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1.Sc.Exp.Biof
D´erivabilit´e et e´ tude de fonction

f(x)
f(x)
puis lim
.
x→+∞ x
x
6. Donner l’´equation du tangente de (Cf ) en a = 0.

Exercice 1. .
Soit la fonction d´efinie par :
f : x 7Ï x 3 − 3x.

5. Calculer lim

x→+∞

7. D´eterminer les points d’intersection de (Cf ) avec l’axe
des abscisses. (R´esoudre l’´equation f(x) = 0.)

1. D´eterminer Df l’ensemble de d´efinition de f et calculer ses limites au bornes.
2. Trouver la d´eriv´ee de f et donner son tableau de variations.
3. D´eterminer l’´equation de (D) tangente de (Cf ) en
O(0, 0) .
4. Construire (D) et (Cf ) dans le mˆeme rep`ere.

Exercice 5. .
On consid`ere la fonction f d´efinie par :
2x − 1
f(x) =
.
x−1
(Cf ) sa courbe dans rep`ere orthonorm´e.
1. Calculer les limites de f au bornes de Df et interpr´eter chaque r´esultat trouv´e.

Exercice 2. .
Soit la fonction
f d´efinie par :

2
f(x) = 2x x − 2x.

2. D´eterminer f 0 (x) pour tout x de Df 0 .

ch

3. Dresser le tableau de variations de f.

1. D´eterminer Df .

4. D´eterminer les points d’intersection de (Cf ) avec les
axes du rep`ere.

ou

2. Calculer les limites de f au bornes de Df .
´
3. Etudier
la d´erivabilit´e de f a
` gauche en 0 et a
` droite
en 2.

m

5. D´eterminer f 0 (x) pour tout x de Df .

ja

4. Donner une interpr´etation g´eom´etrique des r´esultats
trouv´es.
6. Dresser le tableau de variations de f.

5. Construire (Cf ).

Exercice 6. .
On consid`ere la fonction f d´efinie par :
2x 2 − x
f(x) =
.
x−1
(Cf ) sa courbe dans rep`ere orthonorm´e.
1. Calculer lim+ f(x) et lim+ f(x). Que peut-on dire ?

A

Exercice 3. .

x→1

f.

1. On consid`ere la fonction g telle que :
g(x) = x 4 + 4x + 3

x→1

2. Calculer lim f(x) et lim
x→+∞

ro

Conclure ?

(a) Calculer les limites de g au voisinage de +∞ et
−∞.

x→+∞

f(x)
et puis lim f(x)−2x.
x→+∞
x

3. D´eterminer f 0 (x) pour tout x de Df 0 .
4. Dresser le tableau de variations de f.

P

(b) D´eterminer g 0 (x) pour tout x dans R.

5. D´eterminer les points d’intersection de (Cf ) avec l’axe
des abscisses.

(c) D´eduire le tableau de variation de g.
(d) D´eduire le signe de g(x).

6. Construire (Cf ).

2. Soit la fonction f d´efinie par :
x 4 + 2x 3 − 2x − 1
f(x) =
.
x3
(a) D´eterminer Df .

Exercice 7. .
Soit la fonction : f : x 7Ï x 3 − 6x 2 + 9x − 2
(Cf ) dans un rep`ere orthonorm´e.

(b) Calculer les limites de f au bornes de Df .

1. Calculer les limites de f en −∞ et +∞.

g(x)
pour tout x de Df .
x4
(d) Dresser le tableau de variations de f.

2. D´eterminer les branches infinies de (Cf ).

(e) Donner une approximation affine de f au voisinage de a = 1 puis de d´eduire une valeur approch´ee de f(0.998) et de f(1.001).

4. Calculer f 00 (x) et d´eduire la concavit´e de (Cf ).

(c) Montrer que f 0 (x) =

Exercice 4. .
Soit la fonction f d´efinie par :
1
f(x) = x + √
.
2
x +1
(Cf ) sa courbe dans rep`ere orthonorm´e.
1. D´eterminer Df .
2. Calculer les limites de f au bornes de Df .

3. D´eterminer f 0 (x) puis dresser le tableau de variations
de f sur R.
5. Trouver les points d’intersections de C(f) avec l’axe
des abscisses.
6. Dresser (Cf ).
Exercice 8. .
Soit f la fonction a
` variable r´eel x :
x 2 − 2x + 5
f : x 7Ï
x−1
(Cf ) sa courbe dans rep`ere orthonorm´e.
1. (a) Trouver Df et calculer les limites de f au bornes
de Df .

(b) D´eterminer les branches infinies de Cf .

3. D´eterminer f 0 (x) pour tout x de R.
4. Dresser le tableau de variations de f.
26 avril 2019

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2018/2019