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Formulaire de Topologie diff´erentielle
Guillaume FOUCART
30 d´ecembre 2018

Chapitre 1

Calcul diff´
erentiel et Vari´
et´
es
1.1

Rappels de calcul diff´
erentiel dans Rn

Not. 1.1
n ∈ N∗
U ∈ O(Rn )
x = (xi )i∈J1,nK ∈ U
f ∈ F(U, R)
α = (αi )i∈J1,nK ∈ Nn
X
∂ α f ∈ F(U, R) : ∂ α f =d´ef

∂ |α| f
∂xα

=d´ef



αi

i∈J1,nK

f

Y

αi

i∈J1,nK

avec
∀i ∈ J1, nK, ∂xi αi =d´ef (∂xi )αi

1

∂xi

X

et |α| =d´ef

αi

i∈J1,nK
α

et ∂x =d´ef

Y

∂xi αi

i∈J1,nK

Rq. 1.2
n ∈ N∗
U ∈ O(Rn )
f ∈ F(U, R)
α ∈ Nn
α = (0)i∈J1,nK ⇒ ∂ α f = f

ef. 1.3
k∈N
U ∈ O(Rn )
f ∈ C k (U, R) ⇔d´ef ∀α ∈ Nn : |α| ≤ k, ∂ α f ∈ C 0 (U, R)
f ∈ C ∞ (U, R) ⇔d´ef ∀k ∈ N, f ∈ C k (U, R)



f ∈ C (U, R)
X f (n) (x0 )
f ∈ C ω (U, R) ⇔d´ef
(x − x0 )n = f (x)
∀x

U,
∃V

V
(x
),
∀x

V,
T
(x)
=

0
0
U
f,x
0

n!
n∈N


ef. 1.4
n, m ∈ N∗
k∈N

U ∈ O(Rn ), V ∈ O(Rm )
ϕ ∈ F(V, Rn ) : ϕ(V ) ∈ P(U )



f ∈ F(U, R) ou f ∈ F ϕ(V ), R
ϕ∗ f = f ◦ ϕ ∈ F(V, R)

2

V ∈ O(Rm )
ϕ ∈ F(V, Rn )


(a) ϕ ∈ C k (V, Rm ) ⇔d´ef ∀f ∈ C k ϕ(V ), R , ϕ∗ f ∈ C k (V, R)
(b) ϕ ∈ C ∞ (V, R) ⇔d´ef ∀k ∈ N, ϕ ∈ C k (V, R)


(c) ϕ ∈ C ω (V, R) ⇔d´ef ∀f ∈ C ω ϕ(V ), R , ϕ∗ f ∈ C ω (V, R)
Th. 1.5
n, m ∈ N∗
U ∈ O(Rn ), x0 ∈ U
ϕ ∈ C 1 (U, Rm )
∃!Dϕ(x0 ) ∈ F(Rn , Rm )
∃ε ∈ F(U, Rm )
∃V ∈ VU (x0 )
∀x ∈ V,
avec

ϕ(x) − ϕ(x0 ) − Dϕ(x0 )(x − x0 )
= ε(x − x0 )
kx − x0 k
lim

x∈V, x→x0

ε(x − x0 ) = 0

n, m ∈ N∗
(ej )j∈J1,nK base canonique de Rn
(ei 0 )i∈J1,mK base canonique de Rm




Jϕ (x0 ) = ∂xj ϕ(x0 )

j∈J1,nK

 

= ∂xj ϕi (x0 )

o`
u ϕ = (ϕi )i∈J1,mK
avec ∀i ∈ J1, mK, ϕi ∈ F(U, R)

3


i∈J1,mK



= ∂xj ϕi (x0 )
j∈J1,nK

i∈J1,mK, j∈J1,nK

∀j ∈ J1, nK,


Dϕ(x0 )(ej ) = Jϕ (x0 ).ej = [Jϕ (x0 )]j = ∂xj ϕ(x0 ) = ∂xj ϕi (x0 )
Dϕ(x0 ) ≡ Jϕ (x0 )
Th. 1.6
n, m, p ∈ N∗
U ∈ O(Rn ), V ∈ O(Rm )
ϕ ∈ C 1 (U, V ) : ϕ(U ) ∈ P(V )



