
𝑪𝒇 𝒂𝒅𝒎𝒆𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒃𝒓𝒂𝒏𝒄𝒉𝒆
𝒑𝒂𝒓𝒂𝒃𝒐𝒍𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒗𝒆𝒓𝒔
𝟏
𝒍𝒂 𝒅𝒓𝒐𝒊𝒕𝒆 ∆′ : 𝒚 = 𝒙
𝒂
𝟏
𝒃
∆′ : 𝒚 = 𝒙 + 𝒂𝒔𝒚𝒎𝒑𝒕𝒐𝒕𝒆 𝒐𝒃𝒍𝒊𝒒𝒖𝒆
𝒂
𝒂
−𝟏
𝒅𝒆 𝑪𝒇 𝒂𝒖 𝒗𝒐𝒊𝒔𝒊𝒏𝒂𝒈𝒆 𝒅𝒆 ∞
𝑪𝒇−𝟏 𝒂𝒅𝒎𝒆𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒅𝒆𝒎𝒊 𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆
𝒉𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍𝒆 à 𝒅𝒓𝒐𝒊𝒕𝒆
−𝟏
𝑪𝒇 𝒂𝒅𝒎𝒆𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒅𝒆𝒎𝒊 𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆
𝒉𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍𝒆 à 𝒈𝒂𝒖𝒄𝒉𝒆
−𝟏
𝑪𝒇 𝒂𝒅𝒎𝒆𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒅𝒆𝒎𝒊 𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆
𝒗𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍𝒆 𝒗𝒆𝒓𝒔 𝒍𝒆 𝒃𝒂𝒔
−𝟏
𝑪𝒇 𝒂𝒅𝒎𝒆𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒅𝒆𝒎𝒊 𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆
𝒗𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍𝒆 𝒗𝒆𝒓𝒔 𝒍𝒆 𝒉𝒂𝒖𝒕
𝟏
𝒃
∆′ : 𝒚 = 𝒙 + 𝒆𝒔𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆
𝒂
𝒂
𝒐𝒃𝒍𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝑪𝒇−𝟏 𝒂𝒖 𝒑𝒐𝒊𝒏𝒕 𝑨′ 𝒃; 𝒂
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 𝒍𝒏 est la fonction vérifiant : ∀𝒙 ∈ 𝟎; +∞
 𝒇 𝒙 = 𝒍𝒏 𝒖 𝒙 ⟹ 𝑫𝒇 = 𝒙 ∈ 𝑫𝒖/ 𝒖(𝒙) > 𝟎
 𝒇 𝒙 = 𝒍𝒏 𝒖 𝒙 ⟹ 𝑫𝒇 = 𝒙 ∈ 𝑫𝒖/ 𝒖(𝒙) ≠ 𝟎

La
fonction
Ln



𝒍𝒏

𝒙 =

𝟏
𝒙

𝒍𝒏 𝟏 = 𝟎

 𝒍𝒏 continue et strictement croissante sur

𝟎; +∞

𝟐

∀ 𝒙; 𝒚 ∈ ( 𝟎; +∞ ) ∀𝒓 ∈ ℚ

𝐥𝐢𝐦𝒙→+∞ 𝒍𝒏(𝒙) = +∞



𝐥𝐢𝐦𝒙→+∞
𝐥𝐢𝐦𝒙→+∞





𝒍𝒏(𝒙)
𝒙
𝒍𝒏(𝒙)
𝒙𝒏

=𝟎

 𝒍𝒏 𝒙 = 𝒍𝒏 𝒚 ⇔ 𝒙 = 𝒚 ; 𝒍𝒏 𝒙
 𝒍𝒏 𝒙𝒚 = 𝒍𝒏 𝒙 + 𝒍𝒏 𝒚 ; 𝒍𝒏 𝟏𝒙
 𝒍𝒏 𝒚𝒙 = 𝒍𝒏 𝒙 − 𝒍𝒏 𝒚 ; 𝒍𝒏 𝒙𝒓

> 𝒍𝒏 𝒚 ⇔ 𝒙 > 𝒚
= −𝒍𝒏 𝒙 ; 𝒍𝒏 𝒆 = 𝟏
= 𝒓𝒍𝒏 𝒙 ; 𝒍𝒏

𝟏
𝟐

𝒙 = 𝒍𝒏 𝒙

=𝟎

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎+ 𝒍𝒏(𝒙) = −∞
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎+ 𝒙𝒍𝒏(𝒙) = 𝟎
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎+ 𝒙𝒏 𝒍𝒏(𝒙) = 𝟎
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝒍𝒏(𝒙)
=𝟏
𝒙−𝟏
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎 𝒍𝒏(𝒙+𝟏)
=𝟏
𝒙

La
fonction
exp

𝒖 une fonction dérivable et strictement positive sur 𝑰

𝒇 𝒙
𝒇 𝒙

= 𝒍𝒏 𝒖 𝒙
= 𝒍𝒏 𝒖 𝒙

𝐝é𝐫𝐢𝐯𝐚𝐛𝐥𝐞 𝐬𝐮𝐫 𝑰 ⟹ 𝒇′ 𝒙

∀𝒙 ∈ 𝟎; +∞

 𝑳𝒐𝒈𝒂

𝒖′ 𝒙
𝒖 𝒙
𝒖′ 𝒙
=𝒖𝒙

𝐝é𝐫𝐢𝐯𝐚𝐛𝐥𝐞 𝐬𝐮𝐫 𝑰 ⟹ 𝒇′ 𝒙 =

𝒍𝒏 𝒙

∀𝒂 ∈ ℚ∗+ ∖ 𝟏
𝟏

𝒙 = 𝒍𝒏(𝒂) ⟹ 𝑳𝒐𝒈′𝒂 (𝒙) = 𝒙𝒍𝒏 𝒂 ; 𝑳𝒐𝒈 𝒙 = 𝑳𝒐𝒈𝟏𝟎(𝒙)

 𝟏 < 𝒂 ⟹ 𝑳𝒐𝒈𝒂𝒆𝒔𝒕 𝒄𝒓𝒐𝒊𝒔𝒔𝒂𝒏𝒕𝒆 ; 𝟎 < 𝒂 < 𝟏 ⟹ 𝑳𝒐𝒈𝒂𝒆𝒔𝒕 𝒅é𝒄𝒓𝒐𝒊𝒔𝒔𝒂𝒏𝒕𝒆
 𝑬𝒙𝒑 ou 𝒆𝒙 est la fonction vérifiant : 𝒆𝒙 ′ = 𝒆𝒙 et 𝒆𝟎 = 𝟏
 ∀𝒙 ∈ 𝟎; +∞ ∀𝒚 ∈ ℝ 𝒍𝒏 𝒙 = 𝒚 ⇔ 𝒙 = 𝒆𝒚
 ∀𝒙 ∈ 𝟎; +∞ ∀𝒚 ∈ ℝ 𝒍𝒏 𝒆𝒚 = 𝒚 ; 𝒆𝒍𝒏(𝒙) = 𝒙
 𝒇 𝒙 = 𝒍𝒏 𝒖 𝒙 ⟹ 𝑫𝒇 = 𝒙 ∈ 𝑫𝒖/ 𝒖(𝒙) ≠ 𝟎
 𝒍𝒏 continue et strictement croissante sur ℝ
∀ 𝒙; 𝒚 ∈ (ℝ)𝟐 ∀𝒓 ∈ ℚ

𝐥𝐢𝐦𝒙→+∞ 𝒆𝒙 = +∞



𝐥𝐢𝐦𝒙→+∞

𝒆𝒙
𝒙
𝒆𝒙

= +∞

𝐥𝐢𝐦𝒙→+∞ 𝒙𝒏 = +∞



𝐥𝐢𝐦𝒙→−∞ 𝒆𝒙 = 𝟎
𝐥𝐢𝐦𝒙→−∞ 𝒆𝒙 = 𝟎
𝐥𝐢𝐦𝒙→−∞ 𝒙𝒏 𝒆𝒙 = 𝟎

 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎

𝒆𝒙 −𝟏
𝒙

 𝒆𝒙 = 𝒆𝒚 ⇔ 𝒙 = 𝒚 ; 𝒆𝒙 > 𝒆𝒚 ⇔ 𝒙 > 𝒚
 𝒆𝒙+𝒚 = 𝒆𝒙 × 𝒆𝒚 ; 𝒆−𝒙 = 𝒆𝟏𝒙 ; 𝒆𝟏 = 𝒆
𝒙
 𝒆𝒙−𝒚 = 𝒆𝒆𝒚 ; 𝒆𝒓𝒙 = 𝒆𝒙 𝒓
𝒖 une fonction dérivable sur un intervalle 𝑰

 𝒇 𝒙 = 𝒆𝒖(𝒙)𝐝é𝐫𝐢𝐯𝐚𝐛𝐥𝐞 𝐬𝐮𝐫 𝑰 ⟹ 𝒇′ 𝒙
 ∀𝒙 ∈ ℝ ∀𝒂 ∈ ℝ∗+ ∖ 𝟏

=𝟏

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= 𝒖′ (𝒙)𝒆

𝒂𝒙 = 𝒆𝒙𝒍𝒏(𝒂) ⟹ (𝒂𝒙 )′ =

𝒖(𝒙)

𝒂𝒙
𝒍𝒏 𝒂

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Théorème de Rolle
𝒇 𝒆𝒔𝒕𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒆 𝒔𝒖𝒓 𝒂; 𝒃
𝒇 𝒆𝒔𝒕 𝒅é𝒓𝒊𝒗𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒔𝒖𝒓 𝒂; 𝒃
𝒇 𝒂 =𝒇 𝒃

∃𝒄 ∈ 𝒂; 𝒃

⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒

𝒇′ 𝒄 = 𝑶

Théorème des accroissements finis
𝒇 𝒆𝒔𝒕𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒆 𝒔𝒖𝒓 𝒂; 𝒃
𝒇 𝒆𝒔𝒕 𝒅é𝒓𝒊𝒗𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒔𝒖𝒓 𝒂; 𝒃

∃𝒄 ∈ 𝒂; 𝒃

⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒

𝒇′ 𝒄 =

𝑺 𝑬𝒏𝒔𝒆𝒎𝒃𝒍𝒆 𝒅𝒆𝒔 𝒑𝒐𝒊𝒏𝒕𝒔 𝒄𝒓𝒊𝒕𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒑𝒐𝒖𝒓 𝒇′

𝒖 𝒆𝒔𝒕 𝒅é𝒓𝒊𝒗𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒆𝒏 𝒂

𝒂 ∈ 𝑫𝒇 ∖ 𝑺

𝒖 𝒙 − 𝒖(𝒂)
𝒙→𝒂
𝒙−𝒂

𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂

𝒇 𝒙 =

𝒇 𝒃 − 𝒇(𝒂)
𝒃−𝒂

𝒖 𝒙 − 𝒖(𝒂)
𝒙−𝒂





𝒂∈𝑺

𝒙 ∈ 𝑽𝒂

𝒖 𝒆𝒔𝒕 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒆 𝒔𝒖𝒓 𝒂; 𝒙 𝒐𝒖 𝒙; 𝒂
𝒖 𝒆𝒔𝒕 𝒅é𝒓𝒊𝒗𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒔𝒖𝒓 𝒂; 𝒙 𝒐𝒖 𝒙; 𝒂

𝑻. 𝑨. 𝑭 ⇒

∃𝒄 ∈ 𝒂; 𝒙

𝒖′ 𝒄 =

𝒖 𝒙 − 𝒖(𝒂)
𝒙→𝒂
𝒙−𝒂

𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂

𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 =
𝒙→𝒂

𝟎
𝟎

= 𝒖′ 𝒂

𝒖 𝒙 − 𝒖(𝒂)
𝒙−𝒂

= 𝐥𝐢𝐦 𝒖′ 𝒄
𝒄→𝒂

𝒖 𝒙 − 𝒖(𝒂)
𝒙−𝒂
×
𝒙→𝒂
𝒙−𝒂
𝒗 𝒙 − 𝒗(𝒂)

𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂

𝒇 𝒆𝒔𝒕 𝒅é𝒄𝒐𝒎𝒑𝒐𝒔𝒂𝒃𝒍𝒆

𝒖 𝒙 − 𝒖(𝒂)
𝒗 𝒙 − 𝒗(𝒂)
≠ 𝟎 𝒐𝒖 𝐥𝐢𝐦
≠𝟎
𝒙→𝒂
𝒙→𝒂
𝒙−𝒂
𝒙−𝒂

𝐥𝐢𝐦

PAS DE FORME INDEFINIE

Soient 𝒙 ∈ 𝑽𝒂 et 𝝋 définie sur 𝒂; 𝒙 𝒐𝒖 𝒙; 𝒂
𝒇 𝒙 =

𝒖 𝒙 − 𝒖(𝒂)
𝒗 𝒙 − 𝒗(𝒂)

𝒇 𝒆𝒔𝒕 𝒏𝒐𝒏 𝒅é𝒄𝒐𝒎𝒑𝒐𝒔𝒂𝒃𝒍𝒆

𝝋 𝒕 = 𝒖 𝒕 − 𝒖(𝒂) 𝒗 𝒙 − 𝒗(𝒂) − 𝒗 𝒕 − 𝒗(𝒂) 𝒖 𝒙 − 𝒖(𝒂)





𝝋 𝒆𝒔𝒕 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒆 𝒔𝒖𝒓 𝒂; 𝒙 𝒐𝒖 𝒙; 𝒂
𝝋 𝒆𝒔𝒕 𝒅é𝒓𝒊𝒗𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒔𝒖𝒓 𝒂; 𝒙 𝒐𝒖 𝒙; 𝒂
𝝋 𝒂 =𝝋 𝒂

𝑹𝑶𝑳𝑳𝑬 ⇒

∃𝒄 ∈ 𝒂; 𝒙

⇒⇒⇒⇒⇒
𝒙→𝒂

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𝝋′ 𝒄 = 𝟎 ⇒

𝒖 𝒙 − 𝒖(𝒂) 𝒖′ 𝒄
=
𝒗 𝒙 − 𝒗(𝒂) 𝒗′ 𝒄

𝒖 𝒙 − 𝒖(𝒂)
𝒖′ 𝒄
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂 𝒗 𝒙 − 𝒗(𝒂)
𝒄→𝒂 𝒗′ 𝒄

𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦

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 Les suites numériques
Nature

Définition

𝒏

Terme général

𝑼𝒌 =
𝒌=𝒑

Suite
Arithmétique







(∀𝒏 ≥ 𝒑) 𝑼𝒏+𝟏 = 𝑼𝒏 +
𝒓
𝒓 ∈ ℝ∗

∀𝒏 ≥ 𝒑
𝑼𝒏 = 𝑼𝒑 + (𝒏 − 𝒑)𝒓

Suite
Géométrique




(∀𝒏 ≥ 𝒑) 𝑼𝒏+𝟏 = 𝒒𝑼𝒏
𝒒 ∈ ℝ∗ ∖ 𝟏



∀𝒏 ≥ 𝒑
𝑼𝒏 = 𝑼𝒑 𝒒𝒏−𝒑

𝑼𝒑

𝒂𝝎+𝒃

Suite
Homographe




𝒂𝑼 +𝒃

(∀𝒏 ≥ 𝒑) 𝑼𝒏+𝟏 = 𝒏
𝒄𝑼𝒏 +𝒅
𝒂 𝒃

𝒄 ∈ ℝ ; ∆=
≠𝟎
𝒄 𝒅

𝑼𝒏 + 𝑼𝒑 (𝒏 − 𝒑 + 𝟏)
𝟐
𝟏 − 𝒒𝒏−𝒑+𝟏
𝟏−𝒒

1) Point fixe : 𝝎 =
𝒄𝝎+𝒅
2) Si l’équation a une solution 𝜶
𝒌
a. Suite auxiliaire : 𝑽𝒏 =

3) L’équation a deux solutions
𝜶≠𝜷
𝑼 −𝜷
a. Suite auxiliaire : 𝑽𝒏 = 𝒏

b. (𝑽𝒏 )𝒏≥𝒑 Suite Arithmétique
c. Déduction du terme 𝑼𝒏

c. Déduction du terme 𝑼𝒏

𝑼𝒏 −𝜶

𝑼𝒏 −𝜶

b. (𝑽𝒏 )𝒏≥𝒑 Suite Arithmétique

Monotonie et majoration











∀𝒏 ≥ 𝒑 𝑼𝒏+𝟏 − 𝑼𝒏 > 0 ⇒ 𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 (𝑼𝒏 )𝒏≥𝒑 strictement croissante⇒ ∀𝒏 ≥ 𝒑 𝑼𝒏 ≥ 𝑼𝒑
∀𝒏 ≥ 𝒑 𝑼𝒏+𝟏 − 𝑼𝒏 < 0 ⇒ 𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 (𝑼𝒏 )𝒏≥𝒑 strictement décroissante⇒ ∀𝒏 ≥ 𝒑 𝑼𝒏 ≤ 𝑼𝒑
∃𝑴 ∈ ℝ

∀𝒏 ≥ 𝒑 𝑼𝒏 < 𝑀 ⇒ 𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 (𝑼𝒏 )𝒏≥𝒑 est majorée

∃𝒎 ∈ ℝ

∀𝒏 ≥ 𝒑 𝑼𝒏 > 𝑚 ⇒ 𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 (𝑼𝒏 )𝒏≥𝒑 est minorée

∃𝑴 ∈ ℝ

∀𝒏 ≥ 𝒑 𝑼𝒏 < 𝑀 ⇒ 𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 (𝑼𝒏 )𝒏≥𝒑 est bornée

∃ 𝒎; 𝑴 ∈ ℝ 𝟐 ∀𝒏 ≥ 𝒑 𝒎 < 𝑼𝒏 < 𝑀 ⇒ 𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 (𝑼𝒏 )𝒏≥𝒑 est majorée

Convergence et critères de convergence

𝑳𝒂 𝒔𝒖𝒊𝒕𝒆 (𝑼𝒏 )𝒏≥𝒑 𝒆𝒔𝒕 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 ⇔ ∃𝒍 ∈ ℝ 𝐥𝐢𝐦𝐧→+∞ 𝐮𝐧 = 𝒍
𝑳𝒂 𝒔𝒖𝒊𝒕𝒆 (𝑼𝒏 )𝒏≥𝒑 𝒆𝒔𝒕 𝒅𝒊𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 ⇔ 𝐥𝐢𝐦𝐧→+∞ 𝐮𝐧 = ±∞ ou la limite n’existe pas



𝑳𝒂 𝒔𝒖𝒊𝒕𝒆 (𝑼𝒏 )𝒏≥𝒑 𝐬𝐭𝐫𝐢𝐜𝐭𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭 𝐜𝐫𝐨𝐢𝐬𝐬𝐚𝐧𝐭𝐞
⇒⇒⇒⇒⇒ 𝑳𝒂 𝒔𝒖𝒊𝒕𝒆 (𝑼𝒏 )𝒏≥𝒑 𝒆𝒔𝒕 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆
𝑳𝒂 𝒔𝒖𝒊𝒕𝒆 (𝑼𝒏 )𝒏≥𝒑 𝐞𝐬𝐭 𝐦𝐚𝐣𝐨𝐫é𝐞



𝑳𝒂 𝒔𝒖𝒊𝒕𝒆 (𝑼𝒏 )𝒏≥𝒑 𝐬𝐭𝐫𝐢𝐜𝐭𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭 𝐝é𝐜𝐫𝐨𝐢𝐬𝐬𝐚𝐧𝐭𝐞
⇒⇒⇒⇒⇒ 𝑳𝒂 𝒔𝒖𝒊𝒕𝒆 (𝑼𝒏 )𝒏≥𝒑 𝒆𝒔𝒕 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆
𝑳𝒂 𝒔𝒖𝒊𝒕𝒆 (𝑼𝒏 )𝒏≥𝒑 𝐞𝐬𝐭 𝐦𝐢𝐧𝐨𝐫é𝐞



∃𝒍 ∈ ℝ

∀𝒏 ≥ 𝒑 𝑼𝒏 − 𝒍 < 𝑽𝒏
⇒⇒⇒⇒⇒ 𝐥𝐢𝐦𝐧→+∞ 𝐮𝐧 = 𝒍
𝐥𝐢𝐦𝐧→+∞ 𝐕𝐧 = 𝟎



∀𝒏 ≥ 𝒑 𝑼𝒏 < 𝑽𝒏
⇒ 𝐥𝐢𝐦𝐧→+∞ 𝐮𝐧 = −∞
𝐥𝐢𝐦𝐧→+∞ 𝐕𝐧 = −∞





∀𝒏 ≥ 𝒑 𝑼𝒏 > 𝑽𝒏
⇒ 𝐥𝐢𝐦𝐧→+∞ 𝐮𝐧 = +∞
𝐥𝐢𝐦𝐧→+∞ 𝐕𝐧 = +∞



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∀𝒏 ≥ 𝒑 𝑾𝒏 < 𝑈𝒏 < 𝑽𝒏
⇒ 𝐥𝐢𝐦𝐧→+∞ 𝐮𝐧 = 𝒍
𝐥𝐢𝐦𝐧→+∞ 𝐕𝐧 = 𝐥𝐢𝐦𝐧→+∞ 𝐖𝐧 = 𝒍
𝐥𝐢𝐦𝐧→+∞ 𝐪𝐧 =

𝟎
𝐬𝐢 − 𝟏 < 𝑞 < 1
+∞
𝐬𝐢 𝐪 > 1
𝐩𝐚𝐬 𝐝𝐞 𝐥𝐢𝐦𝐢𝐭𝐞
𝐬𝐢 𝐪 ≤ −𝟏

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Le guide mathématique
Préparation bac 2019

CENTRE EXAMS PREPAS

2eme bac sE sm biof
PROF TAHIRI MOHSINE

Préparation des concours
Début des cours : lundi 17 juin 2019
Les places limitées

Méthodes et astuces




∀𝒏 ≥ 𝒑 𝑼𝒏+𝟏 = 𝒇 𝑼𝒏
𝒇 continue et croissante sur 𝑰
𝑳𝒂 𝒎𝒐𝒏𝒐𝒕𝒐𝒏𝒊𝒆 𝒅𝒆 (𝑼𝒏 )𝒏≥𝒑

𝒇(𝑰) ⊂ 𝑰 ⇒ ∀𝒏 ≥ 𝒑 𝑼𝒏 ∈ 𝐼


Récurrence
Position relative 𝑪𝒇 𝒆𝒕 ∆ : 𝒚 = 𝒙

Montrons que : ∀𝒏 ≥ 𝒑 𝑼𝒏+𝟏 > 𝑼𝒏

La différence

⇒ 𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 (𝑼𝒏 )𝒏≥𝒑 ↑




Pour 𝒏 = 𝒑 𝒐𝒏 𝒂: 𝑼𝒑+𝟏 > 𝑼𝒑





Soit 𝒏 ≥ 𝒑
On suppose que : 𝑼𝒏+𝟏 > 𝑼𝒏
Montrons que ; 𝑼𝒏+𝟐 > 𝑼𝒏+𝟏
𝑼𝒏+𝟏 > 𝑼𝒏
𝒇 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒆 𝒆𝒔𝒕 𝒄𝒓𝒐𝒊𝒔𝒔𝒂𝒏𝒕𝒆
⇒ 𝒇 𝑼𝒏+𝟏 > 𝒇(𝑼𝒏 ) ⇒ 𝑼𝒏+𝟐 > 𝑼𝒏+𝟏



∀𝒙 ∈ 𝐼 𝒇( 𝒙) > 𝒙
⇒ ∀𝒏 ≥ 𝒑 𝒇( 𝑼𝒏 ) > 𝑼𝒏
⇒ ∀𝒏 ≥ 𝒑 𝑼𝒏+𝟏 > 𝑼𝒏
⇒ 𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 (𝑼𝒏 )𝒏≥𝒑 ↑
∀𝒙 ∈ 𝐼 𝒇( 𝒙) < 𝒙
⇒ ∀𝒏 ≥ 𝒑 𝒇( 𝑼𝒏 ) < 𝑼𝒏
⇒ ∀𝒏 ≥ 𝒑 𝑼𝒏+𝟏 < 𝑼𝒏
⇒ 𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 (𝑼𝒏 )𝒏≥𝒑 ↓



∀𝒏 ≥ 𝒑 𝑼𝒏+𝟏 − 𝑼𝒏 > 0
⇒ 𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 (𝑼𝒏 )𝒏≥𝒑 ↑



∀𝒏 ≥ 𝒑 𝑼𝒏+𝟏 − 𝑼𝒏 < 0
⇒ 𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 (𝑼𝒏 )𝒏≥𝒑 ↓



Théorème du point fixe




𝑳𝒂 𝒍𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒅𝒆 (𝑼𝒏 )𝒏≥𝒑

∀𝒏 ≥ 𝒑 𝑼𝒏+𝟏 = 𝒇 𝑼𝒏
𝒇 dérivable sur 𝑰 ; 𝒇(𝑰) ⊂ 𝑰

Suites Auxiliaires

Télescopage ou Récurrence

∀𝒏 ≥ 𝒑 𝑼𝒏+𝟏 = 𝒇 𝑼𝒏

𝑺𝒊:

𝒇 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐞 𝐬𝐮𝐫 𝑰
𝑼𝒑 ∈ 𝐼
𝑓 𝐼 ⊂𝑰
𝑼𝒏 𝒏≥𝒑 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆
𝑨𝒍𝒐𝒓𝒔

𝐥𝐢𝐦 𝐔𝐧 = 𝒍

𝐧→+∞

où 𝒍 solution de 𝒇 𝒙 = 𝒙

1) montrer que :
∀𝒏 ≥ 𝒑 𝐔𝐧+𝟏 − 𝛂 ≤ 𝒌 𝐔𝐧 − 𝛂
2) En utilisant Télescopage ou
Récurrence montrer que :
∀𝒏 ≥ 𝒑 𝐔𝐧 − 𝛂 ≤

𝒌𝒏−𝒑

𝐔𝐩 − 𝛂

3) En utilisant les critères de
convergence déduire



On considère 𝑽𝒏 𝒏≥𝒑 en
fonction de (𝑼𝒏 )𝒏≥𝒑
⇒ 𝑳𝒂 𝒔𝒖𝒊𝒕𝒆 (𝑽𝒏 )𝒏≥𝒑 est
arithmétique ou géométrique
⇒Ecrire 𝑽𝒏 en fonction de 𝒏
⇒Déduire 𝑼𝒏 en fonction de 𝒏
⇒Déduire 𝐥𝐢𝐦𝐧→+∞ 𝐮𝐧

𝐥𝐢𝐦𝐧→+∞ 𝐔𝐧 = 𝛂

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𝒏→+∞

𝒏→+∞

𝒂

𝒃

𝒌=𝟎

𝒏−𝟏

𝒇(𝒙𝒌 )

𝒏

𝒃−𝒂

𝒇 𝒙 𝒅𝒙

𝒃−𝒂
𝒇(𝒙𝒌 ) ; 𝑺′𝒏 =
𝒏

𝒍𝒊𝒎 𝑺′𝒏 = 𝒍𝒊𝒎 𝑺𝒏 =

𝒌=𝟎

𝒏−𝟏

𝒇 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒆 𝒔𝒖𝒓 𝒂; 𝒃 ; 𝒙𝒌 = 𝒂 + 𝒌

𝒃−𝒂
𝑺𝒏 =
𝒏



𝒂

𝟏



𝒔𝒊𝒏(𝒂𝒙 + 𝒃)


𝟏

𝒖(𝒙)

𝒖′ (𝒙)

𝒖(𝒙) 𝟐

𝒖′ (𝒙)

𝒖(𝒙)

𝒖′ (𝒙)

𝟏+𝒙𝟐





𝟏

𝒆𝒂𝒙

𝒔𝒊𝒏(𝒂𝒙 + 𝒃)

𝒂

𝟏

𝒂

𝒂
𝟏

𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝒙

𝒕𝒂𝒏(𝒂𝒙 + 𝒃)

