Olympiades maths Orient 2019 Corrigé Exercices nationaux.pdf

Alors il y en a 1009-674+1 = 336 triangles.
Conclusion : Au total, il y a 168 + 336 = 504 triangles isocèles non
équilatéraux.

+ + = 2019 ⇒ = 2019 − +
c.

= +
 2 + 2 = 20192 + ( + )2 – 4038( + )  20192 = 4038( + ) – 2 .
Or, 20192 est impair et 4038( + ) – 2 est pair  E2019 ne contient pas de
triangle rectangle.

5. a. + + z = 2022  2022 – z = + .
zmax =




– 1 = 1010 (remarque c) et zmin =

Donc, 674 z 1010
-674 ≥ - z ≥ - 1010
1348 ≥ 2022 – z ≥ 1012
1348 ≥ + ≥ 1012
D’où, + ≥ 1012.




= 674 (remarque d).

D’autre part, + = 2022 – z  + + = 2022 – z +  + 2 = 2022 – (z – ).
D’où, + 2 2022 (l’égalité a lieu lorsque z = ).
b. + + (2022 – – ) = 2022.
Vérifions en plus que 2022 – – < + .
On sait que + ≥ 1012  2 + 2 ≥ 2024 > 2022.
En plus on a que : + 2 2022,
 + 2 2022 < 2 + 2
2 2022 – < + 2
2022 – – < + .
D’où, ( , , 2022- - ) ∈ E2022.

⟹ ≥
c. + ≥ 1012 ⟹ ≥ − + 1012 qui constitue un régionnement du plan

+ 2 2022 ⟹ − + 1011


formant le triangle rectangle suivant :

yucefnohra@gmail.com

3