1
p
1
p
ψ ∈ C (V, R ) ou ψ ∈ C ϕ(U ), R




D(ψ ◦ ϕ)(x0 ) = Dψ ϕ(x0 ) ◦ Dϕ(x0 )


∀x0 ∈ U,
J(ψ◦ϕ) (x0 ) = Jψ ϕ(x0 ) .Jϕ (x0 )
Th. (d’inversion locale) 1.7
k∈N
n, m ∈ N∗
U ∈ O(Rn )
x0 ∈ U
ϕ ∈ C k (U, Rn )
Dϕ(x0 ) ∈ Isom(Rn , Rm )



∃V ∈ O(Rm ) : V ∈ P ϕ(U )
∃ψ ∈ C k (V, U ) :
(
(ψ ◦ ϕ)|V = idV
(ϕ ◦ ψ)|ψ(V ) = idψ(V )
c-`
a-d si

4

i∈J1,mK



= ∂xj ϕi (x0 )

i∈J1,mK




ϕ|ϕ−1 (V ),V ∈ C k ϕ−1 (V ), V


ψ|V,ψ(V ) ∈ C k V, ψ(V )

1.2




−1 (V ), V

ϕ

Isom
ϕ
−1

 |ϕ (V ),V


⇒ ψ|V,ψ(V ) ∈ Isom V, ψ(V )


 −1
ψ|V,ψ(V ) = ϕ|ϕ−1 (V ),V

Vari´
et´
es diff´
erentiables et Diff´
eomorphismes


ef. 1.8
k∈N
n, m ∈ N∗
X ∈ P(Rn )
f ∈ F(X, Rm )
x∈X

f ∈ C k ({x}, Rm ) ⇔d´ef ∃Ux ∈ VX (x)

\

O(X), ∃g ∈ F(Ux , Rm ), g ∈ C k ({x}, Rm ), g|Ux = f|Ux

f ∈ C k (X, Rm ) ⇔d´ef ∀x ∈ X, f ∈ C k ({x}, Rm )
Rq. 1.9
k∈N
n, m ∈ N∗
1) X ∈ P(Rn ), Z ∈ P(X)
f ∈ C k (X, Rm ) ⇒ f|Z ∈ C k (Z, Rm )

(
f ∈ C k (X, Y )
2)
g ∈ C k (Y, Z)

f ∈ C k (X, Y )

\

⇒ g ◦ f ∈ C k (X, Z)

Isom(X, Y ) 6⇒ f −1 ∈ C k (Y, X)

C k (X, Y ) mono¨ıde
5


ef. 1.10
k∈N
f ∈ C k -Dif f (X, Y ) ⇔d´ef

(
T
f ∈ C k (X, Y ) Isom(X, Y )
f −1 ∈ C k (Y, X)

X, Y C k -Dif f ⇔d´ef ∃f ∈ C k -Dif f (X, Y )
Rq. 1.11
k∈N
(
f ∈ C k -Dif f (X, Y )
1)
g ∈ C k -Dif f (Y, Z)

⇒ g ◦ f ∈ C k -Dif f (X, Z)

2) f ∈ C k -Dif f (X, Y ) ⇔ f −1 ∈ C k -Dif f (Y, X)

3) C k -Dif f (X, Y ) groupe
Rq. 1.12
n ∈ N∗
k∈N
∀X, Y ∈ P(Rn )
XRY ⇔d´ef X, Y C k -Dif f
R relation d’´equivalence sur P(Rn )

ef. 1.13
n, k ∈ N∗
r∈N
X k-vari´et´e C r de Rn ⇔d´ef

(
X ∈ P(Rn )
T
∀x ∈ X, ∃Vx ∈ VX (x) O(X), ∃Ux ∈ O(Rk ), ∃ϕx ∈ C r -Dif f (Vx , Ux )