− 𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒙 + 𝒃)

𝒂
𝟏

+𝒄

𝒍𝒏 𝒙 + 𝑪

𝒙+c

+c

𝒓+𝟏

𝟏+ 𝒖(𝒙) 𝟐

𝒖′ (𝒙)

𝒖′ (𝒙)𝒆𝒖(𝒙)

𝒓

𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝒖(𝒙)

𝒆

𝒓+𝟏
𝒖(𝒙)

𝒖(𝒙) 𝒓+𝟏

𝟐 𝒖(𝒙)

𝒖(𝒙)

−𝟏

𝒍𝒏 𝒖(𝒙)

Les formules stars

 𝒖′ (𝒙) 𝒖(𝒙)









𝟐

𝟏 + (𝒕𝒂𝒏(𝒂𝒙 + 𝒃))

𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒙 + 𝒃)





𝒆𝒂𝒙

𝒙

𝟐 𝒙
𝟏









𝒓 ∈ ℚ ∖ −𝟏
𝒙

𝒙


𝒙𝟐

𝒓

+𝒄

𝒏+𝟏
𝒙𝒓+𝟏
𝟏

𝒙𝒏



𝒂𝒙 + 𝒄
𝒙𝒏+𝟏

𝑭

𝟏

𝒂



𝒇

Les fonctions primitives
→→→→

𝒃
𝒂


𝒂

E

𝒈 𝒇 𝒙 𝒇′ 𝒙 𝒅𝒙 =

Integrales avec :

𝒂

𝒃

𝒈(𝒂)

𝒈(𝒃)

𝒐𝒏 𝒑𝒐𝒔𝒆 𝒕 = 𝒇 𝒙 ; 𝒅𝒕 = 𝒇′ 𝒙 𝒅𝒙

𝒈 𝒕 𝒅𝒕





𝒙
𝟐
𝟐

𝟏 − 𝒕𝟐 𝒐𝒏 𝒑𝒐𝒔𝒆: 𝒕 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒐𝒖 𝒕 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙

𝟏 + 𝒕𝟐 𝒐𝒏 𝒑𝒐𝒔𝒆: 𝒕 = 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝒐𝒖 𝒕 = 𝒕𝒂𝒏

𝒕 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 ; 𝒕 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 ; 𝒕 = 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝒐𝒖 𝒕 = 𝒕𝒂𝒏

𝒙

𝒇𝒖𝒏𝒆 𝒃𝒊𝒋𝒆𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝑰 = 𝒂; 𝒃 𝒗𝒆𝒓𝒔 𝑱 = 𝜶; 𝜷

 𝒄𝒐𝒔 𝒙 ; 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒐𝒖 𝒕𝒂𝒏 𝒙 ; 𝒐𝒏 𝒑𝒐𝒔𝒆:






Changement de variable

Changement de variables

S

𝒖′ (𝒙)𝒗 𝒙 𝒅𝒙

P

𝒃

𝒖′ 𝒙 =?
𝒗 𝒙 =?

𝑨 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ; 𝑳 = 𝒍𝒏; 𝑷 = 𝒑𝒐𝒍𝒚𝒏𝒐𝒎𝒆
𝑬 = 𝒆𝒙𝒑 ; 𝑺 = 𝒔𝒊𝒏 𝒐𝒖 𝒄𝒐𝒔

L

𝒖 𝒙 𝒗′ 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒖 𝒙 𝒗(𝒙)

𝒖 𝒙 =?
𝒗′ 𝒙 =?

 𝑹𝒆𝒎𝒂𝒓𝒒𝒖𝒆: A

𝒂

𝒃



Intégration par parties

Méthodes de calcul

Le guide mathématique
Préparation bac 2019

sommes de reimann

𝟏
∃ 𝒄 ∈ 𝒂; 𝒃 : 𝑴 =
𝒃−𝒂

𝒃

𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒇(𝒄)

La valeur moyenne 𝑴

 𝒇 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒆 𝒔𝒖𝒓 𝒂; 𝒃













𝒃
∫𝒂 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭(𝒙) 𝒃𝒂 = 𝑭 𝒃 − 𝑭(𝒂)
𝒃
𝒂
∫𝒂 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = − ∫𝒂 𝒇 𝒙 𝒅𝒙
𝒂
∫𝒂 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟎
𝒃
𝒃
∫𝒂 𝜶𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝜶 ∫𝒂 𝒇 𝒙 𝒅𝒙
𝒃
𝒃
∫𝒂 𝒇 𝒙 + 𝒈 𝒙 𝒅𝒙 = ∫𝒂 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 +
𝒃
∫𝒂 𝒈 𝒙 𝒅𝒙
𝒃
𝒇 𝒙 ≥ 𝟎 → ∫𝒂 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 ≥ 𝟎
𝒃
𝒃
𝒇 𝒙 ≥ 𝒈(𝒙 → ∫𝒂 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 ≥ ∫𝒂 𝒈 𝒙 𝒅𝒙
𝒃
𝒃
∫𝒂 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 ≤ ∫𝒂 𝒇 𝒙 𝒅𝒙
𝒃
𝒄
𝒃
∫𝒂 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = ∫𝒂 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 + ∫𝒄 𝒇 𝒙 𝒅𝒙

Intégrales et ordre

Les intégrales

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2eme bac sE sm biof
PROF TAHIRI MOHSINE

Le guide mathématique
Préparation bac 2019

CENTRE EXAMS PREPAS

2eme bac sE sm biof
PROF TAHIRI MOHSINE

Surface et volume

𝑪𝒇
𝑪𝒈

𝑪𝒇

𝑫

𝑪𝒇
𝒙=𝒂



𝒙=𝒃

𝒙=𝒂



𝒃

𝑺 = ∫𝒂 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 × 𝑼. 𝑨

𝒙=𝒂

𝒙=𝒃

𝒃

𝑺 = ∫𝒂 𝒇 𝒙 − 𝒈 𝒙 𝒅𝒙 × 𝑼. 𝑨



𝒙=𝒃

𝒃

𝑺 = ∫𝒂 𝒇 𝒙 − 𝒚 𝒅𝒙 × 𝑼. 𝑨

L’aire du domaine délimité par

L’aire du domaine délimité par

L’aire du domaine délimité par

la courbe 𝑪𝒇 ; l’axe 𝑶𝒙 et

les courbes 𝑪𝒇

les courbes 𝑪𝒇

𝑪𝒈 et les
droites 𝒙 = 𝒂 ; 𝒙 = 𝒃

les droites 𝒙 = 𝒂 ; 𝒙 = 𝒃



𝒃

𝑽 = 𝝅 ∫𝒂 𝒇 𝒙

𝟐

𝑫 et les
droites 𝒙 = 𝒂 ; 𝒙 = 𝒃

𝒅𝒙 × 𝑼. 𝑽
𝑪𝒇

Volume engendré par la rotation
de 𝑪𝒇 autour de l’axe 𝑶𝒙

sur

l’intervalle 𝒂; 𝒃

𝒙=𝒂

𝒙=𝒃

 𝑬 : 𝒚′ = 𝒂𝒚 + 𝒃

Equations différentielles

𝒚 𝒙 = 𝑲𝒆𝒂𝒙 −

𝒃
𝒂

 𝑬 : 𝒚′′ + 𝒂𝒚′ + 𝒃𝒚 = 𝟎

 Equation caractéristique
𝒓𝟐 + 𝒂𝒓 + 𝒃 = 𝟎

∆>0

∆= 𝟎

2 Solutions réelles
𝒓𝟏 𝐨𝐮 𝒓𝟐

Solution unique 𝒓

𝒚 𝒙 = 𝜶𝒆𝒓𝟏 𝒙 + 𝜷𝒆𝒓𝟐 𝒙

𝒚 𝒙 = (𝜶𝒙 + 𝜷)𝒆𝐫𝒙

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∆<0

2 Solutions complexes
𝒛 = 𝒑 ± 𝒊𝒒

𝒚 = 𝒆𝐩𝒙 (𝜶𝒄𝒐𝒔(𝒒𝒙) + 𝜷𝒔𝒊𝒏(𝒒𝒙))

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Préparation bac 2019

CENTRE EXAMS PREPAS

 Les nombres complexes


 Les propriétés trigonométriques

ℂ est un ensemble dont ses éléments
sont de la forme 𝒛 = 𝒂 + 𝒊𝒃 où 𝒊 est un
nombre imaginaire vérifiant 𝒊𝟐 = −𝟏
𝒛 = 𝒂 + 𝒊𝒃 est la forme algébrique de 𝒛
𝒂 = 𝑹𝒆(𝒛) est dite partie réelle de 𝒛
𝒃 = 𝑰𝒎(𝒛) est dite partie imaginaire





𝒓 = 𝒛 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 le module de 𝒛



𝒛 × 𝒛′ = 𝒛 × 𝒛′




𝒛𝒏 =

𝒛 = 𝒛𝒛



Soient 𝒛 = 𝒂 + 𝒊𝒃 et 𝒛′ = 𝒙 + 𝒊𝒚

𝒏
𝒌=𝟏

𝒛𝒌

𝒛 =𝟏 ⟺𝒛=

𝟏
𝒛

𝒂

𝒃

𝒓

𝒓

𝒛 + 𝒛′ = 𝒂 + 𝒙 + 𝒊(𝒃 + 𝒚)

𝜽 l’argument de 𝒛 ⇒ 𝜽 ≡ 𝒂𝒓𝒈(𝒛) 𝟐𝝅
𝒂𝒓𝒈 𝒛𝒛′ ≡ 𝒂𝒓𝒈 𝒛 + 𝒂𝒓𝒈(𝒛′) 𝟐𝝅

𝒛 − 𝒛′ = 𝒂 − 𝒙 + 𝒊(𝒃 − 𝒚)



𝒂𝒓𝒈



𝒂𝒓𝒈



𝒂𝒓𝒈 𝒛



𝒛 × 𝒛 = 𝒂𝒙 − 𝒃𝒚 + 𝒊(𝒂𝒚 + 𝒃𝒙)
𝒛 = 𝟎 ⟺ 𝒂 = 𝟎 𝒆𝒕 𝒃 = 𝟎
𝒛 = 𝒛′ ⟺ 𝒂 = 𝒙 𝒆𝒕 𝒃 = 𝒚
𝒛+



𝒛 × 𝒛′ = 𝒛 × 𝒛′
𝒛
𝒛′

𝒛′

= 𝒛 + 𝒛′
𝒛 − = 𝒛 − 𝒛′
𝒏
𝒏
𝒌=𝟏 𝒛𝒌 = 𝒌=𝟏 𝒛𝒌

𝒏
𝒌=𝟏 𝒛𝒌
𝒂+𝒊𝒃

=

𝒙+𝒊𝒚

=
=

𝒛
𝒛′

=

𝒛
𝒛′

𝒏

𝒛𝒏 = 𝒛

𝒏
𝒌=𝟏 𝒛𝒌
𝒂+𝒊𝒃 (𝒙−𝒊𝒚)
𝒙𝟐 +𝒚𝟐

𝒛 + 𝒛 = 𝑹𝒆 𝒛
𝒛 − 𝒛 = 𝟐𝒊𝑰𝒎(𝒛)
𝒛 ∈ 𝒊ℝ∗ ⟺ 𝑹𝒆 𝒛 = 𝟎 ⟺ 𝒛 = −𝒛



𝒛 ∈ ℝ∗ ⟺ 𝑰𝒎 𝒛 = 𝟎 ⟺ 𝒛 = 𝒛



𝑴 𝒂; 𝒃 l’image de 𝒛 = 𝒂 + 𝒊𝒃
𝒛 est l’affixe du point 𝑴 𝒂; 𝒃



𝒛 = 𝒂𝒇𝒇(𝑴)



𝑰 𝒍𝒆 𝒎𝒊𝒍𝒊𝒆𝒖 𝒅𝒆 𝑨𝑩 ⟺ 𝒛𝑰 =



𝑮 = 𝒃𝒂𝒓𝒚 𝑨; 𝜶 ; (𝑩; 𝜷) ⟺ 𝒛𝑮 =

𝒛𝑩 − 𝒛𝑨 = 𝒂𝒇𝒇(𝑨𝑩)



𝒛 = 𝑶𝑴



𝐔; 𝐎𝐌 ≡ 𝒂𝒓𝒈 𝒛 𝟐𝝅 ;

𝒛𝑩 +𝒛𝑨
𝟐
𝜶𝒛𝑩 +𝜷𝒛𝑨
𝜶+𝜷

𝒛𝑩 − 𝒛𝑨 = 𝑨𝑩



(𝐔; 𝐀𝐁) ≡ 𝒂𝒓𝒈 𝒛𝑩 − 𝒛𝑨 𝟐𝝅



(𝐀𝐁; 𝐃𝐂) ≡ 𝒂𝒓𝒈

𝒛𝑪 −𝒛𝑫
𝒛𝑩 −𝒛𝑨

𝟐𝝅

l’équation complexe :

≡ 𝒂𝒓𝒈 𝒛 − 𝒂𝒓𝒈(𝒛′) 𝟐𝝅

𝒛′
𝒏

≡ 𝒏𝒂𝒓𝒈 𝒛 𝟐𝝅

−𝒃+𝒊 −∆

𝒂; 𝒃; 𝒄 ∈ ℂ𝟑 ∶ ∆= 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 = 𝛿 2 𝒛𝟏 =

𝒏

= 𝒄𝒐𝒔 𝒏𝜽 + 𝒊𝒔𝒊𝒏(𝒏𝜽)






𝒛 ∈ ℝ∗ ⟺ 𝒂𝒓𝒈 𝒛 ≡ 𝟎 𝝅 ⟺ 𝑴 𝒛 ∈ (𝒐𝒙)
𝒛 ∈ ℝ∗+ ⟺ 𝒂𝒓𝒈 𝒛 ≡ 𝟎 𝟐𝝅 ⟺ 𝑴 𝒛 ∈ (𝒐𝒙)+
𝒛 ∈ ℝ∗− ⟺ 𝒂𝒓𝒈 𝒛 ≡ 𝝅 𝟐𝝅 ⟺ 𝑴 𝒛 ∈ (𝒐𝒙)−
𝛑
𝒛 ∈ 𝒊ℝ∗ ⟺ 𝒂𝒓𝒈 𝒛 ≡ 𝝅 ⟺ 𝑴 𝒛 ∈ (𝒐𝒚)



