Olympiades maths Orient 2019 Corrigé Exercices nationaux.pdf


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Exercice 2 : Première fois.
Une fonction agissant sur les nombres entiers naturels

1. ∆(p2) = ∆(p×p) = ∆(p)×p + p×∆(p) = 1×p + p×1 = 2p
∆(p3) = ∆(p2×p) = ∆(p2)×p + p2×∆(p) = 2p×p + p2 = 3p2.
Supposons que cette propriété reste vraie jusqu’à l’ordre n-1
cad que ∆(pn-1)=(n-1)pn-2.
Ainsi, ∆(pn) = ∆(p×pn-1) = p∆(pn-1) + pn-1∆(p) = p(n-1)pn-2 + pn-1
= (n-1)pn-1 + pn-1 = pn-1(n-1+1)
= npn-1.

2. a. ∆(pmqn) = qn∆(pm) + pm∆(qn) = mpm-1qn + npmqn-1=pm-1qn-1(mq+np).
b. ∆(10n) = ∆(2n×5n) = (2 × 5)n-1(5n + 2n) = 10n-1 × 7n qui est bien un multiple de 7.
3. Démontrons par récurrence que la propriété suivante:
∆(pmqn) = mpm-1qn + npmqn-1 est toujours vraie quelque soit le nombre de facteurs
premiers.
on a déjà démontré qu’elle est vraie si le nombre de facteurs premiers est 2.
Supposons qu’elle reste vraie pour un nombre k de facteurs premiers cad que :
∆(pmqn….sa) = (mpm-1qn×…..×sa)+ (npmqn-1×…..×sa) + ………. + (apmqn×…..×sa-1).
Ainsi, ∆(pmqn….sa×tb) = tb∆(pmqn….sa) + (pmqn….sa)∆(tb)
= tb[(mpm-1qn×…..×sa)+ (npmqn-1×…..×sa) + ………. + (apmqn×…..×sa-1)] + b(pmqn….sa)tb-1
= (mpm-1qn×…..×sa×tb)+ (npmqn-1×…..×sa×tb) + ………. + (apmqn×…..×sa-1×tb) + (bpmqn×
…..×sa×tb-1).
D’où, cette propriété est toujours vraie.
Par suite,
∆(n) = 1 ) 23 % ) 24 … )627 + 1 ) 23 ) 24% … )627 + ⋯ + 16 ) 23 ) 24 … )627%
= 1 9 + 1 9 + ⋯ + 16 96 .
4. Propriété 2 :
si n est premier alors n s’écrit n1  α1 = 1 et q1 = 1  α1q1 = 1
or ∆(n) = 1 , d’où : ∆(n) = α1q1 et l’expression satisfait la propriété 2.
Propriété 3 :
a = ) 3 ) 4 … )6 7
2

2

2

,

b = : 3 : 4 … :6 7 ,
;

;

;

donc ab = ) 3 ) 4 … )6 7 : 3 : 4 … :6 7 (il se peut que certains Pi soient
égaux à certains pj)
2

yucefnohra@gmail.com

2

2

;

;

;

8