6

Rq. 1.14
n, k ∈ N∗
r∈N
X k-vari´et´e C r de Rn

(
X ∈ P(Rn )

T
∀x ∈ X, ∃Vx ∈ VX (x) O(X), ∃ϕx ∈ C r -Dif f (Vx , Rk )

et on peut avoir ϕx (x) = 0

n, k ∈ N∗
r∈N
X k-vari´et´e C r de Rn
x∈X
VX,x ∈ VX (x)

T

O(X)

ϕx param´etrisation de VX,x ⇔d´ef ∃Ux ∈ O(Rk ), ϕx ∈ C r -Dif f (Ux , VX,x )

ϕx param´etrisation locale de X en x ⇔d´ef ∃VX,x ∈ VX (x)

ϕ param´etrisation locale de X ⇔d´ef

\

O(X), ϕx param´etrisation de VX,x

(
ϕx param´etrisation locale de X en x
∃x ∈ X,
ϕ = ϕx

x∈X
VX,x ∈ VX (x)

T

O(X)

ψx syst`eme de coordonn´ees pour VX,x ou syst`eme de coordonn´ees locales sur X ou carte de VX,x autou
⇔d´ef
(
ϕx param´etrisation de VX,x
ψx = ϕ−1
x

7

Et on a alors :


−1
ψx = ϕ−1
:
V

U
:
y

7
ψ
(y)
=
ϕ
(y)
=
ψ
(y)
x
x
x,i
X,x
x
x

i∈J1,kK



= ϕ−1
(y)
x,i

i∈J1,kK

Et :


∀i ∈ J1, k K, ψx,i fonctions coordonn´ees de VX,x ⇔d´ef ∃ψx syst`eme de coordonn´ees pour VX,x , ψx = ψ

et on a :
∀i ∈ J1, k K, ψx,i fonctions coordonn´ees de VX,x ⇒ ∀i ∈ J1, k K, ψx,i ∈ Isom(VX,x , R)

A atlas de X
⇔d´ef
∃J ensemble,
A = {ψj ∈ F(VX,xj , Uj )|j ∈ J, ∃xj ∈ X, VX,xj ∈ VX (xj )
ψj carte de VX,xj autour de xj , X =

[

\

O(X),

VX,xj }

j∈J

Rq. 1.15
n, k ∈ N∗
r∈N
X k-vari´et´e C r de Rn

∃A atlas de X ⇒ ∃A0 atlas de X, A0 = {ψx 0 ∈ Isom(VX,x , Rk )|x ∈ X, VX,x ∈ VX (x)
Rq. 1.16
S1 = {x ∈ R2 | kxk = 1} ∈ P(R2 )
S1 1-vari´et´e C ∞ de R2
∃A atlas de S1 , card(A) = 2
8

\

O(X)}

Prop. 1.17
n ∈ N∗
Sn = {x ∈ Rn+1 | kxk = 1} ∈ P(Rn+1 )
Sn n-vari´et´e C ∞ de Rn+1
∃A atlas de Sn , card(A) = 2(n + 1)
∃A atlas de Sn , card(A) = 2

1.3

Sous-vari´
et´
es et produits de vari´
et´
es


ef. 1.18
n, N ∈ N∗
X vari´et´e de RN
Z sous-vari´et´e de X ⇔d´ef

(
Z vari´et´e de RN
Z ∈ P(X)