𝒛 ∈ 𝒊ℝ∗+ ⟺ 𝒂𝒓𝒈 𝒛 ≡
𝒛 ∈ 𝒊ℝ∗− ⟺ 𝒂𝒓𝒈 𝒛 ≡ −

𝟐
𝛑

𝟐
𝛑
𝟐

𝟐𝝅 ⟺ 𝑴 𝒛 ∈ (𝒐𝒚)+
𝟐𝝅 ⟺ 𝑴 𝒛 ∈ (𝒐𝒚)−



𝒆𝒊𝜽 =




𝒆𝒊𝒂 × 𝒆



Euler :



Linéarisation : développer



𝒄𝒐𝒔 𝒂 =




𝒄𝒐𝒔 𝒏𝜽 = 𝑹𝒆 𝒄𝒐𝒔 𝜽 + 𝒊𝒔𝒊𝒏(𝜽)

𝒏

𝒔𝒊𝒏 𝒏𝜽 = 𝑰𝒎 𝒄𝒐𝒔 𝜽 + 𝒊𝒔𝒊𝒏(𝜽)

𝒏

𝒆𝒊𝒂
𝒆𝒊𝒃

𝟐𝒂
−𝒃+𝛿
𝟐𝒂

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𝟏

𝒆𝒊𝜽
𝒊𝒃

= 𝒆−𝒊𝜽

= 𝒆𝒊(𝒂+𝒃)

= 𝒆𝒊(𝒂−𝒃) ;

𝒆𝒊𝒂

𝒏

= 𝒆𝒊𝒏𝒂

𝒆𝒊𝒂 + 𝒆−𝒊𝒂 = 𝟐𝒄𝒐𝒔(𝒂)
𝒆𝒊𝒂 − 𝒆−𝒊𝒂 = 𝟐𝒊𝒔𝒊𝒏(𝒂)
𝒆𝒊𝒂 +𝒆−𝒊𝒂
𝟐

𝒏

; 𝒔𝒊𝒏 𝒂 =

𝒆𝒊𝒂 −𝒆−𝒊𝒂

𝒏

𝟐𝒊

L es racines d’ordre 𝒏 : 𝒛𝒏 = 𝜹

𝒂𝒛𝟐 + 𝒃𝒛 + 𝒄 = 𝟎

𝒂; 𝒃; 𝒄 ∈ ℝ𝟑 ∶ ∆= 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 < 0 𝒛𝟏 =

≡ 𝒂𝒓𝒈 𝒛 𝟐𝝅 ≡ −𝒂𝒓𝒈 𝒛 𝟐𝝅

𝒛
𝒛

 La forme exponentielle :

 Les propriétés géométriques :



𝟏

𝒄𝒐𝒔 𝜽 + 𝒊𝒔𝒊𝒏(𝜽)

𝒛′







𝒛′









=

𝒛

=

𝒛 = 𝒓( + 𝒊 ) ⟹ 𝒛 = 𝒓 𝒄𝒐𝒔 𝜽 + 𝒊𝒔𝒊𝒏(𝜽)

𝒛 = 𝒂 − 𝒊𝒃 est le conjugué de 𝒛



𝒏
𝒌=𝟏 𝒛𝒌

𝒏

𝒛

𝒛
𝒛′

La forme trigonométrique

 Les propriétés algébriques :






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; 𝒛𝟐 = −𝒃−𝒊

𝟐𝒂

; 𝒛𝟐 = −𝒃−𝛿
𝟐𝒂

−∆

 𝒛𝒏 = 𝟏 ⇔ 𝒛𝒌 = 𝒆𝒊 ∶ 𝒌 ∈ 𝟎; 𝒏 − 𝟏
 𝒛𝒏 = 𝜹 = 𝑹𝒆𝒊𝜶 ⇔ 𝒛𝒌 = 𝑹𝒆𝒊 +

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𝟐𝒌𝝅
𝒏

𝒏

𝜶 𝟐𝒌𝝅
𝒏 𝒏

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Les lieux géométriques





l’ensemble : (𝑪) = 𝑴 ∈ 𝑷 : 𝐀𝐌 = 𝐫 est un cercle de centre A et de rayon 𝐫
l’ensemble : (𝑫) = 𝑴 ∈ 𝑷 : 𝐀𝐌 = 𝐁𝐌 est la médiatrice du segment 𝐀𝐁
l’ensemble : (𝑪𝒌 ) = 𝑴 ∈ 𝑷 :

𝐌𝐀
𝐌𝐁

𝐤 > 0 et 𝒌 ≠ 𝟏

𝐆𝟏 = 𝒃𝒂𝒓

𝐀, 𝟏 ; (𝐁, 𝐤)

𝑴 ∈ 𝑪𝒌 ⇔ 𝐌𝐀 + 𝐤 𝐌𝐁 . (𝐌𝐀 − 𝐤 𝐌𝐁) = 𝟎 ⇔ 𝐌 𝐆𝟏 . 𝐌 𝐆𝟐 = 𝟎
𝑪𝒌 est un cercle de diamètre 𝐆𝟏 𝐆𝟐

𝐆𝟐 = 𝒃𝒂𝒓

𝐀, 𝟏 ; (𝐁, −𝐤)



=𝐤

Des situations géométriques

𝑨; 𝑩 𝒆𝒕 𝑪 trois points alignés
(𝑨𝑩)//(𝑫𝑪)

𝒛𝑪 − 𝒛𝑨 = 𝒌(𝒛𝑩 − 𝒛𝑨 ) où 𝒌 ∈ ℝ

𝒛𝑪 −𝒛𝑫
𝒛𝑩 −𝒛𝑨
𝒛𝑪 −𝒛𝑨

𝑨𝑩𝑪 triangle rectangle en 𝐀

𝒛𝑩 −𝒛𝑨
𝒛𝑪 −𝒛𝑨

𝑨𝑩𝑪 triangle équilatéral

𝒛𝑩 −𝒛𝑨
𝒛𝑪 −𝒛𝑨

parallélogramme
Losange
Losange
rectangle
carré

∈ 𝒊ℝ∗

= ∓𝒊=𝒆±𝒊𝟐

𝒛𝑩 −𝒛𝑨

𝒂𝒓𝒈

∈ 𝒊ℝ∗

𝛑

𝑨𝑩𝑪 rectangle et isocèle en 𝐀

=𝒆

𝛑
±𝒊
𝟑

𝒛𝑪 − 𝒛𝑨
≡𝟎𝝅
𝒛𝑩 − 𝒛𝑨

𝒛𝑪 − 𝒛𝑫
≡𝟎𝝅
𝒛𝑩 − 𝒛𝑨
𝒛𝑪 − 𝒛𝑫
𝛑
𝒂𝒓𝒈
≡ 𝝅
𝒛𝑩 − 𝒛𝑨
𝟐
𝒛𝑪 − 𝒛𝑨
𝛑
𝒂𝒓𝒈
≡ 𝝅
𝒛𝑩 − 𝒛𝑨
𝟐

𝒛𝑪 − 𝒛𝑫 = 𝒌(𝒛𝑩 − 𝒛𝑨 ) où 𝒌 ∈ ℝ∗

(𝑨𝑩) ⊥ (𝑫𝑪)

𝑨𝑩𝑪𝑫
𝑨𝑩𝑪𝑫
𝑨𝑩𝑪𝑫
𝑨𝑩𝑪𝑫
𝑨𝑩𝑪𝑫

𝒂𝒓𝒈



𝒂𝒓𝒈
𝒂𝒓𝒈

𝒛𝑪 −𝒛𝑨
𝒛𝑩 −𝒛𝑨
𝒛𝑪 −𝒛𝑨
𝒛𝑩 −𝒛𝑨



𝛑
𝟐

≡±

𝝅 ;
𝛑
𝟑

𝒛𝑪−𝒛𝑨

=𝟏

𝒛𝑩 −𝒛𝑨
𝒛𝑪 −𝒛𝑨

𝟐𝝅 ;

𝒛𝑩 −𝒛𝑨

=𝟏

𝒛𝑪 − 𝒛𝑫 = 𝒛𝑩 − 𝒛𝑨 ⇒ 𝑫𝑪 = 𝑨𝑩
𝑨𝑩𝑪𝑫 parallélogramme et (𝑨𝑪) ⊥ (𝑫𝑩)
𝒛𝑩 − 𝒛𝑨 = 𝒛𝑩 − 𝒛𝑪 = 𝒛𝑪 − 𝒛𝑫 = 𝒛𝑫 − 𝒛𝑨 ⇒ 𝑨𝑩 = 𝑩𝑪 = 𝑪𝑫 = 𝑨𝑫
𝑨𝑩𝑪𝑫 parallélogramme et 𝑨𝑩𝑫 rectangle en 𝐀
𝑨𝑩𝑪𝑫 parallélogramme et 𝑨𝑩𝑫 rectangle et isocèle en 𝐀

Les transformations usuelles
 𝑻 la translation de vecteur 𝑼(𝒃)

𝑴′ 𝒛′ = 𝑻(𝑴 𝒛 ) ⟺ 𝒛′ = 𝒛 + 𝒃

 𝑹𝒐𝒕𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏 𝐝𝐞 𝐜𝐞𝐧𝐭𝐫𝐞 𝛀 𝝎 𝐝’𝐚𝐧𝐠𝐥𝐞 𝜽

𝑴′ 𝒛′ = 𝑹(𝑴 𝒛 ) ⟺ 𝒛′ − 𝝎 = 𝒆𝒊𝜽 𝒛 − 𝝎
𝑴′ 𝒛′ = 𝒉(𝑴 𝒛 ) ⟺ 𝒛′ − 𝝎 = 𝒌 𝒛 − 𝝎

𝒉𝒐𝒎𝒐𝒕𝒉é𝒕𝒊𝒆 𝐝𝐞 𝐜𝐞𝐧𝐭𝐫𝐞 𝛀 𝝎 ; 𝐫𝐚𝐩𝐩𝐨𝐫𝐭 𝐤

Dans le plan complexe est munit d’un repère orthonormé 𝑶; 𝑼; 𝑽 𝒐n considère
l’application : 𝑭 ∶ 𝑴 𝒛 → 𝑴′ 𝒛′ / 𝒛′ = 𝒂𝒛 + 𝒃

𝒂; 𝒃 ∈ ℂ𝟐

𝒂≠𝟎

𝒂=𝟏

𝒂≠𝟏

𝒛′ = 𝒛 + 𝒃 ⇔ 𝑴𝑴′ = 𝒖 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒖 (𝒃)

un
de centre A et de rayon 𝐫
𝒛 =est
𝒂𝒛 +
𝒃 cercle
⇒ 𝒛′ − 𝝎 = 𝒂(𝒛 − 𝝎)
𝑭 est une translation de vecteur 𝒖
𝝎 = 𝒂𝝎 + 𝒃
 l’ensemble :(𝑫) = 𝑴 ∈ 𝑷 : 𝐀𝐌 = 𝐁𝐌 est la médiatrice du segment
𝑭 est l’homothétie de centre 𝛀 de rapport 𝒂
𝒛′ − 𝝎 = 𝒂(𝒛 − 𝝎) ⇒ 𝛀𝑴′ = 𝒂 𝛀𝑴
𝒂 ∈ ℝ∗𝐀𝐁
\𝟏


 l’ensemble 𝒊𝜽
:(𝑫) = ′ 𝑴 ∈ 𝑷𝒊𝜽: 𝐀𝐌 = 𝐁𝐌 est la médiatrice du segment
𝒂=𝒆
⇒ 𝒛 − 𝝎 = 𝒆 (𝒛 − 𝝎)
𝑭 est la rotation de centre 𝛀 et d’angle 𝜽
𝐀𝐁

𝒂 =𝟏
𝒂 ≠𝟏

𝒂 = 𝒓𝒆𝒊𝜽 ⇒ 𝒛′ − 𝝎 = 𝒓𝒆𝒊𝜽 (𝒛 − 𝝎)

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𝑭 = 𝒉𝒐𝑹 = 𝑹𝒐𝒉 où 𝒉(𝛀; 𝐫) et 𝑹(𝛀; 𝜽)

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géométrie dans l’espace

 Calcul géométrique :

 equation d’un plan :
 Méthode 1: Soit 𝑷 un plan passant

𝑨 𝒙𝑨 ; 𝒚𝑨 ; 𝒛𝑨 ; 𝑩 𝒙𝑩 ; 𝒚𝑩 ; 𝒛𝑩 ; 𝒖 𝒂; 𝒃; 𝒄 𝒗 𝜶; 𝜷; 𝜸
 𝑨𝑩 𝒙𝑩 − 𝒙𝑨 ; 𝒚𝑩 − 𝒚𝑨 ; 𝒛𝑩 − 𝒛𝑨
 𝑰

𝒙𝑩 +𝒙𝑨 𝒚𝑩 +𝒚𝑨 𝒛𝑩 +𝒛𝑨
; 𝟐 ; 𝟐
𝟐

par le point 𝑨 𝒙𝑨 ; 𝒚𝑨 ; 𝒛𝑨 est dirigée
par 𝒖 𝜶; 𝜷; 𝜸 et 𝒗 𝜶′; 𝜷′; 𝜸′

le milieu de 𝑨𝑩

𝑨

 𝒖. 𝒗 = 𝒂𝜶 + 𝒃𝜷 + 𝒄𝜸
+ 𝒂 𝜶 𝒊
 𝒖∧𝒗=− 𝒃 𝜷 𝒋
+ 𝒄 𝜸 𝒌

+ 𝒂
 𝒅𝒆𝒕(𝒖; 𝒗; 𝒘) = − 𝒃
+ 𝒄

𝜶 𝜶′ 𝒙 − 𝒙𝑨
⇔ 𝜷 𝜷′ 𝒚 − 𝒚𝑨 = 𝟎 ⇔ 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 + 𝒅 = 𝟎
𝜸 𝜸′ 𝒛 − 𝒛𝑨

