Olympiades maths Orient 2019 Corrigé Exercices nationaux.pdf


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∆(ab) = [ 11 )111 −1 )122 … )== > + 12 )111 )212 −1 … )== > + ⋯ + 1= )111 )212 …
)= =

1 −1

1

1

> ] + [ ? @ : 3 :2 2 … := = + ? @ : 3 :2 2
; %

@

@

;

@ −1

… := = + ⋯ +
@

? @6 : 3 :2 2 … := =
;

@

= b(1 9 + 1 9 + ⋯ + 16 96 ) + a(@ B + @ B + ⋯ + @6 B6 )
= b∆(a) + a∆(b), et l’expression satisfait la propriété 3.

@ −1

]

Étude de quelques images d’entiers par la fonction ∆.

5. a. ∆(12) = ∆(22×3) = ∆(22) × 3 + 22×∆(3) = 16
∆(56) = ∆(23×7) = 92
∆(1001) = ∆(7 × 11 × 13) = 13 × ∆(7 × 11) + 7 × 11 × ∆(13)
= 13 × [∆(7) × 11 + 7 × ∆(11)] + 77 = 311.

b. Les solutions de ∆( ) = 0 ne peuvent être que 0 et 1 (propriété 1) car tout nombre
premier a pour image 1 et non 0, et tout nombre composé est une somme d’entiers
strictement positifs (propriété 3).
c. Les solutions de ∆( ) = 1 ne peuvent être que les nombres premiers car si est
composé la propriété 3 ne peut pas donner 1.
d. Ce n’est pas vrai car 2 par exemple n’a pas d’antécédent selon la propriété 3.
e. Ce n’est pas vrai car ∆(12) = 16 > 12.

6. a. ∆(pq) = p∆(q) + q∆(p) = p + q.
b. Ce n’est pas vrai car ∆(4 × 3) = 16 mais ∆(4) + ∆((3) = ∆(22) + 1 = 4 + 1 = 5.

7. a. Ce n’est pas vrai car ∆(4+3) = ∆(7) = 1 mais ∆(4) + ∆((3) = 5.
b. ∆(ka + kb) = ∆(k(a+b)) = (a+b)∆(k) + k∆(a+b)
= a∆(k) + b∆(k) + k(∆(a) + ∆(b))
= a∆(k) + k ∆(a) + b∆(k) + k∆(b)
= ∆(ka) + ∆(kb).

yucefnohra@gmail.com

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