Rq. 1.19
n, N ∈ N∗
X n-vari´et´e de R

N

(
1) X n-sous-vari´et´e de RN

2) ∀Z ∈ O(X), Z n-sous-vari´et´e de X

Th. 1.20
n, m, N, M ∈ N∗
(
X n-vari´et´e de RN
Y m-vari´et´e de RM

⇒ X × Y (n + m)-vari´et´e de RN +M

9

Chapitre 2

Espaces et fonctions tangents
aux vari´
et´
es
2.1

Espaces tangents et Diff´
erentielle sur une vari´
et´
e

k, n, m, N ∈ N∗
U ∈ O(Rm )
f ∈ C 1 (U, Rn )
x∈U
h ∈ Rm

(Df )x (h) d´eriv´ee directionnelle de f par h en x ⇔d´ef (Df )x (h) =

(Df )x : Rm → Rn : h 7→ (Df )x (h), d´eriv´ee de f en x


ef. 2.1
X k-vari´et´e de RN
x∈X
Ux ∈ O(Rk ), 0 ∈ Ux
ϕx ∈ F(Ux , X) param´etrisation locale de X en x, ϕx (0) = x

10

f (x + th) − f (x)
, t→0
t

lim


t∈R

Tx X =d´ef (Dϕx )0 (Rk ) espace tangent de X en x
o`
u (Dϕx )0 ∈ F(Rk , RN )
Rq. 2.2
X k-vari´et´e de RN
x∈X
Ux ∈ O(Rk ), 0 ∈ Ux

1) ϕ1,x , ϕ2,x ∈ F(Ux , X) param´etrisations locales de X en x, ϕ1,x (0) = ϕ2,x (0) = x

Tx X = (Dϕ1,x )0 (Rk ) = (Dϕ2,x )0 (Rk )

2) Y vari´et´e de RN
x ∈ Y (x ∈ X)
ψx ∈ F(Rk , Y ) param´etrisation locale de Y en x



k
Tx X = (Dϕx )0 (Rk ) = (Dϕx )ϕ−1
(R
)
= (Dψx )ψx−1 (x) (Rk )
x (x)
Prop. 2.3
k, N ∈ N∗
(ej )j∈J1,kK base canonique de Rk
X k-vari´et´e C 1 de RN

1) ∀x ∈ X, Tx X sev de RN et dim Tx X = k

2) x ∈ X
Ux ∈ O(X)
11

ϕx ∈ F(Rk , Ux ) param´etrisation locale de X en x



(Dϕx )x (ej )

2.2

j∈J1,kK



= Jϕx (x).ej

j∈J1,kK



= ∂xj ϕx (x)

j∈J1,kK

base de Tx X


eriv´
ee d’une fontion f ∈ C 1 (X, Y ), o`
u X, Y
sont des vari´
et´
es

Prop. 2.4
N, M, P ∈ N∗
X vari´et´e de RN , Y vari´et´e de RM , Z vari´et´e de RP
f ∈ C 1 (X, Y ), g ∈ C 1 (Y, Z)

∀x ∈ X, ∃!f∗x ∈ F(Tx X, Tf (x) Y )
∀y ∈ Y, ∃!g∗y ∈ F(Ty Y, Tg(y) Z)
telles que :
∀x ∈ X, (g ◦ f )∗x = g∗f (x) ◦ f∗x

k, l, N, M ∈ N∗
X vari´et´e de RN , Y vari´et´e de RM
f ∈ C 1 (X, Y )
x∈X
Ux ∈ O(Rk ), Vf (x) ∈ O(Rl ),
0 ∈ Ux , 0 ∈ Vf (x)
ϕx ∈ F(Ux , X) param´etrisation locale de X en x, ϕx (0) = x
ψf (x) ∈ F(Vf (x) , Y ) param´etrisation locale de Y en f (x), ψf (x) (0) = f (x)

12

On a le diagramme commutatif :

f|ϕx (Ux ),ψ

ϕx (Ux ) ∈ P(X)
x
ϕx |Ux ,ϕx (Ux ) 


f (x) (Vf (x) )

−−−−−−−−−−−−−→

ψf (x) (Vf (x) ) ∈ P(Y )
x
ψf (x)
|Vf (x) ,ψf (x) (Vf (x) )


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→

Ux

h=ψf (x) −1
|V

f (x) ,ψf (x) (Vf (x) )