𝜶
𝜷 𝒌

 Méthode 2: Soit

𝑷 un plan passant
par le point 𝑨 𝒙𝑨 ; 𝒚𝑨 ; 𝒛𝑨 est de
vecteur normal par 𝒏 𝒂; 𝒃; 𝒄

𝜶 𝒙
𝜷 𝒚
𝜸 𝒛

𝒏

𝜶 𝒙
𝜶 𝒙
𝜷 𝒚
−𝒃 𝜸 𝒛 +𝒄 𝜷 𝒚
𝜸 𝒛
Conséquences :
𝒖. 𝒗 = 𝟎 ⇔ 𝒖 ⊥ 𝒗
𝑨𝑩. 𝑨𝑪 = 𝟎 ⇔ 𝑨𝑩𝑪 rectangle en A
𝒖∧𝒗=𝟎⇔𝒖∥𝒗
𝑨𝑩 ∧ 𝑨𝑪 = 𝟎 ⇔ 𝑨; 𝑩; 𝑪 points alignés
𝒖; 𝒗; 𝒘 𝒄𝒐𝒑𝒍𝒂𝒏𝒂𝒊𝒓𝒆 ⇔ 𝒅𝒆𝒕(𝒖; 𝒗; 𝒘) = 𝟎

𝑨 𝑨

=𝒂








𝑴 𝒙; 𝒚; 𝒛 ∈ 𝑷 ⇔ 𝑨𝑴. 𝒏 = 𝟎 ⇔ 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 = 𝟎



𝒏
(𝑫)

∈ 𝑫 ⇔ ∃𝒕 ∈ ℝ 𝑨𝑴 = 𝐭𝒖
𝒙 = 𝒙𝑨 + 𝒂𝒕
⇔ ∃𝒕 ∈ ℝ 𝒚 = 𝒚𝑨 + 𝒃𝒕
𝒛 = 𝒛𝑨 + 𝒄𝒕





𝒗

𝒖. 𝒗 = 𝟎 ⇔ 𝒖 ⊥ 𝒗 ⇔ 𝑫 ⊥ (𝑫′ )
𝒖 ∧ 𝒗 = 𝟎 ⇔ 𝒖 ∥ 𝒗 ⇔ 𝑫 ∥ (𝑫′ )
𝑫 ; (𝑫′ )𝒄𝒐𝒑𝒍𝒂𝒏𝒂𝒊𝒓𝒆 ⇔ 𝒅𝒆𝒕(𝒖; 𝒗; 𝑨𝑩) = 𝟎
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(𝑷)

(𝑸)
(𝑷)
𝒏

𝒏. 𝒏′ = 𝟎 ⇔ 𝒖 ⊥ 𝒗 ⇔ 𝑷 ⊥ (𝑷′ )
𝒏 ∧ 𝒏′ = 𝟎 ⇔ 𝒖 ∥ 𝒗 ⇔ 𝑷 ∥ (𝑷′ )
Remarque : si 𝒏 ∧ 𝒏′ ≠ 𝟎
Alors (𝑷) et 𝑷′ se coupent en une
𝒖
droite de vecteur directeur 𝒏 ∧ 𝒏′
(𝑫)
 position entre droite et plan :
(𝑫′)
 Soient 𝑷 = (𝑨; 𝒏) et 𝑫 = (𝑩; 𝒖)

𝑨
𝑩
(𝑫′)

𝒏′





 position entre deux droites :
 Soient 𝑫 = (𝑨; 𝒖) et 𝑫′ = (𝑩; 𝒗)
𝒗

(𝑷′)
𝒏′

(𝑷′)

point 𝑨 𝒙𝑨 ; 𝒚𝑨 ; 𝒛𝑨 et dirigée par le
vecteur 𝒖 𝒂; 𝒃; 𝒄
𝑨
𝒖

(𝑫) 𝒖
𝑨
𝑩

Remarque : si 𝑨𝑩 ∧ 𝑨𝑪 ≠ 𝟎
Alors (𝑨𝑩𝑪) est un plan de vecteur
normal par 𝒏 = 𝑨𝑩 ∧ 𝑨𝑪

 position entre deux plans :
 Soient 𝑷 = (𝑨; 𝒏) et 𝑷′ = (𝑩; 𝒏′)

 représentation d’une droite :
 Soit 𝑫 une droite passant par le
 𝑴 𝒙; 𝒚; 𝒛

𝒗

 𝑴 𝒙; 𝒚; 𝒛 ∈ 𝑷 ⇔ 𝒅𝒆𝒕 𝒖; 𝒗; 𝑨𝑴 = 𝟎

𝒂
𝒂 𝜶
𝒃 𝜷
𝒊− 𝒄 𝜸 𝒋+ 𝒃
𝒄 𝜸

=

𝒖
𝑨




𝒏. 𝒖′ = 𝟎 ⇔ 𝒖 ⊥ 𝒏 ⇔ 𝑷 ∥ (𝑫)
𝒏 ∧ 𝒖 = 𝟎 ⇔ 𝒖 ∥ 𝒏 ⇔ 𝑷 ⊥ (𝑫)
𝒏 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 à 𝑷 ⇔ 𝒏 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒄𝒕𝒆𝒖𝒓 𝒅𝒆 (𝑫)

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 Distances

et surface :
 Equation d’une sphère :
 Une sphère 𝑺 de centre 𝛀(𝐚; 𝐛; 𝐜) et
Soient : 𝑨 𝒙𝑨 ; 𝒚𝑨 ; 𝒛𝑨 ; 𝑩 𝒙𝑩 ; 𝒚𝑩 ; 𝒛𝑩 ;
de rayon 𝑹 est l’ensemble :
𝑫 = 𝑨; 𝒖 ; 𝑷 = 𝑨; 𝒏 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 + 𝒅 = 𝟎
𝑺 = 𝑴 ∈ 𝝃: 𝛀𝑴 = 𝑹
 𝑨𝑩 = 𝒙 − 𝒙 𝟐 + 𝒚 − 𝒚 𝟐 + 𝒛 − 𝒛 𝟐
𝑩

𝑨

𝑩

𝑨

 Surface du triangle 𝑨𝑩𝑪 :
𝑺=

𝑩

𝑨

𝑴 𝒙; 𝒚; 𝒛 ∈ 𝑺 ⇔ 𝛀𝑴 = 𝑹
⇔ 𝒙−𝒂 𝟐+ 𝒚−𝒃 𝟐+ 𝒛−𝒄

𝟏
𝑨𝑩 ∧ 𝑨𝑪
𝟐

 Distance d’un point à un plan :
𝒂𝒙𝑩 + 𝒃𝒚𝑩 + 𝒄𝒛𝑩 + 𝒅
𝒅 𝑩; 𝑷 =
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐
 Distance d’un point à une droite :
𝑨𝑩 ∧ 𝒖
𝒅 𝑩; 𝑫 =
𝒖
𝒅(Ω; 𝑷 ) < 𝑅

= 𝑹𝟐

 Une sphère 𝑺 de diamètre 𝑨𝑩 est
l’ensemble: 𝑺 = 𝑴 ∈ 𝝃: 𝑨𝑴 × 𝑩𝑴 = 𝟎
𝑴 𝒙; 𝒚; 𝒛 ∈ 𝑺 ⇔ 𝑨𝑴 × 𝑩𝑴 = 𝟎 ⇔
𝒙 − 𝒙𝑨 𝒙 − 𝒙𝑩 + 𝒚 − 𝒚𝑨 𝒚 − 𝒚𝑩 + 𝒛 − 𝒛𝑨 𝒛 − 𝒛𝑩 = 𝟎

𝒅 Ω; 𝑷



𝟐

𝒅(Ω; 𝑷 ) > 𝑅

=𝑹




R

H

r
H

Pour déterminer le point H on résout un système constitué de la
représentation paramétrique de 𝑫 et l’équation cartésienne de 𝑷 avec
𝑫 ⊥ 𝑷 et 𝛀 ∈ 𝑷

𝒅(Ω; 𝑫 ) < 𝑅

𝒅 Ω; 𝑫



𝒅(Ω; 𝑫 ) > 𝑅

=𝑹





𝑩

𝑨
H

𝑫
H

𝑫
𝑫

Pour déterminer l’intersection de la droite 𝑫 et la sphère 𝑺 on résout un
système constitué de la représentation paramétrique de 𝑫 et l’équation
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cartésienne de 𝑺 avec 𝑫 ⊥ 𝑷 et 𝛀 ∈ 𝑷

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Dénombrement et probabilités

 Principe fondamental de

 définitions :

 Une expérience aléatoire est une

dénombrement :

 Si une procédure consiste à

expérience dont le résultat est soumis
au hasard

 Chaque résultat possible dans une
expérience aléatoire est appelé
éventualité






 L’ensemble de toutes les éventualités
est appelé un univers et noté 𝛀

 Un événement est un ensemble des
éventualités

 Un événement élémentaire est constitué
d’une seule éventualité

de dénombrement :
 Arrangement sans répétition de 𝒑

alors ils sont dites complémentaires. On
note 𝑨 = 𝑩; 𝑩 = 𝑨

 Deux événements 𝑨 𝒆𝒕 𝑩 sont
incompatibles si :𝑨 ∩ 𝑩 = ∅

 Soient 𝑨 𝒆𝒕 𝑩

Alors le nombre de possibilité de cette
procédure est : 𝒏𝟏 × 𝒏𝟐 × … . 𝒏𝒑

 Modèles

 Si deux événements 𝑨 𝒆𝒕 𝑩 : 𝑨𝑨 ∪∩ 𝑩𝑩 == 𝛀∅

 Règles

exécuter 𝒑 tâches 𝒕𝟏 ; 𝒕𝟐 ; … . ; 𝒕𝒑 l’une à
la suite de l’autre telles que :
𝒕𝟏 est exécutée 𝒏𝟏 façons différentes
𝒕𝟐 est exécutée 𝒏𝟐 façons différentes
… … … … ….
𝒕𝒑 est exécutée 𝒏𝒑 façons différentes

de dénombrement :

deux événements:
𝒄𝒂𝒓𝒅 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝒄𝒂𝒓𝒅 𝑨 + 𝒄𝒂𝒓𝒅 𝑩 − 𝒄𝒓𝒅(𝑨 ∩ 𝑩)

 Si 𝑨 ∩ 𝑩 = ∅ alors
𝒄𝒂𝒓𝒅 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝒄𝒂𝒓𝒅 𝑨 + 𝒄𝒂𝒓𝒅 𝑩

 𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑨) = 𝒄𝒂𝒓𝒅 𝛀 − 𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑨)
 𝒄𝒂𝒓𝒅 𝑨 ∖ 𝑩 = 𝒄𝒂𝒓𝒅 𝑨 − 𝒄𝒂𝒓𝒅 𝑨 ∩ 𝑩

éléments parmi 𝒏 ( 𝟏 ≤ 𝒑 ≤ 𝒏 ) est une
disposition ordonnée de 𝒑 éléments
distincts choisis parmi les 𝒏
 Arrangement avec répétition de 𝒑
éléments parmi 𝒏 est une disposition
ordonnée de 𝒑 éléments non forcément
distincts choisis parmi les 𝒏
 Une permutation de 𝒏 éléments est
une disposition ordonnée des 𝒏
éléments
 Une combinaison de 𝒑 éléments
parmi 𝒏 ( 𝟏 ≤ 𝒑 ≤ 𝒏 ) est une
disposition non ordonnée de 𝒑
éléments distincts choisis parmi les 𝒏

type de tirage

Modèles de
dénombrement

Méthode de
calcul

Ordre/ emplacement

Succéssivement
avec remise
Succéssivement
avec remise

Arrangement avec
répétition
Arrangement sans
répétition

𝐧𝐩

𝐍!
𝐍𝟏 ! 𝐍𝟐 ! ×. .× 𝐍𝐫 !

Simultanément

Combinaison

𝒑
𝑨𝒏

𝐍

𝒑
𝑪𝒏

𝐍

𝐍

𝟐
𝐫
= 𝑪𝑵𝟏 × 𝑪𝑵−
× … × 𝑪𝑵−
𝐍𝟏
𝐍𝐫 −..

𝒑

𝑨𝒏 𝟏 ≤ 𝒑 ≤ 𝒏

𝐍𝐤 𝐧𝐨𝐦𝐛𝐫𝐞 𝐝𝐞 𝐩𝐥𝐚𝐜𝐞𝐬 𝐝𝐞 𝐜𝐨𝐮𝐥𝐞𝐮𝐫 𝐤

N nombre total de places
Pas d’ordre

𝟎≤𝒑≤𝒏

𝒑

= 𝒏 𝒏 − 𝟏 × … × 𝒏 − 𝒑 + 𝟏 ; 𝒏! = 𝒏 𝒏 − 𝟏 × … × 𝟐 × 𝟏;

𝒑
𝑪𝒏

𝑨𝒏
𝒏!
=
=
𝒑!
𝒏 − 𝒑 ! 𝒑!
𝒌=𝒏

𝑪𝟏𝒏 = 𝒏 ;

𝑪𝟎𝒏 = 𝑪𝒏𝒏 = 𝟏 ;

𝒑
𝑪𝒏

=

𝒏−𝒑
𝑪𝒏

;

𝒑−𝟏
𝑪𝒏

+

𝒑
𝑪𝒏

=

𝒑
𝑪𝒏+𝟏

;

𝒙+𝒚

𝒏

𝑪𝒌𝒏 𝒙𝒌 𝒚𝒏−𝒌

=
𝒌=𝟎

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 probabilité d’un événement :

𝒑 𝑩 = 𝒑 𝑨𝟏 ∩ 𝑩 + 𝒑 𝑨𝟐 ∩ 𝑩 + ⋯ . +𝒑 𝑨𝒏 ∩ 𝑩

Dans une expérience aléatoire on note
𝛀 = 𝒙𝟏 ; 𝒙𝟐 ; … . ; 𝒙𝒏 l’ensemble de toutes les
éventualités.

