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Lyc´ee AL IRFAN qualifiant
Exercices r´esolus
Gmail : Amjaouch.said@gmail.com Page facebook: Maths εn poche

T.C.S.F
G´en´eralit´es sur les fonctions
3x + 2
≥ 0.
x−1
−2
1
3

R´esolvons l’in´equation
−∞
3x + 2



0

x−1





+

+∞

+
0

+

ch

3x + 2
+
+

0
x−1
Le domaine de d´efinition de f
−2
]∪]1; +∞[
Df = ] − ∞;
3

x
7. f(x) = √
x−1
R´eponse:
Df = {x ∈ R/x ≥ 0 et x − 1 > 0}

est

ja

ou

Exercice 1. .
D´eterminer l’ensemble de d´efinition de la fonction f dans les cas suivants :
1
1. f(x) =
x+1
R´eponse :
Df = {x ∈ R/x + 1 6= 0}
R´esolvons l’´equation x + 1 = 0
x + 1 = 0 e´ quivaut x = −1
d’o`
u Df = R − {−1}.
1
2. f(x) =
2x − 1
R´eponse :
1
Df = {x ∈ R/2x − 1 6= 0} = {x ∈ R/x 6= }
2
1
1 1
= R − { } =] − ∞; [∪] ; +∞[.
2
2 2
3. f(x) = x + x + 1
R´eponse :
Puisque f est une fonction polynomiale alors
son domaine de d´efinition est R.

4. f(x) = x − 3
R´eponse :
Df = {x ∈ R/x − 3 ≥ 0}
R´esolvons l’in´equation x − 3 ≥ 0.
x − 3 ≥ 0 e´ quivaut x ≥ 3 d’o`
u Df = [3, +∞[ .

P

ro

f.

A

m

2

= [0; +∞[∩]1; +∞[= ]1; +∞[.
Remarque:
r
x
n’est vraie
Attention l’´egalit´e f(x) =
x−1
que si on a d´ej`
a d´eterminer Df par l’expression pr´ec´edente.
1
8. f(x) = p
|x| + 7
Df = {x ∈ R/|x| + 7 > 0} = R car |x| + 7 est
toujours strictement positif.

x+3
f(x) = √
[`
a faire]
x−5

[`
a faire]
f(x) = x 2 + x − 4

x2 + 4
f(x) =
[`
a faire]
x

f(x) = x − 1 + x 2 − 3
[`
a faire]
x+1
f(x) = 2
[`
a faire]
x + 3x + 4

7x
9.
|x| + x
R´eponse
10.
Df = {x ∈ R/|x| + x 6= 0}
11.
R´esolvons l’´equation |x| + x = 0
? Si x ≥ 0 l’´equation pr´ec´edente devient
12.
2x = 0 donc x = 0.
13.
? Si x < 0 l’´equation pr´ec´edente devient
−x + x = 0 donc x.0 = 0.
Ce qui signifie que tous les nombres r´eels Exercice 2. .
´
Etudier
la parit´e de la fonction f dans les cas
n´egatifs sont des solutions de l’´equation |x|+
suivants :
x = 0.

Conclusion : Df = R + =]0; +∞[.
1. f(x) = x 2 + 2
r
R´eponse:
3x + 2
6. f(x) =
? Df = R (Fonction polynomiale). Df est
x−1
sym´etrique par rapport a
` 0.
R´eponse
? Soit x ∈ R f(−x) = (−x)2 + 2 = x 2 + 2 = f(x)
3x + 2
Df = {x ∈ R/
≥ 0 et x − 1 6= 0}
Conclusion : f est une fonction pair.
x−1

5. f(x) =

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3. f(x) = x 2 − 3x + 2

[`
a faire]

4. f(x) = |x + 3| + |x − 3|

5. f(x) = x 2 + 3

[`
a faire]

[`
a faire]

m

Exercice 3. .
Soit f la fonction num´erique d´efinie par :

A

f(x) = 2x 2 − 3x + 1
1. D´eterminer Df .