◦f|ϕx (Ux ),ψ

f (x) (Vf (x) )

◦ϕx |Ux ,ϕx (Ux )

Vf (x)

On peut supposer ϕx (Ux ) = X et ψf (x) (Vf (x) ) = Y et dans ce cas on obtient le diagramme commutatif

X
x

ϕx 

f

−−−−→

Y
x
ψ
 f (x)

Ux −−−−−−−−−→ Vf (x)
◦f ◦ϕx
h=ψf−1
(x)

f∗x =(Dψf (x) ) ◦(Dh)0 ◦(Dϕx )−1
0

Tx X ∈ P(RN ) −−−−−−−−−−0−−−−−−−−−−→ Tf (x) Y
x

(Dϕx )0 
Rk

∈ P(RM )
x
(Dψ )
 f (x) 0
Rl

−−−−→
(Dh)0

En posant pour simplifier U = Ux , V = Vf (x) , ϕ = ϕx , ψ = ψf (x) , on obtient les diagrammes commutat

f|ϕ(U ),ψ(V )

ϕ(U ) ∈ P(X)
x
ϕ|U,ϕ(U ) 


−−−−−−−→

ψ(V ) ∈ P(Y )
x
ψ
 |V,ψ(V )

U

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→

V

−1
h=ψ|V,ψ(V
◦f
◦ϕ|U,ϕ(U )
) |ϕ(U ),ψ(V )

On peut supposer ϕ(U ) = X et ψ(V ) = Y et dans ce cas on obtient les diagrammes commutatifs :

13

X
x

ϕ

f

−−−−→

Y
x
ψ


U −−−−−−−→ V
h=ψ −1 ◦f ◦ϕ

f∗x =(Dψ) ◦(Dh) ◦(Dϕ)−1

0
0
Tx X ∈ P(RN ) −−−−−−−−
−−−−0−−−−−
→ Tf (x) Y
x

(Dϕ)0 

Rk

∈ P(RM )
x
(Dψ)

0
Rl

−−−−→
(Dh)0


ef. 2.5
k, l, N, M ∈ N∗
X vari´et´e de RN , Y vari´et´e de RM
f ∈ C 1 (X, Y )
x∈X
Ux ∈ O(Rk ), Vf (x) ∈ O(Rl ),
0 ∈ Ux , 0 ∈ Vf (x)
ϕx ∈ F(Ux , X) param´etrisation locale de X en x, ϕx (0) = x
ψf (x) ∈ F(Vf (x) , Y ) param´etrisation locale de Y en f (x), ψf (x) (0) = f (x)

f∗x =d´ef (Dψf (x) )0 ◦ (Dh)0 ◦ (Dϕx )−1
0
Rq. 2.6
k, l, N, M ∈ N∗
X vari´et´e de RN , Y vari´et´e de RM
f ∈ C 1 (X, Y )
x∈X
14

Ux ∈ O(Rk ), Vf (x) ∈ O(Rl ),
0 ∈ Ux , 0 ∈ Vf (x)
ϕ1,x , ϕ2,x ∈ F(Ux , X) param´etrisation locale de X en x, ϕ1,x (0) = ϕ2,x (0) = x
ψ1,f (x) , ψ2,f (x) ∈ F(Vf (x) , Y ) param´etrisation locale de Y en f (x), ψ1,f (x) (0) = ψ2,f (x) (0) = f (x)

−1
f∗x = (Dψ1,f (x) )0 ◦ (Dh)0 ◦ (Dϕ1,x )−1
0 = (Dψ2,f (x) )0 ◦ (Dh)0 ◦ (Dϕ2,x )0

2.3


eriv´
ee d’une application compos´
ee

Not. 2.7
k, l, m, N, M, P ∈ N∗
X vari´et´e de RN , Y vari´et´e de RM , Z vari´et´e de RP
f ∈ C 1 (X, Y ), g ∈ C 1 (Y, Z)
x∈X
Ux ∈ O(Rk ), Vf (x) ∈ O(Rl ), W
0 ∈ Ux , 0 ∈ Vf (x) , 0 ∈ W