= 𝒑 𝑨𝟏 𝑩 × 𝒑 𝑨 𝟏 + 𝒑 𝑨𝟐 𝑩 × 𝒑 𝑨 𝟐 + ⋯ + 𝒑 𝑨𝒏 𝑩 × 𝒑 𝑨 𝒏

 Epreuves répétés :

 On associe à chaque événement

Soit l’événement 𝑨 de probabilité 𝒑 dans
une expérience aléatoire.
On répète l’expérience aléatoire 𝒏 fois
dans les mêmes conditions de départ.
 La probabilité que l’événement 𝑨 se
réalise exactement 𝒌 𝒇𝒐𝒊𝒔 (𝟎 ≤ 𝒌 ≤ 𝒏 ):

élémentaire 𝒙𝒊 un nombre réel positif
non nul 𝒑𝒊 de telle façon que :

𝒑𝟏 + 𝒑𝟐 + ⋯ + 𝒑𝒏 = 𝟏
Alors le nombre 𝒑𝒊 est appelé la
probabilité de l’événement 𝒙𝒊 .

 Si 𝐀 =

𝒙𝟏 ; 𝒙𝟐 ; … . ; 𝒙𝒓 un événement de 𝛀
Alors : 𝒑 𝑨 = 𝒑𝟏 + 𝒑𝟐 + ⋯ + 𝒑𝒓

 𝒑 𝛀 = 𝟏; 𝐩 ∅ = 𝟎 ; 𝒑 𝑨 = 𝟏 − 𝒑(𝑨)
 Si deux événements 𝑨 𝒆𝒕 𝑩 ; alors :
𝒑 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝒑 𝑨 + 𝒑 𝑩 − 𝒑(𝑨 ∩ 𝑩)

 Si 𝑨 𝒆𝒕 𝑩 sont incompatibles alors :
𝒑 𝑨∪𝑩 =𝒑 𝑨 +𝒑 𝑩



hypothèse d’équiprobabilité :
Lorsque tous les événements élémentaires
dans une expérience aléatoire ont la même
probabilité, on dit qu’il ya équiprobabilité.
Dans ce cas : 𝒑 𝑨 =



𝒄𝒂𝒓𝒅 𝑨
𝒄𝒂𝒓𝒅 𝛀

Probabilité conditionnelle :
Soient deux événements 𝑨 𝒆𝒕 𝑩 dans un
univers probabilisé 𝛀; 𝐩 .
On appelle la probabilité de l’événement 𝑩
sachant que l’événement 𝑨 est réalisé, le
nombre réel noté par : 𝒑𝑨 𝑩 ou 𝒑 𝑩 ∕ 𝑨
𝒑(𝑨 ∩ 𝑩)
𝒑𝑨 𝑩 =
⇒ 𝒑 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝒑𝑨 𝑩 × 𝒑(𝑨)
𝒑(𝑨)
𝑨 𝒆𝒕 𝑩 𝐬𝐨𝐧𝐭 𝐈𝐧𝐝é𝐩𝐞𝐧𝐝𝐚𝐧𝐭𝐬 ⇔ 𝒑 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝒑 𝑩 × 𝒑(𝑨)

𝑨 𝒆𝒕 𝑩 𝐬𝐨𝐧𝐭 𝐈𝐧𝐝é𝐩𝐞𝐧𝐝𝐚𝐧𝐭𝐬 ⇔ 𝒑𝑨 𝑩 = 𝒑 𝑩
Probabilités totales :
(l’arbre)
Si : 𝟎 < 𝒑 𝑨 < 1 alors :
𝒑 𝑩 = 𝒑 𝑨∩𝑩 +𝒑 𝑨∩𝑩
𝒑 𝑩 = 𝒑𝑨 𝑩 × 𝒑 𝑨 + 𝒑𝑨 𝑩 × 𝒑(𝑨)



Probabilités totales :
Dans une expérience aléatoire les
événements 𝑨𝟏 ; 𝑨𝟐 ; … . ; 𝑨𝒏 (𝒏 ≥ 𝟐) forment
une partition de l’univers 𝛀 s’ils
vérifient :

∀𝒊 ∈ 𝟏; 𝟐; … ; 𝒏 𝑨𝒊 ≠ ∅
𝑨𝟏 ∪ 𝑨𝟐 ∪ … .∪ 𝑨𝒏 = 𝛀
∀ 𝒊 ≠ 𝒋 : 𝑨𝒊 ∩ 𝑨𝒋 = ∅
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𝑪𝒌𝒏 𝒑𝒌 𝟏 − 𝒑

𝒏−𝒌

 Variable aléatoire :

 Toute application de 𝛀 vers ℝ s’appelle
variable aléatoire notée 𝑿; 𝒀; … . . 𝒁
 L’ensemble des valeurs que prend la
variable aléatoire 𝑿 noté 𝑿(𝛀)
 On note (𝑿 = 𝒂) l’événement la variable
aléatoire 𝑿 prend la valeur 𝒂
 On note (𝑿 ≤ 𝒂) l’événement la variable
aléatoire 𝑿 prend des valeurs inférieur
ou égale à 𝒂
 Soit 𝑿 𝛀 = 𝒙𝟏 ; 𝒙𝟐 ; … . ; 𝒙𝒏
On détermine la loi de probabilité de 𝑿
en calculant les probabilités de (𝑿 = 𝒙𝒊 )
 l’espérance mathématique :
𝒊=𝒏

𝒊=𝒏
𝟐

𝑬 𝑿 =

𝒙𝒊 𝒑 𝑿 = 𝒙𝒊 ; 𝑬 𝑿
𝒊=𝟎

𝒙𝒊 𝟐 𝒑 𝑿 = 𝒙𝒊

=
𝒊=𝟎

 l’espérance mathématique :
𝒊=𝒏

𝑽 𝑿 =

𝒙𝒊 − 𝑬 𝑿

𝟐

𝒑 𝑿 = 𝒙𝒊 = 𝑬 𝑿𝟐 − 𝑬 𝑿

𝟐

𝒊=𝟎

 l’écart type : 𝝈 𝑿 = 𝑽 𝑿
 La loi binomiale :
Soit l’événement 𝑨 de probabilité 𝒑 dans
une expérience aléatoire.
On répète l’expérience aléatoire 𝒏 fois
dans les mêmes conditions de départ.
 La variable aléatoire 𝑿 qui associe
chaque éventualité de cette expérience
le nombre de fois pour lequel 𝑨 se
réalise, s’appelle variable aléatoire
binomiale de paramètres 𝒏 𝒆𝒕 𝒑
 Soit 𝑿 la variable aléatoire binomiale
de paramètres 𝒏 𝒆𝒕 𝒑
 𝑿 𝛀 = 𝟏; 𝟐; … . ; 𝒏
 ∀𝒌 ∈ 𝑿 𝛀 𝒑 𝑿 = 𝒙𝒊 = 𝑪𝒌𝒏 𝒑𝒌 𝟏 − 𝒑 𝒏−𝒌
 𝑬 𝑿 = 𝒏𝒑 ; 𝑽 𝑿 = 𝒏𝒑(𝟏 − 𝒑)
Bonne chance

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Les structures algébriques

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Les homomorphismes
Soit 𝒇: 𝑬;∗ → 𝑭; ⊥ 𝒖𝒏𝒆 𝒂𝒑𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏

Les lois de composition interne



𝟐

Soit 𝑬 un ensemble non vide.

Une loi de composition interne sur 𝑬
est une application :
𝑬×𝑬→𝑬
𝒇 𝒙 ;𝒚 → 𝒇 𝒙 ;𝒚 = 𝒙 ∗ 𝒚

 Soit * une L.C.I sur 𝑬. On a :
1) * est commutative ⇔
∀ 𝒙 ; 𝒚 ∈ 𝑬𝟐 𝒙 ∗ 𝒚 = 𝒚 ∗ 𝒙
2) * est associative ⇔ ∀ 𝒙; 𝒚; 𝒛 ∈ 𝑬𝟑
𝒙 ∗ 𝒚 ∗ 𝒛 = (𝒙 ∗ 𝒚) ∗ 𝒛
3) * admet un élément neutre 𝒆 ⇔
∀𝒙 ∈ 𝑬 𝒙 ∗ 𝒆 = 𝒆 ∗ 𝒙 = 𝒙
4) 𝒚 est le symétrique (inverse) de 𝒙
⇔ 𝒙∗𝒚 =𝒚∗𝒙 =𝒆
5) a est un élément régulier ⇔
∀ 𝒙 ; 𝒚 ∈ 𝑬𝟐 𝒙 ∗ 𝒂 = 𝒚 ∗ 𝒂 ⇒ 𝒙 = 𝒚
6) ∗ et ⊺ deux L.C.I sur 𝑬
⊺ est distributive par rapport ∗ ⇔
𝒙 ⊺ 𝒚 ∗ 𝒛 = 𝒙 ⊺ 𝒚 ∗ (𝒙 ⊺ 𝒛)
∀ 𝒙 ; 𝒚; 𝒛 ∈ 𝑬𝟑
(𝒙 ∗ 𝒚) ⊺ 𝒛 = 𝒙 ⊺ 𝒛 ∗ (𝒚 ⊺ 𝒛)

Groupes et sous groupes
𝑮 un ensemble non vide.



𝑮;∗ un groupe⇔

∗ 𝒆𝒔𝒕 𝒂𝒔𝒔𝒐𝒄𝒊𝒂𝒕𝒊𝒗𝒆
∗ 𝒂𝒅𝒎𝒆𝒕 𝒖𝒏 é𝒍é𝒎𝒆𝒏𝒕 𝒏𝒆𝒖𝒕𝒓𝒆 𝒆
𝒕𝒐𝒖𝒕 𝒙 ∈ 𝑮 𝒂𝒅𝒎𝒆𝒕 𝒖𝒏 𝒔𝒚𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒒𝒖𝒆



* est commutative
⇒ (𝑮;∗) un groupe abélien

 Chaque élément d’un
groupe est régulier

 𝑯 un sous groupe de




 𝒇 homomorphisme de

𝑮;∗
𝐇≠∅ 𝑯⊂𝑮
∀ 𝒙 ; 𝒚 ∈ 𝑯𝟐 𝒙 ∗ 𝒚 ∈ 𝑯
∀𝒙 ∈ 𝑯: 𝒙′ ∈ 𝑯
𝐇≠∅ ; 𝑯⊂𝑮
∀ 𝒙 ; 𝒚 ∈ 𝑯𝟐 𝒙 ∗ 𝒚′ ∈ 𝑯

⇔ ∀ 𝒙 ;𝒚 ∈ 𝑬

𝑬;∗ vers 𝑭; ⊥
𝒇 𝒙 ∗ 𝒚 = 𝒇(𝒙) ⊥ 𝒇(𝒚)



𝒆 élément neutre de *
⇒ 𝒆′ = 𝒇(𝒆) élément neutre de ⊥





∗ 𝐜𝐨𝐦𝐦𝐮𝐭𝐚𝐭𝐢𝐯𝐞 ⇒⊥ 𝐞𝐬𝐭 𝐜𝐨𝐦𝐦𝐮𝐭𝐚𝐭𝐢𝐯𝐞
∗ 𝐚𝐬𝐬𝐨𝐜𝐢𝐚𝐭𝐢𝐯𝐞 ⇒⊥ 𝐞𝐬𝐭 𝐚𝐬𝐬𝐨𝐜𝐢𝐚𝐭𝐢𝐯𝐞
𝒚 est le symétrique de 𝒙 dans (𝑬;∗)
⇒ 𝒇 𝒚 le symétrique de𝒇(𝒙) dans (𝑭; ⊥)




𝑬;∗ 𝐠𝐫𝐨𝐮𝐩𝐞 ⇒ (𝒇(𝑬); ⊥) 𝐞𝐬𝐭 𝐮𝐧 𝐠𝐫𝐨𝐮𝐩𝐞

𝑯;∗ un sous groupe de 𝑬;∗
⇒ (𝒇(𝑯); ⊥) sous groupe de (𝒇(𝑬); ⊥)






SI 𝒇 bijective ⇒ 𝒇 isomorphisme
SI : 𝑭 = 𝑬 ⇒ 𝒇 endomorphisme
𝒇 endomorphisme bij ⇒automorphisme
𝒇 𝐢𝐧𝐣𝐞𝐜𝐭𝐢 ⇔ ∀ 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑬𝟐 𝒇 𝒙 = 𝒇 𝒚 ⇒ 𝒙 = 𝒚
⇔ ∀ 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑬𝟐 𝒙 ≠ 𝒚 ⇒ 𝒇 𝒙 ≠ 𝒇 𝒚



𝒇 𝐬𝐮𝐫𝐣𝐞𝐜𝐭𝐢𝐯𝐞 ⇔ 𝒇(𝑬) = 𝑭
⇔ ∀𝒙 ∈ 𝑭 ∃𝒙 ∈ 𝑬 ∶ 𝒇 𝒙 = 𝒚



𝒇 𝐛𝐢𝐣𝐞𝐜𝐭𝐢𝐯𝐞 ⇔ 𝒇 𝐬𝐮𝐫𝐣𝐞𝐜𝐭𝐢𝐯𝐞 𝐞𝐭 𝐢𝐧𝐣𝐞𝐜𝐭𝐢𝐯𝐞
⇔ ∀𝒙 ∈ 𝑭 ∃! 𝒙 ∈ 𝑬 ∶ 𝒇 𝒙 = 𝒚

corps

anneaux
∗ et ⊺ deux L.C.I sur 𝑨



𝑨;∗; ⊺ anneau ⇔

𝑨;∗ 𝒈𝒓𝒐𝒖𝒑𝒆 𝒂𝒃é𝒍𝒊𝒆𝒏
⊺ 𝒆𝒔𝒕 𝒂𝒔𝒔𝒐𝒄𝒊𝒂𝒕𝒊𝒗𝒆
⊺ 𝐞𝐬𝐭 𝐝𝐢𝐬𝐭𝐫𝐢𝐛𝐮𝐭𝐢𝐯𝐞 𝐩𝐚𝐫 𝐫𝐚𝐩𝐩𝐨𝐫𝐭 ∗

 ⊺ est commutative ⇒

𝑲 un ensemble non vide.
∗ et ⊺ deux L.C.I sur 𝑲



𝑲;∗; ⊺ corps ⇔
𝑲;∗; ⊺ 𝐚𝐧𝐧𝐞𝐚𝐮 𝐮𝐧𝐢𝐭𝐚𝐢𝐫𝐞

𝒕𝒐𝒖𝒕 𝒙 ∈ 𝑲 ∖ 𝟎𝑲 𝒂𝒅𝒎𝒆𝒕 𝒖𝒏
𝒔𝒚𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒂𝒏𝒔 𝑲 ∖ 𝟎𝑲 ;⊺

