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Lyc´ee AL IRFAN qualifiant
Prof: Said AMJAOUCH

S´erie d’exercices
Page facebook: Maths en poche

T.C.S.F
´
Etude
des fonctions

Exercice 1. .
Consid´erons les fonction f et g telles que :
â f(x) = x2 − 2x + 4
3x − 2
â g(x) =
x−1
(Cf ) la courbe de f et (Cg ) la courbe de g dans un rep`ere orthonorm´e.
1 Calculer f(2) et g(2) et interpr´eter g´eom´etriquement le r´esultat.
´
2
a Etudier
les variations de f sur les intervalles ]1; +∞[ et ] − ∞; 1] puis dresser son tableau de variations.
´
b Etudier
les variations de g sur les intervalles ]1; +∞[ et ] − ∞; 1[ puis dresser son tableau de variations.
3 Dresser en mˆeme rep`ere et avec deux couleurs diff´erentes ; (Cf ) et (Cg ).

m
ja
ou
ch

4 D´eduire, graphiquement, les solutions de l’´equation f(x) ≥ g(x).
Correction 1. .

1 f(2) = 22 − 2.2 + 4 = 4 − 4 + 4 = 4
2.3 − 2 4
= =4
g(2) =
2−1
1
Interpr´
etation g´
eom´
etrique :
Puisque f(2) = g(2) = 4 alors (Cf ) et (Cg ) se coupent au point (2; 4).
a On a f(x) s’´ecrit sous la forme ax2 + bx + c avec a = 1 ; b = −2 ; c = 4
Puisque a > 0 alors :




−b
−b
et croissante sur
; +∞ .
f est d´ecroissante sur l’intervalle −∞;
2a
2a
c’est `
a dire f est d´ecroissante sur l’intervalle ]−∞; 1[ et croissante sur ]1; +∞[ .
Tableau de variations :
−b
x
−∞
+∞
=1
2a

Pr
o

f.

A

2

variations
de f
3
b g(x) s’´ecrit sous la forme

αx + β

.
γx + δ
Calculons
le d´e terminant
∆.


α
3

β
−2
= −3 + 2 = −1
=
∆ =


γ
δ
1
−1
Comme le d´eterminant est n´egatif alors g est d´ecroissante sur les intervalles ] − ∞;

−δ
γ

[ et sur ]

−δ
γ

; +∞[.

c’est `
a dire g est d´ecroissante sur les intervalles ] − ∞; 1[ et sur ]1; +∞[.
Tableau de variations :
x

−∞

+∞

1

Var.
de g

5 mai 2019

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2018/2019

Lyc´ee AL IRFAN qualifiant
Prof: Said AMJAOUCH

S´erie d’exercices
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T.C.S.F
´
Etude
des fonctions

Pr
o

f.

A

m
ja
ou
ch

3 La courbe (Cf ) est un parabole de sommet S(1; 3) dirig´e vers le haut et d’axe de sym´etrie la droite d’´equation :
x = 1.
La courbe (Cg ) est un hyperbole de centre de sym´etrie (1; 3) est d’asymptote verticale d’´eq. x = 1 et d’asymptote
horizontale y = 3.

4 R´
esolution graphique de l’in´
equation f(x) ≥ g(x) :
Graphiquement (Cf ) se trouve au dessus de (Cg ) sur les intervalles ] − ∞; 1[ et [2; +∞[.
Donc l’ensemble des solutions de l’in´equation f(x) ≥ g(x) : est S =] − ∞; 1[∪[2; +∞[.

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