 ∈ O(Rm )

g f (x)



g f (x)

ϕx ∈ F(Ux , X) param´etrisation locale de X en x, ϕx (0) = x
ψf (x) ∈ F(Vf (x) , Y ) param´etrisation locale de Y en f (x), ψf (x) (0) = f (x)




 , Z param´etrisation locale de Z en g f (x) , η
 (0) = g f (x)
η  ∈F W
g f (x)

g f (x)

g f (x)

On a le diagramme commutatif (sous 2 versions) :

15

f|ϕx (Ux ),ψ

ϕx (Ux ) ∈ P(X)
x
ϕx |Ux ,ϕx (Ux ) 


f (x) (Vf (x) )

−−−−−−−−−−−−−→

ψf (x) (Vf (x) ) ∈ P(Y )
x
ψf (x)
|Vf (x) ,ψf (x) (Vf (x) )


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→

Ux

h=ψf (x) −1
|V

f (x) ,ψf (x) (Vf (x) )

◦f|ϕx (Ux ),ψ

f (x) (Vf (x) )

−−−−−−−−−−−−−−
 −1

j=η
g f (x)
W

Vf (x)

◦ϕx |Ux ,ϕx (Ux )

g f (x

ϕx |Ux ,ϕx (Ux )

−−−−−−−−→

Ux

−1

h=ψf (x) |V
◦f|ϕx (Ux ),ψ
(Vf (x) ) ◦ϕx |Ux ,ϕx (Ux ) y

(V
)
f
(x)
f (x) f (x) f (x)

ϕx (Ux ) ∈ P(X)

f|ϕ (U ),ψ (V )
y x x f (x) f (x)

−−−−−−−−−−−−−−−→

Vf (x)

ψf (x) (Vf (x) ) ∈ P(Y )

ψf (x) |V

f (x) ,ψf (x) (Vf (x) )



(x)

 ◦g
ψf (x) (Vf (x) ),η

 ◦ψf (x)


g f (x)

W

|Vf (x) ,ψf (x) (Vf (x) )



g f (x)

W



y


 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ η W



g
η
g f (x)
 ,η
 W

W

g f (x)

g f (x)

On peut supposer ϕx (Ux ) = X, ψf (x) (Vf (x) ) = Y et η

X
x

ϕx 

f

−−−−→

Y
x
ψ
 f (x)

g f (x)

g f (x)

g

−−−−→

Ux −−−−−−−−−→ Vf (x) −−−−−−−−−−−−→ W
g
 ◦g◦ψf (x)
j=η −1
h=ψf−1
◦f ◦ϕx
(x)




f (x)

f (x)

g f (x)


 W

Z
x
η
g

g
 ψ (V ),η
y f (x) f (x) g

 ∈ P(Z)


 = Z et, dans ce cas, on obtient

g f (x)



f (x)



f (x)

g f (x)

En posant pour simplifier U = Ux , V = Vf (x) , ϕ = ϕx , ψ = ψf (x) , on obtient les diagrammes commuta

f|ϕ(U ),ψ(V )

g|ψ(V ),η(W )

ϕ(U ) ∈ P(X)
x
ϕ|U,ϕ(U ) 


−−−−−−−→

ψ(V ) ∈ P(Y )
x
ψ
 |V,ψ(V )

−−−−−−−→

η(W ) ∈ P(Z)
x
η|W,η(W )


U

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→

V

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→

W

−1
h=ψ|V,ψ(V
◦f
◦ϕ|U,ϕ(U )
) |ϕ(U ),ψ(V )

16

−1
j=η|W,η(W
◦g
◦ψ|V,ψ(V )
) |ψ(V ),η(W )

On peut supposer ϕ(U ) = X, ψ(V ) = Y et η(W ) = Z et, dans ce cas, on obtient le diagramme commu