𝑨;∗; ⊺ anneau commutatif

 ⊺ admet l’élément neutre
⇒ 𝑨;∗; ⊺ anneau unitaire



𝑨;∗; ⊺ anneau intègre
⇔ ∀ 𝒙 ; 𝒚 ∈ 𝑨𝟐
𝒙 ⊺ 𝒚 = 𝟎𝑨 ⇒ 𝒙 = 𝟎𝑨 𝒐𝒖 𝒚 = 𝟎𝑨



𝑨;∗; ⊺ anneau non
intègre ⇔ ∃ 𝒙 ; 𝒚 ∈ 𝑨𝟐
𝒙 ⊺ 𝒚 = 𝟎𝑨 𝒆𝒕 𝒙 ≠ 𝟎𝑨 𝒆𝒕 𝒚 ≠ 𝟎𝑨

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𝑲;∗ 𝒈𝒓𝒐𝒖𝒑𝒆 𝒂𝒃é𝒍𝒊𝒆𝒏
⊺ 𝐝𝐢𝐬𝐭𝐫𝐢𝐛𝐮𝐭𝐢𝐯𝐞 𝐩𝐚𝐫 𝐫𝐚𝐩𝐩𝐨𝐫𝐭 ∗
𝑲 ∖ 𝟎𝑲 ;⊺ 𝒈𝒓𝒐𝒖𝒑𝒆

 ⊺ est commutative ⇒
𝑲;∗; ⊺ corps commutatif



𝑲;∗; ⊺ 𝐜𝐨𝐫𝐩𝐬 ⇒
𝑲;∗; ⊺ anneau intègre

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Astuce anneau

Les espaces vectoriels



Soit 𝑬 un ensemble non vide.

Une loi de composition externe sur 𝑬
est une application :
ℝ×𝑬→𝑬
𝒇 𝜶 ; 𝒙 → 𝒇 𝜶; 𝒙 = 𝜶. 𝒙




𝑬;∗; . espace vectoriel réel ⇔
𝑬;∗ 𝐠𝐫𝐨𝐮𝐩𝐞 𝐚𝐛é𝐥𝐢𝐞𝐧
∀ 𝒙 ; 𝒚 ∈ 𝑬𝟐 ∀ 𝜶; 𝜷 ∈ ℝ𝟐
𝜶. 𝒙 ∗ 𝒚 = 𝜶. 𝒙 ∗ 𝜶. 𝒚
𝜶𝜷 . 𝒙 = 𝜶. 𝜷. 𝒙
𝟏. 𝒙 = 𝒙
𝟎. 𝒙 = 𝟎𝑬



𝑭 sous espace vectoriel de 𝑬;∗; . ⇔
𝐅≠∅
; 𝐅⊂𝑬
∀ 𝒙 ; 𝒚 ∈ 𝑬𝟐 ∀ 𝜶; 𝜷 ∈ ℝ𝟐
𝜶. 𝒙 ∗ 𝜷𝒚 ∈ 𝑭

groupe abélien de 𝑬; +
𝑭; + 𝒈𝒓𝒐𝒖𝒑𝒆 𝒂𝒃é𝒍𝒊𝒆𝒏 (𝟏)
⇒ Résultats :
𝑭 𝒔𝒕𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒅𝒂𝒏𝒔 𝑬; +










𝓕 = 𝒙𝟏 ; 𝒙𝟐 ; … . ; 𝒙𝒏 est une famille de 𝑬



𝜶𝟏 𝒙𝟏 + 𝜶𝟐 𝒙𝟐 + ⋯ + 𝜶𝒏 𝒙𝒏 est une
combinaison linéaire des éléments de
𝓕 avec 𝜶𝟏 ; 𝜶𝟐 ; … ; 𝜶𝒏 ∈ ℝ𝒏





𝓕 = 𝒙𝟏 ; 𝒙𝟐 ; … . ; 𝒙𝒏 est une famille libre
⇔ ∀ 𝜶 𝟏 ; 𝜶 𝟐 ; … ; 𝜶 𝒏 ∈ ℝ𝒏



𝓕 = 𝒙𝟏 ; 𝒙𝟐 ; … . ; 𝒙𝒏 est une famille liée
∃ 𝜶 𝟏 ; 𝜶 𝟐 ; … ; 𝜶 𝒏 ∈ ℝ𝒏

𝜶𝟏 ; 𝜶𝟐 ; … ; 𝜶𝒏 ≠ 𝟎; 𝟎; … ; 𝟎
𝜶 𝟏 𝒙𝟏 + 𝜶 𝟐 𝒙𝟐 + ⋯ + 𝜶 𝒏 𝒙𝒏 = 𝟎 𝑬



𝓕 est une famille génératrice de 𝑬
∀𝒙 ∈ 𝑬 ∃ 𝜶𝟏 ; 𝜶𝟐 ; … ; 𝜶𝒏 ∈ ℝ𝒏

𝒙 = 𝜶 𝟏 𝒙𝟏 + 𝜶 𝟐 𝒙𝟐 + ⋯ + 𝜶 𝒏 𝒙𝒏



𝓕 = 𝒙𝟏 ; 𝒙𝟐 ; … . ; 𝒙𝒏 est une base de 𝑬
⇔ 𝓕 une famille libre et génératrice
∀𝒙 ∈ 𝑬 ∃! 𝜶𝟏 ; 𝜶𝟐 ; … ; 𝜶𝒏 ∈ ℝ𝒏

𝒙 = 𝜶 𝟏 𝒙𝟏 + 𝜶 𝟐 𝒙𝟐 + ⋯ + 𝜶 𝒏 𝒙𝒏

Etape 2 : on montre que 𝑭 est stable
dans 𝑬;×

 Etape 3 : collection des données

𝒙𝟏 ; 𝒙𝟐 ; … . ; 𝒙𝒏 𝒏 é𝒍é𝒎𝒆𝒏𝒕𝒔 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒊𝒏𝒄𝒕𝒔 𝒅𝒆 𝑬

𝜶𝟏 𝒙𝟏 + 𝜶𝟐 𝒙𝟐 + ⋯ + 𝜶𝒏 𝒙𝒏 = 𝟎𝑬 ⇒ 𝜶𝟏 = 𝜶𝟐 = ⋯ = 𝜶𝒏 = 𝟎

Pour montrer que :
𝑭; +;× 𝐚𝐧𝐧𝐞𝐚𝐮 𝒖𝒏𝒊𝒕𝒂𝒊𝒓𝒆; 𝒄𝒐𝒎𝒎𝒖𝒕𝒂𝒕𝒊𝒇

 Etape 1 : on montre que 𝑭 un sous

Soit * une L.C.I et . une L.C.I sur 𝑬.



𝑬; +;× 𝐚𝐧𝐧𝐞𝐚𝐮 𝒖𝒏𝒊𝒕𝒂𝒊𝒓𝒆; 𝒄𝒐𝒎𝒎𝒖𝒕𝒂𝒕𝒊𝒇
𝐅≠∅
; 𝐅⊂𝑬





𝑬; +;× 𝐚𝐧𝐧𝐞𝐚𝐮 𝒖𝒏𝒊𝒕𝒂𝒊𝒓𝒆; 𝒄𝒐𝒎𝒎𝒖𝒕𝒂𝒕𝒊𝒇
𝑭 𝒔𝒕𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒅𝒂𝒏𝒔 𝑬; + 𝒆𝒕 𝑬;×
× 𝐚𝐬𝐬𝐨𝐜𝐢𝐚𝐭𝐢𝐯𝐞 𝐝𝐚𝐧𝐬 𝑬
⇒× 𝐚𝐬𝐬𝐨𝐜𝐢𝐚𝐭𝐢𝐯𝐞 𝐝𝐚𝐧𝐬 𝑭 (𝟐)
× 𝐝𝐢𝐬𝐭𝐫𝐢𝐛𝐮𝐭𝐢𝐯𝐞 𝐩𝐚𝐫 𝐫𝐚𝐩𝐩𝐨𝐫 + 𝐝𝐚𝐧𝐬 𝑬
⇒× 𝐝𝐢𝐬𝐭𝐫𝐢𝐛𝐮𝐭𝐢𝐯𝐞 𝐩𝐚𝐫 𝐫𝐚𝐩𝐩𝐨𝐫 + 𝐝𝐚𝐧𝐬 𝑭 (𝟑)
𝟏𝑬 é𝐥é𝐦𝐞𝐧𝐭 𝐧𝐞𝐮𝐭𝐫𝐞 𝐝𝐚𝐧𝐬 𝑬;×
𝟏𝑬 ∈ 𝑭
⇒ 𝟏𝑬 é𝐥é𝐦𝐞𝐧𝐭 𝐧𝐞𝐮𝐭𝐫𝐞 𝐝𝐚𝐧𝐬 𝑭;× (𝟒)
𝑺𝒊 × 𝒄𝒐𝒎𝒎𝒖𝒕𝒂𝒕𝒊𝒗𝒆 𝐝𝐚𝐧𝐬 𝑬
⇒× 𝒄𝒐𝒎𝒎𝒖𝒕𝒂𝒕𝒊𝒗𝒆 𝐝𝐚𝐧𝐬 𝑭 (𝟓)
𝑺𝒊 × 𝒏′ 𝒆𝒔𝒕 𝒑𝒂𝒔 𝒄𝒐𝒎𝒎𝒖𝒕𝒂𝒕𝒊𝒗𝒆 𝐝𝐚𝐧𝐬 𝑬
𝒐𝒏 𝒅é𝒅𝒖𝒊𝒕 𝒍𝒂 𝒄𝒐𝒎𝒎𝒖𝒕𝒂𝒕𝒊𝒗𝒊𝒕é 𝒅𝒆 ×
𝐝𝐚𝐧𝐬 𝑭 à 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒔𝒕𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒕é𝒆 (𝟓)
𝟏 ; 𝟐 ; (𝟑) ⇒ 𝑭; +;× 𝐚𝐧𝐧𝐞𝐚𝐮
𝟏 ; 𝟐 ; 𝟑 ; 𝟒 ⇒ 𝑭; +;× 𝐚𝐧𝐧𝐞𝐚𝐮𝒖𝒏𝒊𝒕𝒂𝒊𝒓𝒆
𝟏 ; 𝟐 ; 𝟑 ; 𝟒 𝟓 ⇒ 𝒖𝒏𝒊𝒕𝒂𝒊𝒓𝒆; 𝒄𝒐𝒎𝒎𝒖𝒕𝒂𝒕𝒊𝒇

Calcul matriciel



𝒙𝟏
𝒚𝟏
𝒛𝟏

𝒙𝟐
𝒚𝟐
𝒛𝟐

𝒙𝟑
𝒂𝟏
𝒚𝟑 × 𝒂𝟐
𝒛𝟑
𝒂𝟑

𝒃𝟏
𝒃𝟐
𝒃𝟑

𝒄𝟏
𝒄𝟐 =
𝒄𝟑

𝒙𝟏 𝒂𝟏 + 𝒙𝟐 𝒂𝟐 + 𝒙𝟑 𝒂𝟑
𝒚𝟏 𝒂𝟏 + 𝒚𝟐 𝒂𝟐 + 𝒚𝟑 𝒂𝟑
𝒛𝟏 𝒂𝟏 + 𝒛𝟐 𝒂𝟐 + 𝒛𝟑 𝒂𝟑

𝒙𝟏 𝒃𝟏 + 𝒙𝟐 𝒃𝟐 + 𝒙𝟑 𝒃𝟑
𝒚𝟏 𝒃𝟏 + 𝒚𝟐 𝒃𝟐 + 𝒚𝟑 𝒃𝟑
𝒛𝟏 𝒃𝟏 + 𝒛𝟐 𝒃𝟐 + 𝒛𝟑 𝒃𝟑

𝒙𝟏 𝒄𝟏 + 𝒙𝟐 𝒄𝟐 + 𝒙𝟑 𝒄𝟑
𝒚𝟏 𝒄𝟏 + 𝒚𝟐 𝒄𝟐 + 𝒚𝟑 𝒄𝟑
𝒛𝟏 𝒄𝟏 + 𝒛𝟐 𝒄𝟐 + 𝒛𝟑 𝒄𝟑

𝒙 𝒂 + 𝒙𝟐 𝒂𝟐
𝒃𝟏
= 𝟏 𝟏
𝒃𝟐
𝒚𝟏 𝒂𝟏 + 𝒚𝟐 𝒂𝟐

𝒙𝟏 𝒃𝟏 + 𝒙𝟐 𝒃𝟐
𝒚𝟏 𝒃𝟏 + 𝒚𝟐 𝒃𝟐



𝜶𝟏 ; 𝜶𝟐 ; … ; 𝜶𝒏 les coordonnées de 𝒙
dans la base 𝑩 = 𝒙𝟏 ; 𝒙𝟐 ; … . ; 𝒙𝒏





𝒙𝟏
𝒚𝟏

𝒅𝒊𝒎 𝑬 = 𝒄𝒂𝒓𝒅 𝒙𝟏 ; 𝒙𝟐 ; … . ; 𝒙𝒏 = 𝒏



𝒅𝒆𝒕

𝑬;∗; . 𝐞𝐬𝐩𝐚𝐜𝐞 𝐯𝐞𝐜𝐭𝐨𝐫𝐢𝐞𝐥 ; 𝒅𝒊𝒎 𝑬 = 𝒏
𝓕 = 𝒙𝟏 ; 𝒙𝟐 ; … . ; 𝒙𝒏 𝐞𝐬𝐭 𝐮𝐧𝐞 𝐟𝐚𝐦𝐢𝐥𝐥𝐞 𝐝𝐞 𝐄



+ 𝒂 𝜶 𝒙
𝜶
𝜷 𝒚
𝒅𝒆𝒕(𝑨) = − 𝒃 𝜷 𝒚 = 𝒂
−𝒃 𝜸
𝜸 𝒛
𝒄
𝜸
𝒛
+

𝓕 𝒃𝒂𝒔𝒆 ⇔ 𝓕 libre ⇔ 𝓕 génératrice



𝑨 𝒊𝒏𝒗𝒆𝒓𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 𝒅𝒂𝒏𝒔 𝓜 ℝ ;× ⇔ 𝒅𝒆𝒕(𝑨) ≠ 𝟎



