Olympiades maths Orient 2019 Corrigé Exercices nationaux.pdf


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Les points fixes de la fonction ∆

8. a. m multiple de pp, alors m = kpp  ∆(m) = k∆(pp) + pp∆(k)
= kppp-1 + pp∆(k)
= kpp + pp∆(k)
= pp(k + ∆(k))
Donc, ∆(m) est multiple de pp.

b. n = )2 ×…. = )2 ×k où k est un entier dont la décomposition en facteurs premiers ne
contient pas p. Ceci donne que ∆(n) = k∆()2 ) + )2 ∆(k)
= k × α × )2% + )2% × p × ∆(k)
= )2% (k × α + p × ∆(k))
or, k × α + p × ∆(k) est un entier dont la décomposition en facteurs premiers ne
contient pas p car k ne l’est pas et car α < p.
D’où, α-1 est l’exposant de p dans la décomposition en facteurs premiers de ∆(n) .

9. Les solutions de ∆( ) = sont les nombres de la forme pp car ∆(pp) = ppp-1=pp.

Exercice 3 : AGADADAGA
1. Seulement les mots qui ne comportent pas la lettre A.
Traitement de texte

2. A → AGADADAGA →

AGADADAGA G AGADADAGA D AGADADAGA D AGADADAGA G AGADADAGA

3. Départ : un seul A
1er clic : il y aura 5 A
2ème clic : Il y aura 52 A
3ème clic : Il y aura 53 A
12ème clic : il y aura 512 = 244 140 625 A
13ème clic : il y aura 513 = 1 220 703 125 A.
D’où, il faut faire 13 clics.

yucefnohra@gmail.com

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