X
x

ϕ

f

−−−−→

g

−−−−→

Y
x
ψ


Z
x
η


U −−−−−−−→ V −−−−−−−→ W
h=ψ −1 ◦f ◦ϕ

j=η −1 ◦g◦ψ

On obtient les diagrammes commutatifs :

g◦f

X −−−−→
x

ϕ

Z
x
η


U −−−−→ W
j◦h

f∗x =(Dψ) ◦(Dh) ◦(Dϕ)−1

0
0
Tx X ∈ P(RN ) −−−−−−−−
−−−−0−−−−−
→ Tf (x) Y
x

(Dϕ)0 

Rk

g∗f (x) =(Dη)0 ◦(Dj)0 ◦(Dψ)−1
0

∈ P(RM ) −−−−−−−−−−−−−−−−−−→ T(g◦f )(x) Z ∈ P(RP )
x
x
(Dψ)
(Dη)


0
0
Rl

−−−−→
(Dh)0



(g◦f )∗x =(Dη)0 ◦ D(j◦h)

−−−−→
(Dj)0

Rm

◦(Dϕ)−1
0

Tx X ∈ P(RN ) −−−−−−−−−−−−−−−−−0−−−−−→ T(g◦f )(x) Z ∈ P(RP )
x
x

(Dη)
(Dϕ)0 

0
Rk

Rm

−−−−−−−
→
D(j◦h)

0




−1
On a : h(0) = (ψ −1 ◦ f ◦ ϕ)(0) = (ψf−1

f

ϕ
)(0)
=
ψ
f
ϕ
(0)
= ψf−1
x
x
(x)
f (x)
(x) f (x) = 0.

17

On a donc :
(g ◦ f )∗x

= (Dη)0 ◦ D(j ◦ h) 0 ◦ (Dϕ)−1
0


= (Dη)0 ◦ (Dj)h(0) ◦ (Dh)0 ◦ (Dϕ)−1
0


= (Dη)0 ◦ (Dj)0 ◦ (Dh)0 ◦ (Dϕ)−1
0


−1
= (Dη)0 ◦ (Dj)0 ◦ (Dψ)−1

(Dψ)

(Dh)
0
0
0 ◦ (Dϕ)0

 

−1
= (Dη)0 ◦ (Dj)0 ◦ (Dψ)−1

(Dψ)

(Dh)

(Dϕ)
0
0
0
0
= g∗f (x) ◦ f∗x

Notation :

k, N ∈ N∗
X k-vari´et´e C 1 de RN
Z sous-vari´et´e de X
z∈Z

1) i∗z : Tz Z → Tz X : v 7→ i∗z (v) = v, inclusion et injection d’espaces tangents

2) f ∈ C 1 (X, Y ) ⇒ f|Z ∈ C 1 (Z, Y )
et
∀z ∈ Z, fZ∗z =d´ef f∗z |Tz Z : Tz Z → Tf (z) Y

2.4

Vecteurs tangents


ef. 2.8
γ courbe C 1 ⇔d´ef ∃J intervalle de R, ∃Xvari´et´e C 1 , γ ∈ C 1 (J, X)

18

∀t0 ∈ J, γ 0 (t0 ) =d´ef dt γ(t0 ) =d´ef


(t0 ) =d´ef (Dγ)t0 (1) ∈ Tγ(t0 ) X
dt

avec (Dγ)t0 : R → Tγ(t0 ) X, d´eriv´ee de γ en t0
Rq. 2.9
k ∈ N∗
X = Rk vari´et´e C 1 (et mˆeme C ∞ )
γ courbe C 1 telle que ∃J intervalle de R, γ ∈ C 1 (J, Rk )




⇒ ∀t0 ∈ J, γ 0 (t0 ) = γi 0 (t0 )
∀t ∈ J, γ(t) = γi (t)
i∈J1,kK

19

i∈J1,kK


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