CENTRE EXAMS PREPAS 05.37.74.74.20

𝒙𝟐
𝒂𝟏
𝒚𝟐 × 𝒂𝟐

𝒂𝟏
𝒂𝟐

𝒃𝟏
= 𝒂𝟏 𝒃𝟐 − 𝒃𝟐 𝒂𝟐
𝒃𝟐

PROF TAHIRI 06.61.21.35.78

𝜶 𝒙
𝒙
𝒛 +𝒄 𝜷 𝒚

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∀𝒂 ∈ ℤ∗ 𝒂/𝒂 relation reflexive
𝒂/𝒃
∀(𝒂; 𝒃) ∈ ℤ𝟐
⟹ 𝒂 = 𝒃
𝒃/𝒂

CENTRE EXAMS PREPAS 05.37.74.74.20

∀𝒂 ∈ ℤ 𝒂 ≡ 𝒂 𝒏 reflexive

∀(𝒂; 𝒃; 𝒄) ∈ ℤ𝟑

𝒂 ≡ 𝒃 𝒏 ⟹ 𝒃 ≡ 𝒂 𝒏 symétrique
𝒂≡𝒃𝒏

⟹ 𝒂 ≡ 𝒄 𝒏 transitive
𝒃≡𝒄𝒏
 ∀ 𝒙; 𝒚; 𝒂; 𝒃; 𝜶 ∈ ℤ𝟓 ∀ 𝒌 ∈ ℕ∗
𝒙 ≡ 𝒂 𝒏 ;𝒚 ≡ 𝒃 𝒏
𝒙 + 𝒚 ≡ 𝒂 + 𝒃 𝒏 ; 𝒙𝒚 ≡ 𝒂𝒃 𝒏 ; 𝜶𝒙
≡ 𝜶𝒂 𝒏 ; 𝒙𝒌 ≡ 𝒂𝒌 𝒏
𝒂 = 𝒏𝒒 + 𝒓
 ∀𝒂 ∈ ℤ ∃! 𝒒; 𝒓 ∈ ℤ𝟐
𝟎≤𝒓<𝒏
⟹𝒂≡𝒓𝒏





 Propriétés :

∀ 𝒂, 𝒃 ∈ ℤ𝟐
𝒂 𝒄𝒐𝒏𝒈𝒓𝒖 à 𝒃 𝒎𝒐𝒅𝒖𝒍𝒐 𝒏
⇔ ∃𝒒 ∈ ℤ 𝒂 − 𝒃 = 𝒏𝒒 ⇔ 𝒏/𝒂 − 𝒃

 Définition :

La congruence dans ℤ : 𝒏 ∈ ℕ∗

antisymétrique : ∀(𝒂; 𝒃; 𝒄) ∈ ℤ𝟑
𝒂/𝒃

⟹ 𝒂/𝒄 transitive
𝒃/𝒄
𝒂/𝒃

⟹ 𝒂/𝜶𝒃 + 𝜷𝒄 (𝜶; 𝜷) ∈ ℤ𝟐
𝒂/𝒄







ℤ : ∀(𝒂, 𝒃) ∈ ℤ𝟐
𝒂 ≠ 𝟎 : 𝒂/𝒃 ⇔ ∃! 𝒒 ∈ ℤ 𝒂 = 𝒃𝒒

 La divisibilité dans

∀(𝒂, 𝒃) ∈ ℤ𝟐
𝒂 = 𝒃𝒒 + 𝒓
𝟎≤𝒓< 𝒃
 𝒂 = 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒆𝒏𝒅𝒆 𝒃 = 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒆𝒖𝒓
 𝒒 = 𝒒𝒖𝒐𝒕𝒊𝒆𝒏𝒕 𝒓 = 𝒓𝒆𝒔𝒕𝒆


𝒃 ≠ 𝟎 ∃! (𝒒; 𝒓) ∈ ℤ𝟐

 La division euclidienne dans

Les arithmétiques dans ℤ
𝒂, 𝒃; 𝒄 ∈ ℤ𝟑

𝒂 = 𝒃𝒒 + 𝒓 ⟹ 𝒂 ∧ 𝒃 = 𝒃 ∧ 𝒓 (Euclide)
𝒂∧𝒃 =𝒃∧𝒂; 𝒂∧𝒃 ∧𝒄= 𝒂∧ 𝒃∧𝒄
𝒂∨𝒃 =𝒃∨𝒂; 𝒂∨𝒃 ∨𝒄= 𝒂∨ 𝒃∨𝒄
𝒂𝒄 ∧ 𝒃𝒄 = 𝒄 𝒂 ∧ 𝒃 ; 𝒂𝒄 ∨ 𝒃𝒄 =
𝒄 𝒂∨𝒃
𝒂 = 𝒂 ∧ 𝒃 𝒆𝒕 𝒃 = 𝒂 ∨ 𝒃 ⇔ 𝒂/𝒃
𝒂 ∧ 𝒃 = 𝒅 ⟹ ∃(𝒖; 𝒗) ∈ ℤ𝟐 𝒂𝒖 + 𝒃𝒗 =
𝒅






PROF TAHIRI 06.61.21.35.78

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𝒂∧𝒃= 𝟏
⟹ 𝒂 ∧ 𝒃𝒄 = 𝟏
𝒂∧𝒄=𝟏
𝒂∧𝒃=𝟏
∀(𝒂; 𝒃; 𝒄) ∈ ℤ𝟑
⟹ 𝒂𝒃/𝒄
𝒂/𝒄 𝒆𝒕 𝒃/𝒄
𝒏∧𝒄= 𝟏
⟹𝒂 ≡ 𝒃 𝒏
𝒂𝒄 ≡ 𝒃𝒄 𝒏
𝒂 ∧ 𝒃 = 𝟏 ⇔ 𝒂𝒌 ∧ 𝒃𝒌 = 𝟏 𝒌 ∈ ℕ∗
𝒍′ é𝒒𝒖𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏 𝑬 : 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝒄 𝒂𝒅𝒎𝒆𝒕
𝒅𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒂𝒏𝒔 ℤ𝟐 ⇔ 𝒂 ∧ 𝒃 /𝒄
Solution particulière :algorithme d’Euclide
Utilisation du théorème de GAUSS

∀ 𝒂; 𝒃; 𝒄 ∈ ℤ𝟑

𝒂∧𝒃=𝟏
⟹ 𝒂/𝒄
𝒂/𝒃𝒄

𝒑 𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒑𝒓𝒆𝒎𝒊𝒆𝒓 ⇔ 𝑫𝒑 = ±𝟏; ±𝒑
𝒍′ 𝒆𝒏𝒔𝒆𝒎𝒃𝒍𝒆 𝒅𝒆𝒔 𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒔 𝒑𝒓𝒆𝒎𝒊𝒆𝒓𝒔 𝒊𝒏𝒇𝒊𝒏𝒊
∀𝒂 ∈ ℤ 𝒑 𝒑𝒓𝒆𝒎𝒊𝒆𝒓 ∶ 𝒂 ∧ 𝒑 = 𝟏 𝒐𝒖 𝒑

𝒂 = ± 𝒑 𝟏 𝜶𝟏 × 𝒑 𝟐 𝜶𝟐 × … × 𝒑 𝒏 𝜶𝒏
𝒃 = ± 𝒑𝟏 𝜷𝟏 × 𝒑𝟐 𝜷𝟐 × … × 𝒑𝒏 𝜷𝒏

𝒂 ∧ 𝒃 = 𝒑𝟏 𝜹𝟏 × 𝒑𝟐 𝜹𝟐 × … × 𝒑𝒏 𝜹𝒏
𝜹𝒌 = 𝒎𝒊𝒏(𝜶𝒌 ; 𝜷𝒌 )
∃𝒌 ∈ 𝟏; 𝒏 𝒑 = 𝒑𝒌 ⇔ 𝒑/𝒂

𝒂 ∨ 𝒃 = 𝒑𝟏 𝜹𝟏 × 𝒑𝟐 𝜹𝟐 × … × 𝒑𝒏 𝜹𝒏
𝜹𝒌 = 𝒎𝒂𝒙(𝜶𝒌 ; 𝜷𝒌 )

On pose :





Décomposition en base 𝒃 : 𝒃 ≥ 𝟐
∀𝒂 ∈ ℕ ∃! 𝜶𝟎 ; 𝜶𝟏 ; … ; 𝜶𝒏 ∈ ℕ𝒏
𝒂 = 𝜶𝟎 + 𝜶𝟏 𝒃 + 𝜶𝟐 𝒃𝟐 + ⋯ + 𝜶𝒏 𝒃𝒏
𝑶𝒏 é𝒄𝒓𝒊𝒕 ∶ 𝒂 = 𝜶𝒏 𝜶𝒏−𝟏 … … . 𝜶𝟎 𝒃

𝒙+𝒂=𝒂+𝒙; 𝒙×𝒂=𝒂×𝒙







𝒏ℤ ; +;× anneau unitaire commutatif

𝒏≥𝟐

𝒏ℤ ;× 𝐠𝐫𝐨𝐮𝐩𝐞 𝐚𝐛é𝐥𝐢𝐞𝐧 ⇔ 𝒏 𝒑𝒓𝒆𝒎𝒊𝒆𝒓
𝒂=𝒙⇔𝒙≡𝒂 𝒏



𝒓= 𝒙∈ℤ∶𝒙≡𝒓𝒏

𝒏ℤ = 𝒓 ∶ 𝒓 ∈ 𝟎; 𝒏 − 𝟏








 classes d’équivalence :

Soit 𝒑 ≥ 𝟐 un entier naturel premier
1) ∀𝒏 ∈ ℤ 𝒏𝒑 ≡ 𝒏 𝒑
2) ∀𝒏 ∈ ℤ 𝒏 ∧ 𝒑 = 𝟏 ⇒ 𝒏𝒑−𝟏 ≡ 𝟏 𝒑

 Théorème de fermat :









𝒂 = ± 𝒑𝟏 𝜶𝟏 × 𝒑𝟐 𝜶𝟐 × … × 𝒑𝒏 𝜶𝒏

𝒑𝟏 ; 𝒑𝟐 ; … ; 𝒑𝒏 𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒔 𝒑𝒓𝒆𝒎𝒊𝒆𝒓𝒔 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒊𝒏𝒄𝒕𝒔
 ∀𝒂 ∈ ℤ ∃! 𝜶𝟏 ; 𝜶𝟐 ; … ; 𝜶𝒏 ∈ ℕ𝒏

 Décomposition en nombres premiers :

𝑷𝒐𝒖𝒓 𝒎𝒐𝒏𝒕𝒓𝒆𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝒑 𝒖𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒑𝒓𝒆𝒎𝒊𝒆𝒓
 𝑫é𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒆𝒓 𝒍𝒆𝒔 𝒑𝒓𝒆𝒎𝒊𝒆𝒓𝒔 𝒒 ∶ 𝒒𝟐 ≤ 𝒑
 𝒔𝒊 𝒒/𝒑 𝒂𝒍𝒐𝒓𝒔 𝒑 𝒏′ 𝒆𝒔𝒕𝒑𝒂𝒔 𝒑𝒓𝒆𝒎𝒊𝒆𝒓

 Détermination des nombres premiers :





 Les nombres premiers :

Le guide mathématique
Préparation bac 2019

 conséquences :

∀(𝒂; 𝒃; 𝒄) ∈ ℤ

𝟑

 Théorème de gauss :

𝒂 ∧ 𝒃 = 𝟏 ⇔ ∃(𝒖; 𝒗) ∈ ℤ𝟐

∀ 𝒂, 𝒃 ∈ ℤ𝟐
𝒂𝒖 + 𝒃𝒗 = 𝟏

 Théorème de bezout :

𝒂 ∧ 𝒃 = 𝟏 ⇔ 𝒂 𝒆𝒕 𝒃 𝒑𝒓𝒆𝒎𝒊𝒆𝒓𝒔 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒆𝒖𝒙
 𝒅 = 𝒂∧𝒃 ⇔
∃(𝜶; 𝜷) ∈ ℤ𝟐
𝒂 = 𝜶𝒅 ; 𝒃 = 𝜷𝒅 ; 𝜶 ∧ 𝜷 = 𝟏
 𝒂 ∧ 𝒃 × 𝒂 ∨ 𝒃 = 𝒂𝒃
 𝒂 ∧ 𝒃 = 𝟏 ⇔ 𝒂 ∨ 𝒃 = 𝒂𝒃




𝒅 = 𝒂∧𝒃 ⇔



𝒅/𝒂 𝒆𝒕 𝒅/𝒃
∀𝒅′ ∈ 𝑫𝒂 ∩ 𝑫𝒃 𝒅′/𝒅

 propriétés :




𝒂, 𝒃 ∈


𝒑𝒈𝒄𝒅 𝒂; 𝒃 = 𝒂 ∧ 𝒃 = 𝒎𝒂𝒙( 𝑫𝒂 ∩ 𝑫𝒃 )
𝒑𝒑𝒄𝒎 𝒂; 𝒃 = 𝒂 ∨ 𝒃 = 𝒎𝒊𝒏( 𝑴𝒂 ∩ 𝑴𝒃 )

𝟐

 Définition Pgcd et ppcm
CENTRE EXAMS PREPAS
2eme bac sE sm biof
PROF TAHIRI MOHSINE


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