3 3
3
+ c-`
a-d x +y ≥ donc 2(x +y) ≥ 3
4 4
2
d’o`
u 2(x + y) − 3 ≥ 0.


3
; +∞ par suite
T(x; y) ≥ 0 sur l’intervalle
4


3
f est Croissante sur l’intervalle
; +∞ .
4
3
? Soient x et y deux e´ l´ements de ] − ∞; ] :
4
3
3
Donc x ≤ et y ≤ par suite :
4
4
3 3
3
x +y ≤ + c-`
a-d x +y ≤ donc 2(x +y) ≤ 3
4 4
2
d’o`
u 2(x + y) − 3 ≤ 0.
3
T(x; y) ≤ 0 sur l’intervalle ] − ∞; ] par suite
4
3
f est D´ecroissante sur l’intervalle ] − ∞; ].
4
Conclusion :
3
f est D´ecroissante sur ] − ∞; ] et Croissante
4
3
sur [ ; +∞[.
4

ou

x
|x| − 1
3

ja

6. f(x) =

[`
a faire]

x +y ≥

ch

2. f(x) = x 3 − x
R´eponse:
? Df = R (Fonction polynomiale). Df est
sym´etrique par rapport a
` 0.
? Soit x ∈ R

f(−x) = (−x)3 − (−x) = −x 3 + x = − x 3 − x
= −f(x)
Conclusion : f est une fonction impair.

T.C.S.F
G´en´eralit´es sur les fonctions

R´eponse:
Df = R (f est polynomiale)

f.

4. Dresser le Tableau de variations de f.
R´eponse:

P

ro

2. Soient x et y deux nombres r´eels diff´erents.
3
f(x) − f(y)
x
+∞
−∞
Montrer que T(x; y) =
= 2(x + y) − 3 .
4
x−y
R´eponse:
2x 2 − 3x + 1 − 2y 2 + 3y − 1
f(x) − f(y)
variations
=
x−y
x−y
de f
−1
2(x 2 − y 2 ) + 3(y − x)
=
=
8
x−y

2(x − y)(x + y) − 3(x − y)
3
−1
=
f
=
x−y
4
8
(x − y) (2(x + y) − 3)
5. D´eterminer les extremums de f.
x−y
Rappel:
= 2(x+y)-3 .
les extremums sont : les valeurs minimales
´
3. Etudier
les variations de f sur les interet les valeurs maximales.
3
3
valles : [ ; +∞[ et ] − ∞; ].
R´eponse:
4
4
1
Rappel:
− est la valeur minimale de f sur R.
8
? T(x, y) ≥ 0 alors f est Croissante.
? Si T(x, y) ≤ 0 alors f est D´ecroissante.
R´eponse:
3
? Soient x et y deux e´ l´ements de [ ; +∞[ :
4
3
3
Donc x ≥ et y ≥ par suite :
4
4
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G´en´eralit´es sur les fonctions

Exercice 4.
[`
a faire] .
Soit f la fonction num´erique telle que :
f(x) = −x 2 + 2x
1. D´eterminer le domaine de d´efinition de f .
3. Montrer que pour tout a et b diff´erents on
a:
T(a; b) = 2 − a − b

5. Dresser le tableau des variations de f.

ja

6. D´eduire les extremums de f.

ou

´
4. Etudier
les variations de f sur l’intervalle [1 :
+∞[ puis sur l’intervalle ] − ∞; 1].

ch

2. V´erifier que f(x) = −(x − 1)2 + 1.

1
x

A

f(x) = 4x 2 +

m

Exercice 5.
[`
a faire] .
On consid`ere la fonction f d´efinie sur R∗ par :

f.

1. M.q pour tout x et y de R∗ tels que (x 6= y) :

ro

f(x) − f(y)
1
= 4(x + y) −
x−y
xy

P

´
2. Etudier
les variations de f sur les intervalles
suivantes :


1
1
]−∞; 0[ et 0; et ; +∞
2
2
3. Dresser le tableau de variations de f.

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