Olympiades maths Orient 2019 Corrigé Exercices nationaux.pdf


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Aperçu texte


c. p est impair ⇔ q = p + 3 est pair.
• Si ( ; ; z) ∈ Ep
z  +1 +1 z+1.
Vérifions en plus que z+1 < ( +1) + ( +1) cad que z < + + 1.
Or, ( ; ; z) ∈ Ep  z < +  z < + + 1.
D’où si ( ; ; z) ∈ Ep alors ( +1 ; +1 ; z+1) ∈ Eq.
• Si ( ; ; z) ∈ Eq
 -1 -1 z-1 (aucune de ces longueurs n’est nulle car la
présence de 1 dans le triplet induit que q est impair, ce qui n’est
pas le cas – voir Remarque e).
Vérifions en plus que z-1 < ( -1) + ( -1) cad que z < + - 1.
Or, ( ; ; z) ∈ Eq  z < +  zmax = l’entier qui vient juste
avant + cad + -1. Ceci implique que z + -1.
D’autre part, si z= + -1 alors q = + +z = + + + -1 = 2( + )-1
qui est impair donc contadiction. On en déduit que z < + – 1.
D’où si ( ; ; z) ∈ Eq alors ( -1 ; -1 ; z-1) ∈ Ep.
Conclusion : Si p est impair alors Ep et Ep+3 ont le même nombre d’éléments.

4. Étude de E2019
a. oui : 2019 = 3 × 673.
b. isocèle signifie que 2 + = 2019  2 = 2019 –  2019 – est pair.
2019 étant impair  y est impair.
Deux cas se présentent :
• La forme ( ; ; ) :
ymin = 673 (cas à éliminer car équilatéral-remarque d) ,
ymax =




– 0.5 = 1009 (remarque c).

Alors y prend les entiers impairs de 675 à 1009 :
(672 ;672 ;675) ; (671 ;671 ;677) ; ……… ; (505 ;505 ;1009).
Alors il y en a 672-505+1 = 168 triangles
• La forme ( ; ; ) :
ymin = 1 et ymax = 673 (cas à éliminer car équilatéral-remarque a).
Alors y prend les entiers impairs de 1 à 671 :
(1;1009;1009) ; (3;1008;1008) ; ……... ; (671;674;674).
yucefnohra@gmail.com

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